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小学数学奥数解题技巧
44、几何图形的计数
【点与线的计数】
例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图
中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？
（全国第二届“华杯赛”决赛试题）
讲析：可用“分组对应法”来计数。
将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。
第一排三角形有1个，其下行线有2点；
第二排三角形有3个，其下行线有3点；
第三排三角形有5个，其下行线有4点；
以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。
所以是小三角形个数多。
1。
《数图形的学问》讲义在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要数图形的情况。
比如，数一数一个几何图形中有多少个三角形、多少个正方形等等。
这看似简单的任务，其实蕴含着不少学问。
今天，就让我们一起来深入探讨数图形的方法和技巧。
一、数线段我们先从最简单的线段开始。
假设有一条直线上有若干个点，要数出共有多少条线段。
例如，直线上有 A、B、C、D 四个点。
我们可以从第一个点 A 开始，依次与后面的点连接，得到线段 AB、AC、AD；接着从第二个点B 开始，与后面的点连接，得到线段BC、BD；再从第三个点C 开始，与后面的点连接，得到线段 CD。
这样，我们一共数出了 6 条线段。
通过这个例子，我们可以总结出数线段的规律：如果直线上有 n 个点，那么线段的总数就是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋（n 1) 。
二、数角接下来看看角的数量怎么数。
例如，有一个顶点 O，引出了若干条射线。
我们可以先固定一条射线 OA，然后依次与其他射线组成角，有∠AOB、∠AOC、∠AOD……；再固定射线 OB，与后面的射线组成角，有∠BOC、∠BOD……以此类推。
总结数角的规律和数线段类似，如果有 n 条射线，角的总数也是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋（n 1) 。
三、数三角形再复杂一点，我们来数三角形。
比如，有一个大三角形被若干条线段分割成了多个小三角形。
我们可以先数单独的小三角形个数，然后再数由两个小三角形组成的较大三角形个数，接着数由三个小三角形组成的更大三角形个数……以此类推，最后把所有的个数相加。
还有一种方法是，如果大三角形的底边被分成了 n 段，那么三角形的总数就是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n 。
四、数长方形在一个大长方形中，有许多小长方形。
我们可以先数一行有多少个小长方形，再数有多少行，然后将两者相乘。
或者，先数单个的小长方形个数，再数由两个小长方形组成的长方形个数，然后是由三个小长方形组成的长方形个数……最后相加。
学员：年级：四年级吧课时数：2小时辅导类型：拔高型辅导科目：数学学科教师：课题奥数题授课时间教材区域小四数学〔下册〕学习目标1、图形的计数问题；2、几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养思维的有序性和良好的学习习惯。
学员授课过程一、典例剖析：例〔1〕数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个〔即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB〕，然后是包含有3个基本角组成的角有2个〔即∠AOC3、∠C1OB〕，最后是包含有4个基本角组成的角有1个〔即∠AOB〕，所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10〔个〕解：4＋3＋2＋1＝10〔个〕答：图中总共有10个角。
练一练：数一数右图中总共有多少个角？例〔2 〕数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔条〕.②要数有多少个三角形，先看在△△AGH中共有三角形4+3+2+1=10〔个〕.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔个〕解：：①在△ABC中共有线段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔条〕②在△ABC中共有三角形是：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔个〕答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
第9讲图形计数知识要点几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了。
实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法--枚举法，具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时，不重复不遗漏。
在列举时要学会总结规律。
精典例题例1:数一数图中图形的个数。
（1）（2）（3）模仿练习1.数一数下图图形的个数。
可以从最小的图形入手，寻找规律。
例2:下图中分别有几个长方形 、正方形？模仿练习1.下图中各有几个长方形。
2.在6×5的方格中，共有多少个正方形？长方形和正方形都可以转化成数线的问题解决B AC D例3:下面的图形中有多少个三角形？（第九届中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛试题）三角形很多，可以尝试按三角形的方向和大小尝试分类数。
模仿练习数一数图中三角形的个数。
精典例题例4:从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大陆，铁路局要为这次快车准备多少种不同车票？这些车票中有多少种不同的票价？可以用线段图来表示车站，要考虑往返的情况。
模仿练习从武汉到深圳，除起点站和终点站外还有7个中间站。
如果你是从武汉到深圳的列车长。
那么，你认为从武汉到深圳，铁路站要为这趟列车准备多少种车票才合适？家庭作业1.下图共有几个三角形?2.下图中各有多少个正方形？3.下图共有几个长方形?4.下图共有几个三角形?5.在5×7的方格中，共有多少个正方形？6.成都到达州的某次列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？。
小学数学奥数讲义计数专题几何计数小学数学奥数讲义计数专题几何计数在小学数学的教学中，奥数讲义是一本非常重要的学习资料。
其中计数专题是数学学习的基础，也是几何计数的重要内容之一。
本文将对小学数学奥数讲义中的几何计数进行详细介绍。
一、几何计数的概念几何计数是指通过观察几何形状，根据一定的规律和方法进行计数的过程。
它主要包括图形的边数、顶点数和对称性等方面的计数。
二、图形的边数的计数计算图形的边数是几何计数的重要内容之一。
对于任何一条直线，它没有边，因为它是无限长的。
对于一个封闭的图形，它的边数等于它的边界线的线段数。
例如，一个三角形有三条边，一个正方形有四条边。
三、图形的顶点数的计数计算图形的顶点数也是几何计数的重要内容之一。
顶点是指图形的两条边交汇的点。
对于一个封闭图形，它的顶点数等于它的边界线上的交点数加上中心点（如果存在的话）。
例如，一个三角形有三个顶点，一个正方形有四个顶点。
