高一数学必修四第二章综合能力检测

高一数学必修4第二章测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若向量a =(3,2)，b =(0,1)-，则向量2b a - 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(3,4)-C ．(3,4)D ．(3,4)--平行四边形ABCD 中，AB CD BD -+ 等于（ ）A ．DB B ．A DC ．A BD ．A C3. 已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =- ，且//a b ，则23a b + 等于 （ ）A ．(2,4)--B ．(3,6)--C ．(5,10)--D ．(4,8)--4. 对于非零向量a 、b ，下列命题正确的是 （ ） A.0 , 0a b a b ⋅=+= 若则 B.a b a b a 方向上的投影为在则若 , //C.2 , ()a b a b a b ⊥⋅=⋅ 若则 D. , a c b c a b ⋅=⋅=若则 5. 已知平面内三点的值为则若k AC BA k C B A ,, ) , 7(, )3 , 1(, )2 , 2(⊥（ ）A. 3B. 6C. 7D. 96．已知a b 与均为单位向量，它们的夹角为60°，|3|a b -= （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．47．已知||3,||5,12a b a b ==⋅= 且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ）A ．512B ．3C ．4D ．58.已知D 、E 分别是ABC ∆的边BC , AC 的中点，设 , A D a B E b == . 以a 、b 为基底，向量BC 可表示为 （ ） A. 2233a b + B. 2233a b - C. 2433a b + D. 2233a b -+ 9．已知A B =5a b + ，BC =28a b -+ ，CD =3()a b - ，则（ ）A. A 、B 、D 三点共线B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线 D. A 、C 、D 三点共线10．若平面向量b 与向量(1,2)a =- 的夹角是0180，且b = b =( )A ．(3,6)-B ．(3,6)-C ．(6,3)-D ．(6,3)-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

第二章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列等式成立的是( ) A.MN →＝NM →B ．a ·0＝0C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )D ．|a ＋b |≤|a |＋|b |[答案] D2．如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )A ．a ＝bB ．a ·b ＝1C ．a ＝－bD ．|a |＝|b | [答案] D[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确．3．(山东师大附中2012－2013期中)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－1,0)[答案] B[解析] 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1) ＝(12－32，12＋32)＝(－1,2)．4．(哈尔滨三中2012－2013高一期中)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则向量AB →的模等于( )A ．5 B.17 C ．3 2 D.13[答案] A[解析] |AB →|＝(7－4)2＋(－3－1)2＝5.5．(2012北京海淀区期末)如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD [答案] D[解析] EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6．(2013诸城模拟)已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1[答案] C[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， ∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n ＝1. 7．如图，M 、N 分别是AB 、AC 的一个三等分点，且MN →＝λ(AC →－AB →)成立，则λ＝( )A.12B.13C.23 D ．±13 [答案] B[解析] MN →＝13BC →且BC →＝AC →－AB →.8．与向量a ＝(1,1)平行的所有单位向量为( ) A ．(22，22) B ．(－22，－22) C ．(±22，±22)D ．(22，22)或(－22，－22) [答案] D[解析] 与a 平行的单位向量为±a|a |.9．(2013·湖北文)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322 D ．－3152[答案] A[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算． 由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15. |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为 |AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.10．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2[答案] C[解析] a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2. cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.11．(2012·全国高考浙江卷)设a 、b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 、b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb .如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a 、b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．12．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°[答案] C[解析] 由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．[答案] A ，B ，D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →.14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________．[答案] －1[解析] (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0，∴k ＝－1.15．(2013北京东城区模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．[答案] 12[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12.16．(2013北京东城区模拟)正三角形ABC 边长为2，设BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________.[答案] －2[解析] ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →，BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →， ∴AD →·BE →＝(AB →＋12BC →)·(13AC →－AB →)＝13AB →·AC →＋16BC →·AC →－12BC →·AB →－AB →2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(山东济南一中12－13期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)(1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．[解析] (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向． a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2 当x ＝12时，a 、b 同向． ∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，(2a －b )＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2.18．(本题满分12分)(山东师大附中2012－2013期中)设e 1、e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m 、n 的值．[解析] 以O 为原点，e 1、e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A 、B 、C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →， 所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0m ＝2n ，解得⎩⎨⎧m ＝－1n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.19．(本题满分12分)已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时．(1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直． [解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·cos θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)．∴当t ＝－|a ||b |cosθ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立．20．(本题满分12分)已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c 、d 是否同向； (2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d . [解析] (1)c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．又a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向． (2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b ) ＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2 ＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos60° 又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0.即(k －1)＋1－k2＝0. 解得k ＝1.21．(本题满分12分)向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，求|a |2＋|b |2＋|c |2的值．[解析] 由(a －b )⊥c 知(a －b )·c ＝0. 又c ＝－(a ＋b )，∴(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝0.故|a |＝|b |＝1，又c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.22．(本题满分12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)． (1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)， 故存在非零实数k 、t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．。

A．－ B．－
C. D.
解析：由向量的平行四边形法则，知当| ＋ |＝| |时，∠A＝90°.又| |＝1，| |＝ ，故∠B＝60°，∠C＝30°，| |＝2，所以 ＝ ＝－ .
答案：B
10．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且 · ＝ · ，则 · 的值等于()
A．－4 B．0
A. B.
C. D.
解析：因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cosθ＝－ .又θ∈[0，π]，所以θ＝ .
答案：C
3．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为()
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析： ∥ ，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，选B.
答案：2
15．已知非零向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
解析：由题意可画出图形，
在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
答案：90°
16．给出以下命题：①若|a·b|＝|a||b|，则a∥b；
答案：C
5．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若 ＝2 ， ＝ ＋λ ，则λ＝()
A. B.
C. D.
解析：由已知得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ ，因此λ＝ ，故选B.
答案：B
6．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝ ，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()
C．4 D．8
解析：∵ · ＝ · ，

