第五章扭转切应力分析A选编
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材料力学扭转应力知识点总结
材料力学扭转应力知识点总结材料力学扭转应力是指在材料受到外力作用时，产生的沿材料截面方向的剪切应力。
本文将总结材料力学扭转应力的相关概念、公式以及与其相关的知识点。
一、材料力学扭转应力的定义及公式推导材料力学扭转应力是指作用于材料截面的切应力，即使材料在受扭转载荷时只沿材料轴向发生变形，但由于材料的剪切模量存在，扭转载荷能够引起沿截面呈现出一定程度的剪切应力。
设材料受到的扭转力矩为T，截面积为A，材料在截面上的剪切应力为τ，则材料力学扭转应力可以表示为：τ = T / A其中，τ表示扭转应力，T表示扭转力矩，A表示截面积。
二、材料力学扭转应力与材料性质的关系1. 临界剪切应力：临界剪切应力是指材料在一定条件下开始发生塑性变形的最小剪切应力。
临界剪切应力可以用来衡量材料的塑性变形特性。
2. 杨氏模量与剪切模量：剪切模量G是衡量材料抵抗剪切形变能力的指标，而杨氏模量E是衡量材料抵抗拉伸形变能力的指标。
二者的关系可以表示为：E = 2G(1 + μ)其中，E表示杨氏模量，G表示剪切模量，μ表示泊松比。
三、材料力学扭转应力的影响因素1. 材料的性质：不同材料的剪切模量不同，因此材料的扭转应力也会不同。
某些材料具有较高的剪切模量，能够承受较大的扭转应力，而某些材料的剪切模量较低，其扭转应力相对较小。
2. 截面形状：截面形状对扭转应力有一定影响。
通常情况下，截面形状越大，扭转应力越小；截面形状越小，扭转应力越大。
3. 外力作用位置：外力作用位置对扭转应力也有一定影响。
通常情况下，外力作用位置越远离截面中心，扭转应力越小；外力作用位置越接近截面中心，扭转应力越大。
四、常见的材料力学扭转应力应用场景1. 扭转杆件：扭转杆件是最常见的扭转应力应用场景之一。
例如汽车发动机的曲轴，飞机发动机的转子等都是承受扭转应力的杆件。
2. 扭转弹簧：扭转弹簧是利用材料力学扭转应力的特性设计的机械零件。
它能够通过受到扭转载荷而产生恢复力，广泛应用于各种机械装置中。
扭转切应力
❖ 各横截面半径不变，所以剪 应力方向与截面径向垂直
设距离轴线为处 的切应变为()， 由几何关系得到：
( )dx d
( ) d dx
物理关系与应力分布
剪切胡克定律
＝G
物理关系与应力分布
＝G ＝G d
dx
静力学方程
A
()dA=Mx
切应力公式
d ＝ Mx
dx GIp
Ip=A 2 dA
d 2 = 0.5D2=23 mm
A1 A2
d12
= D22(1- 2)
=1.28
小结
➢切应力分布 ➢切应力的计算 ➢截面图形的几何性质
扭转圆轴的切应力计算公式：
T Ip
最大切应力公式
扭转圆轴的横截面 上切应力分布规律
max
T Wp
作业
P270
15-10
对于实心圆截面
Ip＝
d
32
4
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
应力计算例1
如图所示,已知： M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm, BC=50mm,G=80GPa。求此轴的 最大切应力
T3
M3
9549
P3 n3
9549
7 360
185 .7(N m)
2、求各轴横截面上的最大切应力：
E 轴：
Emax
T1 WP1
1114103 0.2 703
设距离轴线为处 的切应变为()， 由几何关系得到：
( )dx d
( ) d dx
物理关系与应力分布
剪切胡克定律
＝G
物理关系与应力分布
＝G ＝G d
dx
静力学方程
A
()dA=Mx
切应力公式
d ＝ Mx
dx GIp
Ip=A 2 dA
d 2 = 0.5D2=23 mm
A1 A2
d12
= D22(1- 2)
=1.28
小结
➢切应力分布 ➢切应力的计算 ➢截面图形的几何性质
扭转圆轴的切应力计算公式：
T Ip
最大切应力公式
扭转圆轴的横截面 上切应力分布规律
max
T Wp
作业
P270
15-10
对于实心圆截面
Ip＝
d
32
4
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
应力计算例1
如图所示,已知： M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm, BC=50mm,G=80GPa。求此轴的 最大切应力
T3
M3
9549
P3 n3
9549
7 360
185 .7(N m)
2、求各轴横截面上的最大切应力：
E 轴：
Emax
T1 WP1
1114103 0.2 703
05.秦世伦老师的材料力学课件：扭转
=
∫
0
l
T dx GI p
l
φ
重要公式
Tl = GI p
单位长度相对转角
θ=
T GI p
GIp：抗扭刚度 (torsion stiffness)
