高等数学第 21 讲微积分基本定理、换元法

微积分中的积分换元法微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的极限、导数、微分、积分等概念和性质。

在微积分中，积分换元法是一种重要的积分方法，能够将复杂的积分公式化简为简单易解的形式，大大提高了求解积分的效率和精度。

本文将详细介绍积分换元法在微积分中的应用和基本原理。

一、积分换元法的基本概念积分换元法，又称替换法，是指将被积函数中的某一部分替换为一个新的变量，从而简化积分的方法。

简单来说，就是将原积分式中的变量用一个新的变量代替，然后对新的积分式进行求解。

具体来说，对于形如 f(x)dx 的积分，我们可以进行如下的积分换元：1、假设原积分式中的自变量x 可以表示为另一变量u 的函数：x=g(u)；2、则有：dx=g'(u)du，即 dx/du=g'(u)。

3、用 u 表示 f(x)，有 f(x)=h(u)。

4、将 1 和 3 结合，得 f(x)dx=h(u)g'(u)du。

5、用 u 代替 x 进行积分。

其中，g(u) 是连续可导函数，g'(u) 不等于 0。

如果散列w是$f$中$x$可以表示的函数，则用$g(u)=w$ 设$u=g^{-1}(w)$，则$fwg^{-1}$的微分单位表达式为$f(x) dx = fwg^{-1}(w) dg^{-1}(w)$。

因此$\int f(x) dx = \int fwg^{-1}(w) dg^{-1}(w)$。

二、积分换元法的应用积分换元法在微积分中有广泛的应用，特别是对于一些复杂的积分问题，使用积分换元法能够帮助我们将问题转化为相对简单的积分形式，从而更容易求解。

下面以几个例子来说明积分换元法的应用：1、对于形如 $\int e^{x} \cos x \, \mathrm{d}x$ 的积分，我们可以令 $u=e^{x}$，则 $\mathrm{d}u=e^{x}\mathrm{d}x$，从而原式变为 $\int \cos x \, \mathrm{d}u$，进一步求解即可。

微积分等价替换公式
微积分中的等价替换公式是指一些常见的数学式子，通过代入不同的变量或者进行变形等操作，可以得到等价的表达式，这些式子可以帮助我们快速推导出复杂的微积分公式。

下面是一些常见的微积分等价替换公式：
1. 导数的链式法则公式：如果 u(x) 和 v(x) 都是可导函数，则 (u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x)。

这个公式可以帮助我们求出复合函数的导数。

2. 积分的换元法公式：如果 f(x) 是一个可积函数，u 是一个可导函数，则∫f(u(x)) * u'(x)dx = ∫f(u)du。

这个公式可以帮助我们进行积分的简化。

3. 微分的牛顿-莱布尼茨公式：如果 F(x) 是一个连续可导函数，f(x) 是其导函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中 C 是任意常数。

这个公式可以帮助我们求出原函数。

4. 高斯积分公式：∫e^{-x^2}dx = sqrt{pi}。

这个公式在处理概率密度函数和正态分布等问题时非常有用。

5. 声明微积分基本定理的公式：如果 f(x) 是一个连续可导函数，则 frac{d}{dx}int_a^x f(t)dt = f(x)，其中 a 是常数。

这个公式可以帮助我们求出反常积分和定积分等问题。

这些微积分等价替换公式是学习微积分的基础，掌握它们可以帮助我们更好地理解微积分的概念和应用。

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微积分换元法微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的导数和积分。

微积分中的换元法是一个重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将介绍微积分中的换元法，包括基本概念、应用、注意事项等。

一、基本概念微积分中的换元法是指将一个变量替换为另一个变量，以便更方便地进行积分或求导。

换元法的基本思想是将原函数转化为一个新的函数，使得新函数的积分或导数更容易求解。

在微积分中，我们常常使用两种不同的换元法：代数换元法和三角换元法。

1. 代数换元法代数换元法是指通过代数变换将一个函数转化为一个更容易求解的形式。

代数换元法通常适用于多项式函数和有理函数。

例如，对于函数$f(x)=x^2+2x+1$，我们可以通过代数变换将其转化为一个更容易求解的形式：$$x^2+2x+1=(x+1)^2$$这个代数变换可以帮助我们更方便地求出$f(x)$的积分或导数。

2. 三角换元法三角换元法是指通过三角函数的关系将一个函数转化为一个更容易求解的形式。

三角换元法通常适用于含有三角函数的函数。

例如，对于函数$f(x)=sin x$，我们可以通过三角变换将其转化为一个更容易求解的形式：$$sin x=frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$这个三角变换可以帮助我们更方便地求出$f(x)$的积分或导数。

