第五章第2节微积分基本公式98929

微积分基本公式
微积分中的一些基本公式包括：
1. 导数的基本运算法则：
- 可导函数的加减法：(f ± g)' = f' ± g'
- 可导函数的常数倍：(cf)' = cf'
- 可导函数的乘法法则：(fg)' = f'g + fg'
- 可导函数的除法法则：(f/g)' = (f'g - fg')/g^2 - 可导函数的链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)
2. 基本导函数：
- 常数函数的导数：(c)' = 0 （其中 c 是常数）- 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)
- 指数函数的导数：(e^x)' = e^x
- 对数函数的导数：(log_a(x))' = 1/(xlna)
3. 不定积分的基本公式：
- 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C （其中 C 是常数）
- 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C
- 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln|x| + C
这些是微积分中的一些基本公式，但并不 Exhaustive（详尽）。

还有许多其他公式和规则可以用于求导和积分。

微积分基础公式
微积分是数学中的一个重要分支，也是物理学、工程学、经济学等领域中必不可少的工具。

下面是微积分基础公式的介绍：
1.导数公式
导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。

如果函数f(x)在点x处可导，那么它的导数为：
f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)]/Δx
2.求导法则
求导法则是求导的基本规则，包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。

3.微分公式
微分是导数的另一种表达形式，表示函数在某一点处的变化量。

如果函数f(x)在点x处可微，那么它的微分为：
df = f'(x) dx
4.积分公式
积分是微积分中的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的面积。

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它的积分为：∫a^bf(x)dx
5.基本积分法
基本积分法是求解积分的基本方法，包括换元积分法、分部积分法、三角换元积分法等。

以上是微积分基础公式的介绍，对于学习微积分的同学们来说，
掌握这些公式是非常重要的。

第二节 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系（自学）二、积分上限的函数及导数设函数()f x 在区间[],a b 上连续，并且设x 为[],a b 上的一点．下面考察定积分 ().xa f x dx ⎰ 因为定积分的值与积分变量无关，为了避免混淆，把上面这个定积分改为 ().x af t d t ⎰ 由这个定积分，可以确定一个函数 ()(),.x ax f t dt a x b Φ=≤≤⎰ 定理1 如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，那么积分上限的函数()()xa x f t dt Φ=⎰ 在[],ab 上可导，且()()(),.x ad x f t dt f x a x b dx Φ'==≤≤⎰ 定理2 如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，那么函数()()xa x f t dt Φ=⎰ 是()f x 在[],ab 上的一个原函数．三、牛顿-莱布尼茨公式定理3（微积分基本定理）如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，那么()()().ba f x dx Fb F a =-⎰ 证 已知函数()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，又根据定理2 知，积分上限函数 ()()xa x f t dt Φ=⎰ 也是()f x 的一个原函数．于是这个两个原函数之差()()F x x Φ-在[],ab 上是一个常数C ，即()(),.F x x C a x b Φ-=≤≤在上式中令x a =，得()().F a a C Φ-=但()0a Φ=，故().F a C =于是， ()()(),F x x F a Φ-=()()(),xa F x f t dt F a -=⎰ ()()().xa f t dt F x F a =-⎰ 在上式中令xb =，得()()()().bba a f x dx f t dt Fb F a ==-⎰⎰ 若把()()F b F a -记为()ba F x ⎡⎤⎣⎦，则 ()().bb a a f x dx F x =⎡⎤⎣⎦⎰例1 计算定积分120.x dx ⎰解 因为33x 是2x 的一个原函数，所以 13331200101.3333x x dx ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例2计算21.1dx x -+ 解 因为arctan x 是211x +的一个原函数，所以[()211arctan arctan 11dx x x --==+ 7.3412πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 例3 计算12.dx x --⎰ 解 因为当0x <时，1x 的一个原函数是ln x ，所以 1122ln ln1ln 2ln 2.dx x x ----=⎡⎤=-=-⎣⎦⎰例4 计算正弦曲线sin y x =在[]0,π上与x 轴所围成的平面图形的面积．解 所求的面积为[]()()00sin cos 11 2.A xdx x ππ==-=----=⎰ 习题5-21. 试求0sin x y tdt =⎰当0x =及4x π=时的导数．解 sin dy x dx =，因此040,x x dy dy dx dx π==== 2. 求由参数表达式00sin ,cos x u x udu y udu ==⎰⎰所确定的函数对x 的导数.dy dx解 cos cot .sin dydy t dt t dx dx tdt=== 3.求由00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所决定的函数对x 的导数.dy dx 解 方程两边分别对x 求导，得cos 0ydy e x dx+=， 故 cos .y dy e x dx-=- 4.当x 为何值时，函数()20x t I x te dt -=⎰有极值？ 解 容易知道()I x 可导，而()20x I x xe -'==有唯一解0.x =当0x <时，()0I x '<，当0x >时()0I x '>，故0x =为函数()I x 的唯一极值点（极小值点）．5.计算下列各导数：（1）0x d dx ⎰解2x d dx =⎰ （2）32x x d dx ⎰； 解332200x x x x d d dx dx ⎛⎫=- ⎝⎰⎰⎰2=8.计算下列积分：（1）()2031ax x dx -+⎰； 解 ()232001312aa x x dx x x x ⎡⎤-+=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 322111.22a a a a a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭（2）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； 解 2223431111121.338x dx x x x ⎛⎫⎡⎤+=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ （3）41dx +⎰； 解)9329244422711.326x dx x dx x ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰（4）2dx x +； 解[2arctan .6dx x x π==+ （5）1⎰； 解[]11212arcsin .3x π-==⎰ （6）220dx a x +； 解2220011x d dx a a x a x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭01arctan .3x a a a π⎡==⎢⎥⎣⎦（7）1⎰；解1110arcsin .26x d x π⎛⎫ ⎪⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰ （8）420213311x x dx x -+++⎰； 解 4200222113311311x x dx x dx x x --++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰ 031a r c t a n 1.4x x π-⎡⎤=+=+⎣⎦ （9）211e dx x ---+⎰； 解 ()2221111ln 1 1.11e e e d x dx x x x ---------+==⎡+⎤=-⎣⎦++⎰⎰ （10）220tan d πθθ⎰； 解 ()[]22444000tan sec 1tan 1.4d d ππππθθθθθθ=-=-=-⎰⎰（11）20sin x dx π⎰； 解 2200sin sin sin x dx x dx x dx ππππ=+⎰⎰⎰()[][]2200s i n s i n c o s c o s 4.x d x x d x x x ππππππ=+-=-+=⎰⎰ （12）()20f x dx ⎰，其中()21,1,1, 1.2x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 解 ()()()212001f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()12231220101181.2263x x x dx x dx x ⎡⎤⎡⎤=++=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰。