(完整版)人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳(无答案)

新人教版八年级上数学《第十五章分式》复习小结考点题型题型1、分式的概念的考查1.下列各式中是分式的（填序号）（ ） ①－x 3 ②53x ③ 21 ④ m s 72- ⑤－x 1＋２ ⑥ｂ＋3b 题型2、分式有意义的条件 2.当a 取 时，分式a a 3334--无意义。

3.当x 时，分式912-x 有意义。

题型3、分式值为零的条件4.当x = 时，分式122--x x 的值为零；5.当x = 时，分式6292--x x =0 6.当分式||33x x -+的值为零时,x 的值为( ). A.0 B.3 C.-3 D.±3 题型4、分式的符号法则7.填上使等式成立的符号：－321+-x x =（ ）321+-x x =( )321---x x 题型5、约分8.计算22()ab a b-的结果是（ ）A ．a B ．b C ．1 D ．－b 9.化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a - B ．a b a - C ．a b a + D ．b -10.化简：2222444m mn n m n -+-= ． 题型6、通分11.把下列各题中的分式通分:)4(2+m n = ，1652--m mn = 题型7、分式的运算 12.化简：2111x x x x -+=++ ． 13.化简：224442x x x x x ++-=-- ． 14.化简ba a ab a -⋅-)(2的结果是 （ ） A ．b a - B ．b a + C ．b a -1 D ．b a +1 15.计算21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭= 16.化简a a a a a a 2422-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--的结果是（ ）A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a 17.化简11y x x y ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是（ ）A ．y x - B ． x y - C ． x yD ．y x18.分式111(1)a a a +++的计算结果是（ ）A ．11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a + 19.化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 20.①化简：xx x x x 2)242(2-÷+-+ ②化简：1a b a b b a ++--21.①化简:35(2)482y y y y -÷+---②化简：2414a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭·2a a +．22计算：2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭23化简求值：211122x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =．题型8、解分式方程25.①32-x x +x 235-=4 ②224xx -=21+x -1题型9、增根的用法26.已知x =-2是分式方程21+x -42-x m =1的增根，则m= 27.当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解。

分式期末总复习一、分式的判定（分母含有未知量的式子）1、下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（ ）（A ） 6 （B ） 7 （C ） 4 (D) 52、下列各式中是分式的是( )A. B. C. D.3、在有理式，，，，中属于分式的有________．4、下列各式中，属于分式的是 （ ）A 、2312--x xB 、187923-+-x xC 、11+x D 、xy y x 312133-二、分式有意义1、分式有意义？满足什么条件时，下列x（1）35-x（2）12-m（3）312++x x（4）)4)(2(2+--x x x（5）x x x-2（6）x x -+212（7）)3)(1(2-+-x x x2、无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A ．122+x x B.12+x xC.133+x xD.25x x -三、分式的约分（1）=-2264xy yx ；（2）92-x = ；（3）22444a a a -++＝ ；（4）=y x xy2164 ；（5）=++)()(b a b b a a ；（6） =--2)(y x yx ；（7）=-+22y x ay ax ；（8）=++-1681622x x x ；（9）=+-6292x x（10）23314___________21a bc a bc -= （11）=+--96922x x x _______。

（12）．四、分式的通分1、通分：（1）z y x yz x 23324365和（2） 1111-+x x 和（3）222;33;y x x cx y b y x a +---2、通分：⑴ 3x y 与245xy ；⑵ ,36a a -与22(2)a a -；（4）⑶22y x y -与222yx xy y -+；⑷ 2386xy x +与21(43)y x +；五、分式的乘除1、计算（﹣a ）2•的结果为（ ）A ．bB ．﹣bC ．abD． 2、化简,其结果是( )A. B. 2C. D.六、分式的加减1.化简的结果是( )A. B. C. D.2、化简：xx y--yx y+，结果正确的是（）A．1B．2222x yx y+-C．x yx y-+D．22x y+3、化简的结果为（）A．B．a﹣1 C．a D．14、计算的结果为.5、．七、分式的化简求值1、先化简，再选取一个既使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值．2、给定三个分式：、、．请你任选其中的两个构造一个分式，并化简该分式．3、请你从、、中任选两个．将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当时分式的值．4、先化简，再求值221x x x ++÷1(1)1x -+，其中x ＝3．八、分式方程的计算1、解下列的分式方程；x x 3152=+3911332-=-+x x xxx x 2412x 32+=++23121--=--x x x9442313212-=-++x x x x九、分式的实际应用题应用题1、我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书。

分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算 （一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义 ：A一般地，如果 A ，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式，A 为分子,BB 为分母。

i-y ，是分式的有: x y题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为 0（ B 0） 分式无意义：分母为 0（ B 0） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1）—（2）-3^ （ 3）（4）（ 5）丄x4x 22 x 21| x| 3x1x题型三：考查分式的值为 0的条件分式值为0:分子为0且分母不为0 （ A 0）B 0【例1】当x 取何值时， 下列分式的值为0.（1）Jx 3（2）|x| 2 x 242（3） x 22x 3x 5x 6【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零:题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于 0:分子分母冋号（A或A 0 ）B 0B 0【例1】下列代数式中:（1）5 |x 1 | x 4（2） 2^5 xx 6x 5x 1 -，2x分式值为负或小于0：分子分母异号（A °或八°）B 0 B0【例"（1）当x为何值时，分式为正;（3）当x为何值时，分式工为非负数.【例2】解下列不等式（1）1古 °（2）U题型五：考查分式的值为1，-1的条件分式值为1 :分子分母值相等（A=B）分式值为-1 :分子分母值互为相反数（A+B=°）【例1】若也L上的值为1,-1，则x的取值分别为________________________ x 2思维拓展练习题：a b1、若a>b>0, a2+ b2—6ab=0,则一a b2、一组按规律排列的分式：b2 b5 b8b11,2 , 3, 4 , L L ( ab 0),则第n个分式为a a a a（2）当x为何值时，分式5 x23 (x 1)2为负;A3、已知x23x 1 0,求X2 -2的值。

第十五章分式知识点归纳与整理§15.1分式1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母 整式和分式统称有理式。

特别注意：1π不是分式。

2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

MB MA MB M A B A ÷÷=••=（其中0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式） 【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式，再把分子与分母的公因式约去。

【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。

§15.2 分式的运算1.分式的乘除【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

注意：如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。

【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式想加减，先通分，变为同分母的分式，再把分子相加减。

3.分式的乘方【乘方法则】n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。

【负整指数幂】任何不等于零的数的－N （N 为正整数）次幂，等于这个数的N 次幂的倒数。

【正整数指数幂运算性质】注意：这些性质在整数指数幂中同样适用。

4.科学记数法：把一个数表示成的形式10n a ⨯（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。

（1）用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为10n a ⨯的形式, 其中1≤︱a ︱＜10,n 为原整数部分的位数减1；（2）用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n a -⨯的形式，其中n 为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a ︱＜10。

第十五章分式方程知识点及考点一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考试方向（一）解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例题：1、解分式方程：312242x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．（二）分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.例题：3、 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6 B ．0 C ．1 D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -， 由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4， 解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9， 故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠． （三）分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．例题：5、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+ B ．2010154x x -=+ C ．201015x x += D ．201015x x -= 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+． 故选A ． 6、元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400 解得 2.5x =元．故选B ．。