5.2 圆轴扭转的强度与刚度计算
强度条件
τ max =
T ≤ [τ ] Wp
I WP = p D 2
重要数据
实心轴 空心轴
Wp =
1 πD 3 16 1 πD3 (1 α 4 ) 16
第五章 扭转
如何导出圆轴扭转时横截面上的切应力公式？ 圆轴扭转时横截面上的切应力分布的规律是什 么？ 如何进行扭转的强度和刚度的计算？
5.1 圆轴扭转的应力与变形
1. 切应力互等定理
τ (dydz ) dx = τ ′(dxdy ) dz
τ τ’ dx dy d定理是普适的
2. 圆轴扭转时横截面上的应力 几何关系 ( 平截面假设 )
γ
Rd AA′ = = tgγ = dx dx
R r dφ
d γ (r ) = r dx
γ A A’ dx
d d 2 dA = G r dA dx dx
物理关系 ( Hooke 定律 )
τ ( r ) = Gγ ( r ) = Gr
d dx
两者重量比
G1 D12 = 2 (1 α 2 ) = 0.61 G D
例 若[τ]=70MPa，求许用转矩。若端面 AB 的相对 转角与端面 BC 相对转角相等，求L1 。
D = 50 d1=25
A
B
d2=38 L2
C
T2 ≤
[τ ] 3 4 D (1 α 2 ) = 1.15 kN m 16
扭转切应力
M = 9549 W n
M1 M2 M3
例2(续)
解: 1,求各轴横截面上的扭矩: E 轴: H 轴: C 轴:
T1 = M T2 = M T3 = M
1
= 9549 = 9549 = 9549
P1 14 = 9549 n1 120 P2 7 = 9549 n2 120
≈ 1114 ( N m ) ≈ 557 ( N m )
Wp 扭转截面系数
截面图形的几何性质
极惯性矩Ip
扭转截面系数Wp
=
p
Ip =
∑
p
ρ 2 dA =
I r
4
∫
A
ρ 2 dA
W
4
=
p
I W
π d
32
p
≈
4
0 .1 d ≈ 0 .2 d
4
=
πD 4
32Leabharlann π d164
4
其中d为圆截 面直径(d,D 为圆环内外径)
Ip = Wp =
πD 3
16
(1 α ) = 0 .1D (1 α ) (1 α ) = 0 .2 D (1 α )
扭 转 切 应 力 计 算
西安航专机械基础教研室 刘 舟
主 要 内 容
工程中承受切应力的构件 扭转内力——扭矩 扭转内力——扭矩 扭转切应力分析与计算
工程中承受切应力的构件
传动轴
工程中承受切应力的构件
工程中承受切应力的构件
破坏形式演示
A
B
扭转时的内力称为扭矩,截面上的扭矩 与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系. 扭矩求解仍然使用截面法
TAB 5×106 τ ABmax = ≈ ≈ 48.83MPa 3 WAB 0.2 ×80
M1 M2 M3
例2(续)
解: 1,求各轴横截面上的扭矩: E 轴: H 轴: C 轴:
T1 = M T2 = M T3 = M
1
= 9549 = 9549 = 9549
P1 14 = 9549 n1 120 P2 7 = 9549 n2 120
≈ 1114 ( N m ) ≈ 557 ( N m )
Wp 扭转截面系数
截面图形的几何性质
极惯性矩Ip
扭转截面系数Wp
=
p
Ip =
∑
p
ρ 2 dA =
I r
4
∫
A
ρ 2 dA
W
4
=
p
I W
π d
32
p
≈
4
0 .1 d ≈ 0 .2 d
4
=
πD 4
32Leabharlann π d164
4
其中d为圆截 面直径(d,D 为圆环内外径)
Ip = Wp =
πD 3
16
(1 α ) = 0 .1D (1 α ) (1 α ) = 0 .2 D (1 α )
扭 转 切 应 力 计 算
西安航专机械基础教研室 刘 舟
主 要 内 容
工程中承受切应力的构件 扭转内力——扭矩 扭转内力——扭矩 扭转切应力分析与计算
工程中承受切应力的构件
传动轴
工程中承受切应力的构件
工程中承受切应力的构件
破坏形式演示
A
B
扭转时的内力称为扭矩,截面上的扭矩 与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系. 扭矩求解仍然使用截面法
TAB 5×106 τ ABmax = ≈ ≈ 48.83MPa 3 WAB 0.2 ×80
《扭转应力分析》PPT课件
W = N×1000×60 (1)
外力偶矩m所作的功：
W = m2 n
(2)
(1) = (2) 得
N×1000×60 = m 2 n
m 9549 N n
m 7024 N n
N ─ kW
n
─
rpm
m ─ N m
N ─ PS
n
─
rpm
m ─ N m
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
G E
2(1 )
