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第2章：近轴光学

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近轴光学原理的应用实例

近轴光学原理的应用实例

近轴光学原理的应用实例1. 简介近轴光学原理是光学中的一种重要原理，指的是在近似条件下处理光线传播的方法。

它的应用广泛，并在许多领域得到了应用。

本文将介绍一些典型的近轴光学原理的应用实例。

2. 显微镜显微镜是近轴光学原理的典型应用。

它将物体放置在一组透镜和光源之间，通过这些光学元件将光线聚焦到物体上，并形成放大的像。

近轴光学原理用于计算透镜的放大率和物体的放大倍数，帮助人们观察微小的物体。

在显微镜中，透镜的焦距和物体距离透镜的距离决定了物体的清晰度和放大倍数。

此外，显微镜还可以通过调整镜筒长度来调整焦距，以实现不同放大率的观察。

3. 望远镜望远镜也是近轴光学原理的重要应用。

望远镜使用一组透镜或反射镜将远处的物体的光线聚焦到眼睛上，从而实现远处物体的放大观察。

根据近轴光学原理，望远镜的放大倍数可以通过主镜和目镜的焦距比来确定。

加入视场镜头后，可以进一步扩大可观测的范围。

4. 摄影机近轴光学原理也被广泛应用于摄影机中。

摄影机使用镜头将景物的光线聚焦到感光器上，以实现图像的捕捉。

镜头的焦距决定了摄影机的视野范围和景深。

利用近轴光学原理，摄影师可以选择合适的镜头来获得所需的拍摄效果。

5. 投影仪投影仪也是近轴光学原理的应用实例之一。

投影仪使用透镜将图像从光源反射到投影屏幕上，以生成放大的图像。

透镜的焦距和投影距离决定了图像的放大倍数和清晰度。

近轴光学原理可以帮助投影仪设计人员计算所需的透镜参数，以实现最佳的投影效果。

6. 光学显微成像近轴光学原理在光学显微成像中也有重要应用。

光学显微镜使用透镜、反射镜和其他光学元件将样品的光线聚焦到成像平面上，以获得清晰的显微图像。

透镜和镜片的位置、焦距以及光源的位置和强度等参数决定了显微镜的分辨率和放大倍数。

通过近轴光学原理的应用，可以优化显微镜的设计，提高成像质量。

7. 激光器激光器是一种将光线聚焦成一束强光的设备，也应用了近轴光学原理。

激光器使用反射器、透镜和光源等元件将光线聚集在一点上，形成高强度的激光束。

[工学]第2章：近轴光学

[工学]第2章：近轴光学
而且各个折（反）射面的对称轴是共同的，即为共轴光轴系 统。下面的讨论都是针对共轴系统的。对于共轴系统，近轴光
线的计算可以一面一面的逐次计算。因为从第一面开始可以将 前一面计算出的像点作为下一面的物点，利用式(2-9)或式(2-21) 循环计算，直至最后一个折射面。其间要解决好两个问题，一 是随着前一面计算结束向后一面过渡时应将坐标原点同时从从 前一面的顶点移到后一面的顶点，即坐标原点一定是当前计算 面的顶点；二是要建立前一面计算结果与后一面起算数椐之间 的联系。
+ a4h4 + a6h6 + a8h8 + a10h10...
(1-47) (1-51) (1-52)
(h2 = x2 + y2 )
近轴范围
y
x
O
z
图2-2 透镜曲面方程所采用的坐标系
在光学系统的近轴范围内，其折射面或反射面的面形可以由
下式表示
z = 1 ch2 2
(2-1)
近轴范围
现以球面为例看看这个近轴球面定义的实质，由球面方程 式(1-44)考查比较直接。在式(1-44)中如果h与r 相比很小，允许
因为有 [PDGEP′] = [PD] + [DG]) + [GE ] + [EP′] 和 [POKP′] = [PO] + [OK ] + [KP′] 将上述这些结果代入式(2-2)，有
[OK ] = [DG] + [GE ]
(2-2) (2-3)
2.2单个近轴球面的性质
又因为是在近轴范围内讨论问题，所以椐式(2-1)有
− y′ = l′ − r y −l+r
即
y′ = l′ − r y l−r

