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小学数学奥数解题技巧
44、几何图形的计数
【点与线的计数】
例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图
中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？
（全国第二届“华杯赛”决赛试题）
讲析：可用“分组对应法”来计数。
将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。
第一排三角形有1个，其下行线有2点；
第二排三角形有3个，其下行线有3点；
第三排三角形有5个，其下行线有4点；
以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。
所以是小三角形个数多。
1。
《数图形的学问》讲义在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要数图形的情况。
比如，数一数一个几何图形中有多少个三角形、多少个正方形等等。
这看似简单的任务，其实蕴含着不少学问。
今天，就让我们一起来深入探讨数图形的方法和技巧。
一、数线段我们先从最简单的线段开始。
假设有一条直线上有若干个点，要数出共有多少条线段。
例如，直线上有 A、B、C、D 四个点。
我们可以从第一个点 A 开始，依次与后面的点连接，得到线段 AB、AC、AD；接着从第二个点B 开始，与后面的点连接，得到线段BC、BD；再从第三个点C 开始，与后面的点连接，得到线段 CD。
这样，我们一共数出了 6 条线段。
通过这个例子，我们可以总结出数线段的规律：如果直线上有 n 个点，那么线段的总数就是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋（n 1) 。
二、数角接下来看看角的数量怎么数。
例如，有一个顶点 O，引出了若干条射线。
我们可以先固定一条射线 OA，然后依次与其他射线组成角，有∠AOB、∠AOC、∠AOD……；再固定射线 OB，与后面的射线组成角，有∠BOC、∠BOD……以此类推。
总结数角的规律和数线段类似，如果有 n 条射线，角的总数也是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋（n 1) 。
三、数三角形再复杂一点，我们来数三角形。
比如，有一个大三角形被若干条线段分割成了多个小三角形。
我们可以先数单独的小三角形个数，然后再数由两个小三角形组成的较大三角形个数，接着数由三个小三角形组成的更大三角形个数……以此类推，最后把所有的个数相加。
还有一种方法是，如果大三角形的底边被分成了 n 段，那么三角形的总数就是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n 。
四、数长方形在一个大长方形中，有许多小长方形。
我们可以先数一行有多少个小长方形，再数有多少行，然后将两者相乘。
或者，先数单个的小长方形个数，再数由两个小长方形组成的长方形个数，然后是由三个小长方形组成的长方形个数……最后相加。
学员：年级：四年级吧课时数：2小时辅导类型：拔高型辅导科目：数学学科教师：课题奥数题授课时间教材区域小四数学〔下册〕学习目标1、图形的计数问题；2、几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养思维的有序性和良好的学习习惯。
学员授课过程一、典例剖析：例〔1〕数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个〔即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB〕，然后是包含有3个基本角组成的角有2个〔即∠AOC3、∠C1OB〕，最后是包含有4个基本角组成的角有1个〔即∠AOB〕，所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10〔个〕解：4＋3＋2＋1＝10〔个〕答：图中总共有10个角。
练一练：数一数右图中总共有多少个角？例〔2 〕数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔条〕.②要数有多少个三角形，先看在△△AGH中共有三角形4+3+2+1=10〔个〕.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔个〕解：：①在△ABC中共有线段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔条〕②在△ABC中共有三角形是：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔个〕答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
第9讲图形计数知识要点几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了。
实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法--枚举法，具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时，不重复不遗漏。
在列举时要学会总结规律。
精典例题例1:数一数图中图形的个数。