§5-4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系
静力学关系
(D4
d4)
A
d /2
32
D4 (1 4 )
32
Wt
Ip
max
Ip D
2
D3 (1 4 )
16
极惯性矩：
d4
实心圆： I p 32
空心圆：I p
(D4 d 4) 32
D4
32
(1 4 )
抗扭截面模量：
实心圆：
Wt
d3
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
三、剪切胡克定律
CL5TU8
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
扭转切应力分析
• 横截面没有正应力，只有切于截面
的剪应力。— 纯剪切
圆轴扭转时的应力变形特征
A
CA
C'
B
DB
D'
´
圆轴扭转时的应力变形特征 切应力互等定律 y
dy
x
dz
z
dx
圆轴扭转时的应力变形切特应征力互等定律
y
=
dy
x
dz
z
dx
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
得：
由式(9.2.1a) （9.2.2）
9-2 梁弯曲时的切应力
弯曲切应力专题
切应力流
弯曲切应力ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
弯曲中心
向
弯
向
曲
形
中
心
心
简
简
化
化
结
结
果
果
合力
结论与讨论
实心截面梁的弯曲切应力
F
矩 形
max=
3 2
bQh
截
面
结论与讨论
实心截面梁的弯曲切应力
矩 实心截面梁的弯曲切应力误差分析
max C
M x3 WP3
π
16 185.7 353 10-9
Pa
21.98MPa
圆轴扭转时横截面上的切应力例 题
例题三：AB轴传递的 功率为N=7.5KW，转 速n=360r/min。如图 所示，轴AC段为实心 圆截面，CB段为空心 圆截面。已知D=3cm， d=2cm。试计算AC和 CB段的最大与最小剪 应力。
圆轴扭转时横截面上的切应力
反对称分析论证平面保持平面
的剪应力。— 纯剪切
圆轴扭转时的应力变形特征
A
CA
C'
B
DB
D'
´
圆轴扭转时的应力变形特征 切应力互等定律 y
dy
x
dz
z
dx
圆轴扭转时的应力变形切特应征力互等定律
y
=
dy
x
dz
z
dx
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
得：
由式(9.2.1a) （9.2.2）
9-2 梁弯曲时的切应力
弯曲切应力专题
切应力流
弯曲切应力ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
弯曲中心
向
弯
向
曲
形
中
心
心
简
简
化
化
结
结
果
果
合力
结论与讨论
实心截面梁的弯曲切应力
F
矩 形
max=
3 2
bQh
截
面
结论与讨论
实心截面梁的弯曲切应力
矩 实心截面梁的弯曲切应力误差分析
max C
M x3 WP3
π
16 185.7 353 10-9
Pa
21.98MPa
圆轴扭转时横截面上的切应力例 题
例题三：AB轴传递的 功率为N=7.5KW，转 速n=360r/min。如图 所示，轴AC段为实心 圆截面，CB段为空心 圆截面。已知D=3cm， d=2cm。试计算AC和 CB段的最大与最小剪 应力。
圆轴扭转时横截面上的切应力
反对称分析论证平面保持平面
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
扭转应力分析
因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆 截面杆均不适用。
CL5TU20
非圆截面杆在扭转时有两种情形: 1.自由扭转或纯扭转 在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约 束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此 时横截面只有剪应力,而没有正应力。
CL5TU21
2.约束扭转 扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面 翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面 的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正 应力。
[]
刚度条件：
d T [] rad/m
dx GIp
T 180[] GIp
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？ 圆轴的扭转角是原来的16 倍？
maxTlWTt
GIp
T
d3
Tl