本册综合能力检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( ) A ．－32 B ．±32 C.52 D ．－52答案：D解析：由(cos A －sin A )2＝1－2sin A cos A ＝54，而在△ABC 中，因为sin A cos A <0可知sin A >0，cos A <0，∴cos A －sin A ＝－52.2．若|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ的余弦值( ) A ．－12 B.12 C.13 D ．－13 答案：B解析：由|a ＋b |＝7，得：7＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋2×1×2cos θ， 所以cos θ＝12.3．如图，在△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13b答案：B解析：BE →＝AE →－AB →＝34AD →－a ＝34(AB →＋BD →)－a ＝34a －a ＋34BD →＝－14a ＋34×13BC →＝－14a ＋14(AC →－AB →)＝－14a ＋14b －14a ＝14b －12a .4．函数y ＝log 15sin(π3－π4x )的单调递增区间是( ) A ．[－23，103) B ．[－23，103) C ．[－23，103]D ．[8k －23，8k ＋43)(k ∈Z ) 答案：D解析：将原函数转化为y ＝log 15[－sin(π4x －π3)]，由复合函数的单调性可知，整个函数的单调递增区间就是y ＝sin(π4x －π3)的递增区间，且sin(π4x －π3)<0.5. 已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π3答案：A解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.6．化简式子2－sin 22＋cos4的值是( ) A ．sin2 B ．－cos2 C.3cos2 D ．－3cos2 答案：D解析：将cos4运用倍角公式变形为1－2sin 22，从而原式化为3－3sin 22，再开方即得结果．7．已知三点A (1,1)、B (－1,0)、C (0,1)，若AB →和CD →是相反向量，则点D 的坐标是( )A ．(－2,0)B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2) 答案：B解析：设出D 点的坐标(x ，y )，写出向量AB →和CD →的坐标形式，根据它们是相反向量，可以列出关于x ，y 的方程组，从而得解．8．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图像如下图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2答案：C解析：由图像可知，f (x )＝2sin π4x ，其周期为8， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.9．将函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos2x 答案：A解析：平移后所得的解析式为：y ＝sin2(x ＋π4)＋1 ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .10．a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)等于( )A.13B.27C.17D.23答案：C解析：由题意得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，整理得sin α＝35.又α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以tan α＝－34.所以tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝17.11．如右图，向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC →⊥OA →，C 为垂足，设向量OC →＝λa (λ>0)，则λ的值为( )A.a ·b|a |2 B.a ·b |a ||b |C.a ·b |b |D.|a ||b |a ·b答案：A解析：OC →为OB →在OA →上的射影．故|OC →|＝a ·b|a |，∴OC →＝a ·b |a |·a |a |＝a ·b |a |2·a .12．使f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在[0，π4]上是减函数的θ的一个值是( )A ．－π3 B.π3 C.2π3 D.4π3答案：C解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin(2x ＋θ＋π3)，因为f (x )是奇函数，验证得B 、D 不成立；当θ＝－π3时，f (x )＝2sin2x ，当x ∈[0，π4]时，f (x )是增函数，A 不成立；当θ＝2π3时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x 满足条件，故选C.二、填空题(本大共4个小题，每小题5分，共20分)13．已知向量OA →＝(0,1)，OB →＝(k ，k )，OC →＝(1,3)，且AB →∥AC →，则实数k ＝________.答案：－1解析：∵AB →＝(k ，k －1)，AC →＝(1,2)，AB →∥AC →， ∴2k －(k －1)＝0，∴k ＝－1.14．[2011·江苏卷]已知tan(x ＋π4)＝2，则tan xtan2x 的值为________． 答案：49解析：由tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝2，得tan x ＝13，tan xtan2x ＝tan x ·1－tan 2x 2tan x ＝1－tan 2x 2＝49.15．函数f (x )＝cos xcos x 2－sin x 2的值域是__________．答案：(－2，2) 解析：f (x )＝cos 2x2－sin 2x2cos x 2－sin x 2＝cos x 2＋sin x 2， 且cos x 2－sin x2≠0， 即sin x 2≠cos x 2，tan x2≠1，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，x ≠2k π＋π2，k ∈Z . ∵x 2≠k π＋π4，x 2＋π4≠k π＋π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4≠±1，∴f (x )≠±2.∴f (x )∈(－2，2)．16．已知y ＝sin x ＋cos x ，给出以下四个命题：①若x ∈[0，π]，则y ∈[1，2]；②直线x ＝π4是函数y ＝sin x ＋cos x 图像的一条对称轴；③在区间[π4，5π4]上函数y ＝sin x ＋cos x 是增函数；④函数y ＝sin x ＋cos x 的图像可由y ＝2cos x 的图像向右平移π4个单位长度而得到．其中正确命题的序号为________．答案：②④解析：将函数变形后逐个判断正确与否． y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)．①若x ∈[0，π]，则x ＋π4∈[π4，5π4]，得sin(x ＋π4)∈[－22，1]，即y ∈[－1，2]，①不正确；②记f (x )＝2sin(x ＋π4)，∵f (π2－x )＝2sin(π2－x ＋π4)＝2sin(3π4－x )＝2sin[π－(x ＋π4)]＝2sin(x ＋π4)＝f (x )．从而直线x ＝π4是函数y ＝sin x ＋cos x 图像的一条对称轴，②是正确的；③由于函数y ＝2sin(x ＋π4)是由y ＝2sin x 向左平移π4个单位长度得到的，而函数y ＝2sin x 在区间[π2，3π2]上是单调递减的，从而函数y ＝2sin(x ＋π4)在区间[π4，5π4]上也应该是单调递减的，即命题③不正确；④函数y ＝2cos x 的图像向右平移π4个单位长度得到函数y ＝2cos(x －π4)＝2·cos(π4－x )＝2cos[π2－(x ＋π4)]＝2sin(x ＋π4)，即函数y ＝sin x ＋cos x ，从而命题④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知点A (－3，－4)、B (5，－12)． (1)求AB →的坐标及|AB →|；(2)若OC →＝OA →＋OB →，OD →＝OA →－OB →，求OC →及OD →的坐标； (3)求OA →·OB →.解：(1)AB →＝OB →－OA →＝(8，－8)， |AB →|＝82＋(－8)2＝8 2.(2)OC →＝(－3，－4)＋(5，－12)＝(2，－16)， OD →＝OA →＋BO →＝(－3，－4)＋(－5,12)＝(－8,8)． (3)OA →·OB →＝－3×5＋(－4)×(－12)＝33.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)将函数y ＝f (x )的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .解：利用数量积的坐标运算将f (x )化简为一种角的三角函数形式后，再利用三角函数性质求解．(1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋34π)．故f (x )的最大值为2＋2，最小正周期是2π2＝π. (2)由sin(2x ＋34π)＝0得2x ＋3π4＝k π. 即x ＝k π2－3π8，k ∈Z . 于是d ＝(3π8－k π2，－2)，|d |＝(k π2－3π8)2＋4(k ∈Z )．因为k 为整数，要使|d |最小，则只要k ＝1，此时d ＝(－π8，－2)即为所求．19．(本小题满分12分)[2011·广东卷]已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)f (5π4)＝2sin(13×5π4－π6) ＝2sin π4＝ 2.(2)∵α、β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65. ∴2sin α＝1013，2sin(β＋π2)＝65， 即sin α＝513，cos β＝35. ∵cos α＝1213，sin β＝45.cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝1213×35－513×45＝1665.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图像过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)．所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－12cos φ＝12sin2x sin φ＋12cos2x cos φ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ)＝12cos(2x －φ)．又函数图像过点(π6，12)，所以12＝12·cos(2×π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1.又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)．因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.21. (本小题满分12分)[2011·四川卷]已知函数f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解：(1)∵f (x )＝sin(x ＋7π4－2π)＋sin(x －3π4＋π2)＝sin(x －π4)＋sin(x －π4)＝2sin(x －π4)．∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)由已知得cos β·cos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，0<α<β≤π2，β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.22. (本小题满分12分)已知a ＝(cos 5x 3，sin 5x 3)，b ＝(cos x 3，－sin x 3)，x∈[0，π2]．(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |(其中λ>0)的最小值是－32，求λ的值． 解：(1)a ·b ＝cos 5x 3cos x 3－sin 5x 3·sin x 3＝cos2x .|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝ (cos 25x 3＋sin 25x 3)＋2cos2x ＋(sin 2x 3＋cos 2x3)＝2＋2cos2x ＝4cos 2x .又x ∈[0，π2]，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos2x －2λ·2cos x ＝2cos 2x －4λcos x －1 ＝2(cos x －λ)2－2λ2－1.①当0<λ≤1时，f (x )的最小值为－2λ2－1， ∴－2λ2－1＝－32，∴λ＝12.②当λ>1时，cos x ＝1时f (x )取最小值1－4λ， ∴1－4λ＝－32，∴λ＝58，又λ>1，故应舍去．所以，所求λ的值为1 2.。

2021年高中数学第2章平面向量综合能力检测北师大版必修4一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·陕西文，2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )A．－ 2 B．2C．－2或 2 D．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a∥b知1×2＝m2，即m＝2或m＝－ 2.2．若向量BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，则BC→＝( )A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．BC→＝BA→＋AC→＝BA→－CA→＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．平面向量的坐标运算即对应坐标相加减．3．已知|a|＝63，|b|＝13，且a·b＝－3，则a与b的夹角为( )A．2π3B．5π6C．π3D．π6[答案] B[解析] 设θ为向量a与b的夹角，则由cosθ＝a·b|a||b|可得，cosθ＝－363×13＝－32，又θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.选B.4．设a，b是两个非零向量( )A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|[答案] C[解析] 本题考查向量共线的条件．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a与b方向相反．则存在b＝λa.反之则不然．5．(xx·重庆理，4)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )A．－92B．0C．3 D．15 2[答案] C[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a－3b＝(2k－3，－6)，又因为(2a－3b)⊥c，所以，(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝0，解得k＝3，本题根据条件也可以转化为2a·c－3b·c＝0化简求解．6．直线(3－2)x＋y＝3和直线x＋(2－3)y＝2的位置关系是( )A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合[答案] B[解析] 直线(3－2)x＋y＝3的方向向量为(1，2－3)，直线x＋(2－3)y＝2的方向向量为(1，2＋3)，则(1，2－3)·(1，2＋3)＝1＋(2－3)(2＋3)＝1＋(－1)＝0，所以两直线垂直．选B.7．已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3终点的坐标为( )A．(1,9) B．(9,1)C．(8,0) D．(0,8)[答案] B[解析] F ＝(8,0)，设终点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝8，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1.8．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) A ．|AC →|2＝AC →·AB →B ．|BC →|2＝BA →·BC → C ．|AB →|2＝AC →·CD →D ．|CD →|2＝AC →·AB→·BA →·BC →|AB →|2[答案] C[解析] ∵AC →·AB →＝AC →·(AC →＋CB →) ＝AC →2＋AC →·CB →＝AC →2，∴|AC |→2＝AC →·AB →成立；同理|BC →|2＝BA →·BC →成立； 而AC →·AB →|AB →|·BA →·BC →|BA →|＝|AD →|·|BD →|＝|CD |2＝|CD →|2.故选C.9．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3B ．32C ．33D ． 3[答案] D[解析] 本题考查了向量的运算． ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →， 又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0，∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos∠ADB ＝3|BD →|·cos∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.10．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a ；②(a *b )*b ＝a *(b *b )；③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b )； ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] B[解析] 代入验证知①②不成立，③④成立，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)[答案] a ＋c －b[解析] OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b .12．(xx·江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE→＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[答案]12[解析] 本题考查平面向量基本定理应用． 由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 本题考查平面向量的数量积． 建立平面直角坐标系如图：则CB →＝(0，－1)，设E (x 0,0)， 则DE →＝(x 0，－1)，∴DE →·CB →＝(x 0，－1)·(0，－1)＝1， 又DC →＝(1,0)，∴DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1， ∴DE →·DC →最大值为1.14．在直角坐标系中，已知PA →＝(3,1)，PB →＝(5,10)，若点A 关于向量PB →所在直线的对称点是A ′，则向量PA ′→＝________.[答案] (－1,3)[解析] 设AA ′与向量PB →所在直线相交于点M ，则|PM →|＝|PA →|cos 〈PA →，PB →〉＝PA →·PB →|PB →|＝5，所以PM →＝15PB →＝(1,2)，从而AM →＝PM →－PA →＝(－2,1)，PA ′→＝PM →＋MA ′→＝PM →＋AM →＝(－1,3)．15．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．[答案] 5[解析] 本题主要考查向量的坐标知识在解析几何中应用，如图，建立平面直角坐标系，根据题意设CD ＝a ，则A (2,0)，B (1，a )，P (0，y )，则PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， PA →＋3PB →＝(2，－y )＋(3,3a －3y )＝(5,3a －4y )，故|PA →＋3PB →|＝25＋3a －4y2的最小值即当3a ＝4y 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)如图所示，M ，N ，P 分别是△ABC 三边上的点，且BM →＝14BC →，CN→＝14CA →，AP →＝14AB →，设AB →＝a ，AC →＝b ，试将MN →，MP →，PN →用a ，b 表示，并计算MP →＋PN →－MN →. [解析] 由题设得AP →＝14AB →＝14a ，CN →＝14CA →＝－14AC →＝－14b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BM →＝14BC →＝14(b －a )，所以MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA →＝34(b －a )－14b ＝－34a ＋12b .同理可得MP →＝－12a －14b ，PN →＝－14a ＋34b .将它们代入得MP →＋PN →－MN →＝0. 17．(本小题满分12分)已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b ·7a －5b ＝0，a －4b ·7a －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0， 即2a ·b －b 2＝0，即2a ·b ＝b 2， 代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2b 2＝12.∴a 与b 的夹角为θ＝60°.18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．[解析] (1)设n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x ＋y 2·x 2＋y2＝cos 3π4＝－22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0， ∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)． ∴|n ＋b |＝cos x2＋sin x －12＝2－2sin x ＝2·1－sin x . ∵－1≤sin x ≤1， ∴0≤1－sin x ≤ 2. ∴0≤|n ＋b |≤2，即|n ＋b |的取值范围是[0,2]．19．(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．[解析] 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )， ∴x (5－x )＋y (1－y )＝0. 又点O 、M 、A 三点共线，∴OM →＝λOA →，∴x 4＝y －4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 5－x ＋y 1－y ＝0，x 4＝y－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．20．(本小题满分13分)设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.[解析] f (x )＝1－sin 2x －|a |sin x －|b | ＝－(sin x ＋|a |2)2＋|a |24－|b |＋1.∵0<|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，|a |24－|b |＋1＝0.当sin x ＝1时，－|a |－|b |＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧|a |24－|b |＋1＝0，－|a |－|b |＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝2，|b |＝2.∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×2×2·cos45°＋22＝8＋42， ∴|a ＋b |＝22＋ 2.21．(本小题满分14分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．[解析] 解法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0.∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC → ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP → ＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设P 点的坐标为(x ，y )， 则Q (－x ，－y )．∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )．∴BP →·CQ →＝－x (x －c )－y (y ＋b ) ＝－x 2－y 2＋cx －by ，cos θ＝BC →·PQ→|BC →||PQ →|＝2cx －2by 2a 2＝cx －bya 2， 即cx －by ＝a 2cos θ. ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1时，即θ＝0°(PQ →与BC →同向)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.40384 9DC0 鷀27436 6B2C 欬25203 6273 扳20461 4FED 俭31985 7CF1 糱U24479 5F9F 徟31901 7C9D 粝23586 5C22尢(29306 727A 牺:20738 5102 儂22078 563E 嘾34133 8555 蕕。