（1）（2）（3）模仿练习1.数一数下图图形的个数。
可以从最小的图形入手，寻找规律。
例2:下图中分别有几个长方形 、正方形？模仿练习1.下图中各有几个长方形。
2.在6×5的方格中，共有多少个正方形？长方形和正方形都可以转化成数线的问题解决B AC D例3:下面的图形中有多少个三角形？（第九届中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛试题）三角形很多，可以尝试按三角形的方向和大小尝试分类数。
模仿练习数一数图中三角形的个数。
精典例题例4:从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大陆，铁路局要为这次快车准备多少种不同车票？这些车票中有多少种不同的票价？可以用线段图来表示车站，要考虑往返的情况。
模仿练习从武汉到深圳，除起点站和终点站外还有7个中间站。
如果你是从武汉到深圳的列车长。
那么，你认为从武汉到深圳，铁路站要为这趟列车准备多少种车票才合适？家庭作业1.下图共有几个三角形?2.下图中各有多少个正方形？3.下图共有几个长方形?4.下图共有几个三角形?5.在5×7的方格中，共有多少个正方形？6.成都到达州的某次列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？。
小学数学奥数讲义计数专题几何计数小学数学奥数讲义计数专题几何计数在小学数学的教学中，奥数讲义是一本非常重要的学习资料。
其中计数专题是数学学习的基础，也是几何计数的重要内容之一。
本文将对小学数学奥数讲义中的几何计数进行详细介绍。
一、几何计数的概念几何计数是指通过观察几何形状，根据一定的规律和方法进行计数的过程。
它主要包括图形的边数、顶点数和对称性等方面的计数。
二、图形的边数的计数计算图形的边数是几何计数的重要内容之一。
对于任何一条直线，它没有边，因为它是无限长的。
对于一个封闭的图形，它的边数等于它的边界线的线段数。
例如，一个三角形有三条边，一个正方形有四条边。
三、图形的顶点数的计数计算图形的顶点数也是几何计数的重要内容之一。
顶点是指图形的两条边交汇的点。
对于一个封闭图形，它的顶点数等于它的边界线上的交点数加上中心点（如果存在的话）。
例如，一个三角形有三个顶点，一个正方形有四个顶点。
四、图形的对称性的计数计算图形的对称性也是几何计数中的重要内容。
对称性是指图形的某一部分与另一部分关于某个轴线对称，这个轴线称为对称轴。
对称轴的数量可以通过观察图形的特点来确定。
例如，一个正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和两条垂直于边的中垂线。
五、实例演示为了更好地理解几何计数的概念和方法，我们举一个实例来演示。
假设有一个五角星形的图形，我们来计算它的边数、顶点数和对称性。
首先，观察图形，我们可以看到它有五条边，所以边数为5。
接下来，我们继续观察图形，可以看到它有五个顶点，所以顶点数为5。
最后，我们观察图形的对称性。
五角星形图形有五条对称轴，分别是五条连结顶点的线段。
六、总结通过以上的介绍和实例演示，我们了解了几何计数在小学数学奥数讲义中的重要性。
几何计数包括图形的边数、顶点数和对称性等内容，通过观察和计数，我们可以更深入地理解图形的特点和性质。
在小学数学教学中，几何计数是培养学生观察、分析和计算能力的一种重要方法。
一、图形计数
要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
例1、数出下图中有多少条线段？
巩固、数出下图中有几个长方形？
例2、数出图中有几个角？
D A B
C O
D C
B
A
巩固、数出图中有几个角？
例3、数出下图中共有多少个三角形？
巩固、数出图中共有多少个三角形？
例4、数出下图中有多少个长方形？
O C B A
P
C B A K G I H G F E A
D C B A
巩固、数出下图中有多少个正方形？
课后练习：
1、数出下图中有多少条线段？
2、数出图中有几个角？
E
A B C D E D
O
C B A
3、数出图中共有多少个三角形？
4、数出下图中有多少个长方形？
A
B A D
C B A。
几 何 计 数 常 见 类 型
解 题 技 巧 汇 总
1．“三角形个数”常见计数题型小扫荡；
2．“长方形个数”常见计数题型大扫荡。
一、“三角形个数”常见题目
图中有______条线段？
图中有______个三角形？
图中有______个角？
三角形个数：
()121n n ＋－＋＋＋(表示基本三角形个数) -
例1
(★★★★)(2008年西城实验小升初测试题)
下图中共有______
个三角形？
-
二、“长方形个数”常见类题目
图中有______个正方形；
图中有______个长方形。
数长方形个数时，理解“长”、“宽”搭配思想。
例2
(★★)(2008年中国台湾小学数学竞赛决赛试题
)图中共有
27个三角形：16个小三角形、7个边长为2单位的三角形(包括一个倒立的)、3个边长为3单位的三角形、1个边长为4单位的三角形。
请问图中共有多少个三角形？
-
1．不重不漏；
2．“长”与“宽”有几种搭配形式？
3．“长的所有可能之和”ד宽的所有可能之和”。
例4
(★★★★)(2008年第
6届走美杯决赛第10题，10分)
由20个边长为1的小正方形拼成的一个45 长方形中有一格有“☆”。
图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共
______个，它们的面积总和是______。
例3
(★★★★)
在图中(单位：厘米)：
①一共有几个长方形?