1几何光学(2)

1几何光学(2)

n′ ′ s0 = − r ; s0 = n QC n′ = r r= MC n MC n =r r= n′ Q′C
n r n′ n′
M
i′
i
′ Q
′ n
• O
n n′ n
•
′ u •u
Q
•
C
n
⇒ ∠QMC ≈ ∠MQ′C
显微镜就是工作于齐明点 调节镜头与样品的工作距 显微镜就是工作于齐明点----调节镜头与样品的工作距 就是工作于齐明点 离，以使样品台上的小物处于齐明点上。 以使样品台上的小物处于齐明点上 小物处于齐明点
色像差及其矫正
1 1 f =( − ) − n 1 r r 1 2
− 1
单球面折射系统近轴成像 折射系统 单球面折射系统近轴成像
1. 单球面折射系统的近轴成像公式
2. 单球面折射系统的焦点 3. 高斯公式 4. 单球面折射系统的放大率
对单球面折射 一般而言只能实现傍轴成像， 折射， 对单球面 折射 ， 一般而言只能实现傍轴成像 ， 但是 齐明点（一对特殊共轭点）可以宽光束严格成像。 齐明点（一对特殊共轭点）可以宽光束严格成像。
这对共轭点，有若干特殊的性质：从Q发出一入射光线,倾角为u, 折射角为i′,则u = i′；此时出射光线倾角u′ = i；当u = π 2 → i′ = π 2 , 折射光线恰好沿球面在该点的切线方向
理想光学系统： 理想光学系统：从物点到像点的各光线的光程相 等，物像之间的等光程性 F： MAX ？ MIN ？ CON. ：
3. “物” “像”的定义 物
实物 虚物 实像 虚像 未经光学系统变换的发散同心光束的心，称为实物． 未经光学系统变换的发散同心光束的心，称为实物． 光学系统变换的发散同心光束的心 未经光学系统变换的会聚同心光束的心 称为虚物． 光学系统变换的会聚同心光束的心， 未经光学系统变换的会聚同心光束的心，称为虚物． 光学系统变换后的会聚同心光束的心，称为实像． 经光学系统变换后的会聚同心光束的心，称为实像． 光学系统变换后的发散同心光束的心，称为虚像． 经光学系统变换后的发散同心光束的心，称为虚像．

几何光学 第二章 球面和球面系统

几何光学 第二章 球面和球面系统
1 反射面只是折射面在 n ' n 的特殊情况 2 平面是半径为无穷大的球面
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'

理想光学系统

理想光学系统

第三节 理想光学系统的物像关系
几何光学的基本内容之一是求像，即对于确定的 光学系统，给定物体的位置、大小、方向，求像的位 置、大小、正倒及虚实。常用的用以求取物象位置关 系的方法有二种：一为图解法，一为解析法。 一、图解法求像
图解法求像的定义
已知一个光学系统的主点(主面)和焦点的位置， 利用光线通过这些基点后表现的性质，对物空间给 定的点、线和面，通过画图追踪典型光线的方法求 像。
工程光学
石家庄铁道大学
机械工程学院
总第三讲
第二章 理想光学系统
Perfect Optical System

光学系统的具体结构（r、d、n） 实际光学系统与高斯（近轴）光学系统 研究光学系统成像的目的在于将高斯光学 完善成像的理论推广到任意大的空间，本 章的主要内容即介绍建立在高斯光学之上 的所谓理想光学系统，并研究理想光学系 统的主要光学参数、成像关系、放大率以 及光组组合和透镜。
可选择的典型光线和可利用的性质： ①平行于光轴入射的光线，经系统后过像方焦点； ②过物方焦点的光线，经过系统后平行于光轴； ③倾斜于光轴入射的平行光束经过系统后会交于像 方焦平面上的一点； ④自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜 于光轴的平行光束； ⑤共轭光线在主面上的投射高度相等。 欲在理想光学系统条件下确定像点位置，只需 求出其对应物点发出的两条特定光线在像空间的共 轭光线，其交点即为所求像点。
总第三讲
３、主点与主平面
Q
Q'
h
f
'
h tanU '
F
U
H
H'
U
'
h'
F'
f
h tan U

