2-14第十四节定积分与微积分基本定理(理)练习题(年高考总复习)(最新整理)

课程信息一、教学目标：1.理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2.理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题^二、知识要点分析 b1.定积分的概念：函数f(x)在区间［a, b］上的定积分表示为：L f(x)dx2.定积分的几何意义：(1)当函数f (x)在区间［a, b］上恒为正时，定积分f f(x)dx的几何意义是：y=f (x) ab与x=a, x=b及x轴围成的曲边梯形面积，在一般f#形下.［f (x)dx的几何意义是介于x轴、函数f (x)的图象、以及直线x=a, x=b之间的各部分的面积代数和，在x轴上方的面积取正号，x轴下方的面积取负号.b b b在图(1)中：ff (x)dx =s >0 ,在图(2)中：「(x)dx =s<0 ,在图(3)中：［f (x)dxa -a -a表示函数y=f (x)图象及直线x=a, x=b、x轴围成的面积的代数和. b 注：函数y=f (x)图象与x轴及直线x=a, x=b围成的面积不一定等于 f f(x)dx,仅a b当在区间［a, b］上f (x)恒正时，其面积才等于 f f(x)dx.a3.定积分的性质，(设函数f (x), g (x)在区间［a, b］上可积)b b b(1)［f(x) -g(x)］dx = J f(x)dx - g(x)dxa a ab b(2)ikf(x)dx = k j f (x)dx , (k 为常数)a ab c b(3)f(x)dx = f(x)dx，I f (x)dxa a cb(4)若在区间［a, b］上，f(x)之0,则1 f(x)dx >0a⑵ | a f(x)dx 匡 a | f(x)|dx aa a (3)若 f(x)是偶函数,则 f f (x)dx = 2 f f (x)dx ,若 f(x)是奇函数，则 f f (x)dx=0 ’.a ’0 」 4.微积分基本定理：b一般地,右 F (x) = f (x)，且f (x)在［a,b ］上可积,则 f f (x)dx = F (b) - F (a) a 注：(1)若F ‛(x) = f(x)则F (x)叫函数f (x)在区间［a, b ］上的一个原函数，根b据导数定义知：F (x) +C 也是f (x)的原函数，求定积分 f f(x)dx 的关键是求f (x)的 原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F (x).(2)求导运算与求原函数的运算互为逆运算 . 【典型例题】知识点一：定积分的几何意义2二'sinxdx=0推断：求直线 x=0, x=2n , y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是(2：：,题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意 ［sin xdx 与y=sinx 及直线x=a, x=b 和x 轴 围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间［0, 2冗］内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可 判断. 解：对于(A):由于直线x=0 , x= 2冗,y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正 可判断A 错.对于(B), (C)根据y=sinx 在［0, 2n ］内关于(冗,0)对称知两个答案都是错误的.根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案( D)是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义， 体现了数与形结合的思想的应用，易错点2 .只 是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0, x= 2几围成的面积等于 (f(x)dx .例2.利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 1(1) 0 2xdx =11f 2推论：(1)若在区间［a, b ］上,f (x) «g(x)，则 J f (x)dx « J g(x)dx例1 .根据 A.面积为0B.曲边梯形在C.曲边梯形在D.曲边梯形在 x 轴上方的面积大于在 x 轴上方的面积小于在 x 轴上方的面积等于在 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积 x 轴下方的面积*(2)0 1 -x dx =屋题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间［0, 1］上函数y=2x,及y= J1 —x2恒为正时，定积分(2xdx表示函数y=2x图象与x=0,x=1围成的图形的面积，(，1 -x2dx表示函数y二11一x2图象与x=0, x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x及y=\；1—x2的图象，求此图象与直线x=0 , x=1围成的面积.解：(1)在同一坐标系中画出函数y=2x的图象及直线x=0 , x=1 (如图)，它们围成的图形图所示，所以函数y = <1 — x2与直线x=0 , x=1围成的图形面积是圆x2+ y2= 1面积的四分之一，又y = /1 —x2在区间［0, 1］上恒为正.f h -x2dx =—0 4解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x及函数y= Q1 — x2在区间［0, 1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.4例3.利用定积分的几何意义求r (| x —1|十| x — 3 |)dx的值.4题意分析：本题考查定积分的几何意义，］(|xT| + |x-3|)dx的值是函数y」x -1| +|x—3|的图象与直线x=0, x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间[0, 4]分割为[0, 1], [1, 3], [3, 4],在每个区间上讨论x—1, x-3的符号，把函数y=|x-1|+|x-3|化为分段函数，再根据定积分的几何意义求40(|x-1| +|x-3|)dx 的值.-2x 4,(x [0,1]解：函数y =| x —1| + | x —3 |化为y = {2,(x w [1,3]2x-4,(x [3,4]-2x 4,(x [0,1]由于函数y ={2,(xW[1,3] 在区间[0, 1], [1, 3], [3, 4]都恒为正. 2x-4,(x [3,4] 设函数y= — 2x+4的图象与直线x=0, x=1围成的面积为 &函数y=2的图象与直线x=1 , x=3围成的面积是S2函数y=2x — 4的图象与直线x=3 , x=4围成的面积是S3一 1 一一一由图知：S1=S3=-(4 2) 1=3,S2=2 2 = 44由定积分的几何意义知：o(|x-1| • |x-3|)dx=& • S3 • S2 =10解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分40 (| x-1| +|x -3|)dx的值，体现了等价转化的数学思想(把区间[ 0, 4]分割，把函数y=|x—1|+|x —3|化成分段函数)、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间[0, 4]分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间[ a, b]上f (x)恒为正时，f (x) 在区间[a, b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a, x=b围成的面积.在画函数图象时注意x的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.一、选择题1.(2010 山东日照模考)a=「2xdx, b= f2e x dx, c=「2sinxdx,则a、b、c 的大小关系是'0 10 ' O( )A. a<c<bB. a<b<cC. c<b<aD. c<a<b2.(2010山东理，7)由曲线y=x2, y = x3围成的封闭图形面积为()C. (e 11, e) 8. （2010福建厦门一中）如图所示，在一个长为 兀，宽为2的矩形OABC 内，曲线y = sinx （0<x<兀后x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点（该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是 （ ）1A.— C .3 7 D- 12（2010湖南师大附中）设点P 在曲线y=x 2上从原点到A （2,4）移动，如果把由直线 直线y=x 2及直线x = 2所围成的面积分别记作S 1, 5.如图所示，当S I =S 2时，点POP,的坐标 是（） A. *C. 3, 157 D .百3. 由二条直线x= 0、 x= 2、y=0和曲线y=x 3所围成的图形的面积为（）4.C. 5.4B.3D. 6 （2010湖南省考试院调研）j 1 —1（sinx+1）dx 的值为（ ） 2 + 2cos1 B. 2D. 2—2cos1曲线y= cosx （0wxw 2兀后直线y= 1所围成的图形面积是（ ） B. 3兀C 3jt D.兀6 .函数 F(x)=「t(t —4)dt 在［―1,5］上()A .有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-323C.有最小值-警，无最大值3D.既无最大值也无最小值7 .已知等差数列｛a n ｝的前n 项和S n=2n 2+n,函数 f(x)=「一dt,若 f(x)<a 3,则 , 1 t x 的取 值范围是（ ）A. -k OO ? 