第十五章分式一、知识概念：1.分式：形如A ，A、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于 0 的整式叫B做分式.其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于 0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为： a ±b =a ±bc c c⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a ±c =ad ±cbb d bd⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分12⑹ a = 子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： a ⨯ c = acb d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为： a ÷ c= a ⨯ d= adb db cbc⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：⎛ a ⎫n⎪ ⎝ b ⎭ = a n bn8. 整数指数幂：⑴ a m ⨯ a n = a m +n （ m 、n 是正整数）⑵ (am)n⑶ (ab )n= a mn （ m 、n 是正整数）= a n b n （ n 是正整数）⑷ a m ÷ a n ⎛ a ⎫n= a m -n （ a ≠ 0 ， m 、n 是正整数， m > n ）a n⑸ ⎪ ⎝ b ⎭= b n （ n 是正整数）- n1an （ a ≠ 0 ，n 是正整数）9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程 .10. 分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母 ,将分式方程化为整式方程 );②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根 ,因为在把分式方程化为整式方程的过程中 ,扩大了未知数的取值范围 ,可能产生增根).分式常考例题精选21.若分式+ 1有意义，则a 的取值范围是( )A.a=0B.a=1C.a≠-1D.a≠02 12.把分式方程+ 4= 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( )3A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)12 2 13.分式方程x2 ‒ 9-x‒ 3=x + 3的解为 ( )A.3B.-3C.无解D.3 或-34.今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝 8 600kg 和9 800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程( )8 600A.9 800= +608 600B.9 800= x‒ 608 600C.x‒ 60 =9 800 8 600D. + 60=9 8005.若分式2x‒ 1 有意义，则x 的取值范围是.6.若代数式2x‒ 1 -1 的值为零，则x= .x 37.若关于x 的分式方程x‒ 1=2x‒ 2-2 有非负数解，则a 的取值范围是.4( )a ‒1 a2 ‒ 2a + 18. 化简：a÷a.56( ) () 9. 先化简，再求值：1‒ 1 m 2 ‒ 2mn + n 2mn÷mn，其中 m=-3，n=5.10. 某车队要把 4000t 货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变).(1) 从运输开始，每天运输的货物吨数 n(单位：t)与运输时间 t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2) 因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运 20%，则推迟 1 天完成任务，求原计划完成任务的天数.x+ 2x ‒ 111. 先化简，再求值：负整数x‒ 4 2解 . x ‒ 2÷x‒ 4x+4，其中x 是不等式3x+7>1的712.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：请求出篮球和排球的单价各是多少元?11.分式x－1有意义，则x 的取值范围是( )A．x>1 B．x≠1 C．x<1 D．一切实数b2.下列各分式与a相等的是( )b2 A.a2b＋2B.a＋2abC.a2a＋bD.2a3.下列分式的运算正确的是( )1 2 3 a＋b a2＋b2A.a＋b＝a＋b B．( c )2＝c2a2＋b2 3－a 1 C. a＋b ＝a＋b D.a2－6a＋9＝3－a83a－4 14．化简(a＋a－3 )(1－a－2)的结果等于( )a－2 A．a－2c B．a＋2 C.a－3a－3 D.a－2a－2 15.若x＝3 是分式方程x －x－2＝0 的根，则a 的值是( )A．5 B．－5 C．3 D．－3m 36.已知关于x 的分式方程x－1＋1－x＝1 的解是非负数，则m 的取值范围是( )A．m>2 B．m≥2C．m≥2 且m≠3 D．m>2 且m≠37.小明上月在某文具店正好用20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1 元，结果小明只比上次多用了4 元钱，却比上次多买了2 本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )24 20 20 24 24 20 20 24A.x＋2－x ＝1B. x －x＋2＝1C. x －x＋2＝1D.x＋2－x ＝1x－b 2x－b8.当x＝1 时，分式x＋a无意义；当x＝2 时，分式3x＋a的值为0，则a＋b＝．95 79.方程x＝x－2的解是x＝．3x 2x 110．若(x－y－2)2＋|xy＋3|＝0，则(x－y－x－y)÷y的值是．m 111.关于x 的分式方程x2－4－x＋2＝0 无解，则m＝．12.计算或化简：2x 1(1)3 8－2－1＋| 2－1|；(2)x2－4－x－2；103－a 5(3)2a－4÷(a＋2－a－2)．13.解分式方程：1 x－2 1 13 (1)x－x ＝1; (2)2x－1＝2－4x－2.114．先化简(1＋x－2) ÷数作为x 的值，代入求值；x－1x2－4x＋4，再从1，2，3 三个数中选一个合适的1115．小明去离家2.4 km 的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3 倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？1213“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