近轴光学系统的特点

近轴光学系统的特点

近轴光学系统的特点近轴光学系统是指光线在光学系统中传播时，光线的主光轴与系统光轴重合的光学系统。

它是光学系统中最基本的一种形式，也是光学设计和分析的基础。

近轴光学系统的特点主要有以下几个方面：1. 光线近似平行于主光轴传播：近轴光学系统中，光线在系统中传播时，通常是近似平行于主光轴的。

这是因为近轴光学系统中光线的入射角非常小，可以近似为零。

这种情况下，光线的传播可以用几何光学理论进行分析和计算。

2. 球面折射和球面反射的近似：近轴光学系统中，光线的折射和反射通常可以近似为球面折射和球面反射。

这是因为光线的入射角非常小，可以近似为垂直于球面的情况。

这样可以简化光线的计算和分析，使光学系统的设计更加简便。

3. 轴向畸变的影响较小：近轴光学系统中，轴向畸变的影响相对较小。

轴向畸变是指光线通过光学系统后，不同波长的光线聚焦位置不一致的现象。

由于近轴光学系统中入射角接近于零，轴向畸变的影响也相对较小。

这使得近轴光学系统在实际应用中更加稳定和可靠。

4. 非轴向畸变的影响较大：近轴光学系统中，非轴向畸变的影响相对较大。

非轴向畸变是指光线通过光学系统后，不同位置的光线聚焦位置不一致的现象。

由于近轴光学系统中光线的入射角接近于零，非轴向畸变的影响相对较大。

这对于光学系统的设计和分析提出了更高的要求。

5. 光线传播的近似解析表达：近轴光学系统中，光线的传播可以用近似解析表达式进行描述。

近轴光学系统中的光线传播可以用几何光学理论进行分析和计算，可以得到近似解析的表达式。

这使得对光学系统的光学性能进行定量分析和优化设计更加方便和高效。

总结起来，近轴光学系统是指光线在光学系统中传播时，光线的主光轴与系统光轴重合的光学系统。

它具有光线近似平行于主光轴传播、球面折射和球面反射的近似、轴向畸变影响较小、非轴向畸变影响较大、光线传播的近似解析表达等特点。

这些特点使得近轴光学系统在光学设计和分析中具有重要的作用，为光学系统的设计、优化和应用提供了基础和便利。

[理学]第二章第三节光路计算与近轴光学系统_OK

J 称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用这一性质， 在物方参数固定后，通过改变 u’ 来控制 y’ 的大小，
也就是可以通过控制像方孔径角来控制横向放大率41。
例1-3：已知一个光学系统的结构参数，
r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163, l = - 240mm, y=20mm 已求出：l’=151.838mm， 现求β, y’ （横向放大率与像的大小）
u' u i i' 0.017 0.12886 0.085 0.02686
l' r(1 i' ) 36.48(1 0.085 ) 151.923mm
u'
0.02686
与大 L 公式计算的结果比较：L’ = 150.7065mm.(215°)
近轴光学的基本公式的推导
对于近轴光而言，AO = -l，OA’ = l’，tgu = u，tgu’ = u’
y -u
A
-l
h
C u’
A’
O
r
-y’
l’
B’
△ABC ∽ △A’B’C 有：
y' l' r y l r
由阿贝不变量公式可得： l ' r nl ' 代入上式 l r n' l
可得： y' nl'
y n' l
可见β只取决于介质折射率和物体位置。31
对横向放大率的讨论
根据β的定义和公式，可以 确定物体的成像特性：
y' nl'
y n' l
还可发现，当物体由远而近时，
即 l 变小，则β增大
成像的位置、大小、虚实、 倒正极为重要！！！
34