综合检测（二）（时间120分钟，满分150分）、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）a ，b ，c 满足 a / b ，且 a 丄c ，贝U c (a + 2b )=( )C. 2•.a 丄c ，-'a c = 0.又•••a//b ，二可设b = a 则 c (a + 2b ) = c(1 + 2 ?)a2.已知向量a = （1,0）与向量b = （—1,^/3）,则向量a 与b 的夹角是（ ）nA -6C.2n【答案】A. 2C-6'•'1= (1 + x,3)， u= (1 — x,1)， 1/u•••(1+ X)x 1-3X (1 — X) — 0,.・.x=2第二章平面向量1.若向量【解析】【答案】 D x k B1 . c o mn B.3【解析】cos〈a ，b 〉=器=T^•••0，b 〉 2n=3 .3.已知 a = (1,2)， b —(X ，1)，11= a + b, u= a — b,且1/ u 则x 的值为（）【解析】【答案】A4.已知|a| = 2|b|, |b|M 0,且关于x的方程x2+ |a|x + ab= 0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()n A. [0,6】n , B. [3, n> 0. C. [5,劭n ,D. [6, n【解析】|a|2— 4a b=a f — 4|a||b|cos〈a, b〉= 4|b|2— 8|b|2 cos〈a,b〉-cos a, b〉1W2，〈a, b〉€ [0, n .a,b〉【答案】5.已知|a| = 1, |b| = 6, a (b—a) = 2,则向量a与b的夹角是( )nA.6nB.4nC.nnD-22 2【解析】--a (b—a) = a b— a = 2,.・.|a||b|cos B—|a| = 2,1 n•••1x 6x cos — 1 = 2,.・.cos = 2，又0W 0W n 二=3,故选 C.【答案】 C6.已知OA= (2,2), 5B= (4,1)，在x轴上一点P使A P B P有最小值，则P点的坐标是( )A. (—3,0)B. (3,0)C. (2,0)D. (4,0)【解析】设P(x,0),.・.AP= (x—2,—2), BP= (x —4,— 1),A AP BP= (x—2)(x —4)+ 22 2=x —6x+ 10= (x—3) +1,当x= 3时，AP BP取最小值，此时P(3,0).【答案】 B7•若a,b是非零向量，且a丄b,|a|M |b|,则函数f(x)= (x a+ b) (x b—a)是( )A .一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C•二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数【解析】..a丄b,.・.a b= 0,•••f(x) = (x a + b) (x b—a) = x2(a b)+ (|b|2—|a|2)x—a b= (|bf—a|2)x,又|a|M|b|.•••f(x )是一次函数且为奇函数，故选A.【答案】 A> —> AB AC —> AB AC 18 已知非零向量AB与AC满足(=+=) BC = 0且===2则^ ABC |AB| AC| |AB| |AC|A .等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形【解析】AB和钥分别是与AB, AC同向的两个单位向量.|AB| AC|AB AC AB AC f兰+号是/BAC角平分线上的一个向量，由+弋)BC = 0知该向|AB| |AC| |AB| |AC|AB AC 1量与边BC垂直，.・.ZABC是等腰三角形.由 f f = 2知/BAC= 60 : •••ZABC是|AB|| AC|等边三角形.【答案】 A9. (2013 湖北高考)已知点 A(— 1,1), B(1,2), C(-2,— 1), D(3,4),则向量 AB 在CD 方向上的投影为()A鉅C .-寥【解析】 由已知得AB = (2,1), CD = (5,5),因此AB 在CD 方向上的投影为AB CD _ _鉅|CD| 5©2【答案】 A10•在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点'则-()D. 10【解析】--PA ^ CA — CP ,7 2 7 2 7 7 7 2 IPAl = CA — 2CP CA+CP .—7 —7 —7 —7 少 7 少 —7 —7 —7 Q •.•PB _ CB — CP ,・.|PB| _ CB — 2CP CB +CP .—7 2 —7 2 —7 2 —7 2 —7 —7 —7 —7 2 —7 2 —7 —7 —7 •••|PAr + |PBr_ (CA + CB ) — 2CP (CA + CB) + 2CP _ AB — 2CP 2CD + 2CP又AB 2= 16CP 2, CD = 2CP ,代入上式整理得 |FA|2+ |PB|2= 10|CPf ,故所求 值为10.【答案】 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横 线上)C. 5 ,211.已知向量a= (2,1), ab= 10, l a + b| = 5 迄，则|b| 等于【解析】••l a+ b|a5 72,A(a + b)2a50,即a2+ b2+ 2a b a50, 又a|=V5, a b= 10,••5+|bf+ 2X 10a 50.解得|b| = 5.【答案】 5」「4si n a— 2cos a12•已知a a g), b a(sin a, cos a，且a// b•则5^5 + 3前 a【解析】••a//b,.・.3cos aa sin a,4sin a— 2cos a 4tan a— 2 4 X 3— 2 55cos a+ 3sin a 5+ 3tan a 5+ 3X 3 75【答案】513.(2013课标全国卷n )已知正方形ABCD的边长为2, E为CD的中点,贝UAE BDa【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0), B(2,0), D(0,2), E(1,2),••AE= (1,2), BDa (-2,2),••AE BD a 1X (-2) + 2X 2a2.【答案】 22 n14.已知e1, e2是夹角为~的两个单位向量，a a& —2e2, b a k e1 + e2,若a b a 0,则实数k的值为【解析】 由题意a b = 0,即有(81 — 2e 2) (*01 + e 2)= 0•••k e 1+ (1 — 2k) 81 82— 2e 2= 0.又•••|e i |= |e 2|= 1,〈e i ,e 2>2 n•'•k— 2+ (1 — 2k) cos -3 = 0, 1 — 2k 5 • k — 2= ~2~，•-k =4.【答案】515. (2012 安徽高考)设向量 a = (1,2m), b = (m + 1,1), c = (2, m).若(a + c ) 丄 b,则 a i = .【解析】 a + c = (1,2m) + (2, m) = (3,3m).••(a + c)丄 b,•••(a + c ) b = (3,3m) (m + 1,1)= 6m + 3= 0,••a = (1,— 1), la , 12 + (-1丫【答案】迈三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）16.(本小题满分12分)(2013江苏高考)已知a = (cos a, sin a, b = (cos B, sin 9, 0< 3<a<n.(1)若 |a — b | = 72，求证：a 丄 b ；⑵设c = (0,1)，若a + b = c ,求a 9的值. 【解】（1）证明由题意得a — b l 2 = 2, 即(a — b )2= a 2 — 2a b + b 2 = 2. 又因为 a 2= b 2= laj |b |2 = 1,2n ~3所以 2-2a b = 2, 即卩 a b = 0,故 a 丄b.⑵因为 a + b = (cos a+ cos B, sin 计 sin f) = (0,1),Icos a+ cos 3= 0, 所以1 Isin a+ sin 3= 1,由此得，cos a= cos( — 3)，由 0v 3< n 得 0v n — 3^ n. a= n — 3代入 sin a+ sin 3= 1, 得 sin a= sin十“ 5 n n 所以 a=E, 3=6.【解】AC = OC — OA = (7,— 1 — m),BC = OC - 0B = (5- n ,— 2). ••A 、B 、C 三点共线，••• AC//BC ,•••—14+ (m + 1)(5 — n) = 0. 又OA 丄OB.--—■2n + m = 0.3由①②解得 m = 6, n = 3或m = 3, n =q.18.(本小题满分12分)已知a , b 是两个非零向量，当a +t b (t € R )的模取最 小值时.(1)求t 的值; ⑵求证：b 丄(a + t b ).【解】 (1)(a + t b )2= a + kb |2+ 2a t b,|a + t b |最小，即 |a |2+ |t b |2+ 2a t b 最小,又0V a< n 故 17.(本小题满分 12分)平面内三点A 、B 、C 在一条直线上,0A =(— 2, m),0B = (n,1), 0C = (5, —1),且OA 丄OB ,求实数m 、n 的值.即 t 2|b |2 + [af + 2t|a ||b |cos 〈a , b 〉最小.|a |cos 〈 a , b 〉故当t =— 石 时, |b||a +t b | 最小.2|a |cos 〈 a , b 〉 2(2)证明：b (a +1b ) = ab + t|b | ------------------ = ------ |a ||b |cos 〈 a,b 〉— |b|b | = |a ||b |cos |b|a ,b 〉一 |a ||b |cos 〈a , b 〉= 0,故 b 丄(a +1b ).19.（本小题满分13分）△ ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA +4OB + 5OC = 0. (1)求数量积 O A O B , O B OC , OC OA ； (2)求^ ABC 的面积.xKb 1. Com【解】 (1)V3OA + 4OB + 5OC = 0,••3OA + 4OB = 0-5OC , -— -—2 -— 2 即(3OA + 4OB) = (0- 5OC).—7 2 —7 —z —z 2 —7 2可得 9OA + 24OA OB + 16OB = 25OC . 又•••|OA|=|OB|=|OC| = 1,•••OA OB = 0.同理 OB OC =-5,OCOA =- 5.1 —— —— 1 —— —— (2)S Z ABC = S A OAB + Sz oBc + S ZOAC = 2|OA| | OB|sin ZAOB + 2|OB| |OC|sin /BOC + 2|OC| |OA|sin HOC. 又 |O A|= |OB|= |OC|=1.•'S^ABC^ 2(sin ZAOB+sin /BOC + sin ZAOC).由(1)OAOB= |0A| |OB|cos /AOB= cos ZAOB= 0得sin ZAOB= 1.T T T T 4OB OC= |OB| |OC| cos /BOC = cos /BOC=- 5,./ 3-sin /BOC=5,同理sin /AOC=5.5-S/yxBC = 5.20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(- 1,-2),B(2,3), C( - 2,- 1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC) 0C= 0,求t的值.【解】(1 )由题设知AB= (3,5), AC= (—1,1),则AB + AC= (2,6), AB- AC= (4,4).所以AB+ AC| = 2^10, AB-AC匸4寸2.故所求的两条对角线长分别为4迈，2>/10.X K b心m⑵由题设知OC= (-2,- 1), AB-tOC = (3+ 2t,5 +1).由(AB-tOC) OC= 0,得(3 + 2t,5 +1) (—2,- 1)= 0,从而5t=—11,所以t115.图121.(本小题满分13分)如图1,平面内有三个向量OA, OB, OC,其中O A与OB的夹角为120°, OA与OC的夹角为30°且|5A|=|OB匸1,|oC| = 2 羽若oC = QA+ QB（入空R）,求H卩的值.【解】法一：作CD //OB交直线OA于点D，作CE //OA交直线OB于点E,贝U OC = OD+ OE,由已知/OCD = /COE= 120 —30 = 90 ° 在Rt△)CD 中，OD = ^3。