②所有这些长方形面积的和是多少?。
⼩学奥数教程之-⼏何计数1.掌握计数常⽤⽅法；2.熟记⼀些计数公式及其推导⽅法；3.根据不同题⽬灵活运⽤计数⽅法进⾏计数．本讲主要介绍了计数的常⽤⽅法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和⽤容斥原理的计数思想．⼀、⼏何计数在⼏何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满⾜某种条件的三⾓形的个数，若⼲个图分平⾯所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到⼀些处理⽅法的．常⽤的⽅法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平⾯分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平⾯的部分数为n (n -1)+2；n 个三⾓形将平⾯最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平⾯最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常⽤到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，⽽且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序⽆关，只与这两个组合中的元素有关．⼆、⼏何计数分类数线段：如果⼀条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段⼀共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数⾓：数⾓与数线段相似，线段图形中的点类似于⾓图形中的边．数三⾓形：可⽤数线段的⽅法数如右图所⽰的三⾓形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成⼀个三⾓形，共有15个三⾓形，同样⼀边在BC 上的三⾓形也有15个，所以图中共有30个三⾓形．ED CBA数长⽅形、平⾏四边形和正⽅形：⼀般的，对于任意长⽅形（平⾏四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长⽅形（平⾏四边形）mn 个．模块⼀、⽴体⼏何计数教学⽬标例题精讲知识要点7-8-3.⼏何计数（三）【例1】⽤同样⼤⼩的正⽅体⼩⽊块堆成如下图的⽴体图形，那么⼀共⽤了__________块⼩正⽅体。
《数图形的学问》讲义在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要数图形个数的问题。
比如，数一数一个几何图形中有多少个三角形、长方形或者圆形等等。
这看似简单的任务，其实蕴含着不少学问。
一、数图形的基本方法1、分类计数法当面对复杂的图形组合时，我们可以先将图形按照一定的标准进行分类。
比如，对于三角形，可以按照大小、形状或者位置等进行分类，然后分别计数，最后将各类的数量相加。
2、顺序计数法按照一定的顺序来数图形，这样可以避免重复或者遗漏。
例如，从上到下、从左到右，或者从大到小等顺序。
3、标记计数法在数图形的过程中，可以对已经数过的图形做一个小标记，这样能够清楚地知道哪些图形已经被数过，防止重复计数。
二、简单图形的计数1、线段的计数假设有 n 个点在同一条直线上，那么线段的总数为 n×（n 1)÷2 。
例如，有 5 个点，线段的数量就是 5×（5 1)÷2 ＝ 10 条。
2、角的计数同样，如果在一个顶点引出 n 条射线，那么角的总数也是 n×（n 1)÷2 。
3、三角形的计数在一个大三角形中，若内部有 n 个点，与三角形的三个顶点相连，那么三角形的总数为 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n 。
三、组合图形的计数1、多层图形比如一个由多个长方形组成的大图形，我们可以先数出一层有多少个长方形，然后再看有多少层，最后相乘得到总数。
2、包含嵌套图形对于包含嵌套的图形，先从最外层开始数，逐步向内部推进，注意不要遗漏被嵌套在内部的小图形。
四、实际应用中的数图形1、建筑设计在建筑设计图纸中，需要准确数出各种形状的构件数量，以确保材料的准备和施工的顺利进行。
2、拼图游戏玩拼图时，通过数图形可以帮助我们更好地了解拼图的组成和结构，从而更快地完成拼图。
3、数学考试在数学考试中，经常会有关于数图形个数的题目，这要求我们熟练掌握数图形的方法，快速准确地得出答案。
五、数图形的易错点1、重复计数由于没有按照一定的顺序或者方法，导致同一个图形被多次计数。
几何图形的计数(基本图形)我们已经学习了一些几何图形的有关知识，这些图形有线段、角、三角形、长方形、正方形、梯形、平行四边形，这一讲数学课外兴趣活动就教大家数数图形的个数。
有的同学说，“我们都四年级了，数图形个数谁不会，还用教吗？”请看这里有几条线段,&127;可能你会不加思索地说“2条”，你看到的是这样两条,&127;可是实际上还有一条你数漏了，所以这一题正确的回答应是“3条”。