18 . (0, e 21) D. (0, e 11)10. (2010沈阳二十中)设函数f(x) = x-［x ］,其中［x ］表示不超过x 的最大整数，如［—1.2］x =—2, [1.2]= 1, [1] = 1.又函数g(x) = -x, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m, f(x)与g(x) 3的图象交点的个数记为 n,则f ng(x)dx 的值是('m 8. -43C.(2010江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间上随机等可能地抽取一个实数记为b,乙从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为 c 可以相等),若关于x 的方程x 2+2bx+c=0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比 赛中甲获胜的概率为( )1 A 「 兀2 B.- 兀 3C.兀D.49. (2010吉林质检)函数 f(x) = S x + 2(-2<x<02cosx(0WxW]) 兀 的图象与x 轴所围成的图形面积 S 为( )A.2B. 1C. 4 1D.2 [0,1] c(b 、 A.1 3 B.2 C -C.2D.312. (2010吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),曲 线y=x 2(x>0)与x 轴，直线 落在区域M 内的概率是(x=1构成区域M,现将一个质点随机地投入正方形中，则质点 1A.21 B.4 1C"32 D.5二、填空题 13. (2010芜湖十二中)已知函数f(x)=3x2+2x+1 ,若1f(x)dx= 2f(a)成立,则 a=兀 L 1 A 一 一一，、，人 一, 1 一S I14 .已知 a= 2 2°（sinx+ cosx ）dx,则二项式（aF —了）的展开式中含 x 项的系数是 15 .抛物线y 2=2x 与直线y= 4 —x 围成的平面图形的面积为若直线l 与抛物线相切且平行于直线 2x —y+6= 0,则l 的方程为f （x ）= - x 3+ax 2+bx （a, bC R ）的图象如图所示，它与. ........ 一 一一，，一一一一， ,， ............... .. . 1 ............ 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为112,则a 的值为 三、解答题18 .如图所示，在区间［0,1］上给定曲线y = x 2,试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S I + S 2最小. 16. （2010安徽合肥质检）抛物线 y 2= ax （a>0）与直线x= 1围成的封闭图形的面积为 4 3'17. （2010福建福州市）已知函数。

第十四节 定积分与微积分基本定理(理)一、选择题1．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 解析 本题考查微积分基本定理．S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)． 令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B .A ．3B ．4C ．3.5D ．4.5答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A .⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.4．(2012·湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π25．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析 令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0 ∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.6．(2014·武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案 38．(2014·厦门市质检)计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.9．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析 设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎨⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． 由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.①由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1， 所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16.又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ， 所以S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k 0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2.(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x .作出曲线y ＝x 3－3x 的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3－3x ＝0得曲线y ＝x 3－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3－3x 是R 上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎜⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎜⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎜⎛1(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎜⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎜⎛2(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎜⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎜⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎜⎛12(3－x )d x ＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.9．已知a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛ab[(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎜⎛34x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎜⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎜⎛1eln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎜⎛1eln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎜⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18. 14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎜⎛0t(e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎜⎛0t(e t －e x )d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎜⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1. (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎜⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2.(3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．∴S 阴影＝⎠⎜⎛a[0－(－x 3＋ax 2)]d x ＝(14x 4－13ax 3)|0a＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x － 1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎜⎛1f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎜⎛01f (x )d x ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a3＋c＝ax 2＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2x)r＝(－2)r C r 5x5－3r2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