单元综合测试二
时间：
第
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 ＋ ＝()
A. B.
C. D.
解析：利用平行四边形法则作出向量 ＋ ，平移即可发现 ＋ ＝ .
答案：C
2．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是()
A．a·b＝1B．|a|＝|b|
解析： ＝ － ，由于 ⊥ ，所以 · ＝0，
即(λ ＋ )·( － )＝－λ ＋ ＋(λ－1) · ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×(－ )＝0，解得λ＝ .
＝ ＋ ＋ ＝ ，(1)正确；
当|a|＝|b|＝1且a与b反向时，a·b＝－1<0，但a与b的夹角为180°，因而(2)不正确；
由于e1＝4e2，所以e1∥e2，所以向量e1，e2不能作为基底，(3)不正确；
若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°，所以a在b上的投影为|a|cosθ＝±|a|，(4)不正确．
C．(a－b)⊥bD．a∥b
解析：a·b＝2，所以A不正确；|a|＝2，|b|＝ ，则|a|≠|b|，所以B不正确；a－b＝(1，－1)，(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，所以C正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a，b不平行，所以D不正确．故选C.
答案：C
3．设P是△ABC所在平面内的一点， ＋ ＝2 ，则()
答案：A
9．已知a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()
A．( ， )B．(－ ，－ )
C．( ， )D．(－ ，－ )
解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，联立解得m＝－ ，n＝－ .故c＝(－ ，－ )．

必修4第二章测试题（二）一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分。

在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的。

1．在平行四边形ABCD 中：+-等于 （ ）A ．B ．C ．D ．AC2．若向量a =（3：2）：b =（0：－1）：则向量2b －a 的坐标是 （ ） （A ）（3：-4）（B ）（-3：4） （C ）（3：4） （D ）（-3：- 4）3．已知与均为单位向量：它们的夹角为60°：|3|b a -= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．44．若|a |=2：|b |=5：|a +b |=4：则|a －b |的值为 （ ）A ．13B ．3C ．42D ．75．已知平面向量)2,1(= ：),2(m -= ：且b a //：则b a 32+等于 （ ）A ．)4,2(--B ．)6,3(--C ．)10,5(--D ．)8,4(--6．若向量a 与b 的夹角为60：||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-：则向量a 的模为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．127．已知12,5||,3||=⋅==且：则向量在向量上的投影为（ ）A ．512B ．3C ．4D ．58．已知AB =a +5b ：BC =－2a +8b ：CD =3（a －b ）：则（ ）A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线9．已知向量)2,3(-=： )0,1(-=：向量+λ与2-垂直：则实数λ的值为( ) A.71-B. 71C. 61D. 61- 10．若0||2=+⋅：则ABC ∆为( )11．若平面向量与向量)2,1(-=a 的夹角是o180：且53||=b ：则=( )A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-12．已知a =（1：2）：)3,2(-=．若向量c 满足)(+∥b ：c ⊥)(+：则=c（A ）（37,97） （B ）)97,37(--（C ）)97,37(（D ）（37,97--）二、填空题：本大题共4小题：每小题5分：共20分。

必修四综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α＝－3，则α是第( )象限角．( )A ．一B ．二C ．三D ．四2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 23．有三个命题：①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③单位向量都相等，其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知sin θ<0，tan θ>0，则1－sin 2θ化简的结果为( )A ．cos θB ．－cos θC ．±cos θD ．以上都不对5．tan(－1560°)的值为( )A ．－ 3B ．－33 C.33 D. 3 6．已知α是锐角，a ＝(34，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则α为( )A ．15°B ．45°C ．75°D ．15°或75°7．已知sin α>sin β，那么下列命题中成立的是( )A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos βB ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β8．函数y ＝sin x (π6≤x ≤2π3)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[12，1]C ．[12，32] D ．[32，1]．9．要得到函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象，只需将函数y ＝3sin2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位10．已知a ＝(1，－1)，b ＝(x ＋1，x )，且a 与b 的夹角为45°，则x 的值为()A ．0B ．－1C ．0或－1D ．－1或111．(2012·全国高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.4312．设a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若tan α＝3，则sin αcos α的值等于________．14．已知：|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为π4，要λb －a 与a 垂直，则λ为________．15．函数y ＝sin(π3－2x )＋sin2x 的最小正周期是________．16．已知三个向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝________.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(α)－sin 2(5π2－α)的值． 18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．19．(本题满分12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，求：(1)a ·b ；|a ＋b |；(2)a 与b 的夹角的余弦值．20．(本题满分12分)(2011～2012浙江调研)设向量α＝(3sin 2x ，sin x ＋cos x )，β＝(1，sin x －cos x )，其中x ∈R ，函数f (x )＝α·β.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (θ)＝3，其中0<θ<π2，求cos(θ＋π6)的值．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的最大值为22，最小值为－2，周期为π，且图象过(0，－24)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间．22．(本题满分12分)(2012·全国高考山东卷)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A 2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象像左平移π12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域。