庖丁巧解牛知识·巧学一、分式方程的定义1.定义：一般地，分母上含有未知数的方程，叫分式方程.2.分式方程的特征：①含有分母；②分母中含未知数.其中②是分式方程与整式方程的根本区别.二、可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）的解法1.解分式方程的基本思路：解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母.2.解分式方程必须检验，检验的方法是：将整式方程的解代入最简公分母（或每个分母），如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解（有的书上称为原方程的增根）.深化升华 为什么会出现增根呢？我们举例说明一下. 解方程：xx x -=--2121-2.① 方程两边都乘以x-2，得1-x=-1-2(x-2),②解这个方程，得x=2.我们把解题步骤简化为：①−−−−→−-2x 两边都乘以②→x=2,即①−−−−→−0两边都乘以②.这与等式的基本性质不相符.从另一个角度看，方程②中允许x=2，即x=2是方程②的解，但方程①中不允许x=2，在从方程①变形为方程②的过程中，x≠2这一限制条件被取消了，因此，出现了满足方程②但不满足方程①的解x=2.记忆要诀 解分式方程的步骤是：①分母能因式分解的首先要因式分解；②找出最简公分母；方程两边同时乘以最简公分母；③化成整式方程；解整式方程；④代入原方程各分母或最简公分母检验；如果整式方程的解使得原方程各分母或最简公分母不为零，则是原分式方程的根，否则就是增根.3.解含有字母已知数的分式方程以及公式变形是本节的难点和疑点.例如，解方程求x:1+-x n x m =0(m≠n). 题目中明确指出x 是未知数，那么m ，n 就是字母已知数.方程两边同乘x(x+1)，得,m(x+1)-nx=0.化简，得(m-n)x=-m,∵m≠n,∴m-n≠0,解得x=nm m --. 深化升华 上面的讨论（∵m≠n,∴m-n≠0）是不可缺少的，因为根据等式的基本性质，两边同乘（或除以）一个不为0的整式，才是一个恒等变形.由于x+1=n m m --+1=nm n --，m,n 的取值范围不清楚，所以我们要分几种情况进行检验： ①当m=0或n=0时，x=0或x+1=0, x=nm m --不是原方程的解，原分式方程无解； ②当m≠0且n≠0时, x=nm m --是原方程的解. 联想发散 公式变形不仅在数学学习中，而且在其他学科中也经常遇到，如并联电路总电阻R 与支路电阻R 1、R 2满足关系式21111R R R +=，试用含有R 1、R 2的式子表示R. 解法1：∵21212112121R R R R R R R R R R R +=+=, ∴R=2121R R R R +. 解法2：把R 看成未知数，R 1，R 2看成字母已知数,两边同乘RR 1R 2，得R 1R 2=R 2R+R 1R.化简，得(R 1+R 2)R=R 1R 2,显然R 1+R 2≠0,∴R=2121R R R R +. 三、列分式方程解决实际问题列方程解应用题的一般步骤是：①设未知数，有直接设法和间接设法两种，大多数情况下采用直接设法.②列式，用代数式表示未知量和已知量.要弄清和差倍分的表示法，增长率的表示法，顺水速度、逆水速度的表示法等等.③列方程，从不同角度寻求等量关系是列方程的前提和关键，它直接影响到问题的解决.有的等量关系是几个量之间的关系，如路程=时间×速度，总价=单价×数量等；有的等量关系隐藏在已知条件中，需要我们认真分析，仔细挖掘.④解方程，检验解的合理性（包括检验是否是方程的解，是否符合题意），写出答案. 学法一得 总结列方程解应用题的基本步骤是：审、设、列、解、答.(1)审——仔细审题，找出等量关系.(2)设——合理设未知数.(3)列——根据等量关系列出方程(组).(4)解——解出方程(组).(5)答——写出答案.