二、应用换元法在微积分中有广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用。

1. 积分在微积分中，我们经常需要求解各种复杂的积分。

换元法可以帮助我们将原函数转化为一个更容易求解的形式。

例如，对于函数$f(x)=frac{1}{sqrt{1-x^2}}$，我们可以通过三角变换将其转化为一个更容易求解的形式：$$intfrac{1}{sqrt{1-x^2}}dx=intfrac{1}{cos^2theta}dtheta$$ 这个换元法将原函数转化为一个含有三角函数的函数，可以更方便地求解。

2. 面积在微积分中，我们经常需要求解各种曲线的面积。

§3微积分基本定理()baf x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰． [,]x ab ∀∈．()()x aF x f t dt =⎰．在[,]a b 有定义．定理1 若[,]f R a b ∈，()()xaF x f t dt =⎰，则（１） ()F x 是[,]a b 上的连续函数．（２） 若()f x 在[,]a b 上连续，则()F x 是[,]a b 上可微，且()()F x f x '=． 证明：（１）0[,]x a b ∀∈，00()()()()()xx xaax F x F x f t dt f t dt f t dt -=-=⎰⎰⎰．[,]m M η∃∈．00()()()0F x F x x x η-=-→．（２）00()()()()F x F x f x x ξ-=-．00000()()limlim ()()x x x F x F x f f x x x ξξ→→-==-． 推论 ()()()()()(())()(())()x x F x f t dt f x x f x x ϕψϕϕψψ''''==-⎰．证明：设()()uaG u f t dt =⎰．()(())()x aG x f t dt ϕϕ=⎰．()(())()x aG x f t dt ψψ=⎰． ()()G u f u '=．((()))(())()G x G x x ϕϕϕ'''=． ()()()()()x x aaF x f t dt f t dt ϕψ=-⎰⎰．例１：232002sin 2limlim 33x x x x x x x ++→→==⎰． ()f x 的积分上限给出()f x 的一个原函数，即()()xaf x dx f t dt C =+⎰⎰()()xad f t dt f x dx =⎰ 若()()uaF u f t dt =⎰()u x ϕ=，则()(())()()[()]()x af t dt F u x f x x ϕϕϕϕ''''==⎰．同理，()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰． 例：求极限2032000sin 22sin 2limlim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→⋅===⎰． 二．微积分基本定理定理２ 设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则成立()()()()bba af x dx F b F a F x =-⎰．证明：()()xaf t dt F x c =+⎰，()0F a c +=．()()()xaf t dt F x F a ∴=-⎰． ()()()baf t dt F b F a ∴=-⎰．例２：111lim 122n n n n →∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭1111111lim lim 121111nn x i n i n n n n n n→∞→∞=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=+++=⋅ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++++ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 110011lim ()ln 1ln 21ni i x i f x dx x n ξ→∞==∆==+=+∑⎰． 例３：121limsin sin sinn n n n n n πππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭1lim ()ni i x i f x ξ→∞==∆∑1sin xdx =⎰11cos x ππ-=＝112πππ+=．三．定积分的计算１．第一类换元法：()()()(())()()u x bb aa f x x dx f u du ϕϕϕϕϕ='=⎰⎰(())()ba f x d x ϕϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例：cos cos cos 10sin cos ()xx x exdx e d x e e e πππ-=-=-=-⎰⎰．或cos 11111t xt te dt e e e =---=-=-=-⎰．２．第二类换元法：()()()()(())()x t baa bf x dx f t t dt ϕβαϕαϕβϕϕ==='=⎰⎰．例：2()11cos x xe x f x x-⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+⎩ -1x 0 求：21()f x dx -⎰． 21()f x dx -⎰＝2021011cos x dx xe dx x -++⎰⎰＝20222101cos 1()1cos 2x x dx e d x x --+---⎰⎰ ＝2020111sin 2x ctgx e x --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝202101cos 1sin 2x x e x ----＝041sin 111cos 22x e x ---++＝41sin1(1)21cos1e --++． ３．分部积分法：()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰．例：000sin (cos )cos sin x xdx x x xdx x ππππππ=-+=+=⎰⎰．４．利用函数的特殊性质计算积分： 定理３ ()[,]f x R a a ∈-， （１）若()f x 为偶函数，则有0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰；（２）若()f x 为奇函数，则有()0aaf x dx -=⎰．证明：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰00()()[()()]a aaf t dt f x dx f x f x dx =--+=-+⎰⎰⎰．例：222202(sin )(cos )(sin )()(sin )x t f x dx f x dx f x dt f x dx πππππ=-==-=⎰⎰⎰⎰．例：222000sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x dx dx A A dx x x x x x x ππππ+==⇒==+++⎰⎰⎰．例：2sin n n xdx I π=⎰，121sin [(1)sin cos ]n n n n xdx I n I x x n--==--⎰ 2201n n n n I II nπ--== 2n ≥． 210sin 1I xdx π==⎰， 02I π=．01131(1)!!22!!2132(1)!!23!!n n n I n n n n n n I n n n π---⎧=⋅⋅⋅=⋅⎪⎪-⎨---⎪=⋅⋅⋅=⎪-⎩ n=偶数 n=奇数例：设21()xt f x e dt -=⎰不能用初等函数表示，221111110000011()()()(1)(1)0(1)22x x f x dx xf x xf x dx f xe dx f e e --'=-=-=+=+-⎰⎰⎰．定理４ ()f x 是以T 为周期的可积函数，则a ∀有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．注：计算定积分应该注意的问题（1）换元时，上下限应改变．（2）第二类换元不必一一对应．（3）若积分函数积分区域不连续，应变形去掉不连续点．。