第二篇 函数、导数及其应用专题2.14 定积分与微积分基本定理【考纲要求】1. 了解定积分的实际背景、基本思想及概念． 2．了解微积分基本定理的含义. 【命题趋势】定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积. 【核心素养】本讲内容可以突出对数学建模，数学运算，数学抽象的考查. 【素养清单•基础知识】 1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x ；(3) ⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．4．定积分的几何意义定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S . ①S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；②S ＝－⎠⎛a b (x )d x ；③S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x ；④S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零. 【素养清单•常用结论】 1．常见被积函数的原函数 (1) ⎠⎛a bc d x ＝cx |b a ；(2)⎠⎛ab x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba (n ≠－1)； (3) ⎠⎛ab sin x d x ＝－cos x |b a ；(4) ⎠⎛abcos x d x ＝sin x |b a ；(5) ⎠⎛ab 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6) ⎠⎛ab e x d x ＝e x |b a .2. 奇函数、偶函数定积分的两个重要结论 设函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有： (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；(2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 【真题体验】1．若s 1＝⎠⎛12x 2d x ，s 2＝⎠⎛121x d x ，s 3＝⎠⎛12e x d x ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为( )A ．s 1<s 2<s 3B ．s 2<s 1<s 3C ．s 2<s 3<s 1D ．s 3<s 2<s 1【答案】B【解析】 因为s 1＝13x 3∣21＝13(23－13)＝73<3，s 2＝ln x ∣21＝ln 2－ln 1＝ln 2<1，s 3＝e x ∣21＝e 2－e>3，所以s 2<s 1<s 3. 2.直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4【答案】D【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x3得交点为(0,0)，(2,8)，(－2，－8)， 所以S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4∣2 0＝4，故选D ．3.已知t >1，若⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝__________.【答案】 2【解析】 ⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )∣t 1＝t 2＋t －2，从而得方程t 2＋t －2＝t 2，解得t ＝2.4.汽车以36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－2 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__________m ． 【答案】 25【解析】 t ＝0时，v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ，由v (t )＝0得t ＝5 s ，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2)∣50＝25(m)．【考法拓展•题型解码】 考法一 定积分的计算 答题模板：计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数． (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值． 【例1】 计算下列定积分．(1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ； (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x . 【答案】见解析【解析】 (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3∣10＋(x 2)∣10＝－13＋1＝23. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )∣π0－sin x ∣π0＝2.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x ∣21＋ln x ∣21 ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2.(4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x ,＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2. 考法二 定积分的几何意义及应用 归纳总结(1)利用定积分求平面图形面积的步骤： ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程(不等式)求解．【例2】 (1)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4C ．163D ．6【答案】C【解析】作出曲线y ＝x 和直线y ＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x ∣40＝23×8－12×16＋2×4＝163. (2)(2019·湖南雅礼中学质检)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112.试求：切点A 的坐标和过切点A 的切线方程．【答案】见解析【解析】 (2)如图，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.,令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ．S 曲边△AOB ＝⎠⎛0x 0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪x 00＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30， 即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112，所以x 0＝1. 从而切点为A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1. 考法三 定积分在物理中的应用 归纳总结：定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4，t ＝－83(舍去)，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )∣40＝4＋25ln 5(m)． (2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为__________J.【解析】由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025 d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ∣42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36 (J)． 【易错警示】易错点 定积分的几何意义理解错误【典例】 如图，函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为( )A ．⎠⎛ab f (x )d xB ．⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xC ．－⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xD ．－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x【错解】：A ，B ，C【错因分析】：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号，而各部分面积的代数和为x 轴上方的定积分减去x 轴下方的定积分．【正解】：如图所示，在[a ，c]上，f(x)≤0；在[c ，b]上，f(x)≥0，所以函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的阴影部分的面积S ＝－⎠⎛a c f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx ，故选D ．