典题·热题知识点一 分式方程的解法及有关注意事项例11112132-=+--x x x . 思路分析：此题重点考查了分式方程的解法.解：方程两边同时乘以（x ＋1）(x-1)，得3(x ＋1)-2(x-1)=1，整理并解得x=-4.检验：当x=-4时，（x ＋1）(x-1)=15≠0，∴x=-4是原方程的根.知识点二 公式变形的应用例2如果解分式方程2242---x x x x =-2出现增根，则增根为（ ） A.0或2 B.0 C.2 D.1思路分析：分式方程出现增根的原因是去分母化为整式方程后产生的，因此只要解这个分式方程即可.解：方程两边同时乘以x(x-2)，得4-x 2=-2x(x-2),整理并解得x=2，当x=2时,x(x-2)=0，∴x=2是原方程的增根.答案：C例3公式变形:在公式E=I （R+nr )中已知E ，I ，R ，r 且E≠IR,求n. 思路分析：题目中明确指出n 是未知数，那么E,I,R,r 就是字母已知数,按解分式方程的步骤求解即可.解：公式两边同时除以I ，得nr R I E +=. 两边同时乘以In 得：En=IRn+Ir.移项得：En-IRn=Ir.即:(E-IR)n=Ir.∵E≠IR,∴E-IR≠0.两边同时除以（E-IR ）得：n=IRE Ir -. 误区警示 要注意条件E≠IR 的应用.知识点三 分式方程的应用例4某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨31，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5 m 3，求该市今年居民用水的价格.思路分析：本题涉及三个量，即用水量、单价（每立方米水费）和总价（水费），它们之间的关系是：总价（水费）=用水量×单价（每立方米水费）.认真审题，可以发现如下的等量关系： ……每立方米水费上涨31，即调价后单价=调价前单价×（1+31）；① 今年7月份的用水量=去年12月份的用水量+5；②去年12月份的水费是15元，即，去年12月份的用水量×调价前单价=15；③今年7月份的水费是30元，即，今年7月份的用水量×调价后单价=30；④设调价前单价为x 元/m 3，由①得,调价后单价（即今年居民用水的价格）为（1+31）x. 由③得,去年12月份的用水量为x15， 由④得,今年7月份的用水量为x )311(30+. 代入②，得x x 15)311(30=++5. 解：设该市去年居民用水的价格为x 元/m 3，则今年的水价为(1+31)x 元/m 3，根据题意，得,x x 15)311(30=++5,解得x=23. 经检验，x=23是所列方程的根.（1+31）x=(1+31)×23=2. 即该市今年居民用水的价格为2元/m 3.巧解提示 本题也可以设出去年的用水量，从价格上列出方程.哪一种方法简便，不妨试一试.例5为了方便广大游客到昆明参加、游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁—昆明的直达快车，已知南宁—昆明两地相距828 km ，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2 h ，比普通快车早4 h 到达昆明，求两车的平均速度.思路分析：由题意可知，直达快车的平均速度=普通快车平均速度的1.5倍；①直达快车走完全程所用的时间=普通快车走完全程所用的时间-6小时；②可设普通快车的平均速度为x km/h ，则直达快车的平均速度为1.5x km/h ，直达快车走完全程所用的时间=x 5.1828小时，普通快车走完全程所用的时间=x 828小时，由②得x 828-6=x 5.1828. 解：设普通快车的平均速度为x km/h ，则直达快车的平均速度为1.5x km/h ，依题意，得 x 828-6=x5.1828,解得：x=46. 经检验，x=46是方程的根，且符合题意.∴x=46,1.5x=69.