数学中的微积分技巧应用研究微积分是高等数学的一门重要分支，它以极限概念为基础，通过对函数进行积分和求导的运算，揭示了数学中许多重要的规律和定理，广泛应用于自然科学、工程领域和社会科学等各个领域中。

在实际应用中，微积分的技巧和方法可以帮助我们解决很多实际问题，本文将从微积分技巧的应用角度，对一些常用的技巧进行研究和探讨。

1.积分换元法积分换元法是微积分中一个重要的技巧，它可以将一个复杂的积分式变成一个简单的积分形式，从而方便求解。

积分换元法的基本思想是将一个积分式中的一个部分替换为另一个新的变量，从而将问题转化为求一个新变量的积分。

这一变换需要满足一定的条件，比如需要新的变量具有单调性、连续性和可微性，这样才能够保证变换的正确性。

举个例子，如果我们想要求解$$\int_0^{10}\sqrt{x^2+1}dx$$这个积分式，可以考虑使用积分换元法。

我们可以令$x=\tan \theta$，从而有$$dx=\sec^2 \thetad\theta$$将$x$替换为$\tan \theta$后，原积分式可以变为$$\int_0^{\arctan10}\sqrt{\tan^2 \theta +1}\sec^2\theta d\theta$$接着，根据三角恒等式$\tan^2 \theta +1=\sec^2\theta$，我们可以得到$$\int_0^{\arctan 10}\sec^3\theta d\theta$$至此，我们已经将原积分式转化为一个简单形式的积分问题，可以使用积分公式直接求解。