16d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
解： 由
5000
d3
30106
16
得d94.7mm
由 5000 1800.5 得d92.4mm
80109
d4
32
例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均 为ｌ，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两 端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与 轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的 最大剪应力。
56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
max
D3
16
T
(14 )
180 103
0.293 16
1
CL5TU20
非圆截面杆在扭转时有两种情形: 1.自由扭转或纯扭转 在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约 束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此 时横截面只有剪应力,而没有正应力。
CL5TU21
2.约束扭转 扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面 翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面 的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正 应力。
[]
刚度条件：
d T [] rad/m
dx GIp
T 180[] GIp
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？ 圆轴的扭转角是原来的16 倍？
maxTlWTt
GIp
T
d3
Tl
16d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
解： 由
5000
d3
30106
16
得d94.7mm
由 5000 1800.5 得d92.4mm
80109
d4
32
例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均 为ｌ，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两 端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与 轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的 最大剪应力。
56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
max
D3
16
T
(14 )
180 103
0.293 16
1
扭转切应力计算
CHAPTER
新材料与新工艺的应用
高强度材料
随着新材料技术的不断发展，高强度材 料在扭转切应力计算中的应用越来越广 泛。这些材料具有更高的强度和刚度， 能够承受更大的扭矩，从而提高结构的 安全性和稳定性。
VS
复合材料
复合材料由多种材料组成，具有优异的力 学性能和化学稳定性。在扭转切应力计算 中，复合材料的应用有助于提高结构的抗 疲劳性能和耐久性，降低维护成本。
扭矩过大导致的结构破坏。
02
建筑结构分析
在建筑设计阶段，扭转切应力计算对于评估高层建筑、大跨度结构等复
杂建筑的稳定性至关重要。通过精确计算，可以优化结构设计，提高建
筑的抗风、抗震能力。
03
施工设备设计
在土木工程施工中，如打桩机、吊车等重型设备的转轴和传动系统需要
进行扭转切应力分析。这有助于确保设备在承受高扭矩时仍能保持稳定
连接件设计
在机械结构中，螺栓、键等连接件在传递扭矩时也会受到扭转切应力的作用。通过计算该 应力，可以确保连接件的强度和稳定性，防止因扭矩过大而导致的连接失效。
土木工程
01
桥梁设计
在土木工程中，桥梁的斜拉索和吊索等关键构件在承受外部扭矩时，需
要进行扭转切应力计算。这有助于确保桥梁的安全性和稳定性，防止因
有限元分析法
总结词
通过建立有限元模型，模拟物体的扭转行为并计算出切应力分布。
详细描述
有限元分析法是一种数值模拟方法，通过将物体离散化为有限个小的单元（即有限元），然后对每个单元进行受 力分析和平衡方程求解，最终得到整个物体的应力分布。这种方法可以处理复杂的结构和非线性材料，但需要建 立准确的有限元模型和进行大量的计算。
实验测量法
总结词
新材料与新工艺的应用
高强度材料