第二章测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分48分•在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a =(x , 1), b =(3, 6), a b ，则实数x 的值为（ ）A. 1B2C.2D.1 222.设向量a = (-2 , 1), r b = (1, 入） (入€ R ),若 a . b 的夹角为1350,则 入的值是( )11A. 3B -3 或-_或_33r r r 1 rr ,r3•已知 |a| 10,|b| 12，且(3a) (-b)36，则 a 与 b 的夹角为( )5A. 60°B. 120°C . 135°D. 150°rr r4.若平面向量 a (1,x)和b (2x 3, x)互相平行，其中 x R .则a b( )A.2或 0; B. 2 .5 ; C. 2 或 2.5 ; D. 2 或 10.5.在 ABC 中，若 AB BC AB 2 0,则ABC 是( )A.直角三角形B .锐角三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形r rr r r r6.已知a, b 是两个非零向量，给定命题p: |a b| |a|| b |;命题q :存在t R使得a tb ;则p 是q 的（）A.充分条件B.必要条件C . 充要条件D.既不充分也不必要条件7.平面向量即二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到维向量, n维向量可用(X 1, X 2, X 3，…，x n )表示，设 a (q ,九a 3，…，ajb (b b ?, b 3，…，bj规A.B .C.D.uuu UULT uuu uuur uuu& O 是 ABC 所在平面内一点， 且满足 OB OCOB OC 2OA ，则 ABC的形状为()110 .已知a 和b 是非零向量，m =a +t b (t € R ),若| a |=1 , | b |=2，当且仅当t=—时, 4 |m 取得最小值，则向量 a 、b 的夹角0为A. nB . nC. 2nD. 5n6336时弦余的角夹量向定A.直角三角形 B •等腰直角三角形 C •斜三角形 D •等边三角形9•如图，非零向量OA a,OB b 且BCOA,C 为垂足,若OC a,则A.a b |a|2—*■ —F a b |a||b|C. D.|a||b| —*■ —»■raJtCPBO11 .如图,■fcl *fc —■—■垂直平分线CP上任意一点，向量OP p，若|a| 4,|b| 2,则p (a b)()A .1 D. 6adb (a i,a2)g(b i,b2)(&b,a2b2).已知m (2,1),n (n,0)，点p(x,y)在y si nx的图像上运动，点Q在2 3y f (x)的图像上运动，LULT且满足OQLTmuuuOPrn (其中0为坐标原点)，则y f (x)的最大值A及最小正周期T分别为( )A. 2,B.2,4C.1-,4 1 D. , 22、填空题：本大题共4小题，每小题4分•共16分.13 .已知a 6, b 8, a b 10，则a b _____________________ .14 .已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________ . ______r r r r 2 r r15.已知e为单位向量，I a |=4, a与e的夹角为，则a在e方向上的投影3为________ .16 .在直角坐标平面内，已知点列P1 1,2 , P2 2,22 ,P3 3,23 , ,P n n,2n ,,如果k为正偶数，则向量RP2 P3P4 P5P6 P k 1 P k的坐标(用k表示)为 ___________ .三、解答题：本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明•证明过程或演算过程.r 2r 1r17. (10分)已知向量a (mx2, 1) , b ( ,x) ( m为常数)，若向量a、mx 112.设a(b| ,b2).定义一种向量积:若A B 、D 三点共线，求k 的值.r r r r19•已知 |a| 2 |b| 3, a 与b 的夹角为 60°,r ur u数k 为何值时，有(1) c // d ,(2) c d .20. （12分）已知平面向量是直线 OP 上的一个动点，求的最小值及此时的坐标.角夹 的[0,—），求实数x 的取值范围2u ur18•设e 、曳是两个不共线的向量,uuu ur in uun AB 2e ke 2,CBu ur uuu ur ur e 3e 2,CD 2e e ，r r r u r rc 5a 3b ,d 3a kb ，当实21. (12分)如图，△ ABC为直角三角形， C 90 ,0A (0, 4),点M在评由上,且AM -(AB AC),点C在x轴上移动. 2(1)求点B的轨迹E的方程;1(2)过点F(0,—)的直线I与曲线E交于P、Q两点，设2的夹角为，若，求实数a的取值范围;2参考答案一•选择题1. B2. D3. B4. C5. A6. A7. C8. A9.二.填空题13. 10 14 15. - 2 16 k 2k 12N(0,a)(a 0),NP与NQA 10. C 11. D 12. C三•解答题 17.解：r rT 向量a 、的夹角 [0 —，2①当m 0时，x 0 ；②当m11 时，x(x )0,x 0.mm综上所述：当m 0时，x 的范围是(,0)；当m 0时，x 的范围是11 (,0)(,);当m 0时，x 的范围是(一,0).mmujuuuuuun ur uu ur ur ur uu18• Q BD CD CB2ee ? e 3仓 e 4e 2，uuu UULT若A B D 三点共线，则 AB 与BD 共线， uuu uuu •••设 AB BD ,即.由于与不共线可得：-故.19.(1)若//,得，(2)若，得. 20 •解：设，XXmXa1XmO•••当有最小值-8.21．（1），2）设直线l 的方程为由知恒成立．。

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于() A ．3AB→ B.AB →C.BA → D.CA→解析：选B.原式＝(AB →＋BA →)＋(AC →－BC →)＝(AB →－AB →)＋(AC →＋CB →)＝0＋AB →＝AB →，故选 B.2．已知i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是()A ．3i ＋2jB ．－2i ＋3jC ．－3i ＋2jD ．2i －3j解析：选C.2i ＋3j ＝(2，3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3，2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．3．下列说法正确的是()A ．两个单位向量的数量积为 1B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝cC.AB →＝OA →－OB→D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b解析：选D.A 中，两向量的夹角不确定，故A 错；B 中，若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向，则不成立，故B 错；C 中，应为AB →＝OB →－OA →，故C 错；D 中，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b ，故D 正确．4．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是()A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(2，x)，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6，4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.5．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是()A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b 解析：选B.因为|a ＋b |＝|a －b |?(a ＋b )2＝(a －b )2?a ·b ＝0，所以a ⊥b ，选B.6．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(－3，1)，a 与b 的夹角为θ，则tan θ等于() A.13B ．－13C ．3D ．－3解析：选D.由题意，得a ·b ＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a |＝5，|b |＝10，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－5510＝－110. ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝1－cos 2θ＝310，∴tan θ＝sin θcos θ＝－3. 7．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC→＝2AD →，则顶点D 的坐标为() A ．(2，72) B ．(2，－12)。