【跟踪训练】 (2019·山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛02|x 2－1|d xB ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)dxC ．⎠⎛02(x 2－1)dxD ．⎠⎛01(x 2－1)dx ＋⎠⎛12(1－x 2)dx【答案】A【解析】 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下阴影部分的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|dx .1．定积分⎠⎛01x (2－x ) d x 的值为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】A【解析】 令y ＝x (2－x )，则(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，由定积分的几何意义知，⎠⎛01x (2－x )d x 的值为区域⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，0≤x ≤1的面积，即为π4.2．计算：⎠⎛－33(x 3cos x )d x ＝__________.【答案】 0【解析】 因为y ＝x 3cos x 为奇函数，所以⎠⎛－33(x 3cos x )d x ＝0.3．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为__________．【答案】 43【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)． 所以所求面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝⎛⎭⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝⎛⎭⎫－14x 2＋1d x ＝43.4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为__________．【答案】4π3【解析】 阴影部分的面积为2⎠⎛0πsin x d x ＝2(－cos x )∣π0＝4，圆的面积为π3，所以点A 落在区域M 内的概率是4π3.5.物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是__________m ． 【答案】 130【解析】 设A ，B 两物体运动t s 后相遇，则⎠⎛0t (3t 2＋1)d t －⎠⎛0t 10tdt ＝5，所以t 3＋t －5t 2＝5，解得t ＝5，所以A 物体从出发到相遇时的运动距离为53＋5＝130(m)． 【考卷送检】 一、选择题1.⎠⎛01e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1D ．12(e －1)【答案】C【解析】 ⎠⎛01e x d x ＝e x ∣10＝e 1－e 0＝e －1，故选C ．2.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝( ) A ．e 2－2 B ．e －1 C ．e 2 D ．e ＋1【答案】C【解析】 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )∣e 1＝e 2，故选C ． 3.求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xB ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【答案】A【解析】 由图象可得S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2【答案】D【解析】 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x －2ln x ∣42＝4－2ln 2.5.若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【答案】B【解析】 S 1＝13x 3∣21＝73，S 2＝ln x ∣21＝ln 2，S 3＝e x ∣21＝e 2－e.因为ln 2<1<73，e 2－e ＝e(e －1)>e>73，故S 2<S 1<S 3，故选B ．6.如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数y ＝cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A ．2πB ．1πC ．12D ．π－2π【答案】D【解析】 因为⎠⎜⎛0 π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝1，故所求概率为π－1×2π＝π－2π.二、填空题7. ⎠⎜⎛0π2(cos x －sin x )d x ＝________.【答案】 0【解析】 ⎠⎜⎛0 π2(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π2＝0. 8.若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝________.【答案】 e 2＋12【解析】 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ∣e 1＝e 2＋12. 9.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是________．【答案】 22－2【解析】 由图可得阴影部分面积S ＝2⎠⎜⎛0 π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)． 三、解答题 10.求下列定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .【答案】【解析】 (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22∣21－x 33∣21＋ln x ∣21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x ＝,sin x ∣0－π＋e x ∣0－π＝1－1e π. 11.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积． 【答案】【解析】 因为(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，其与函数g (x )＝x 2围成的图形如图．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． 所以y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3∣20＝4－83＝43. 12.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式． 【答案】见解析【解析】 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0.(2)由(1)知函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x得x 2－8x －t (t －8)＝0，所以x 1＝t ，x 2＝8－t .因为0≤t ≤2，所以直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝⎠⎛0t[(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x ＝⎣⎡⎦⎤(－t 2＋8t )x －⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2∣t 0＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x ∣2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403. 13.求曲线f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π4与x 轴围成的图形的面积． 【答案】见解析【解析】 当x ∈[0，π]时，f (x )≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎤π，5π4时，f (x )<0. 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－⎠⎜⎛π 5π4sin x d x ＝－cos x ∣π0＋cos x ⎪⎪⎪⎪5π4π＝2＋⎝⎛⎭⎫－22＋1＝3－22.。