随着新材料技术的不断发展，高强度材 料在扭转切应力计算中的应用越来越广 泛。这些材料具有更高的强度和刚度， 能够承受更大的扭矩，从而提高结构的 安全性和稳定性。
VS
复合材料
复合材料由多种材料组成，具有优异的力 学性能和化学稳定性。在扭转切应力计算 中，复合材料的应用有助于提高结构的抗 疲劳性能和耐久性，降低维护成本。
扭矩过大导致的结构破坏。
02
建筑结构分析
在建筑设计阶段，扭转切应力计算对于评估高层建筑、大跨度结构等复
杂建筑的稳定性至关重要。通过精确计算，可以优化结构设计，提高建
筑的抗风、抗震能力。
03
施工设备设计
在土木工程施工中，如打桩机、吊车等重型设备的转轴和传动系统需要
进行扭转切应力分析。这有助于确保设备在承受高扭矩时仍能保持稳定
连接件设计
在机械结构中，螺栓、键等连接件在传递扭矩时也会受到扭转切应力的作用。通过计算该 应力，可以确保连接件的强度和稳定性，防止因扭矩过大而导致的连接失效。
土木工程
01
桥梁设计
在土木工程中，桥梁的斜拉索和吊索等关键构件在承受外部扭矩时，需
要进行扭转切应力计算。这有助于确保桥梁的安全性和稳定性，防止因
有限元分析法
总结词
通过建立有限元模型，模拟物体的扭转行为并计算出切应力分布。
详细描述
有限元分析法是一种数值模拟方法，通过将物体离散化为有限个小的单元（即有限元），然后对每个单元进行受 力分析和平衡方程求解，最终得到整个物体的应力分布。这种方法可以处理复杂的结构和非线性材料，但需要建 立准确的有限元模型和进行大量的计算。
实验测量法
总结词
《扭转切应力计算》课件
实验目的与意义
01
探究扭转切应力在材料力学行为中的重要性
02
验证理论模型与实际实验结果的符合程度
为工程应用提供实验依据，提高结构安全性与可靠性
03
实验设备与方法
实验设备
扭转试验机、应变测量仪、数据采集系统
实验材料
不同种类和规格的金属材料
实验方法
在扭转试验机上对材料进行扭转，同时测量应变，采集数据并进 行分析。
汽车工程中的应用
发动机输出轴
汽车发动机输出轴在传递扭矩时，会受到扭转切应力的作用。通过对扭转切应 力的精确计算，可以优化发动机输出轴的设计，提高其强度和耐久性。
悬挂系统
汽车悬挂系统中的转向节、悬挂臂等部件在承受扭转载荷时，需要考虑扭转切 应力的影响。合理计算扭转切应力可以确保悬挂系统的可靠性和安全性。
04
扭转切应力的影响因素
材料的影响
材料种类
01
不同材料的机械性质（如弹性模量、泊松比和抗拉强度）会影
响切应力的大小。
材料纯度
02
材料中的杂质和缺陷可能会影响其力学性能，从而影响切应力
。
热处理
03
材料的热处理历史会影响其微观结构和机械性能，进一步影响
切应力。
转速的影响
转速的变化
随着转速的增加，切应力通常会发生 变化。这种变化可能是由于应变速率 和旋转速度引起的动态效应。
机械传动系统
在机械传动系统中，扭转切应力是关键因素之一，它影响着 传动轴、齿轮等部件的强度和稳定性。通过计算扭转切应力 ，可以优化传动系统设计，提高的设计也需要考虑扭转切 应力。通过合理计算和设计，可以确保连接件的强度和稳定 性，防止因扭转切应力过大而导致的断裂或松动。
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§ 5-1、切应力互等定理剪切胡克定理
1、切应力互等定理
y
A dy
z
B
C
哪怎微些样元力才能互能不相平能平衡平衡？衡？？
x
dz dx D
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
y
根据力偶平衡理论
A dy
zB
C
dz dx D
dydzdx dxdzdy
x
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
max
C
M x3 WP3
π
16 185.7 353 10-9
Pa
21.98MPa
扭转切应力
矩形截面杆扭转切应力公式
1 截面翘曲——非圆截面杆扭转时的变形特征
试验结果表明：非圆(正方形、矩形、三角形、椭圆 形等)截面杆扭转时，横截面外周线将改变原来的形 状，并且不再位于同一平面内。杆横截面将不再保 持平面，而发生翘曲。
y
A
C
切应力互等定理
dy
x
z
B
dx D dz
在两个互相垂直的平面上， 切应力必然成对存在，且数值相
等，两者都垂直于两个平面的交
线，方向则共同指向或共同背离
这一交线。
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
2、剪切胡克定律
若在弹性范围内加载，即切应力小于某一极限值时
，对于大多数各向同性材料，切应力与切应变之间存在 线性关系，如下图所示。于是有
材料力学
基础篇(5)
清华大学 范钦珊
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第5章
弹性杆件横截面上的 切应力分析
第5章 弹性杆件横截面 上的切应力分析
切应力互等定律 剪切胡克定律 扭转切应力 弯曲切应力 基于最大切应力的强度计算