四、图形的对称性的计数计算图形的对称性也是几何计数中的重要内容。
对称性是指图形的某一部分与另一部分关于某个轴线对称，这个轴线称为对称轴。
对称轴的数量可以通过观察图形的特点来确定。
例如，一个正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和两条垂直于边的中垂线。
五、实例演示为了更好地理解几何计数的概念和方法，我们举一个实例来演示。
假设有一个五角星形的图形，我们来计算它的边数、顶点数和对称性。
首先，观察图形，我们可以看到它有五条边，所以边数为5。
接下来，我们继续观察图形，可以看到它有五个顶点，所以顶点数为5。
最后，我们观察图形的对称性。
五角星形图形有五条对称轴，分别是五条连结顶点的线段。
六、总结通过以上的介绍和实例演示，我们了解了几何计数在小学数学奥数讲义中的重要性。
几何计数包括图形的边数、顶点数和对称性等内容，通过观察和计数，我们可以更深入地理解图形的特点和性质。
在小学数学教学中，几何计数是培养学生观察、分析和计算能力的一种重要方法。
一、图形计数
要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
例1、数出下图中有多少条线段？
巩固、数出下图中有几个长方形？
例2、数出图中有几个角？
D A B
C O
D C
B
A
巩固、数出图中有几个角？
例3、数出下图中共有多少个三角形？
巩固、数出图中共有多少个三角形？
例4、数出下图中有多少个长方形？
O C B A
P
C B A K G I H G F E A
D C B A
巩固、数出下图中有多少个正方形？
课后练习：
1、数出下图中有多少条线段？
2、数出图中有几个角？
E
A B C D E D
O
C B A
3、数出图中共有多少个三角形？
4、数出下图中有多少个长方形？
A
B A D
C B A。
44、几何图形的计数
【点与线的计数】
例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？
（全国第二届“华杯赛”决赛试题）
讲析：可用“分组对应法”来计数。
将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。
第一排三角形有1个，其下行线有2点；
第二排三角形有3个，其下行线有3点；
第三排三角形有5个，其下行线有4点；
以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。
所以是小三角形个数多。
例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。
以这些点为顶点可以组成多少个三角形？
（如图5.46）
（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）
讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。
直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。
以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。
同理，m上4个点可以组成6条线段。
以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。
所以，一共可以组成70个三角形。
【长方形与三角形的计数】
例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。
在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）
为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。
①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；
②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。
所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。
例2 图5.48中共有______个三角形。
（《现代小学数学》）邀请赛试题）
讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；
以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；
以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。
所以，一共有15个三角形。
例3 图5.49中共有______个正方形。
（《现代小学数学》邀请赛试题）
讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个正方形。
图5.50（1）中，正方形个数是6×3＋5×2＋4×1=32（个）；
图5.50（2）中，正方形个数是4×4+3×3+2×2＋1×1=30（个）
如果把图5.49中的图形，分成5×6和4×11两个长方形，则：
5×6的长方形中共有正方形
5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（个）；
4×11的长方形中共有正方形
4×11+3×10+2×9＋1×8=100（个）。
两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形
4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（个）。
所以，原图中共有正方形70＋100-40=130（个）。
例4 平面上有16个点，排成一个正方形。
每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51（1）]，每个点上钉上钉子。
以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成______个正方形。
（《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题）
讲析：能围成图5.51（2）的正方形共14（个）；
能围成图5.51（3）的正方形共2（个）；
能围成图5.51（4）的正方形共4（个）。
所以，一共可围成正方形20个。
【立体图形的计数】
例1 用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图5.52）。
那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_______。
（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：本题要注意不能重复计数。
八个顶点上各有一个黑色正方体，共8个；
每条棱的中间有一个黑色正方体，共12个；
除上面两种情况之外，每个面有5个黑色正方体，共5×6=30（个）。
所以，总共有50个黑色正方体露在表面上。
例2 把1个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。
如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成______个小正方体。
（北京市第九届“迎春杯’小学数学竞赛试题）
讲析：若分成｜×××｜的小正方体，则共可分成27个。
但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。
则在开始的时候，可分出一个2×2×2的正方体（如图5.53），余下的都只能分成1×1×1的正方体了。
所以，最少可分成20个小正方体。