第二章理想光学系统


8
一对主平面，加上无限远轴上物点和像方焦点F′，以及 物方焦点F和无限远轴上像点这两对共轭点，就是最常用 的共轭系统的基点，它们构成了光学系统的基本模型， 可以和具体的系统相对应。
理想光 学系统 简化图
9
§2-3 理想光学系统的物像关系
一、图解法求像 指已知一个理想光学系统的主点（主面）和焦点位置，利用 光线通过它们后的性质，对物空间给定的点、线和面，通过 画图追踪典型光线求出像的方法。 典型的光线有： ①平行于光轴入射光线，出射光线经过像方焦点。 ②过物方焦点的光线，出射光线平行于光轴。 ③倾斜于光轴的平行光束入射后会交于像方焦平面上一点。 ④自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的 平行光束。 ⑤共轭光线在主面上的投射高度相等。
五、应用（用平行光管测定焦距）
y f tg
23
§2-5 理想光学系统的组合
当两个或两个以上光学系统组合在一起时，求其等效系 统，等效焦距、焦点、主点。 一、两个光组组合分析 已知两光学系统的焦距分别为 f1 , f1, f 2 , f 2 两者之间的相对位置用第一系统的像方焦点到第二系统 的物方焦点的距离Δ （光学间隔，顺光线为正）。
该方法称为正切计算法。
28
例1：远摄型光组。设单个光组由两个薄光组组合而成。
f1 500mm, f 2 40mm, d 300mm .
求组合光组的焦距，像方主面位置，像方焦点位 置。并比较筒长与焦距的大小。
29
例2：反远距型光组。已知
f1 35mm, f 2 25mm, d 15mm .
曲率半径 D为透镜两球面顶点距离。 的倒数 2 1 n 1 n 11 2 d 1 2 f n 主面位置： 相应焦点位置：

光学第二章


例题1 例题1 一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长为 20cm,两端的曲率半径为2cm.若在离哑 铃左端5cm处的轴上有一发光点，试求 像点的位置和性质
例题2 例题2 曲率半径为R，折射率为1.5的玻璃球， 在右半个球面上镀上铝膜，若平行光由 左→右传播，问最后象的位置与性质
§2-4 近轴物体经单球面成像的性质 一.近轴物体成理想像条件 1 轴外物点Q发出的所有光线到 像点Q’的光程都应相等：
例题1 例题1 如图，已知P′Q′为PQ的像，作图求物像方 焦点的位置及球面的曲率中心 例题2 例题2 如图，已知物体PQ，像方焦点的位置及 曲率中心，作图确定像的位置以及物方 焦点的位置
§2-5 共轴球面系统的基点与基面 理想光具组： 共轴球面系统+近轴条件 一.共轴球面系统的成像 方法1：逐次成像，依次计算，比较繁琐 方法2：简化处理，找一个等效光具组来 代替整个共轴光学系统,一次成像
n' n' f '= r= n'−n Φ
• 物方焦点F 主光轴上S′=∞的像点的共轭物点 S 物方焦距为：
n n f =− r =− n'−n Φ
• 两焦距的关系 说明：
f'
n' =− f n
• n与n′大于零,所以两焦点分居顶点两侧 • n≠n′,所以两焦点关于球面顶点不对称
• 高斯公式
f' S' f + S =1
任意光线经 过平面镜反 射后均相交 于一点
成像特点： 成像特点： • 反射光束仍为单心光束。平面镜反射成 理想像，为一理想光具组 • 成一与物等大且关于镜面对称的正立的 虚像 • 物方、象方在同一侧
二. 光在平面上的折射 1. 平面折射为非理想成像 不同入射角的光经过平面折射后不相 交于一点，光束的单心性被坏 ！！！