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
工程中承受切应力 的构件
工程中承受切应力的构件
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题1
解：
Mx=T=9549
P n
= 9549 7.5 100
实心轴
=716.2 N• m
max=
Mx WP1
=
16 Mx d13
=40 MPa
3
d1=
16 716. 2 =0.045 m=45 mm 40 106
扭转切应力
圆轴扭转时
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
n3＝n1
z1 z3
＝120
36 12
r/min
＝360r/min
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题2
M e N.m
9549
PkW n r / min
3
Mx1=T1=1114 N.m Mx2=T2=557 N.m Mx3=T3=185.7 N.m
空心轴， D2＝46 mm
二轴的横截面面积之比为
d2＝23 mm
A1
d2 1
45
10 3
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题2
3
图示传动机构中，功率从轮B输入，通过锥形齿轮将 其一半传递给铅垂轴C轴，另一半传递给水平轴H轴。
请判断哪一杆件 将发生扭转
工程中承受切应力的构件
请判断哪一杆件 将发生扭转
工程中承受切应力的构件
请判断轴受哪些力 将发生什么变形
工程中承受切应力的构件
请判断哪些截面 将发生剪切
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
两类切应力 扭转切应力 弯曲切应力
第5章 弹性杆件横截面上的切应力分析
A
G
d
dx
dA
M
x
G
d
dx
A 2dA M x
d M x
dx GIP
IP
2dA
A
GIP—扭转刚度
4 切应力表达式
G G d
dx
M x
IP
d M x
dx GIP
4 切应力表达式
G d
dx
为常d数 。
dx
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
1、几何关系
同理，距轴心O为p处柱 面上微元abcd的切应变为：
tan
cc d d
ac dx
dx
2 物性关系 剪切虎克定律
若在弹性范围内加载，即切应力小于某一极 限值时，对于大多数各向同性材料，切应力与切 应变之间存在线性关系，如下图所示。于是有
通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣；
通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
Mx
IP
I P为截面对其中心的极惯性矩； GIP 称为圆轴的扭转刚度。
最大切应力为：
max
M x max
IP
Mx WP
WP
IP
max
Wp 扭转截面系数
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于直径为 d 的实心圆截面
IP
πd 4 32
,
WP
πd 3 16
对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面
横截面上的切应力
例题1
解： 对于空心轴，根据
＝M x
W max P
π
16M x
D3 2
1
4
=4 0MPa
算得
D2
3
π
16 716.2
1－0.44 40 106
m＝0.046
m＝46
mm
d2＝0.5D2=23 mm
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题1
解： 实心轴 d1=45 mm
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
1、几何关系 r
根据平面假定，两轴件间距为 dx的截面相对转角为d ，考察两相 邻横截面之间微元ABCD的变形，扭转
变形后，微元ABCD的切应变为 ：
tan CC Rd R d
AC dx
dx
其中，ddx 为扭转角沿轴线x方向 的变化率，对某一x处的横截面，
剪切胡克定律
G
物性关系与应力分布
G
d
dx
G G d
dx
结论：横截面上各点的切应力与点 到截面中心的距离成正比，即切应 力沿截面的半径呈线性分布。
3 静力学方程
应力分布
静力学方程
()
G
()
G
d
dx
A dA M x
（1）圆筒表面的各圆周线的 形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动；
Me
（2）各纵向线均倾斜了同
一微小角度 ；
（3）所有矩形网格均歪斜 成同样大小的菱形四边形.