如果一条直线上有100个点，线段有多少条呢？&127;用数的办法是非常麻烦的，那么今天我们就要用列表找规律的方法研究数基本图形的方法。
例1：数出下图有多少条线段？分析:线段有两个端点，从第一个端点出发的线段有4条，从第二个端点出发的线段有3条，从第三个端点出发的线段有3条，从第四个端点出发的线段有3条，从第五个端点出发的线段有0条。
线段总数共有4+3+2+1+0=10(条)方法二:如果称相邻的两端点组成的线段为基本线段,那么中有4条基本线段,其中的两条基本线段组成的线段有3条,其中由三条基本线段组成的线段有2条其中由四条基本线段组成的线段有1条线段总数是4+3+2+1=10(条)小结:由例1我们可以看出线段总数的计算是有一定规律的,&127; 我们可以用列表的方法找出计算线段总数的公式:图形端点数基本线段数线段总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=65 4 4+3+2+1=10………规律:基本线段数=端点数-1线段总数=基本线段数+(基本线段数-1)+(基本线段数-2)+…+2+1例2:数出下图一共有多少个角?分析:角是由同一点引出两条射线组成的图形,由例1&127;你能设计出一个表格来找出数角总数的规律吗?图形射线数基本角数角总数2 1 13 2 2+1=34 3 3+2+1=6………这一题同样也有两种数法:方法一:由第一条射线出发的角有4个由第二条射线出发的角有3个由第三条射线出发的角有2个由第四条射线出发的角有1个共有4+3+2+1=10(个)方法二:基本角有4个由两个基本角组成的角有3个由三个基本角组成的角有2个由四个基本角组成的角有1个角总数为4+3+2+1=10(个)规律:基本角数=射线数-1角总数=基本角数+(基本角数-1)+(基本角数-2)+…+2+1例3:数数下图共有多少个三角形?分析:有了例1与例2的知识你能自己找出规律吗?方法一:从A点出发的三角形个数是3个从B点出发的三角形个数是2个从C点出发的三角形个数是1个三角形总数是3+2+1=6(个),恰好与底边有多少条线段的得数相同方法二:从顶角看,角的总数也恰好与三角形个数相同:顶角共有3+2+1=&127;6(个)角, 三角形共有6个角你能写出数三角形的公式吗?三角形总个数=基本三角形个数+(基本三角形个数-1)+(基本三角形个数-2)+…+2+1例4:数数下图共有多少个长方形?(包括正方形)分析:长方形的长和宽都是线段,由线段构成的长方形个数一定与线段数有关,横着看: 每一排的长方形个数共有3+2+1=6(个)&127;恰好与长的线段总数相同:竖着看:有3排2+1=3,恰好与宽的线段总数相同,&127;一共有(3+2+1)×(2+1)=18(个)长方形。
姓名：巧数图形个数“数图形的个数”是趣味图形问题的一种，由于几何图形千变万化，错综复杂，要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理有次序地数图形的方法。
数图形的个数时，既不能同一图形数两次，又不能把有的图形漏掉不数，常用的计算方法有按顺序和分类数两种。
下面举例介绍两种方法的运用规律：例：数一数下面图中有多少条线段。
第一：按含基本线段的顺序去数。
上图一共有5条小线段，这每条小线段就是基本线段，有5条基本线段，包含有两条基本线段的有4条……第二：按端点进行分类去数。
以线段最左边的点为第一个端点，第二个点为第二个端点……为了方便同学们计数，向大家介绍数线段、三角形、角数量的公式：1+2+…+（n－2）+（n－1）＝2)1(nn一、试一试，看谁数得又对又快。
一共有（）个三角形。
一共有（）个角。
二、填空。
1. 算式中有乘法和加、减法，应先算（）；算式中有除法和加、减法，应先算（）；算式中有括号的，应先算（）。
2. 在计算25＋13×2时,先算( )法,再算( )法。
3. 在计算78÷16×3时，先算（）法，再算（）法。
4. 在算式50－20÷5里，如果要先算减法，那么算式应该是：（）。
里填上“＜”“＞”或“＝”。
20×5＋×（5＋3）48÷6÷÷（6×8）280－37－280－（37＋163）60－24÷60－24）÷12小故事明明和沉沉都十分喜欢数学。
一天明明问沉沉：“你最喜欢几？”“我最喜欢9。
”“那你说说从1数到100，要说几次‘9’？”“啊！……这”沉沉被难住了，“这要数一数才能知道，一分钟时间。
”同学们，请你在一分钟内说出从1到100有多少个9？。
巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段;分析与解：对于基础图形,用最小线段为单位,按序递增;单拼：3段,双拼：2段,三拼：1段通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决;最小线段基础线段的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6段或者,线段个数=基础线段数×端点÷2高阶基础线段要求：手拉手,肩并肩对于相交的线段,分别计算各个方向,然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数;分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决;最小线段的数量为火车头;或者,角的个数=最小角个数×最小角个