答：直达快车和普通快车的平均速度分别为69 km/h ，46 km/h.巧解提示 本题也可以设直达快车走完全程所用的时间，从时间上列出方程.哪一种方法简便，不妨试一试.例6编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求：①要联系实际生活，其解符合实际；②根据题意列出的分式方程中含两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；③题目完整，题意清楚.思路分析：此题重点考查大家的发散思维能力，在解答此题的过程中一定要符合题目给出的条件.这也体现了新课标要求的“数学来源于实践，又作用于实践”.解：所编应用题为：甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用的时间与乙做6个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？解：设甲每小时做x 个，那么乙每小时做（x-2）个，根据题意，有2610-=x x , ∴x=5,x-2=5-2=3.答：甲每小时做5个，乙每小时做3个.巧解提示 此题答案不唯一，可从路程时间速度问题、劳力分配问题、浓度问题以及社会实际问题入手，但编写题目一定要符合条件.问题·探究思维发散探究问题 1 解分式方程,要先把分式方程化为整式方程,前面我们研究了最简公分母是两个多项式乘积的方程的解法,那么我们能否利用前面的方法解方程呢？（1）21611171-+-=-+-x x x x . （2）你发现方程的解有什么规律？ （3）利用你发现的规律，猜想方程d x c x b x a x +++=+++1111（a,b,c,d 表示不同的数，且a+b=c+d ）的解是什么？并加以验证.探究过程：用常规的方法去分母，计算量很大.如果我们能看到四个分母中的x-7与x-6差1,x-2与x-1也相差1;且把71-x 与61-x 相减，把21-x 与11-x 相减时,通分之后分子也都是1,这样变成整式,会非常简单.具体的计算过程如下:（1）把方程移项，得71-x -61-x =21-x -11-x , 两边分别通分，得)1)(2(1)6)(7(1--=--x x x x , ∴(x-7)(x-6)=(x-2)(x-1),∴x 2-13x+42=x 2-3x+2,化简，得：10x=40,即x=4.（2）观察结果我们会发现,(-7)+(-1)=(-6)+(-2), 且2)1()7(-+--=4. （3）猜想：所求方程的解是x=22d c b a +-=+-, 检验：左边=b b a a b a ++-+++-2121 =ba b a a b b a ---=-+-2222=0;右边=d c d c c d d c d d c c d c ---=-+-=++-+++-22222121 ∴x=2b a +-是方程的解. 探究结论：(1)可以用前面的方法解方程，但计算量很大.这道题有更简单的解法.（2）方程的解与各分式的分母中的常数项有关.（3）猜想：所求方程的解是x=22d c b a +-=+-,经验证，确实如此. 交流讨论探究问题2 解分式方程：14122-=-x x . 探究过程：小聪：这道题不难！去分母，转化为整式方程2(x+1)=4，解得x=1，大功告成了！ 小明：你还没检验呢！小聪：一定要检验吗？小明：是啊！你把x=1代入原方程，分母x-1=0，分式无意义！所以x=1是增根，应该舍去. 小聪：为什么叫增根呢？它是根吗？小明：增根也是根，譬如x=1就是方程2(x+1)=4的根，但它不是原分式方程的根，好像是分式方程身上长出的一个毒瘤，多余的，必须割去，所以称它为增根.小聪：我明白了！看来解分式方程时，检验是必不可少的啦！探究结论：方程两边都乘以最简公分母(x-1)(x+1)得:2(x+1)=4.解得x=1.检验：当x=1时，代入最简公分母，得(x-1)(x+1)=0,∴x=1是原方程的增根.。

