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扭转应力计算

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长方形扭转切应力公式

长方形扭转切应力公式

长方形扭转切应力公式
摘要：
1.长方形扭转切应力的概念
2.长方形扭转切应力公式的推导
3.公式的应用和意义
4.总结
正文：
长方形扭转切应力公式是机械工程领域中一个重要的公式，它用于描述扭转过程中长方形截面上产生的切应力分布。

下面我们将详细介绍长方形扭转切应力的概念、公式的推导、应用和意义。

一、长方形扭转切应力的概念
长方形扭转切应力是指在长方形截面上，由于扭转作用而产生的剪切应力。

当长方形截面绕其中心轴线扭转时，截面上的应力分布呈非均匀状态。

在距离中心轴线越远的地方，切应力越大。

长方形扭转切应力公式可以帮助我们更好地了解这种应力分布规律。

二、长方形扭转切应力公式的推导
长方形扭转切应力公式为：
τ= ω × (t/r)
其中：
τ——切应力（单位：帕）；
ω——角速度（单位：弧度/秒）；
t——截面厚度（单位：米）；
r——距离中心轴线的半径（单位：米）。

通过对该公式的推导，我们可以发现长方形扭转切应力与距离中心轴线的半径成反比，与角速度成正比。

这意味着，在扭转过程中，距离中心轴线越远的地方，切应力越大；角速度越高，切应力也越大。

三、公式的应用和意义
长方形扭转切应力公式在工程领域具有广泛的应用。

通过计算长方形截面上的切应力，我们可以了解零件在扭转过程中的应力分布状况，从而为零件的设计和强度分析提供依据。

此外，该公式还可以用于评估材料的抗扭性能，为材料的选择提供参考。

四、总结
长方形扭转切应力公式是一个重要的力学公式，它描述了扭转过程中长方形截面上切应力的分布规律。

04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式(供参考)

04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式(供参考)

04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（****************），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。

回信请注明班级和学号的后面三位数。

1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究轴向拉压和扭转的应力公式和变形公式。

........................... 2 3 1.1 轴向拉压杆的应力公式推导 ............................................................................................ 2 4 1.2 轴向拉压杆的变形公式推导 ............................................................................................ 4 5 1.3 轴向拉压杆应力公式和变形公式的简要推导 ................................................................ 4 6 1.4 轴向拉压杆的强度条件、刚度条件的建立 .................................................................... 4 7 2.1 扭转轴的应力公式推导 .................................................................................................... 5 8 2.2 扭转轴的变形公式推导 .................................................................................................... 7 9 2.3 扭转轴应力公式和变形公式的简要推导 ........................................................................ 7 10 2.4 扭转的强度条件、刚度条件的建立 ............................................................................ 8 11 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。

剪切和扭转应力

剪切和扭转应力

E G 2(1 )
×
四、等直圆杆扭转横截面上的切应力
o1
o2
a
b
B’
A
D
B
o1
C’
o2
A
D
dB
C B’
b’ d c c’
C
dx ⒈ 变形的几何条件
dx C’
bb' d 横截面上b 点的切应变： dx dx d 其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称单位扭转角
O
D
D 4
32

极惯性矩的单位：m4
×
d D
环形截面： I P

32
(D4 d 4 )
同一截面，扭矩T ，极惯性矩IP 为常量，因此各点切应 力 的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的
半径，且与扭矩的转向一致。


T
max
max
T
实心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。

l
0
T dx GI p
当T 、GIP 为常量时，长为l 一段杆两端面相对扭转角为
Tl GI P
其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。
×
例6
已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，
d=20mm，求最大、最小切应力。 解： max
T T d 4 max Wt 3 D (1 4 ) 16 D 16 1000 43 [1 ( 1 ) 4 ] 2 84 .9 MPa
max 1 40.74 MPa
d
－ ○
×
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 1 2 3 4