数+1÷2又,角的个数=射线的个数×射线个数-1÷2例3、下列各图形中,三角形的个数各是多少分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决,最小线段的数量为火车头;所以,三角形个数=底边线段个数每个底边基础线段构成一个基础三角形或者,三角形的个数=最小三角形个数×最小三角形个数+1÷2高阶以上的内容基本是单层规整图形：数线段数角,数三角形,解决方法：开小火车对于多层规整的图形,应该以单层规整图形为基础,运用技术,算出多层规整图形的数量;例4、下列图形中各有多少个三角形分析与解：方法1使用分层计数法：方法2公式法：第一层三角形的总数×层数例5、下列图形中各有多少个三角形小TIPS：吹泡泡法例6、右图中有多少个三角形例7、右图中有多少个三角形分析与解：对于不规则的图形,数之前,先将每个图形编号,编好后,先数单拼三角形1、4、3号,共3个;再数两个图形合成的双拼三角形,1+2号,2+3号,3+4号,4+1号,按顺序两个两个合并,共4个三角形;最后数由1+2+3+4号组成的四拼大三角形,有1个;所以3+4+1=8,共8个三角形;例8、下列各图形中,长方形的个数各是多少分析与解：对于单层基础图形,可以使用开小火车的方式解决;每个长方形相当于最小线段;所以数单层的基础长方形,就是数基础线段数;对于多层的长方形的个数=单层长方形的数量×层数个单层长方形的数量=长边上的线段数个,层数=宽边上线段的个数层例9、下列图形中,长方形的个数是多少个分析与解：对于基础图形,可以使用开小火车的方式解决;单层长方形的数量=长边线段数=4+3+2+1=10个,层数=宽边线段数=3+2+1=6层总数=4+3+2+1×3+2+1=60个例10、下列图形中,长方形的个数是多少个分析,先将<格1>与<格2>隐去,剩下的格3,就是一个多层规整长方形=10×6=60个格1带来的长方形=4个吹泡泡法格2带来的长方形=5个总数=60+4+5=69个例11、下列图形中,长方形的个数是多少个分析与解：了解正方形的构成特点：四边相等;方法1数格子：一格,四格,九格,十六格……方法2开小火车法：最小正方形的个数为“火车头”,后面的“车厢”中的每个乘数都减-1,直至出现1为止0乘任何数都等于0解：3×3+2×2+1×1=14个例12、下列图形中,正方形的个数是多少个分析与解：利用开小火车法：火车头为最小9正方形数量：6×5正方形个数=6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=70个例13、数下列图形中共有21个三角形,一共需要多少个小棒：例10、在下图中,包含“”号的长方形和正方形共有多少个分析与解：对于不规整的图形,进行分类讨论;左图中,应先进行分类：正正方形与斜正方形正正方形=5+5=10个斜正方形= 5个总数=10+5=15个例11、如下图是由小立方体构成的塔,数一数有多少个小立方体分析与解：数立方体时,先从顶层数起;公式：本层可见数+上层数本题：1+3+1+5+4+7+9=30个例12、数一数,下列图形中有多少个长方形方法1：小讨厌法：不包含小讨厌的多层规整图形：10×6=60个小讨厌错误!+错误!+错误!：4+4+4=12,共：60+12=72个方法2：重叠法三年级：横：10×6=60个,竖：3×10=30个中重叠：3×6=18个,共：60+30-18=72个例13、数一数,第10个图形应该有多少圆圈组成通过观察可以发现如下的规律：1 2 3 (10)2 2+4+2 2+4+6+4+2 ……2+4+…+20…+4+22 8 18 (200)例13、数一数,第10个图形应该有多少条线段通过观察可以发现如下的规律：1 2 3 4 (10)1×2+2 3×2+3 6×2+4 10×2+5 55×2+1122=4 32=9 42=16 52=25 112=121 例14、数一数,下列图形中包含★长方形有多少个方法1勾对角线法：将★的左上角的点和右下角的点相连：通过加标字母A、B和a、b、c、d、e、f,帮助我们数图形：Aa、Ab、Ac、Ad、Ae、Af、Ba、Bb、Bc、Bd、Be、Bf、方法2公式法：经过★划十字线,左侧、右侧、上面、下面焦点数相乘：2×2×1×3=12个例15、数一数,下列图形中有多少条线段有多少个三角形1数线段：分方向：共：6×5+5=35条2数三角形：分方向中间五角星不用①③③④⑤：共10个三角形;仅使用①③③④⑤中一条：每一条有4个三角形,共4×5=20条使用①③③④⑤中的两条：共4个三角形;共：10+20+5=35个。
44、几何图形的计数
【点与线的计数】
例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？
（全国第二届“华杯赛”决赛试题）
讲析：可用“分组对应法”来计数。
将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。
第一排三角形有1个，其下行线有2点；
第二排三角形有3个，其下行线有3点；
第三排三角形有5个，其下行线有4点；
以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。
所以是小三角形个数多。
例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。