x Me dx
扭转切应力
根据圆轴受扭后表面变形特点，作以下假定： 平面假定：变形前横截面为圆形平面，变形后仍
为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了 一个角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。
扭转切应力 矩形截面杆扭转切应力
由平衡直接得到的结论
y、z坐标轴的杆表面均为自由表面，无外力作用。 角点切应力等于零
边缘各点切应力沿切线方向
扭转切应力 矩形截面杆扭转切应力
切应力分布
角点切应力等于零; 边缘各点切应力沿 切线方向; 最大切应力发生在 长边中点.
扭转切应力 矩形截面杆扭转切应力
剪切胡克定律
G
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
圆轴扭转时横截面
上的切应力分析
扭转切应力
研究思路：
变形
几何 关系
应变 分布
物理 关系
应力 平衡 应力 分布 方程 表达式
扭转切应力
圆轴扭转时的变形特征
1.实验前
（1）画纵向线,圆周线; （2）施加一对外力偶.
2.实验后
已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm.
求: 各轴横截面上的最大切应力。
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题2
3
M e N.m
9549
PkW n r / min
解：1、各轴所承受的扭矩
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题2
2、计算最大切应力
max E
M x1 WP1
π
16 1114 703 10-9
Pa
16.54MPa
max H
M x2 WP2
π
16 557 503 10-9
Pa
22.69MPa
π D4 1－ 4
π D3 1－ 4
IP
32
, WP
16
=d/D
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
1、切应力互等定理
y
A dy
z
B
C
哪怎微些样元力才能互能不相平能平衡平衡？衡？？
x
dz dx D
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
y
根据力偶平衡理论
A dy
zB
C
dz dx D
dydzdx dxdzdy
x
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
max
C
M x3 WP3
π
16 185.7 353 10-9
Pa
21.98MPa
扭转切应力
矩形截面杆扭转切应力公式
1 截面翘曲——非圆截面杆扭转时的变形特征
试验结果表明：非圆(正方形、矩形、三角形、椭圆 形等)截面杆扭转时，横截面外周线将改变原来的形 状，并且不再位于同一平面内。杆横截面将不再保 持平面，而发生翘曲。
y
A
C
切应力互等定理
dy
x
z
B
dx D dz
在两个互相垂直的平面上， 切应力必然成对存在，且数值相
等，两者都垂直于两个平面的交
线，方向则共同指向或共同背离
这一交线。
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
2、剪切胡克定律
若在弹性范围内加载，即切应力小于某一极限值时
，对于大多数各向同性材料，切应力与切应变之间存在 线性关系，如下图所示。于是有
材料力学
基础篇(5)
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第5章
弹性杆件横截面上的 切应力分析
第5章 弹性杆件横截面 上的切应力分析
切应力互等定律 剪切胡克定律 扭转切应力 弯曲切应力 基于最大切应力的强度计算
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
工程中承受切应力 的构件
工程中承受切应力的构件
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题1
解：
Mx=T=9549
P n
= 9549 7.5 100
实心轴
=716.2 N• m
max=
Mx WP1
=
16 Mx d13
=40 MPa
3
d1=
16 716. 2 =0.045 m=45 mm 40 106
扭转切应力
圆轴扭转时
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
n3＝n1
z1 z3
＝120
36 12
r/min
＝360r/min
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题2
M e N.m
9549
PkW n r / min
3
Mx1=T1=1114 N.m Mx2=T2=557 N.m Mx3=T3=185.7 N.m
空心轴， D2＝46 mm
二轴的横截面面积之比为
d2＝23 mm
A1
d2 1
45
10 3
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题2
3
图示传动机构中，功率从轮B输入，通过锥形齿轮将 其一半传递给铅垂轴C轴，另一半传递给水平轴H轴。
请判断哪一杆件 将发生扭转