2第二章理想光学系统(精通)


h1 r1
经过计算得 l 67.4907, u 0.121869,
焦距为 f h 82.055, tan u
主点位置l f 14.5644在最后折射面
左侧14.5644mm处
2020/6/15
14
3：物像关系
几何光学目的就是求像，（对于确定的光学系 统，给定物体的位置、大小、方向，求像的位 置、大小、正倒及虚实）。
2020/6/15
31
例题2
已知一个透镜把物体放大 -2倍，当透镜向物 体移近20mm时，放大倍数为 -3倍，求一开始 的物距以及透镜的焦距？
1
l l
1
1
f 1
l 2 l 1 (2)
3 (l 20) 1 (3)
l l f
l 180mm, f 2 (180) 120mm, 3
B
A
F
A’ F’
B’
注意：图像法只能求得像的大致位置，至 于具体位置在哪，完全不清楚！因此需要 一种可以定量求得像的位置的方法！！！
2020/6/15
24
解析法（牛顿公式以焦点为基准）
-x
A
FM
-f
H -y
x‘
M’ B’
f'
y’
H’ F’ A’
B
N
N’
-l
ABF MHF
MH
FH
l’
y
f
AB FA y x
二：选择主平面和焦点，在一定程度上决定了 光学系统的成像特性，加上后面的解析公式可 以更加方便的计算。
三：选择主平面的好处：将实际光学系统中多 次折射反射等效于共轭光线的一次偏折代替。
2020/6/15
11
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[PP'] = [PP']
P-E-P' P-O-P'
n(DG+GE)=n'OK
(2-3)
n(DG+GE)=n'OK
h
GE = 1 ch2
2
z = 1 ch2 2
EE' = h DG = − 1 h2
2l
n(DG+GE) = 1 nh2 (c − 1) = 1 nh2 (1 − 1) (2-4)
2
l 2 rl
些情况下用它计算分析更为方便。
n(1 − 1) = n '(1 − 1 )
rl
r l'
物空间 像空间
它是一个不变量，几何光学中称它为阿贝(Abbe)不变量
A = n(1 − 1) = n '(1 − 1 )
(2-9)
rl
r l'
n(1 − 1) = n '(1 − 1 )
rl
r l'
nh(1 − 1) = n 'h(1 − 1 )
rl
r l'
y ' = nl ' = nu y n'l n'u'
像高与物高之比为单个近轴球面 的横向放大率，有时也称垂轴放 大率，用希腊字母β表示，即：
β
=
y' y
=
nu n 'u '
(2-12)
§2.3.2 轴向放大率
若物平面沿光轴方向移
动一微小距离δl，则像
平面沿光轴方向移动一
微小距离δl'。定义δl'与
入射光线 法线 反射光线
锐角 光轴Æ光线Æ法线 顺正逆负
介质1 介质2
I −I′
I′′ 折射光线
2.2 单个近轴球面的性质
图2-5 由费马原理到近轴成像
[PP'] = nPE + n ' EP' = [PP'] = nPO + n 'OP' (2-2)
P-E-P'
P-O-P'
PD=PO EP'=KP'
rl
r l'
n( h − u) = n '( h − u ')
r
r
h =ϕ r
ϕ−u =i
ni = n 'i '
ϕ −u'=i'
小角度近似下的折射定律
近轴光线的追n' 近轴球面半径r
i = ( l −1)u r
i ' = ni n'
(2-11)
u'=u+i−i'
n 'OK = 1 n ' h2 (1 − 1 )
(2-5)
2 r l'
n(1 − 1) = n '(1 − 1 )
(2-6)
rl
r l'
n ' − n = n '− n
(2-7)
l' l r
近轴球面成像公式
h = lu = l 'u '
n 'u '− nu = n '− n h
(2-8)
r
式(2-8)是近轴球面成像公式的另一种表述形式，在某
§2.3.3 角放大率
由物点追踪计算一条近 轴光线得到像点后，随 之像方截距l'与物方截距 l之比就可确定，同时像 高y'与物高y之比也确定。 可确定像方孔径角u'与 物方孔径角u之比：
lu = l 'u '
α = n'β2 n
(2-15)
两点结论：第一，上式右端总大于零，对于单个近轴球 面（系统），像平面的移动方向总是和物平面的移动方 向一致。 第二，对于单个近轴球面，无论物体处于什么位置，横 向放大率和轴向放大率一般并不相等，说明一个立方体 经一个近轴球面成像后并不是一个立方体。
l ' = r(1+ i ' ) u'
该套近轴光线的追迹公式，十分重要，使用时亦十分方便。
2.3 单个近轴球面成像的放大率
图2-6 近轴范围内轴外物点的成像
§2.3.1 横向（垂轴）放大率
ΔQPC ∝ ΔQ'P'C
− y ' = l '− r y r−l
A = n(1 − 1) = n '(1 − 1 )
h 0，非球面 球面 n′=− n，折射 反射
球面折射行为具有代表性
富瑞丰公司头盔式显示器
§2.1.1 近轴范围
z = 1 ch2 + 1 c3h4 + 1 c5h6 + ⋅⋅⋅
球面
28
16
z = 1 ch2 + 1 (1+ k)c3h4 + 1 (1+ k)2 c5h6 + ⋅⋅⋅ 二次曲面
28
16
应用光学
谭峭峰 tanqf@
清华大学 精密仪器系 光电工程研究所
第二章 近轴光学
2.1 近轴范围和近轴光线
共轴光学系统
球面、非球面、平面
折射、反射
r ∞，球面 平面
Olympus手机摄像头透镜组
z= 1+
ch2 1− ε (ch)2
+ a4h4
+ a6h6
+ a8h8 + ⋅⋅⋅
u ：物方孔径角、l ：物方截距 u'：像方孔径角、l'：像方截距
正负号规定
(1). 线段：轴向线段与数学坐标兼容，以近轴球面 顶点为原点，与光线传播方向相同的为正，相反者 为负；垂轴线段也与数学坐标兼容，即光轴上方的 线段为正，光轴下方的线段为负； (2). 球面半径：与数学坐标兼容，以球面顶点为原 点，球心在顶点右边者取正值，球心在顶点左边者 取负值；
δl之比为轴向放大率， 用希腊字母α表示，即：
α
= δl'
δl
(2-13)
A = n(1 − 1) = n '(1 − 1 )
求导：
n
δ
l
= n'δl'
rl
r l'
l2
l '2
α = δ l ' = nl '2 δl n'l2
(2-14)
α = δ l ' = nl '2 δl n'l2
β = y ' = nu y n'u'
z= 1+
ch2 1− ε (ch)2
+ a4h4
+ a6h6
+ a8h8
+⋅⋅⋅
高阶非球面
h 远小于近轴球面半径r
在光学系统的近轴范围内，
其折射面或反射面的面形可
由下式表示：
z = 1 ch2
(2-1)
图2-2 透镜曲面方程所采用的坐标系
2
图2-3 近轴范围
z = 1 ch2 2
sinϕ = h / r ≈ ϕ
cosϕ = 1− ( h)2 ≈ 1− ϕ 2
r
2
§2.1.2 近轴光线
入射到近轴球面上并与光轴（z 轴）的夹角很小的光 线称为近轴光线。
设近轴光线与光轴的夹角为θ， sinθ ≈ θ tanθ ≈ θ cosθ ≈ 1
§2.1.3 近轴光学的符号规则及名词术语
图2-4 近轴光线各参量（坐标）正负的标注
轴向线段：以近轴球面顶点为原点，左方线段为负、 右方线段为正。
折射没有区别，关键在于反射时的符号。
(3). 角度：角度以锐角度量，其符号规则与数学坐 标不同。孔径角以光轴起算转向光线，顺时针旋转 取正值(如图2-4所示的像方孔径角u')，逆时针旋转 取负值(如图2-4所示的物方孔径角u )；光线的入射 角和折射角则以光线起算转向法线，顺时针旋转为 正值，逆时针旋转取负值；光轴与法线的夹角，由 光轴转向法线，顺时针为正，逆时针为负。