圆轴扭转时的应力和强度计算

圆轴扭转时的应力和强度计算

本章结束
延安大学西安创新学院建筑工程系
延安大学西安创新学院建筑工程系
解： 1、计算轴的扭矩T
将轴在离左端任一距离处用截面切开， 取左段为脱离体，画出其受 力图如下图， 由平衡条件可得：T=M
2、校核强度
此轴满足强度要求
延安大学西安创新学院建筑工程系
§6-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算
目的要求：掌握圆轴扭转的变形计算和刚度条 件。
§6-1 圆轴扭转时的应力和强度计算
目的要求：掌握扭转横截面上的应力分 布规律和强度条件的应用。
教学重点：强度条件及其应用。 教学难点：切应力互等定理和剪切胡克
定律。
延安大学西安创新学院建筑工程系
一、 切应力互等定理和剪切胡克定律 １、 切应力互等定理 相互垂直两个平面上的切应力必然成 对存 在，且大小相等、方向都垂直指向 或背离两平面的交线。
延安大学西安创新学院建筑工程系 （３） 指定截面扭矩的计算方法。
延安大学西安创新学院建筑工程系
用一假想的截从要求内力处将 杆件切开 分成两段，取其中的任意一段为研究对 象，画出其受力图，利用平衡方程，求 出 内力（扭矩）
注意：在受力图中，扭矩最好假设成正 方向，如上图。
由力偶平衡得： Me-T=0 即：T=Me
一、 圆轴扭转的概念与实例

1、扭转的概念

杆件的两端受到大小相等、转向相反且作
用平面直垂于杆轴线的力偶的作用，致使杆件
各横截面都绕杆轴线发生相对转动，杆件表面
的纵向线将变成螺旋线。

2、扭转的受力特点：受一对等值、反向、
作用面在横截面内的力偶作用时，圆轴产生扭
转变形。

3、圆轴扭转的变形特点：各横截面绕杆

扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)

扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6


MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa

max
Tmax
Tmax


WP
D23 1 4 16


6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax

[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁

轴的扭转-应力,强度

轴的扭转-应力,强度

T
T Ip
式中 T——所求切应力点的横截面 上的扭矩
B
B' dA

R O
max

——所求切应力点到圆心的距离
Ip=A2dA——横截面对圆心O的极惯性矩
注意：切应力公式的适用范围：max ≤p
3.最大切应力
T
max
即
TR Ip
B
B' dA

R O
T max Wp
´
上述公式可得到如下结论。
0
0
0 0 , 0 max
45 min , 45 0
45 max , 45 0
450
450 0 90
90 0 , 90 max
取 d = 29.7 mm。
可见：此轴的直径是由刚度条件控制的
155 N . m
圆轴扭转斜面上的应力
为什么研究斜截面应力？ ☆ ☆ 逻辑上，正截面——斜截面 实际上，见下面的实验结果，原因？
扭转轴的破坏（想一想：为什么这样？）
途径：1、仿正截面过程；2、用正截面推导斜截面应力
《应力状态理论》对于
2.应力公式推导 (1) 变形几何方面 取微段dx研究
Me
p
q
Me

x A p dx
T p

B q
O

x
d (1) tg dx d ——单位长度扭转角 式中 dx
即：
q R O2 B' d B C' C q dx
T

A
O1 A'

对给定的截面，与成正比

材料力学弯矩扭矩计算公式

材料力学弯矩扭矩计算公式
1.弯矩计算公式：弯矩是指杆件在外力作用下沿截面法向产生的力矩，计算公式为M = Fd，其中M为弯矩，F为外力，d为距离。

2. 扭矩计算公式：扭矩是指杆件在外力作用下沿轴线方向产生的力矩，计算公式为T = Fr，其中T为扭矩，F为外力，r为杆件半径。

3. 弯曲应力计算公式：在杆件弯曲时，截面产生的应力为弯曲应力，计算公式为σ = Mc/I，其中σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中心到最外纤维的距离，I为截面惯性矩。