第二章 能力测评(考试时间：120分钟；满分：150分)姓名：____________ 班级：____________ 成绩：____________一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b 为两个单位向量，下列结论正确的是( ) A ．a 与b 相等B ．若a 与b 平行，则a 与b 相等C ．若a 与b 方向相同，则a 与b 相等D ．|a ＋b |＝2 【答案】C2．下列四个等式中正确的是( ) A.AB →＋BA →＝0 B.AB →＝OA →－OB → C ．a ·b －b ·a ＝0D ．(AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋CO →＝AB → 【答案】D3．若OC →＝23OA →＋13OB →，则( )A.AC →＝13AB →B.AC →＝23AB →C.AC →＝－13AB →D.AC →＝－23AB →【答案】A4．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3 D ．－11 【答案】C5．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】C6．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n )共线且方向相同，则n 等于( )A.12 B ．±12C ．2D ．±2【答案】C7．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)且(k a ＋b )⊥(a －3b )，则k 的值为( ) A ．17 B ．18 C ．19 D ．20【答案】C8．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a ，b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 【答案】B9．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( ) A ．λ>103B ．λ≥103C ．λ<103D ．λ≤103【答案】A【解析】设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－3λ＋10λ2＋4×34.∵θ为钝角，∴cos θ<0且cos θ≠－1.即－3λ＋10<0且－3λ＋10λ2＋4×34≠－1，解得λ>103.故选A. 10．以方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x 2＋y 2＝4的两组解(x 1，y 1)，(x 2，y 2)分别为A ，B 两点的坐标，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝12，则a 的值为( )A ．4B ．－4C ．4或－4D ．不存在【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x 2＋y 2＝4，得2x 2－2ax ＋a 2－4＝0，∴x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a 2－42.∴OA →·OB→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(a －x 1)(a －x 2)＝2x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＝a 2－4.∴a 2－4＝12，∴a ＝4或a ＝－4. ∵Δ＝4a 2－8(a 2－4)≥0，∴－22≤a ≤2 2. ∴a ＝4或－4不合题意． 故选D.11．(2015年河南模拟)在△ABC 中，M 为BC 边上的任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1【答案】A【解析】设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋12tBC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2.∴λ＋μ＝12，故选A.12．(2015年安徽模拟)如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为( )A.92 B ．9 C －92 D ．－9【答案】C【解析】∵圆心O 是直径AB 的中点，∴PA →＋PB →＝2PO →.∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →.∵PO →与PC →共线且方向相反，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2×|PO →|·|PC →|＝－2×|PO →|×(3－|PO→|)，∴当|PO →|＝32时，(PA →＋PB →)·PC →取最小值且最小值为－92，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．已知AB →＝(2，－1)，AC →＝(－4,1)，则BC →＝__________________. 【答案】(－6,2)【解析】BC →＝AC →－AB →＝(－4,1)－(2，－1)＝(－6,2)．14．设a ＝(－4,3)，b ＝(5,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.【答案】57【解析】a 2＝(－4)2＋32＝25，a ·b ＝－4×5＋3×2＝－14，∴2|a |2－12a ·b ＝2×25－12×(－14)＝57. 15．已知向量a ＝(1,1)与a ＋2b 的方向相同，则a ·b 的取值范围是__________________．【答案】(－1，＋∞)【解析】a ＝λ(a ＋2b )(λ>0)，∴b ＝1－λ2λa ，∴a ·b ＝1－λ2λa 2＝1－λ2λ×2＝1－λλ＝－1＋1λ>－1，∴a ·b 的取值范围是(－1，＋∞)．16．在△ABC 中，|AC →|＝5，|BC →|＝3，|AB →|＝6，则AB →·CA →＝________________. 【答案】－26【解析】∵CB →＝CA →＋AB →，∴CB →2＝CA →2＋AB →2＋2CA →·AB →，即32＝52＋62＋2CA →·AB →，解得CA →·AB →＝－26.三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17．(本题满分10分)若向量a 的始点为A (－2,4)，终点为B (2,1)，求： (1)向量a 的模；(2)与向量a 平行的单位向量的坐标； (3)与向量a 垂直的单位向量的坐标．【解析】(1)∵a ＝AB →＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋－32＝5.(2)与向量a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即与向量a 平行的单位向量为45，－35或－45，35. (3)设与向量a 垂直的单位向量是e ＝(m ，n )，则4m －3n ＝0.又m 2＋n 2＝1，解得m ＝35，n ＝45或m ＝－35，n ＝－45.即与向量a 垂直的单位向量是35，45或－35，－45.18．(本题满分12分)已知a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)． (1)求a ·b ，|a ＋b |； (2)求a 与b 的夹角的余弦值．【解析】(1)a ＝3e 1－2e 2＝3(1,0)－2(0,1)＝(3，－2)，b ＝4e 1＋e 2＝4(1,0)＋(0,1)＝(4,1)．∴a ·b ＝4×3＋(－2)×1＝10.a ＋b ＝(7，－1)，|a ＋b |＝72＋－12＝50＝5 2.(2)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝1013·17＝10221221.19．(本题满分12分)已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (－5，－1)，B (4,1)，C (0,4)． (1)求△ABC 的面积；(2)若四边形ABCD 为平行四边形，求D 点坐标． 【解析】(1)设AB 边上的高为CE ，E (x ，y )， 则CE →＝(x ，y －4)，AE →＝(x ＋5，y ＋1)，AB →＝(9,2)． 由于CE →⊥AB →，则9x ＋2(y －4)＝0.① 又AE →与AB →共线，则2(x ＋5)－9(y ＋1)＝0.② 由①②，解得x ＝1417，y ＝517，∴CE →＝1417，－6317.∴S △ABC ＝12|AB →||CE →|＝1285×142＋632172＝352. (2)设D (x ，y )，∵AD →＝(x ＋5，y ＋1)，BC →＝(－4,3)， 又AD →＝BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5＝－4，y ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝2.∴D (－9,2)．20．(本题满分12分)某一物体被两条等长的绳子挂在天花板上，如果物体受到的重力为G 且|G |＝680 N ，两绳子的夹角为θ(0<θ<π)，两绳子受到的拉力分别为F 1，F 2且|F 1|＝|F 2|.(1)用θ表示|F 1|，并说明θ增大时，|F 1|的大小如何变化；(2)若绳子能够承受的最大拉力是680 N ，那么θ在什么范围内绳子才不会断？ 【解析】(1)|F 1|＝|G|2cos θ2＝340cosθ2，∵0<θ<π，∴|F 1|＝340cosθ2随θ增大而增大．(2)令|F 1|≤680，则cos θ2≥12.∵0<θ<π，∴0<θ2≤π3，即0<θ≤2π3.∴θ在0， 2π3]时，绳子才不会断．21．(本题满分12分)在△ABC 中，AB →＝(－2,3)，AC →＝(1，m )且△ABC 的一个内角为直角，求m 的值．【解析】当A ＝90°时，AB →·AC →＝0，即－2＋3m ＝0， ∴m ＝23.当B ＝90°时，BC →＝BA →＋AC →＝(2，－3)＋(1，m )＝(3，m －3)，BA →·BC →＝0,6－3(m －3)＝0，∴m ＝5.当C ＝90°时，CA →·CB →＝0,3－m (3－m )＝0， 即m 2－3m ＋3＝0，此时m 无解．∴C 不可能为直角． 综上所述，m 的值为23或5.22．(本题满分12分)如图，设G 为△ABO 的重心，过G 的直线与边OA ，OB 分别交于点P 和Q .设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝x a ，OQ →＝y b .(1)用a ，b 表示GP →，QG →； (2)求函数y ＝f (x )的解析式；(3)判断函数y ＝f (x )在其定义域上的单调性，并求其值域． 【解析】(1)OG →＝23OM →＝23×12(a ＋b )＝13(a ＋b )，GP →＝OP →－OG →＝x a －13(a ＋b )＝x －13a －13b ， QG →＝OG →－OQ →＝13(a ＋b )－y b ＝13a ＋13－y b . (2)∵GP →与QG →共线，a 与b 不共线，x －1313＝－1313－y ，整理得y ＝x 3x －112≤x ≤1.(3)设12≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13x 1－1－x 23x 2－1＝x 2－x 13x 1－13x 2－1.∵12≤x 1<x 2≤1，∴x 2－x 1>0,3x 1－1>0,3x 2－1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴y ＝f (x )在[12，1]是单调递减函数．∴f (1)≤f (x )≤f12，即12≤f (x )≤1，∴f (x )的值域1 2，1].为[。