2.分部积分法分部积分法是微积分中另一个重要的技巧，它可以将一个积分式进行分解，从而更方便求解。

分部积分法的基本思想是利用求导和求积的性质，将一个积分式分为两个部分，一部分进行求导，另一部分进行求积。

通过适当的选择分部积分的组合方式，我们可以将一个积分式变成一个更加易于求解的形式。

比如，如果我们想要计算$$\int x^2 \sin x dx$$这个积分式，可以考虑使用分部积分法。

微积分换元法公式
微积分中的换元法是一种常用的求解定积分的方法，也被称为变量代换法。

它的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数的形式更容易积分。

换元法有多种形式，下面我来介绍一些常见的换元法公式。

1.第一类换元法（代入法）：
假设有一个定积分$\intf(g(x))g'(x)dx$，我们进行代换$u=g(x)$，则有$du=g'(x)dx$。

将$du$和$g'(x)dx$代入原积分中，可得到新的积分$\intf(u)du$。

这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。

2.第二类换元法（参数化法）：
当被积函数的形式较为复杂时，我们可以通过采用参数化的方法来进行换元。

具体步骤如下：
假设有一个定积分$\intf(x,y)dx$，其中$y=g(x)$是一个函数关系。

我们将$x$用$t$表示，并假设存在一个函数$x=h(t)$，使得$x$和$y$之间存在函数关系。

将$x=h(t)$和$y=g(x)$代入原积分中，得到新的积分
$\intf(h(t),g(h(t))h'(t))dt$。

这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。

除了上述两种常见的换元法，还有一些特殊的换元法，如三角换元法、指数换元法等，这些方法都是根据具体的问题来选择合适的变量代换方式，以便将原积分转化为更简单的形式。

需要注意的是，在进行换元法时，需要注意对边界条件的处理，以及确定新的积分变量的取值范围，以保证换元后的积分的正确性。

换元法的应用原理1. 换元法简介换元法是微积分中的一种常用的积分方法，也称为变量替换法或积分换元法。

通过引入新的变量，将原来的积分问题转化为更简单的形式，从而求解积分。

换元法的应用广泛，包括解决一阶微分方程、求解定积分、求解广义积分等。

2. 换元法的基本思想换元法的基本思想是将被积函数中的自变量用新的变量来表示，然后通过求导和代换来得到新函数的微分式。

换元法的目的是将被积函数转化为更简单的形式，以便于求解。

3. 换元法的步骤换元法的步骤如下：•选择合适的替换变量：选取一个合适的新变量使得被积函数在新变量下的积分更容易求解。

常用的替换变量包括三角函数、指数函数、対数函数等。

•确定新旧自变量之间的关系式：确定新变量与原变量之间的关系式，即求出新变量与原变量之间的函数关系。

•计算新自变量的微分：通过求导计算新自变量的微分。

•将原函数转化为新变量的函数：将被积函数转化为新变量的函数，通过代入关系式将原函数中的自变量替换为新变量。

•求解新函数的积分：将转化后的函数进行积分，得到新函数的积分形式。

•将新函数转化为原函数：将新函数的积分结果进行代换，得到原函数的积分。

4. 换元法的例子下面是一个通过换元法求解定积分的例子：假设要求解积分 $\\int_{0}^{\\pi/2} \\cos^2(x)\\sin(x)dx$.步骤如下：1.选择替换变量：设 $u = \\cos(x)$.2.确定新旧自变量关系：根据关系式得到 $x = \\arccos(u)$.3.计算新自变量的微分：对u求导，得到 $du = -\\sin(x)dx$.4.将原函数转化为新变量的函数：将 $\\cos^2(x)\\sin(x)$ 替换为u2du.5.求解新函数的积分：$\\int_{0}^{1} u^2 du =\\left[\\frac{u^3}{3}\\right]_{0}^{1} = \\frac{1}{3}$.6.将新函数转化为原函数：根据 $u = \\cos(x)$，代换 $x =\\arccos(u)$，得到原函数的积分为 $\\int_{0}^{\\pi/2} \\cos^2(x)\\sin(x)dx = \\frac{1}{3}$.通过换元法，我们成功地求解了原始的积分问题。

微积分是数学中的一门重要学科，研究的是函数的变化与相关性质。

在微积分中，变量替换与积分换元法是常用的技巧，能够简化复杂的运算过程，使得计算更为便捷。

本文将详细介绍变量替换与积分换元法的基本原理和应用。

首先，我们来了解一下变量替换的概念。

变量替换是指将原积分变量替换为一个新的变量，通过这种变换，可以改变问题的形式，从而更易求解。

变量替换中常用的方法有代数替换、三角替换和指数替换等。

例如，对于形如∫f(x)dx的不定积分，我们可以通过代数替换或三角替换，将其转化为∫g(u)du的形式，从而简化求解过程。

接下来，我们将介绍积分换元法的基本原理。

积分换元法是指通过将被积函数中的自变量替换为一个新的变量，使得被积函数的表达式更加简单，从而更易积分。

具体来说，设u=u(x)是一个可导的函数，而f(u)是它的导函数，并且f(u)在某一区间内连续，则有如下变量替换公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx通过这个公式，我们可以将原来积分的被积函数转化为一个更为简单的形式。

这种替换使得原来复杂的积分可以通过一些简单的代数运算求得解析解。

变量替换与积分换元法的应用非常广泛。

在求解一些复杂函数的不定积分时，通常可以通过变量替换的方法将其转化为简单函数的积分。

例如，在求解∫(x^2+1)^5xdx时，我们可以通过变量替换u=x^2+1，得到∫u^5/2du的形式，这个积分可以很容易地求解出来。

另外，变量替换与积分换元法在求解定积分中也有重要的应用。

通过适当的变量替换，可以将原来复杂的积分转化为更简单形式的积分。

例如，对于∫sin(x^2)dx这个积分，我们可以将x^2=t进行变量替换，得到∫(1/2)(sin(t)/√t)dt，然后再借助一些常用的积分公式进行求解。

此外，变量替换与积分换元法还可以应用于解微分方程等其他数学问题中。

通过适当的变换，可以将复杂的微分方程化简为形式简单的方程，从而更加方便地解决问题。