4. 扭转应力计算公式：在杆件扭转时，截面产生的应力为扭转应力，计算公式为τ = Tr/J，其中τ为扭转应力，T为扭矩，r为杆件半径，J为极惯性矩。

通过以上公式的计算，可以得出材料在弯矩和扭矩作用下产生的应力及变形情况，为材料力学相关设计和研究提供了理论依据。

- 1 -。

扭转切应力计算


研究内容：包括材 料选择、加工方法、 加工参数等
发展趋势：智能 化、自动化、绿 色化
应用领域：航空 航天、汽车制造、 建筑工程等
复杂环境下的切应 力计算方法
复杂环境下的切应 力分析方法
复杂环境下的切应 力预测方法
复杂环境下的切应 力控制方法
感谢您的观看
汇报人：
材料的性能测试：通过 测试材料的性能验证材 料的选用和加工工艺的 制定是否合理
扭转切应力的实验 测定
添加项标题
扭转切应力实验台：用于施加扭转切应力
添加项标题
应变片：用于测量应变
ห้องสมุดไป่ตู้添加项标题
温度控制系统：用于控制实验温度
添加项标题
数据采集系统：用于采集实验数据
添加项标题
实验步骤：准备试样、安装试样、施加扭转切应力、测量应变、记录数据、分析数据
截面材料对扭转 切应力也有影响 如高强度材料比 低强度材料扭转 切应力小
材料性质：材料的 弹性模量、剪切模 量等
截面形状：圆形、 方形、矩形等不同 截面形状的影响
截面尺寸：直径、 宽度、厚度等尺寸 对扭矩的影响
加载方式：轴向加 载、径向加载、切 向加载等不同加载 方式的影响
温度：温度升高会 导致材料强度降低 从而影响扭转切应 力
研究新型材料的力学性能如强度、刚度、韧性等 研究新型材料的疲劳性能如疲劳寿命、疲劳强度等 研究新型材料的耐腐蚀性能如耐酸、耐碱、耐盐等 研究新型材料的耐磨性能如耐磨性、耐磨寿命等 研究新型材料的热性能如导热系数、热膨胀系数等 研究新型材料的电磁性能如导电性、磁导率等
研究目的：提高 高强度材料的加 工效率和精度
扭转切应力计算
汇报人：
目录
扭转切应力的概念

扭转应力计算


C 轴： T 3 M 3 95 n P 3 3 4 9 95 3 7 4 6 1 9 0 .8 7 (N 5 m )
2、求各轴横截面上的最大切应力：
E 轴：
Ema xW TP 1110.2 1 1 7 14 3 0 3 01.6 2(4 MP ) a
H 轴：
Hma xW TP 225 0.25 5 1 73 3 0 02.2 2(8 MP ) a
解： Mx=T=9549
P n
= 9549 7.5 100
=716.2 N.m
max=
Mx Wp1
=
16 Mx d13
=40 MPa
3
d1=
16 716. 2 =0.045 m=45 mm 40 106
26
圆轴扭转时横截面上的切应力例题
Mx
16 Mx
max=
Wp2
=
=40 MPa
D23(1- 4)
扭转切应力计算
刘舟
1
主要内容
工程中承受切应力的构件 扭转内力——扭矩 扭转切应力分析与计算
2
工程中承受切应力的构件
传动轴
3
工程中承受切应力的构件
4
工程中承受切应力的构件
破坏形式演示 A
B
5
➢扭转时的内力称为扭矩，截面上的扭矩 与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。 ➢扭矩求解仍然使用截面法
扭转切应力由扭矩产生
解：
扭矩图如左：
TAB=-5kN.m; TBC=-1.8kN.m 根据切应力计算 公式
Am B axW TA AB B0.2 5 1863004.88M 3 Pa BC maxW TB BC C01.2.85130607M 2 Pa

材料力学课件：扭转应力

上堂课主要内容回顾
轴向拉压杆横截面、斜截面上的应力
分布规律——内力沿横截面、斜截面均匀分布
1.横截面应力的计算公式： F
FN
FN
A
2.斜截面应力的计算公式：
F
p FN
p
FN A
F A
cos
F cos cos
A
上堂课主要内容回顾 1.横截面应力的计算公式： F
FN
FN
A 2.斜截面应力的计算公式：
结论： 横截面上 e= 0
s =0
g¹
t ¹0
t
根据对称性切应力沿0 圆周均匀分布
r0
t r0, 可认为切应力沿壁厚均匀分布
方向垂直于其半径方向 ???
§ 4 . 3 扭转
3. 横截面上切应力的计算公式
dA
r0
d
r0 dA T
A
2
dA t r0d
r0 t r0d T
0
r0 2 r0t T
试校核支架强度.
解: 1.内力分析
FN
F
sin
32 22 2
50 90.1kN（压）
BC
FN AB FNBC cos
3
90.1 75kN
32 22
（拉）
2.强度条件
木
FN BC a2
90.1103
0.12
9.01MPa [ ]木
钢
FN AB
d2 /4
75103 4
0.0252
dx dx
tg dd d
dx dx
§ 4 . 3 扭转
d
dx
d dx－扭转角变化率
2）物理条件：由应变的变化规律→应力的分布规律
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T3
M3
9549
P3 n3
9549
7 360
185 .7(N m)
2、求各轴横截面上的最大切应力：
E 轴：
Emax

T1 WP1

1114103 0.2 703
16.24(MPa)
H 轴：
H max
T2 WP2

557103 0.2 503
22.28(MPa)
解： Mx=T=9549
P n
= 9549 7.5 100
=716.2 N.m
max=
Mx Wp1
=
16 Mx d13
=40 MPa
3
d1=
16 716. 2 =0.045 m=45 mm 40 106
圆轴扭转时横截面上的切应力例题
Mx
16 Mx
max=
Wp2
=
=40 MPa
应力计算例1
如图所示,已知： M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm, BC=50mm,G=80GPa。求此轴的 最大切应力
解：
扭矩图如左：
TAB=-5kN.m; TBC=-1.8kN.m 根据切应力计算 公式
ABmax