八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。

分式 中，A 叫做分子，B 叫做分母。

2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义。

3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

即： 其中A,B,C 是整式。

4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。

经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。

即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。

第十五章 分式一、知识概念： 1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bccc±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cbbdbd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a cac b dbd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad bdb cbc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m na a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷mnm na a a-÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1nn a a-=（0a ≠，n 是正整数）9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).分式常考例题精选1.若分式2a+1有意义，则a 的取值范围是 ( ) A.a=0 B.a=1 C.a ≠-1D.a ≠02.把分式方程2x+4=1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( ) A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)3.分式方程12x −9-2x−3=1x+3的解为 ( ) A.3B.-3C.无解D.3或-34.今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg ，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg ，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg ，根据题意，可得方程 ( )A.8 600x= 9 800x+60B.8 600x= 9 800x−60C.8 600x−60=9 800xD.8 600x+60=9 800x5.若分式 2x−1 有意义，则x 的取值范围是 .6.若代数式 2x−1 -1的值为零，则x= ________.7.若关于x 的分式方程xx−1=3a2x−2-2有非负数解，则a 的取值范围是 .8.化简：(a −1a)÷a 2−2a+1a.9.先化简，再求值：(1m −1n )÷m 2−2mn+n 2mn，其中m=-3，n=5.10.某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变). (1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.11.先化简，再求值：(x+2x−x−1x−2)÷x−4x −4x+4，其中x 是不等式3x+7>1的负整数解.12.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题： 请求出篮球和排球的单价各是多少元?1．分式1x －1有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x>1 B ．x ≠1 C ．x<1 D ．一切实数2．下列各分式与ba 相等的是( ) A .b 2a 2 B .b ＋2a ＋2 C .aba 2 D .a ＋b 2a3．下列分式的运算正确的是( ) A .1a ＋2b ＝3a ＋bB ．(a ＋b c )2＝a 2＋b 2c 2C .a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋bD .3－a a 2－6a ＋9＝13－a4．化简(a ＋3a －4a －3)(1－1a －2)的结果等于( ) A ．a －2c B ．a ＋2 C .a －2a －3 D .a －3a －25．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是( )A ．5B ．－5C ．3D ．－36．已知关于x 的分式方程m x －1＋31－x ＝1的解是非负数，则m 的取值范围是( )A ．m>2B ．m ≥2C ．m ≥2且m ≠3D ．m>2且m ≠37．小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )A .24x ＋2－20x ＝1B .20x －24x ＋2＝1C .24x －20x ＋2＝1D .20x ＋2－24x ＝18．当x ＝1时，分式x －b x ＋a 无意义；当x ＝2时，分式2x －b3x ＋a 的值为0，则a ＋b＝ ．