扭转应力计算

设距离轴线为ρ 设距离轴线为ρ处 的切应变为γ 的切应变为γ(ρ)， 由几何关系得到： 由几何关系得到：
γ( ρ )dx = ρd
d γ( ρ ) = ρ dx
物理关系与应力分布
剪切胡克定律
τ＝ G γ
物理关系与应力分布
d τ＝G γ ＝G ρ dx
静力学方程
ρ τ (ρ)dA=Mx ∫
A
切应力公式
Wp 扭转截面系数
截面图形的几何性质
极惯性矩Ｉp
扭转截面系数Ｗp
=
p
Ip =
∑
p
ρ 2 dA =
I r
4
∫
A
ρ 2 dA
W
4
=
p
I W
π d
32
p
≈
4
0 .1 d ≈ 0 .2 d
4
=
πD 4
32
π d
16
4
4
其中d为圆截 面直径（d、D 为圆环内外径）
Ip = Wp =
πD 3
16
(1 α ) = 0 .1D (1 α ) (1 α ) = 0 .2 D (1 α )
扭转切应力由扭矩产生
扭矩正负规定：右手法则
外力偶矩与功率和转速的关系
P(kW) T=9549 (N.m) n(r/min)
扭矩和扭矩图
主动轮A的输入功率P =36kW，从动轮B 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为 PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试传动轴指 =11kW， =14kW，轴的转速n=300r/min.试传动轴指 定截面的扭矩
圆轴扭转时横截面上的切应力例题3 圆轴扭转时横截面上的切应力
已知： ＝ 已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力[τ]＝40MPa, 许用切应力[τ] 许用切应力[τ]＝ 空心圆轴的内外径之比 α = 0.5。 。 实心轴的直径d 和空心轴的外径D 求: 实心轴的直径 1和空心轴的外径 2。
4 4 3 4
α=
d D
对于圆环截面
Ip＝ 32
πD 4 ( 1-α 4 ) α
α=d / D
截面的极惯性矩与扭转截面系数 截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于实心圆截面
Ip＝ 32
πd
4
Wp=
πd 3
16
对于圆环截面
πD ( 1-α 4 ) α I p＝
4
32
Wp=
πD 3
16
( 1-α 4 ) α
α=d / D
应力计算例1 应力计算例1
如图所示,已知： M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm; AB=200mm;BC=250mm,ΦAB=80mm, ΦBC=50mm,G=80GPa。求此轴的 最大切应力 解：
扭矩图如左： TAB=-5kN.m; TBC=-1.8kN.m 根据切应力计算 公式
扭转圆轴的切应力计算公式：
τ
T ρ I p
ρ
=
最大切应力公式
τ max
T = Wp
扭转圆轴的横截面 上切应力分布规律
作业
P270 15-10 15-
解：1) 1)由扭矩、功率、转速关系式求得 1) MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m 2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩， 2) 即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图 a)、b)、c);均有∑Mx=0 得： T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m
扭转切应力分析
圆轴扭转时的变形特征 圆轴扭转时横截面上的切应力分析
变形特征
扭转后圆截面保 持为圆平面， 持为圆平面， 原半径直线仍保 持为直线
平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为
平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之 间的距离保持不变，横截面半径仍为直线
推断结论：
横截面上各点无轴向变形， 故横截面上没有正应力。 横截面绕轴线发生了旋转式 的相对错动，故横截面上有 剪应力存在。 各横截面半径不变，所以剪 应力方向与截面径向垂直
扭 转 切 应 力 计 算
西安航专机械基础教研室 刘 舟
主 要 内 容
工程中承受切应力的构件 扭转内力——扭矩 扭转内力——扭矩 扭转切应力分析与计算
工程中承受切应力的构件
传动轴
工程中承受切应力的构件
工程中承受切应力的构件
破坏形式演示
A
B
扭转时的内力称为扭矩，截面上的扭矩 与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。 扭矩求解仍然使用截面法
τmax=
Mx Wp2 = =40 MPa π D23(1- α 4) 16 Mx
16 ×716.2 D2 = =0.045 m=45 mm 4) × 40 × 106 π (1- 0.5 d 2 =0.5D2=23 mm A1 = D 2(1- α 2) =1.28 A2 2 d12
小 结
切应力分布 切应力的计算 截面图形的几何性质
2
பைடு நூலகம்
3
P3 7 = 9549 ≈ 185 . 7 ( N m ) n3 360
2、求各轴横截面上的最大切应力： E 轴： H 轴： E 轴：
τ E max τ H max τ C max
T1 1114 × 10 3 = = ≈ 16 . 24 ( MPa ) 3 W P1 0 . 2 × 70 T2 557 × 10 3 = = ≈ 22 . 28 ( MPa ) 3 WP2 0 . 2 × 50 T3 185 .7 × 10 3 = = ≈ 21 .66 ( MPa ) WP3 0 .2 × 35 3
TAB 5×106 τ ABmax = ≈ ≈ 48.83MPa 3 WAB 0.2 ×80
TBC 1.8 ×106 τ BC max = = ≈ 72MPa 3 WBC 0.2 × 50
应力计算例2 应力计算例2
在图示传动机构中，功率从B轮输 入，再通过锥齿轮将一半传递给铅 垂轴C，另一半传递给水平轴H。 若已知输入功率P1=14kW，水平轴E 和H的转速n1=n2=120r/min，锥齿 轮A和D的齿数分别为z1=36，z2=12， 图中d1=70, d2=50, d3=35.求各轴 横截面上的最大切应力.
M = 9549 W n
M1 M2 M3
例2（续）
解： 1、求各轴横截面上的扭矩： E 轴： H 轴： C 轴：
T1 = M T2 = M T3 = M
1
= 9549 = 9549 = 9549
P1 14 = 9549 n1 120 P2 7 = 9549 n2 120
≈ 1114 ( N m ) ≈ 557 ( N m )
分析：
此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横 截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。 由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分 别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW. E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出 C轴的转速为：n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min 再通过公式： 可以求得各轴所 受到的外力矩
Mx d ＝ dx GIp
Ip=∫ A
2 dA ρ
GIp—扭转刚度
Ip —截面的极惯性矩
圆轴扭转时横截面上的切应力
切应力公式
τ
Mxρ (ρ)＝ Ip
圆轴扭转时横截面上的最大切应力 圆轴扭转时横截面上的最大切应力
当 ρ ＝ ρ max 时，τ ＝ τ max
τ max=
Mx
Wp
Wp=
ρ max
Ip
圆轴扭转时横截面上的切应力例题
P 7.5 解： Mx=T=9549 = 9549 × n 100
=716.2 N.m
Mx 16 Mx τmax= = =40 MPa 3 Wp1 π d1
3
d 1=
16 ×716. 2 =0.045 m=45 mm π × 40 × 106
圆轴扭转时横截面上的切应力例题