应分力析. ：
此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横 截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。
由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分 别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW. E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出 C轴的转速为：n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min
TAB WAB

5106 0.2803

48.83MPa

BC max

TBC WBC

1.8 106 0.2 503
72MPa
应力计算例2
在图示传动机构中，功率从B轮输 入，再通过锥齿轮将一半传递给铅 垂轴C，另一半传递给水平轴H。 若已知输入功率P1=14kW，水平 轴E和H的转速n1=n2=120r/min， 锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36， z2=12，图中d1=70, d2=50, d3=35.求各轴横截面上的最大切
E 轴：
C max
T3 WP3
185.7103 0.2 353
21.66(MPa)
圆轴扭转时横截面上的切应力例题3
已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝40MPa, 空心圆轴的内外径之比 = 0.5。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。
圆轴扭转时横截面上的切应力例题
d ＝ Mx
dx GIp
Ip=A 2 dA
GIp—扭转刚度
Ip —截面的极惯性矩
圆轴扭转时横截面上的切应力
切应力公式
()＝Mx
Ip
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
当 ＝ max 时， ＝ max
max=
Mx
Wp
Wp=
Ip
max
Wp 扭转截面系数
1 4
0.2D3 1 4
其中d为圆截
面直径（d、
D为圆环内外
径）


d D
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
=d / D
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于实心圆截面
Ip＝
d
32
4
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
Wp=
D
16
3
(Leabharlann 1-4)=d / D
D23(1- 4)
16 716.2 D2 = (1- 0.5 4) 40 106=0.045 m=45 mm
d 2 = 0.5D2=23 mm
A1 A2
d12
= D22(1- 2)
=1.28
小结
➢切应力分布 ➢切应力的计算 ➢截面图形的几何性质
扭转圆轴的切应力计算公式：


T Ip

最大切应力公式
扭转圆轴的横截面 上切应力分布规律
max

T Wp
作业
P270
15-10
❖ 各横截面半径不变，所以剪 应力方向与截面径向垂直
设距离轴线为处 的切应变为()， 由几何关系得到：
( )dx d
( ) d dx
物理关系与应力分布
剪切胡克定律
＝G
物理关系与应力分布
＝G ＝G d
dx
静力学方程

A


()dA=Mx
切应力公式
截面图形的几何性质
• 极惯性矩Ｉp
I p
2dA 2dA A
扭转截面系数Ｗp
Wp

Ip r
Ip
d 4 32
0.1d 4
Wp
d 4 16
0.2d 4
I p
D4 32
1 4
0.1D4 1 4
Wp
D3 16
扭转切应力计算
西安航专机械基础教研室 刘舟
主要内容
工程中承受切应力的构件 扭转内力——扭矩 扭转切应力分析与计算
工程中承受切应力的构件
传动轴
工程中承受切应力的构件
工程中承受切应力的构件
破坏形式演示 A
B
➢扭转时的内力称为扭矩，截面上的扭矩 与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。 ➢扭矩求解仍然使用截面法
变形特征
扭转后圆截面保 持为圆平面，
原半径直线仍保 持为直线
• 平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为
平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之
间的距离保持不变，横截面半径仍为直线
推断结论：
❖ 横截面上各点无轴向变形， 故横截面上没有正应力。
❖ 横截面绕轴线发生了旋转式 的相对错动，故横截面上有 剪应力存在。
再通过公式：
M 9549W n
可以求得各轴所 受到的外力矩
M1 M2 M3
例2（续）
解：
1、求各轴横截面上的扭矩：
E 轴： H 轴： C 轴：
T1
M1
9549
P1 n1
9549 14 120
1114 ( N m)
T2
M2
9549
P2 n2
9549 7 120
557 ( N m)
2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，
即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图
a)、b)、c);均有∑Mx=0 得：
T1+MB=0
T1=-MB= -350N.m
MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m
MD-T3=0
T3=MD=446N.m
扭转切应力分析
圆轴扭转时的变形特征 圆轴扭转时横截面上的切应力分析
扭转切应力由扭矩产生
扭矩正负规定：右手法则
外力偶矩与功率和转速的关系
P(kW) T=9549n(r/min)(N.m)
扭矩和扭矩图
主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为 PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试传动轴指 定截面的扭矩
解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m