第十三节 定积分与微积分基本定理【考纲下载】1. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2. 了解微积分基本定理的含义.1．定积分(1)定积分的相关概念：在∫baf (x )d x 中，∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．(2)定积分的性质： ①∫b a 1d x ＝b －a ；②⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)；③⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ；④⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x . (3)定积分的几何意义：①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫b af (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b af (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有∫b af (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫ba f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1.()baf x dx ⎰与()baf t dt ⎰相等吗？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[()()]baf xg x dx -⎰(f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．1．(2013·江西高考)若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x⎰，S 3＝21e x dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B S 1＝32113x ＝83－13＝73，S 2＝2ln 1x ＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝2e 1x ＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.2．已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20 解析：选B S ＝10t tdt ⎰＝0250t t ＝5t 20.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)2x (x <0)，则11()f x dx -⎰的值是( )A. 121x dx -⎰ B. 112x dx -⎰C.21x dx -⎰＋102x dx ⎰ D. 012x -⎰d x ＋120x ⎰d x解析：选D11()f x dx -⎰＝012x -⎰d x ＋120x ⎰d x .4．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：220x dx ⎰＝32103x ＝83.答案：835．(2013·湖南高考)若20Tx dx ⎰＝9，则常数T 的值为________．解析：2Tx dx ⎰＝3103T x ＝13T 3＝9，解得T ＝3.答案：3[例1] 求下列定积分： (1) 12(2)xx dx -+⎰； (2) 0(sin cos )x x dx π-⎰；(3)2211(e )x dx x+⎰; (4) 201x dx -⎰.[自主解答] (1) 120(2)x x dx -+⎰＝120()x dx -⎰＋102xdx ⎰＝31103x -＋210x ＝－13＋1＝23.(2)(sin cos )x x dx π-⎰＝0sin xdx π⎰－0cos xdx π⎰＝(cos )x π-－sin 0xπ＝2.(3)2211(e )xdx x +⎰＝221e xdx ⎰＋211dx x ⎰＝221e 12x ＋2ln 1x ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x (0≤x <1)，x －1 (1≤x ≤2)，故1(1)x dx -⎰＝10(1)x dx -⎰＋21(1)x dx -⎰＝2102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12＋12＝1.【互动探究】若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎰表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎰表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎰＝14π.【方法规律】定积分的求法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()aaf x dx -⎰＝0.1.＝________.解析：＝20sin cos x x dx π-⎰＝()40cos sin d x x x π-⎰＋()24sin cos d x x x ππ-⎰＝()sin cos 40x x π+＋()2cos sin 4x x ππ--＝2－1＋(－1＋2)＝22－2. 答案：22－2 2．若()20sin cos d x a x x π+⎰＝2，则实数a ＝________.解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，∴46212243(34)d 4()d 22x x x x v t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰＝(sin cos )20a x x π-＝⎝⎛ a sin π2－⎭⎫cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：1 3.x ⎰＝________.解析：由定积分的几何意义知，0x⎰是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故x ⎰＝π·324＝9π4. 答案：9π4[例2] (1)(2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 (2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J [自主解答] (1)由v (t )＝7－3t ＋151＋t ＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋151＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 3＋25ln (1＋t ) 40＝4＋25ln 5. (2)力F (x )做功为2010d x ⎰＋42(34)d x x +⎰＝10x 20＋243422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝20＋26＝46. [答案] (1)C (2)B 【方法规律】利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6s 间的运动路程为________．解析：由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s＝()331122322222021022132()d d e 33363kx xx x kx x x x x x x kx x x ππ-⎡⎤''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦⎰⎰则＝1122d t t ⎰＋312d t ⎰＋6311d 3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝t 2112＋2t 31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t 63＝494.答案：4941．利用定积分求平面图形的面积是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度偏小，属中低档题．2．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下几个命题角度：(1)知图形求曲线围成图形的面积； (2)知函数解析式求曲线围成图形的面积； (3)知曲线围成图形的面积求参数的值． [例3] (1)(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2(2)(2011·新课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163 D ．6 (3)(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[自主解答] (1)由题意知二次函数f (x )＝－x 2＋1，它与x 轴所围图形的面积为11()d f x x -⎰＝102()d f x x ⎰＝2 120(1)d x x -+⎰＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3 10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.(2)作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 4(2)d x x ⎤-⎦⎰＝)402d x x +⎰＝3224212032x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝23×8－12×16＋2×4＝163.(3)由题意知x ⎰＝a 2.又332222033a x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭则＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49.[答案] (1)B (2)C (3)49利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)知图形求面积．首先，依据函数的图象求出解析式；其次，确立被积函数；最后，利用定积分求面积．(2)知函数解析式求面积．解决此类问题应分四步：①画图；②确定积分上、下限，即求出曲线的交点坐标；③确定被积函数；④由定积分求出面积．(3)知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．1．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是( ) A.13 B.23 C ．