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G( y) C1 F( x) C2 , 即 G( y) F( x) C （C 为任意常数）
称为所给可分离变量微分方程的隐函数形式的通解.
例1 求微分方程 dy 2 xy 的通解. dx
解
分离变量
dy 2xdx, y
( y0)
两端积分
dy y
2 xdx,
ln y x2 C1, y eC1e x2 , y eC1e x2 ,
(t 2 x)dt xdx 0,
2z x y.
xy
如果在微分方程中,自变量的个数只有一（个即未知函
数是一元函数）, 则称这种微分方常程微分为方程.
一般形式为F( x, y, y, , y(n) ) 0
自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为
偏微分方程 .
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
k2
x
0的解.
并求满
足初始条件 x t 0
A,
dx dt
t 0
0的特解.
解
dx dt
kC1
sinkt
kC2
cos kt,
d2x dt 2
k 2C1
cos
kt
k 2C2
sinkt,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程,
k 2 (C1 cos kt C2 sinkt) k 2 (C1 cos kt C2 sinkt) 0.
I 上的一个解.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立任
意常数的个数与微分方程的阶数相同.
n 个常数C1,C2 , ,Cn 独立指的是：它们不能 通过四则运算合并而使得常数的个数减少. 例如
C1 xC2 , C1 sin x C2 cos x 中C1,C2 是独立的. 而C1 C2 x C x , C1 C2 x C x ,
则称原微分方程为可分离变量的微分方程.
例如
dy
4
2x2 y5
dx
4
y 5dy
2 x 2dx,
可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx (*) 解法： 对(*) 两边求不定积分，得
g( y)dy f ( x)dx
设 G(t) g(t), F(t) f (t) , 则
2. 方程可能有解而无通解. ( y)2 y2 0 只有特解 y 0 . 3. 通解不一定能包含所有的解.
( y)2 xy y 0 有通解 y Cx C 2 ,
另一方面解y x2 不在通解内（不能由通解得到）. 4
思考题
函数 y 3e2x 是微分方程 y 4 y 0
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2. 再求线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) 的通解： dx
讨论 dy Q( x) dx P( x)dx, 由于 y 是 x 的函数，
yy
可令 Q( x) ( x),
y
并设 ( x)dx ( x) C1,
由 y(0) 0,得C 1,
故该初值问题的解(为2 e y )(1 x) 1 .
二. 齐 次 方 程
如果 F (tx, ty) t k F ( x, y), t 0 成立, 则 F( x, y) 称为k 次齐次函数.
当k 0 时，F(tx, ty) F( x, y), 则 F( x, y) 称
( x uxcosu)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sinu ln x C ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
注意: 在n 阶微分方程中，y(n) 必须出现, 而 x, y, y, y, , y(n1) 等变量可以不出现. 例如n 阶微分方程y(n) 1 0 中，除 y(n) 外, 其他变量都没有出现.
线性与非线性微分方程：
如果方程F( x, y, y, , y(n) ) 0 的左端为
的什么解?
思考题解答
y 6e2x , y 12e2 x ,
y 4 y 12e2x 4 3e2x 0,
y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
6.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式是
F( x, y, y) 0
如果一阶导数可解出，则可写为
1
dx 1 x
,
两边积分
dy
dx
2e y 1 1 x
,
e ydy dx
2e y
, 1 x
d(2 e y ) 2e y
d(1 x) , 1 x
ln 2 e y
ln1
x
C1
,
ln (2 e y )(1 x) C2, 得通解：(2 e y )(1 x) C.
三. 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) (1) dx
当Q( x) 0, (1) 称为齐次方程 .
yy 2xy 3,
y cos y 1,
非线性的.
当Q( x) 0, (1) 称为非齐次方程.
方程 dy P( x) y 0 (2) dx
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒 等式的函数称之为微分方程的解.
设 y ( x) 在区间I 上有直到n 阶的导数,
如果把( x) 代入方程F( x, y, y, , y(n) ) 0 使其在I 上为恒等式即，
F( x,( x),( x), , (n)( x)) 0 . ( x I ) 则称 y ( x) 为方程F( x, y, y, , y(n) ) 0 在
dx
dx
代入原方程，得 u x du f (u), dx
即 x du f (u) u 可分离变量的微分方程 . dx
求出解后，以u y 代入即得原方程的通解. x
例 3 求解微分方程
( x y cos y )dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y ，即 y xu, 则 dy xdu udx， x
称为对应于方程(1) 的齐次方程.
例如 dy y x2 , dx x sint t 2 , 线性的;
dx
dt
一阶线性微分方程的解法
1. 先求线性齐次方程 dy P( x) y 0 的通解： dx
用分离变量法
dy P( x)dx, y
dy y
P(
x)dx,
ln y P( x)dx C1, ( C eC1 )
变易成x 待定函数C(x)， 就可得非齐次方程的解
的形式： y C( x)e P( x)dx .
进而定出函数C ( x) ，便可求出非齐次方程的通解.
y C( x)e P( x)dx C( x)[P( x)]e P( x)dx ,
u(u 1)(u 2) x 2 u 2 u u 2 u 1
x
ln u 1 3 ln(u 2) u 2 1 ln u ln x ln C ,
2
2
u1 3 Cx.
u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2 x)3 .
y及y, y, , y(n) 的一次有理整式则，称此方程 为n 阶线性微分方程.
不是线性方程的方程称为非线性微分方程.
例如 y P( x) y Q( x) 是一阶线性微分方程.
x( y)2 2 yy x 0, y 7sin y 0 .
都是非线性微分方程.
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
du 2u2 u u x dx 1 u u2 ,
(u 1 u2 )du dx , [1 ( 1 1 ) 2 1 ]du dx ,
为0 次齐次函数. 取 t 1 ，
x
对0 次齐次函数F( x,
y)
F (1,
y )
f(
y ).
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
对上式积分，得ln y ( x) C1 P( x)dx,
即 y e( x)C1 e P( x)dx C ( x) e P( x)dx .