第一、二章综合(zōnghé)才能检测题本套试卷分第一卷选择题和第二卷非选择题两局部，满分是150分，时间是120分钟。

第一卷(选择题 一共60分)一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面只有一个是符合题目要求的)1．点C 在线段AB 上，且AC →＝25AB →，假设AC →＝λBC →，那么λ等于( ) A.23 B.32 C ．－23D ．－32[答案] C[解析] 由AC →＝25AB →知，|AC →||BC →|＝23，且方向相反，∴AC →＝－23BC →，∴λ＝－23.2．要想得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只须将y ＝cos x 的图象( )A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移5π6个单位D ．向左平移5π6个单位[答案] C[解析] ∵y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －5π6，∴将y ＝cos x 的图象(tú xiànɡ)向右移5π6个单位可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．3．设e 1与e 2是不一共线向量，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，假设a ∥b 且a ≠b ，那么实数k 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1 [答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)， ∴k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，∵e 1与e 2不一共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0λk －1＝0，∴λ＝k ＝±1，∵a ≠b ，∴k ≠1.[点评] e 1与e 2不一共线，又a ∥b ，∴可知1k ＝k1，∴k ＝±1，∵a ≠b ，∴k ＝－1.一般地，假设e 1与e 2不一共线，a ＝m e 1＋n e 2，b ＝λe 1＋μe 2，假设a ∥b ，那么有m λ＝n μ.4．假设sin θ＝m ，|m |<1，－180°<θ<－90°，那么tan θ等于( ) A.m1－m2B ．－m1－m2C ．±m1－m2D ．－1－m2m[答案(dá àn)] B[解析] ∵－180°<θ<－90°， ∴sin θ＝m <0，tan θ>0， 故可知tan θ＝－m 1－m2.5．△ABC 中，AB →·BC →<0，BC →·AC →<0，那么该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 [答案] C[解析] 由AB →·BC →<0知，∠ABC 为锐角；由BC →·AC →<0知∠ACB 为钝角，应选C. 6．设α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，那么α2所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] ∵α为第二象限角，∴α2为第一或者三象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2≤0，∴选C.7．点A (2，－1)，B (4,2)，点P 在x 轴上，当PA →·PB →取最小值时，P 点的坐标是( ) A ．(2,0)B ．(4,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，0 D ．(3,0) [答案(dá àn)] D[解析] 设P (x,0)，那么PA →＝(2－x ，－1)，PB →＝(4－x,2)，PA →·PB →＝(2－x )(4－x )－2＝x 2－6x ＋6＝(x －3)2－3，当x ＝3时，取最小值－3，∴P (3,0)．8．O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，那么△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B[解析] ∵|OB →－OC →|＝|OC →＋OB →－2OA →|，∴|CB →|＝|AB →＋AC →|，由向量加法的平行四边形法那么知，以AB 、AC 为邻边的平行四边形两对角线长度相等，∴AB →⊥AC →.9．如图是函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)一个周期的图象，那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于( )A. 2B.22C ．2＋ 2D ．2 2[答案(dá àn)] A[解析] 由图知：T ＝8＝2πω，∴ω＝π4，又A ＝2，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋(5)＋f (6)＝2sin π4＋sin 2π4＋sin 3π4＋sin 4π4＋sin 5π4＋sin 6π4＝2sin 3π4＝ 2.[点评] 观察图象可知f (x )的图象关于点(4,0)中心对称，故f (3)＋f (5)＝0，f (2)＋f (6)＝0，又f (4)＝0，故原式＝f (1)＝ 2.10．y ＝A sin(ωx ＋φ)在同一周期内，x ＝π9时有最大值12，x ＝4π9时有最小值－12，那么函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6D ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6[答案] B[解析] 由条件x ＝π9时有最大值12，x ＝4π9时有最小值－12可知，A ＝12，T 2＝4π9－π9，∴T ＝2π3，∴ω＝3，∴y ＝12sin(3x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π9，12代入得，12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ，∴π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π6， 取k ＝0知选B.11．设点O 是面积(miàn jī)为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，那么△AOC 的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.13 [答案] B[解析] 如图，以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，那么OD →＝OA →＋OB →，结合条件OA →＋OB →＋2OC →＝0知，OD →＝－2OC →，设OD 交AB 于M ，那么(nà me)OD →＝2OM →，∴OM →＝－OC →， 故O 为CM 的中点，∴S △AOC ＝12S △CAM ＝14S △ABC ＝14×4＝1.12．sin α＋cos α＝713 (0<α<π)，那么tan α＝( )A ．－512B ．－125C.512D ．－125或者－512[答案] B[解析] 解法一：∵sin α＋cos α＝713，0<713<1,0<α<π，∴π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0，且|sin α|>|cos α|， ∴tan α<0且|tan α|>1，应选B.解法二：两边平方得sin αcos α＝－60169，∴tan αtan 2α＋1＝－60169，∴60tan 2α＋169tan α＋60＝0， ∴(12tan α＋5)(5tan α＋12)＝0， ∴tan α＝－125或者－512，∵0<α<π，sin α＋cos α＝713>0，∴tan α＝－125. 第二卷(非选择题 一共90分)二、填空题(本大题一一共4个小题，每一小题4分，一共16分，把正确答案填在题中横线上)13．扇形(shàn xínɡ)的圆心角为72°，半径为20cm ，那么扇形的面积为________． [答案] 8πcm 2[解析] ∵72°＝π180×72＝2π5，∴l ＝2π5×20＝8π，S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．14．a ＝(3,4)，b ＝(2，m )且a 与b 夹角为锐角，那么m 的取值范围是________． [答案] m >－32且m ≠83[解析] a ·b ＝6＋4m >0，∴m >－32，又当a 与b 同向时，23＝m 4，∴m ＝83，故m >－32且m ≠83.15．集合A ＝{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z }，B ＝{x |sin x >12}，那么A ∩B ＝________.[答案] {x |π6＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z }∪{x |3π4＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }[解析] B ＝{x |π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }．如图可求A ∩B .16．θ为第三象限角，1－sin θcos θ－3cos 2θ＝0，那么5sin 2θ＋3sin θcos θ＝________.[答案(dá àn)]265[解析] ∵1－sin θcos θ－3cos 2θ＝0， ∴sin 2θ－sin θcos θ－2cos 2θ＝0， ∴(sin θ－2cos θ)(sin θ＋cos θ)＝0， ∵θ为第三象限角，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＝2cos θ，∴tan θ＝2，∴5sin 2θ＋3sin θcos θ＝5tan 2θ＋3tan θtan 2θ＋1＝265.三、解答题(本大题一一共6个小题，一共74分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(此题满分是12分)cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝－12，求 cos(θ＋π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ[]cos(3π－θ)－1＋cos(θ－2π)cos(－θ)·cos (π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π2的值．[解析] ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝－12，∴sin θ＝12，原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ＝8. 18．(此题满分是12分)A (－1,2)，B (2,8)． (1)假设AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，求CD →的坐标；(2)设G (0,5)，假设AE →⊥BG →，BE →∥BG →，求E 点坐标． [解析] (1)∵AB →＝(3,6)，AC →＝13AB →＝(1,2)，DA →＝－23AB →＝(－2，－4)，∴C (0,4)，D (1,6)，∴CD →＝(1,2)．(2)设E (x ，y )，那么(nà me)AE →＝(x ＋1，y －2)，BE →＝(x －2，y －8)，∵BG →＝(－2，－3)，AE →⊥BG →，BE →∥BG →，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2(x ＋1)－3(y －2)＝0－3(x －2)＋2(y －8)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2213y ＝3213.∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2213，3213.19．(此题满分是12分)在▱ABCD 中，点M 在AB 上，且AM ＝3MB ，点N 在BD 上，且BN →＝λBD →，C 、M 、N 三点一共线，求λ的值．[证明] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，那么BD →＝e 2－e 1， BN →＝λBD →＝λ(e 2－e 1)，MB →＝14AB →＝14e 1，BC →＝AD →＝e 2，∴MC →＝MB →＋BC → ＝14e 1＋e 2， MN →＝MB →＋BN →＝14e 1＋λ(e 2－e 1)＝λe 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－λe 1，∵M 、N 、C 一共线，∴MN →与MC →一共线， ∵e 1与e 2不一共线，∴14－λ14＝λ1，∴λ＝15.20．(此题满分是12分)是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x －1＋58a 在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上最大值为1？假设存在，求出对应的a 值，假设不存在，说明理由． [解析(jiě xī)] y ＝－cos 2x ＋a cos x ＋5a 8＝－(cos x －a2)2＋a 24＋5a8，∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1，∵最大值为1，∴(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤1a 24＋5a8＝1或者(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧a2<05a8＝1或者(Ⅲ)⎩⎪⎨⎪⎧a2>1－1＋a ＋5a8＝1，由(Ⅰ)解得a ＝89－54，(Ⅱ)(Ⅲ)无解， ∴a ＝89－54. [点评] 此类问题一般把cos x (或者sin x )看成未知数整理为二次函数，然后由x 的范围，得出cos x (或者sin x )的取值范围A 后，分为①A 在对称轴左侧(或者右侧)，用单调性讨论；②对称轴在A 内，在顶点处获得最值．试一试解答下题：是否存在实数λ，使函数f (x )＝－2sin 2x －4λcos x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的最小值是－32？假设存在，求出对应的λ值，假设不存在，试说明理由． 答案为λ＝58或者12. 21．(此题满分是12分)(1)角α的终边经过点P (sin150°，cos150°)，求tan α.(2)角α的终边在直线y ＝－3x 上，求sin α、cos α.[解析] (1)∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴tan α＝－3212＝－ 3. (2)在角α终边上任取一点P (x ，y )，那么y ＝－3x ，P 点到原点间隔 r ＝x 2＋y 2＝10|x |，当x >0时，r ＝10x ，∴sin α＝yr ＝－3x 10x＝－31010， cos α＝xr ＝x 10x ＝1010， 当x <0时，r ＝－10x ，∴sin α＝y r ＝31010， cos α＝xr ＝－1010.22．(此题满分(mǎn fēn)是14分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如下图．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调减区间，并指出f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；(3)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？[解析] (1)由图知A ＝3，34T ＝4π－π4＝15π4， ∴T ＝5π，∴ω＝25，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ， ∵过(4π，－3)，∴－3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π5＋φ， ∴8π5＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－21π10， ∵|φ|<π2，∴φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10. (2)由2k π＋π2≤25x －π10≤2k π＋3π2得， 5k π＋3π2≤x ≤5k π＋4π (k ∈Z )， ∴函数(hánshù)f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5k π＋3π2，5k π＋4π (k ∈Z )． 函数f (x )的最大值为3，取到最大值时x 的集合为{x |x ＝5k π＋3π2，k ∈Z }． (3)解法一：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－π10＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－π10＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－3π5 ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2， 故至少须左移3π2个单位才能使所对应函数为偶函数． 解法二：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－π10的图象的对称轴方程为25x －π10＝k π＋π2，∴x ＝5k π2＋3π2，当k ＝0时，x ＝3π2，k ＝－1时，x ＝－π，故至少左移3π2个单位． 解法三：函数f (x )在原点右边第一个最大值点为2x 5－π10＝π2，∴x ＝3π2，把该点左移到y 轴上，需平移3π2个单位． 解法四：观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0点变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π4，0或者把点(4π，－3)变为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，－3等，可知应左移3π2个单位．内容总结（1）第一、二章综合才能检测题本套试卷分第一卷选择题和第二卷非选择题两局部，满分是150分，时间是120分钟。