1 D.43解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y 2＝x ，得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)．所以)120d x x⎰＝332121033x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝13，即曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是13.2．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)． 所以S ＝2201d x x -⎰＝()1201d x x -⎰＋()2211d x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1＝2. 答案：2————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个定理——微积分基本定理利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分互为逆运算．2条结论——定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程． 4条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行；(4)f (x )在区间[－a ，a ]上连续，若f (x )为偶函数，则()d aaf x x -⎰＝2()d af x x ⎰；若f (x )为奇函数，则()d aaf x x -⎰＝0.易误警示(四)利用定积分求平面图形面积的易错点[典例](2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解题指导] 根据已知条件，求出f (x )的解析式，然后利用定积分求解．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为122010d x x ⎰＋()12121010d x x x -⎰＝3110230x ＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[名师点评] 1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量．曲线y ＝x 2＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，5x －y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.如图所示，当2<x <3时，直线5x －y －4＝0在曲线y ＝x 2＋2的上方， 所以所求面积为()32254(2)d x xx ⎡⎤--+⎣⎦⎰＝()32256d x x x ⎡⎤--⎣⎦⎰＝⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－6x ⎪⎪⎪32＝⎝⎛⎭⎫52×32－13×33－6×3－⎝⎛⎭⎫52×22－13×23－6×2＝⎝⎛⎭⎫－92－⎝⎛⎭⎫－143＝16. 答案：16[全盘巩固]1．已知f (x )是偶函数，且6()d f x x ⎰＝8，则66()d f x x -⎰＝( )A ．0B ．4C ．6D ．16解析：选D 因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以66()d f x x -⎰＝06()d f x x -⎰＋60()d f x x ⎰＝26()d f x x ⎰＝16.2．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求封闭图形的面积是33cos d x x ππ-⎰＝sin x33ππ-＝ 3.3．已知f (x )＝2－|x |，则21()d f x x -⎰＝( )A ．3B ．4 C.72 D.92解析：选C ∵f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ≥0)，2＋x (x <0)，∴21()d f x x -⎰＝()012d x x -+⎰＋()22d x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x ＋x 220－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 4．以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403 mD.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t ＝2(t ＝－2舍去)，则此物体达到最高时的高度为()2204010d t t -⎰＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)． 5．(2014·德州模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝1230()d x x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 4410＝13－14＝112.6．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12C ．1D ．2 解析：选A 设图中阴影部分的面积为S (t )，则S (t )＝220()d tt x x -⎰＋122()d tx t x -⎰＝43t 3－t 2＋13，由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )min ＝S ⎝⎛⎭⎫12＝14. 7．(2014·西安模拟)若11(2)d ax x x+⎰＝3＋ln 2，则a 的值是________．解析：由11(2)d ax x x +⎰＝()x 2＋ln x 1a ＝()a 2＋ln a －(12＋ln 1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2(a >1)，得a 2＋ln a ＝4＋ln 2，所以a ＝2. 答案：28．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则0()d ef x x ⎰的值为________．解析：依题意得0()d ef x x ⎰＝12d x x ⎰＋11d ex x ⎰＝x 3310＋ln x 1e ＝13＋1＝43. 答案：439．曲线y ＝12ex 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：由题意得y ′＝12e x '⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212e x ，所以曲线在点(4，e 2)处的切线斜率为12e 2，因此切线方程为y －e 2＝12e 2·(x －4)，则切线与坐标轴的交点为A (2,0)，B (0，－e 2)，所以S △AOB ＝12|－e 2|×2＝e 2(O 为坐标原点)．答案：e 210．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 1、l 2、y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎨⎧ c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t .∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知： S (t )＝()2208(8)d tt t x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＋()222(8)8d tx x t t x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＝⎣⎡⎦⎤(－t 2＋8t )x －⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 20t ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x 2t ＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝120()d x x x -⎰＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 310＝16.又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S 2＝12()d kx x kx x ---⎰d x ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 310k -＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝101d 3x x ⎫⎪⎭⎰＋3112d 3x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝322121036x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋43＝136. [冲击名校]1．一物体在变力F (x )＝5－x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与F (x )成30°角的方向做直线运动，则从x ＝1处运动到x ＝2处时变力F (x )所做的功为( )A.233 JB. 3 JC.433 J D ．