工程中承受切应力的构件
请判断哪一杆件 将发生扭转
工程中承受切应力的构件
请判断轴受哪些力 将发生什么变形
工程中承受切应力的构件
请判断哪些截面 将发生剪切
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
两类切应力 扭转切应力 弯曲切应力
第5章 弹性杆件横截面上的切应力分析
A
G
d
dx
dA
M
x
G
d
dx
A 2dA M x
d M x
dx GIP
IP
2dA
A
GIP—扭转刚度
4 切应力表达式
G G d
dx
M x
IP
d M x
dx GIP
4 切应力表达式
G d
dx
为常d数 。
dx
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
1、几何关系
同理，距轴心O为p处柱 面上微元abcd的切应变为：
tan
cc d d
ac dx
dx
2 物性关系 剪切虎克定律
若在弹性范围内加载，即切应力小于某一极 限值时，对于大多数各向同性材料，切应力与切 应变之间存在线性关系，如下图所示。于是有
通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣；
通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
Mx
IP
I P为截面对其中心的极惯性矩； GIP 称为圆轴的扭转刚度。
最大切应力为：
max
M x max
IP
Mx WP
WP
IP
max
Wp 扭转截面系数
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于直径为 d 的实心圆截面
IP
πd 4 32
,
WP
πd 3 16
对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面
横截面上的切应力
例题1
解： 对于空心轴，根据
＝M x
W max P
π
16M x
D3 2
1
4
=4 0MPa
算得
D2
3
π
16 716.2
1－0.44 40 106
m＝0.046
m＝46
mm
d2＝0.5D2=23 mm
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题1
解： 实心轴 d1=45 mm
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
1、几何关系 r
根据平面假定，两轴件间距为 dx的截面相对转角为d ，考察两相 邻横截面之间微元ABCD的变形，扭转
变形后，微元ABCD的切应变为 ：
tan CC Rd R d
AC dx
dx
其中，ddx 为扭转角沿轴线x方向 的变化率，对某一x处的横截面，
剪切胡克定律
G
物性关系与应力分布
G
d
dx
G G d
dx
结论：横截面上各点的切应力与点 到截面中心的距离成正比，即切应 力沿截面的半径呈线性分布。
3 静力学方程
应力分布
静力学方程
()
G
()
G
d
dx
A dA M x
（1）圆筒表面的各圆周线的 形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动；
Me
（2）各纵向线均倾斜了同
一微小角度 ；
（3）所有矩形网格均歪斜 成同样大小的菱形四边形.
x Me dx
扭转切应力
根据圆轴受扭后表面变形特点，作以下假定： 平面假定：变形前横截面为圆形平面，变形后仍
为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了 一个角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。
扭转切应力 矩形截面杆扭转切应力
由平衡直接得到的结论
y、z坐标轴的杆表面均为自由表面，无外力作用。 角点切应力等于零
边缘各点切应力沿切线方向
扭转切应力 矩形截面杆扭转切应力
切应力分布
角点切应力等于零; 边缘各点切应力沿 切线方向; 最大切应力发生在 长边中点.
扭转切应力 矩形截面杆扭转切应力
剪切胡克定律
G
第5章 弹性杆件横截面上的 切应力分析
圆轴扭转时横截面
上的切应力分析
扭转切应力
研究思路：
变形
几何 关系
应变 分布
物理 关系
应力 平衡 应力 分布 方程 表达式
扭转切应力
圆轴扭转时的变形特征
1.实验前
（1）画纵向线,圆周线; （2）施加一对外力偶.
2.实验后
已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm.
求: 各轴横截面上的最大切应力。
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题2
3
M e N.m
9549
PkW n r / min
解：1、各轴所承受的扭矩
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力
例题2
2、计算最大切应力
max E
M x1 WP1
π
16 1114 703 10-9
Pa
16.54MPa
max H
M x2 WP2
π
16 557 503 10-9
Pa
22.69MPa
π D4 1－ 4
π D3 1－ 4
IP
32
, WP
16
=d/D
扭转切应力
圆轴扭转时
横截面上的切应力