以这些点为顶点可以组成多少个三角形？
（如图5.46）
（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）
讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。
直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。
以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。
同理，m上4个点可以组成6条线段。
以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。
所以，一共可以组成70个三角形。
【长方形与三角形的计数】
例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。
在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）
为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。
①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；
②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。
所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。
例2 图5.48中共有______个三角形。
（《现代小学数学》）邀请赛试题）
讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；
以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；
以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。
所以，一共有15个三角形。
例3 图5.49中共有______个正方形。
（《现代小学数学》邀请赛试题）
讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个正方形。
图5.50（1）中，正方形个数是6×3＋5×2＋4×1=32（个）；
图5.50（2）中，正方形个数是4×4+3×3+2×2＋1×1=30（个）
如果把图5.49中的图形，分成5×6和4×11两个长方形，则：
5×6的长方形中共有正方形
5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（个）；
4×11的长方形中共有正方形
4×11+3×10+2×9＋1×8=100（个）。
两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形
4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（个）。
所以，原图中共有正方形70＋100-40=130（个）。
例4 平面上有16个点，排成一个正方形。
每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51（1）]，每个点上钉上钉子。
以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成______个正方形。
（《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题）
讲析：能围成图5.51（2）的正方形共14（个）；
能围成图5.51（3）的正方形共2（个）；
能围成图5.51（4）的正方形共4（个）。
所以，一共可围成正方形20个。
【立体图形的计数】
例1 用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图5.52）。
那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_______。
（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：本题要注意不能重复计数。
八个顶点上各有一个黑色正方体，共8个；
每条棱的中间有一个黑色正方体，共12个；
除上面两种情况之外，每个面有5个黑色正方体，共5×6=30（个）。
所以，总共有50个黑色正方体露在表面上。
例2 把1个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。
如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成______个小正方体。
（北京市第九届“迎春杯’小学数学竞赛试题）
讲析：若分成｜×××｜的小正方体，则共可分成27个。
但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。
则在开始的时候，可分出一个2×2×2的正方体（如图5.53），余下的都只能分成1×1×1的正方体了。
所以，最少可分成20个小正方体。
