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I 上的一个解.
5
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立任
意常数的个数与微分方程的阶数相同.
n 个常数C1,C2 ,,Cn 独立指的是：它们不能 通过四则运算合并而使得常数的个数减少. 例如
C1 xC2 , C1 sin x C2 cos x 中C1,C2 是独立的. 而C1 C2 x C x , C1 C2 x C x ,
此处C1,C2 就不是独立的任意常数. 例 y y , 通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x .
(2)特解: 不包含任何任意常数的解.
6
解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 微分方程的积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
(t 2 x)dt xdx 0,
2z x y.
xy
如果在微分方程中,自变量的个数只有一（个即未知函
数是一元函数）, 则称这种微分方常程微分为方程.
一般形式为F ( x, y, y,, y(n) ) 0
自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为
偏微分方程 .
2
微分方程的微阶分: 方程中出现的未知函数的最高
y及y, y,, y(n) 的一次有理整式则，称此方程 为n 阶线性微分方程.
不 是 线 性 方 程 的 方 程 称为 非 线 性 微 分 方 程.
例如 y P( x) y Q( x) 是一阶线性微分方程.
x( y)2 2 yy x 0, y 7sin y 0 .
都是非线性微分方程.
4
解
dx dt
kC1
sinkt
kC2
cos kt,
d2x dt 2
k 2C1
cos
kt
k 2C2
sinkt,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程,
8
k 2 (C1 cos kt C2 sinkt) k 2 (C1 cos kt C2 sinkt) 0.
故 x C1 cos kt C2 sinkt 是原方程的解.
( y)2 xy y 0 有通解 y Cx C 2 ,
另一方面解y x2 不在通解内（不能由通解得到）. 4
10
思考题
函数 y 3e2x 是微分方程 y 4 y 0
的什么解?
思考题解答
y 6e2x , y 12e2 x ,
y 4 y 12e2x 4 3e2x 0,
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y),
y(
x0
)
y0
.
过定点的积分曲线;
y f ( x, y, y),
过定点且在定点的切线
二阶:
y(
x0
)
y0 ,
y(x0 )
y0
.
的斜率为定值的积分曲线.n Nhomakorabea阶:
f (x, y, y( x0 )
y, y y0 , y(
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
g( y)dy f ( x)dx
设 G(t) g(t), F(t) f (t) , 则
G( y) C1 F( x) C2 , 即 G( y) F(x) C （C 为任意常数）
x A, dx 0,
t 0
dt t0
C1 A,
而
dx dt
kC1
s in kt
kC2
cos kt,
C2 0.
所求特解为 x Acoskt.
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注意： 1. 有些方程可能无解.
( y)2 y2 1 0 无实函数解.
2. 方程可能有解而无通解. ( y)2 y2 0 只有特解 y 0 . 3. 通解不一定能包含所有的解.
(n)
x0
) )
0, y0
,
,
y(n1) ( x0 )
y0(n1) .
其中 x0
,
y0
,
y0
,,
y ( n1) 0
是
n
1
个已知常数.
7
例 1 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt
是微分方程 d 2 x dt 2
k2
x
0的解.
并求满
足初始条件 x t 0
A,
dx dt
t 0
0的特解.
注意: 在 n 阶微分方程中，y(n) 必须出现, 而 x, y, y, y,, y(n1) 等变量可以不出现. 例如n 阶微分方程y(n) 1 0 中，除 y(n) 外, 其 他 变 量 都 没 有 出 现.
3
线性与非线性微分方程：
如果方程F( x, y, y,, y(n) ) 0 的左端为
阶导数的阶数称之为微分方程的阶.
一阶微分方程: F( x, y, y ) 0, 或 y f ( x, y);
注意: 在一阶微分方程中，y 必须出现.
高阶微分方程:
F ( x, y, y,, y(n) ) 0 或
( n 2, n N ) y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
dy f ( x, y) 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 dx
能写成: g( y)dy f ( x)dx (*) 的形式,
则称原微分方程为可分离变量的微分方程.
例如
dy
4
2x2 y5
dx
4
y 5dy
2 x 2dx,
可分离变量的微分方程
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g( y)dy f ( x)dx (*) 解法： 对(*) 两边求不定积分，得
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒 等式的函数称之为微分方程的解.
设 y ( x) 在区间I 上有直到n 阶的导数,
如果把( x) 代入方程F( x, y, y,, y(n) ) 0 使其在I 上为恒等式即， F ( x, ( x), ( x),, (n)( x)) 0 . ( x I ) 则称 y ( x) 为方程F ( x, y, y,, y(n) ) 0 在
y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
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6.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式是
F( x, y, y) 0
如果一阶导数可解出，则可写为
dy f ( x, y), dx 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
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一. 可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程F( x, y, y) 0 或