9．方程5x ＝7x －2的解是x ＝ ．10．若(x －y －2)2＋|xy ＋3|＝0，则(3x x －y －2x x －y )÷1y的值是 ．11.关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解，则m ＝ ．12．计算或化简：(1)38－2－1＋|2－1|；(2)2xx2－4－1x－2；(3)3－a2a－4÷(a＋2－5a－2)．13．解分式方程：(1)1x－x－2x＝1; (2)12x－1＝12－34x－2.14．先化简(1＋1x－2) ÷x－1x2－4x＋4，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；15．小明去离家2.4 km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？第1节探究电流与电压、电阻的关系实验(建议时间：20分钟)1. (2019铜仁)小李为了探究“电流与电压的关系”，请你与他合作并完成以下实验步骤．(1)请你在虚线框中设计出相应的电路图．第1题图(2)小李在探究电流与电压的关系时，要控制________不变．通过实验探究，得到以下数据，在进行数据分析时，小李发现表格中有一组错误的数据，请你找出第________组数据是错误的．序号 1 2 3 4 5电压U/V 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4电流I/A 0.16 0.24 0.32 0.44 0.48(3)为了分析电流与电压的定量关系，请你利用正确的数据，在坐标中绘制出电流与电压关系的图像．2. (2019巴中)同学们想探究“导体中电流跟导体两端电压的关系”：(1)小明同学通过学习知道了________是形成电流的原因，因此做出了如下三种猜想：A. 电流跟电压成反比B. 电流跟电压成正比C. 电流跟电压无关(2)为了验证猜想，小明设计了如图甲所示的电路图，其中电源为三节新干电池，电阻R为10 Ω，滑动变阻器R标有“50 Ω 1 A”字样，电压表电流表均完好．第2题图实验次数 1 2 3电压U/V 2 2.6 3电流I/A 0.20 0.26 0.30第2题图丙①根据甲电路图将乙图实物电路连接完整；②闭合开关前，小明应将滑动变阻器滑片移到________阻值处(选填“最大”或“最小”)；③他检查电路时发现电压表、电流表位置互换了，若闭合开关电流表________(选填“会”或“不会”)被烧坏；④排除故障后小明进行了实验，得到表格中的实验数据．分析数据，可得出的正确结论是：电阻一定时，________________________________．(3)小明还想用这个电路测量小灯泡的额定功率，于是他将电阻R换成一只额定电压是4 V 的小灯泡(阻值约为13 Ω)，电阻一定时，并将电压表量程更换为15 V，闭合开关S后，调节滑片至电压表示数为4.0 V时，电流表示数如图丙所示为______A，小灯泡的额定功率为________W.3. (2019临沂)在“探究电流与电阻关系”的实验中，小明依次选用阻值为5 Ω、10 Ω、20 Ω的定值电阻进行实验．第3题图(1)图甲是实验的实物连线图，其中有一条导线连接错误，请在该导线上打“×”并画出正确连线．(2)改正错误后闭合开关，电流表有示数而电压表无示数，电路故障可能是________．(3)排除故障后闭合开关，移动滑动变阻器的滑片至某一位置，电流表的示数如图乙所示，此时电路中的电流为________A.(4)断开开关，将5 Ω的定值电阻换成10 Ω的并闭合开关，此时应将滑动变阻器的滑片向______(选填“左”或“右”)端移动，这一过程中眼睛要一直观察________表示数的变化．(5)下表是实验中记录的数据，分析数据可知：①10 Ω定值电阻的功率为________W.②当导体两端的电压一定时，通过导体的电流与导体的电阻成________比．参考答案第十五章欧姆定律第1节探究电流与电压、电阻的关系实验1. (1)如答图甲所示第1题答图甲(2)电阻 4 (3)如答图乙所示第1题答图乙2. (1)电压(2)①如答图所示②最大③不会④导体中的电流与它两端的电压成正比(3)0.3 1.2第2题答图3. (1)如答图所示(2)R短路 (3)0.4 (4)右电压(5)①0.4 ②反第3题答图第十五章电流和电路摩擦起电：摩擦过的物体具有吸引轻小物体的现象——带电体==本质：电荷的转移正电荷：被丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷种类电荷负电荷：被毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷性质：同种电荷互相排斥，异种电荷互相排斥检验：验电器——原理：同种电荷互相排斥电量：q 单位：库伦简称：库符号：CC元电荷：最小电荷：e=1.6×1019组成：电源、开关、导线、用电器电源：提供电能开关：控制电路通断作用用电器：消耗电能导线：传输电能的路径导体：金属、人体、食盐水两种材料绝缘体：橡胶、玻璃、塑料电流产生条件①电路闭合②保持通路定义：正电荷移动的方向电路电流的方向在电源中电源的正极→用电器→电源的负极1617单位：A −→−310mA −→−310A μ 工具：电流表 ○A测量 使用方法 ①电流表必须和被测的用电器串联 电流的大小（I ） ②看清量程、分度值，不准超过电流表的量程 ③必须正入负出④任何情况下都不能直接连到电源的两极 电路的连接：先串后并，就近连线，弄清首尾 通路：接通的电路 三种状态 断路：断开的电路短路：电流不经过用电器直接回到电源的负极 两种类型：一、电荷1、物体有了吸引轻小物体的性质，我们就说物体带了电荷；换句话说，带电体具有吸引轻小物体的性质。