2018--2019学年第一学期高一数学综合测试二答案一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1） A. 0sin15cos15 B. 22cos sin1212ππ- C. 001tan151tan15+-【答案】B【解析】A. 0011sin15cos15sin3024==B ．22cossin cos121262πππ-==C ． 001tan151tan15+-=tan 60=D ．cos15=故答案为B.2．θ为锐角，sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1tan tan θθ+=（ ） A ．2512B ．724 C．247 D ．1225【答案】A【解析】因为θ为锐角，且sin()410θπ-=，所以(0,)42θππ-∈，所以cos()410θπ-=，所以1tan()47θπ-=，即tan tan1471tan tan 4θθπ-=π+，解得3tan 4θ=，所以13425tan tan 4312θθ+=+=，故选A ．3．函数sin 22y x x =的图象的一条对称轴方程为（ ）A ． π12x =B ． π12x =-C． π6x = D ． π6x =- 【答案】B4．已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）C. D. 【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,25AB CD AB AB CD AB AB CD⋅=⋅== 故选B.5．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】A 【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABACλ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+16λ∴=, 4a = 故答案选A .6．已知向量312BA ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】 C7．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e＋2e D. 21e ＋2e 【答案】C8．已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为A. 1B. 1-C. 3D. 3- 【答案】D 【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k-⋅=+=⇒=-，选D.9．将余弦曲线cos y x =上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把 B. sin3y x =- C. sin3y x = D. 【答案】B【解析】将余弦曲线cos y x =上所有点的横坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为cos3y x =；再把所得各点向左平移选B. 10．在矩形ABCD 中， 3AB =， BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0C. 4- D. 4【答案】C 【解析】11．将函数的值可能为（） B. D.【答案】D12．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线）【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若角α的终边经过点()1,2--，则2sin2cosαα+=____________.【答案】12sin2cosαα+=14．已知ABC∆是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PA PB PC⋅+的最小值为【答案】6-【解析】如图建立坐标系，(()(),2,0,2,0A B C -，设(),P x y ， 则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,222PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=--⋅--=+-()222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦， ∴最小值为6-，故选B.15．已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =，1b =，则a b +=16的图象如图所示，则ω=__________，ϕ=__________．【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知向量()()1,3,cos ,sin OA OB a a =-=-，且2AOBp?． （1）求()2sin 2cos sin 2cos 21p a aa a -+++；（2）若α是钝角，a b -是锐角，且()3sin 5a b -=，求sin β的值． 【答案】（1）14；（2【解析】 （1）02AOB OA OB π∠=∴⋅=,1cos 3sin 0tan 3ααα∴--=⇒=-，()222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 11sin 2cos 212sin cos 2cos 2tan 24παααααααααααα-+++===++++ （2）∵α是钝角，1tan 3α=-， cos 1010αα∴=-=， ∵αβ-为锐角，()3sin 5αβ-=， ()4cos 5αβ∴-=．()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ∴=--=---=⎡⎤⎣⎦ 18．（1）已知角α终边上一点()4 3P -，，求. （2，求tan x .【答案】（1（2【解析】试题分析： （1（2或8，又试题解析： （1）∵()4 3P -，，则： （2）由22sin cos 1x x +=，即：，0m =或8，又则：sin 0 cos 0x x ><，，所以：0m =（舍），8m =.19两相邻对称轴间的距离为 （1（2的图象向右平移4倍，的图象，求.【答案】（12【解析】试题分析：（1）由两相邻对称轴间的距离为进而求出（2）先根据图像变换得到.试题解析： 解：（1∴（2）将4.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握..函数是偶函数20．（本小题12分）【2018届江苏省常熟中学高三10月抽测一】已知函数()()sinf x xωϕ=+.（1）求函数()f x的解析式，并求出()f x的单调递增区间；（2）将函数()f x的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2()g x的图象，使得等式()()2312g x a g x⎡⎤+=+⎣⎦成立，求实数a的取值范围.【答案】(1) ()()sin2f x xϕ=+，【解析】试题分析：(1)(2)由题意可得函数()g x的解析式为()g x sinx=，则原问题即为“存在()2312sinx a sin x+=+成立”，结合复合型二次函数的性质可得实数a 的取值范围为试题解析：（1）设函数()f x的周期为T ，由图可知，∴Tπ=，即∵0ω>，∴2ω=，∴()()2f x sin xϕ=+，Zk∈，Zk∈，即()f x 的递增区间为（2）经过图象变换，得到函数()g x的解析式为()g x sinx=，，使得等式()2312sinx a sin x+=+成立”，即22231a sin x sinx =-++在上有解，令[]0,1t sinx =∈， 即22231a t t =-++在[]0,1t ∈上有解，，∴实数a 的取值范围为21的最大值为，最小值为（1（2），.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）先根据二次函数最值求法，求出（2）先化简函数，再利用变量分离得. 试题解析：（1，令，∴.（2，22．已知向量()2,sin m α=， ()cos ,1n α=-，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求sin2α和cos2α的值； （2）若()sin αβ-=，且0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β. 【答案】（1）4sin25α=， 3cos25α=-；（2）4πβ=. 【解析】试题分析：（1）由已知得2cos sin 0αα-=，从而由22cos sin 1αα+=即可得cos α和sin α，由二倍角公式即可得解；（2）由()sin sin βααβ⎡⎤=--⎣⎦利用两角差的正弦展开即可得解. 试题解析：（1）∵m n ⊥，∴2cos sin 0αα-=， 即sin 2cos αα=.代入22cos sin 1αα+=，得25cos 1α=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=，sin α=则sin22sin cos ααα==425=. 2cos22cos 1αα=-= 132155⨯-=-.。

第二次月综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α是第四象限角，则－α一定是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] A[解析] －α与α的终边关于x 轴对称，则－α是第一象限角． 2．弧长为6，半径为2的扇形圆心角的弧度数的绝对值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6[答案] C[解析] |α|＝l r ＝62＝3.3．(2010·福建高考)计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A .12 B .22 C .33 D .32 [答案] B[解析] 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22.4．角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )A .255B .55C ．－255D ．－55[答案] D[解析] 设P(－1,2)，x ＝－1，y ＝2，则r ＝x 2＋y 2＝5，则cos α＝x r ＝－15＝－55.5．已知tan φ＝－3，则sin φ的值是( ) A .31010 B .310 C ．±31010 D ．±310[答案] C[解析] 由于tan φ＝sin φcos φ， 则cos φ＝sin φtan φ＝－13sin φ， 又sin 2φ＋cos 2φ＝1，则sin 2φ＋⎝⎛⎭⎪⎫－13sin φ2＝1，解得sin φ＝±31010.6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A .AO →＝OD →B .AO →＝2OD →C .AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →[解析] ∵D 为BC 边中点， ∴OB →＋OC →＝2OD →.∴2OA →＋OB →＋OC →＝2OA →＋2OD →＝0. ∴OA →＋OD →＝0， ∴AO →＝OD →.7．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，且|AB →|＝|AD →|，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[答案] B[解析] ∵AC →＝AB →＋AD →， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 又|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．8．将函数y ＝cos 2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1[解析] 将函数y ＝cos 2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. 9．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A .PA →＋PB →＝0 B .PC →＋PA →＝0 C .PB →＋PC →＝0 D .PA →＋PB →＋PC →＝0 [答案] B[解析] ∵BC →＋BA →＝2BP →，由向量加法的平行四边形法则，知P 为AC 的中点．如图．∴PC →＋PA →＝0成立．10．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b＝25，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.13 B.27 C.17 D.23[答案] C[解析] 由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，整理得sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝－45.所以tan α＝－34. 则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝17. 11．已知a ＝(x ，－3)，b ＝(－2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为( )A ．0 B.π4 C.π2 D.3π4[答案] C[解析] b －c ＝(－3,1－y )，a ＋c ＝(x ＋1，y －3)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－3x －3(1－y )＝0，－2(y －3)－(x ＋1)＝0，解得x ＝1，y ＝2.设b 与c 的夹角为θ，则cos θ＝－2＋25×5＝0，所以θ＝π2.12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y ＝f (x )的图象恰好经过k 个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数．下列函数中为一阶格点函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 C ．y ＝lg x D ．y ＝x 2[答案] A[解析] 函数y ＝sin x 的值域是[－1,1]，其中整数函数值有三个－1,0,1，要使sin x 为整数，且x 也为整数，x 只能为0，则函数y ＝sin x 是一阶格点函数；可以判断函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6是0阶格点函数，函数y ＝lg x 的图象经过点(10m ，m )，m ∈Z ，则函数y ＝lg x 不是一阶格点函数；函数y ＝x 2的图象经过无数个格点，如(1,1)，(2,4)，(3,9)，…，则函数y ＝x 2不是一阶格点函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a ∥b ，则实数x ＝________. [答案] 12[解析] ∵a ∥b ，∴1－2x ＝0.∴x ＝12.14．已知向量a 、b 的夹角为π3，|a |＝1，|b |＝3，则|a －b |的值是________．[答案]7[解析] |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7. 15．函数y ＝sin x ＋cos x 的定义域是________． [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )[解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥0，解得2k π≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．16．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.[答案] 9π10[解析] T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－3π4＝5π2，故ω＝45.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋φ.令45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， 则φ＝2k π－11π10，k ∈Z .又－π≤φ<π， 则φ＝9π10.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.[解析] (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式，求得a ·b ＝－6， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝13， ∴|a ＋b |＝13.18．(本题满分12分)(2010·北京高考)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )＝3cos 2x －1，x ∈R .因为cos x ∈[－1,1]， 所以，当cos x ＝±1时，f (x )取最大值2； 当cos x ＝0时，f (x )取最小值－1.19．(本题满分12分)在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC →＝λCA →(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)当λ＝1时，用a 、b 表示OC →； (2)用a 、b 表示OC →.[解析] (1)当λ＝1时，BC →＝CA →，即C 是AB 的中点， ∴OC →＝12(OB →＋OA →)＝12a ＋12b . (2)∵BC →＝λCA →，∴BC →＝λ1＋λBA →.又BA →＝OA →－OB →＝a －b ， ∴BC →＝λ1＋λ(a －b )．∴OC →＝OB →＋BC →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λ1＋λa ＋11＋λb . 20．(本题满分12分)设关于x 的函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值； (2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3的值．[解析] (1)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8是函数f (x )的最值，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1， 又－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3π4＝tan π3－tan 3π41＋tan π3tan 3π4＝3＋11－3＝－2－3.21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x . (1)在给定的坐标系(如图)中，作出函数f (x )在区间[0，π]上的图象；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值和最小值．[分析] 化简函数f (x )的解析式为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用“五点法”画出图象，并讨论最值．[解析] (1)f (x )＝cos2x －sin2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 列表如下： x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π 2x ＋3π4 3π4 π 3π2 2π 5π2 11π4 f (x )1－221(2)由(1)，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，2x ＋3π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， ∴当2x ＋3π4＝π2，即x ＝－π8时，f (x )取得最大值为2； 当2x ＋3π4＝－π4，即x ＝－π2时，f (x )取得最小值为－1.22．(本题满分12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，sin x ，b ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝m (a ·b ＋3sin2x )(m ∈R 且m >0)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移π6个单位长度得到g (x )的图象，试探讨：当x ∈[0，π]时，函数g (x )与y ＝1的图象的交点个数．[分析] (1)将函数f (x )的解析式化简为A sin(ωx ＋φ)的形式来求出周期；(2)先求出函数g (x )的解析式，通过讨论函数g (x )的最大值与1的大小来确定交点的个数．[解析] (1)a ·b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos x －sin 2x＝cos x cos x －sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ， 则f (x )＝m (cos2x ＋3sin2x ) ＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(m ∈R 且m >0)， ∴T ＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)将函数f (x )的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，得y ＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后再将函数y ＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度得到g (x )＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2m sin x . 由于m >0，则当x ∈[0，π]时，0≤g (x )≤2m ， 即函数g (x )的最大值是2m .当2m >1，即m >12时，函数g (x )与y ＝1的图象有2个交点； 当2m ＝1，即m ＝12时，函数g (x )与y ＝1的图象仅有1个交点； 当0<2m <1，即0<m <12时，函数g (x )与y ＝1的图象没有交点．。