2 3 J解析：选C 由已知条件可得，F (x )所做的功为32()2215d x x -⎰＝433J. 2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则()20d xkx x x -⎰＝()22d x x kx x -⎰，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 30x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 22x ， 整理得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2， 解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169.答案：⎝⎛⎭⎫43，169[高频滚动]已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)若f (x )在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，求实数k 的取值范围；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，均存在t ∈[1,3]，使得13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln2＋16≤f (x )，试求实数c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax －b x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f (1)＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，f (x )＝2x 2－ln x ，f ′(x )＝4x －1x＝4x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，则函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， 所以⎩⎨⎧k －1≥0，k －1<12，解得1≤k <32.k ＋1>12，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. (2)设g (t )＝13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16，根据题意可知g (t )min ≤f (x )min ，由(1)知f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋ln 2，g ′(t )＝t 2－(c ＋1)t ＋c ＝(t －1)(t －c )， 当c ≤1时，g ′(t )≥0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递增，g (t )min ＝g (1)＝c2＋ln 2，满足g (t )min ≤f (x )min .当1<c <3时，g (t )在t ∈[1，c ]时单调递减，在t ∈[c,3]时单调递增， g (t )min ＝g (c )＝－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16，由－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16≤12＋ln 2，得c 3－3c 2＋2≥0，(c －1)(c 2－2c －2)≥0，此时1＋3≤c <3.当c ≥3时，g ′(t )≤0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递减，g (t )min ＝g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2，g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2≤－3×32＋143＋ln 2≤12＋ln 2.综上，c 的取值范围是(－∞，1]∪[1＋3，＋∞)．。

年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰102xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e xd x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3πC.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cos x 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12 B.14 C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．。

高考数学定积分与微积分基本定理选择题1. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值2. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法错误的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值3. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法错误的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值4. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值5. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值6. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值7. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值8. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值9. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值10. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值11. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值12. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值13. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值14. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值15. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值16. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值17. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值18. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值19. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值20. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值21. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值22. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值23. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值24. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值25. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值26. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值27. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值28. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值29. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值30. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值31. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值32. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值33. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值34. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值35. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值36. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值37. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值38. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值39. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值40. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值41. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值42. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值43. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值44. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值45. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值46. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值47. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值48. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值49. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值50. 下列关于定积分与微积分基本定理的说法正确的是（）A. 定积分可以用来求解曲线下的面积B. 定积分与不定积分互为逆运算C. 定积分与不定积分可以互相转化D. 定积分可以用来求解函数的极值。

高考数学复习 第16讲 定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点ξi (i=1,2,…,n ),作和式∑i =1if (ξi )Δx=∑i =1ni -iif (ξi ),当n →∞时,上述和式无限接近某个 ,这个常数叫作函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作∫ ii f (x )d x ,即∫ ii f (x )d x= .其中f (x )称为 函数,a 称为积分 限,b 称为积分 限.2.定积分的几何意义如果在区间[a ,b ]上的函数f (x )连续且恒有f (x )≥0,那么定积分∫ ii f (x )d x 表示由直线x= ,x= ,y= 和曲线y=f (x )所围成的曲边梯形的面积.3.定积分的性质性质1:常数因子可提到积分号前,即∫ ii kf (x )d x= (k 为常数).性质2:代数和的定积分等于定积分的代数和,即∫ ii [f (x )±g (x )]d x= . 性质3:(定积分的可加性)如果积分区间[a ,b ]被点c 分成两个小区间[a ,c ]与[c ,b ],则∫ ii f (x )d x= . 4.微积分基本定理如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且有F'(x )=f (x ),则∫ ii f (x )d x= . 常用结论如果f (x )是区间[-a ,a ](a>0)上的连续的偶函数,则∫ i -i f (x )d x=2∫ i0f (x )d x ;如果f (x )是区间[-a ,a ](a>0)上的连续的奇函数,则∫ i-i f (x )d x=0.题组一 常识题1.[教材改编] ∫ 21(e i -2i )d x= . 2.[教材改编] ∫ 3π0sin x d x= .3.[教材改编] 已知∫ 41f (x )d x=8,则∫ 21f (x )d x+∫ 42f (x )d x= .4.[教材改编] 直线y=x-4、曲线y=√2i 及x 轴所围成的封闭图形的面积是 . 题组二 常错题◆索引:误解积分变量致错;定积分的值不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义域;f (x ),g (x )的图像与直线x=a ,x=b 所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错. 5.定积分∫ 2-1(t 2+1)d x= .6.曲线y=-x 2(x ∈[-1,1])与x 轴所围成的封闭图形的面积为 . 7.计算∫ -1-21i d x= .8.直线x=0,x=π2与曲线y=sin x ,y=cos x 所围成的封闭图形的面积S 的定积分表达式是 .探究点一 定积分的计算例1 (1)已知函数f (x )={sin i ,i ∈[-π,0],√1−i 2,i ∈(0,1],则∫1-πf (x )d x=( )A .2+πB .π2 C .-2+π2D .π4-2(2)[2018·湖北咸宁重点高中联考] 若∫ 10(e x-2ax )d x=e,则a= .[总结反思] (1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法. (2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数. 变式题 (1)[2018·曲靖一中月考] 已知∫ π20sin(x-φ)d x=√74,则sin 2φ=( ) A .34 B .916 C .-34 D .-√34(2)[2018·莱芜模拟] ∫ 21(2i +1i )d x 的值为 . 探究点二 利用定积分求曲边梯形的面积例2 (1)[2018·贵阳模拟]若函数f(x)=A sinωx-π(A>0,ω>0)的部分图像如图2-16-16所示,则图中阴影部分的面积为 ()图2-16-1A.12B.14C.2−√34D.2−√32(2)[2018·江西临川一中月考]已知曲线y=√i,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积为S,则S= .[总结反思] (1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分.(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.变式题 (1)如图2-16-2所示的阴影部分的面积为 ()图2-16-2A.4√2B.2√2C.√2D.√22(2)[2018·安徽江南十校联考]直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直,则直线l与E 所围成的封闭图形的面积为()A.13B.113C.323D.283探究点三定积分在物理中的应用例3 两点之间相距112 m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度方程是v=t+1(v的单位:m/s,t的单位:s).(1)计算该质点在前10 s所走的路程;(2)计算该质点在第5 s到第10 s所经过的路程;(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均速度.[总结反思] (1)做变速直线运动的物体在时间段[a,b]内所经过的路程S等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即S=∫iiv(t)d t.(2)一物体在变力F=F(x)的作用下,在位移区间[a,b]内所做的功W是函数F=F(x)在区间[a,b]上的定积分,即W=∫iiF(x)d x.变式题一物体在变力F(x)=36i2(单位:N)的作用下沿力的正方向运动,求物体从x=8 m处运动到x=18 m处这一过程中,变力对物体所做的功.第16讲定积分与微积分基本定理考试说明 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.【课前双基巩固】 知识聚焦 1.常数 lim i →∞∑i =1ni -iif (ξi )被积 下 上2.a b 03.k ∫ i i f (x )d x ∫ i i f (x )d x±∫ i i g (x )d x ∫ i i f (x )d x+∫ ii f (x )d x 4.F (b )-F (a ) 对点演练1.e 2-2ln 2-e [解析] ∫ 21(e i -2i)d x=(e x -2ln x ) 12=e 2-2ln 2-e . 2.2 [解析] ∫ 3πsin x d x=-cos x03π=2.3.8 [解析] ∫ 21f (x )d x+∫ 42f (x )d x=∫ 41f (x )d x=8. 4.403 [解析] 画出图形(图略)可知,所求的面积S=∫ 40√2i d x+∫ 84√2i d x-∫ 84(x-4)d x=2√23i 3204+2√23i 3248-12(x-4)248=403.5.3t 2+3 [解析] ∫ 2-1(t 2+1)d x=(t 2+1)x-12=2(t 2+1)+(t 2+1)=3t 2+3. 6.23 [解析] 所求面积S=-∫ 1-1(-x 2)d x=2∫ 10x 2d x=23.7.-ln 2 [解析] 根据∫ -1-21i d x 的几何意义,可得∫ -1-21i d x=-∫ 211i d x=-ln x 12=-ln 2. 本题若做成∫ -1-21i d x=ln x -2-1则是错误的.8.S=∫ π20|sin x-cos x|d x 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)根据定积分的几何意义、定积分的性质、微积分基本定理求解;(2)a 是常量,确定原函数,建立关于a 的方程求解.(1)D (2)-1 [解析] (1)∫ 1-πf (x )d x=∫ 0-πsin x d x+∫ 10√1−i 2d x ,又∫ 0-πsin x d x=-cos x-π0=-2,∫ 10√1−i 2d x 的几何意义是以原点为圆心,1为半径的圆的面积的14,故∫ 10√1−i 2d x=14π,∴∫ 1-πf (x )d x=π4-2,故选D .(2)∵∫ 10(e x-2ax )d x=(e x-ax 2) 01=e -a-1=e,∴-a-1=0,∴a=-1.变式题 (1)B (2)3+ln 2 [解析] (1)根据微积分基本定理,得∫ π20sin(x-φ)d x=-cos(x-φ)π2,即-cos (π2-i )+cos(-φ)=cos φ-sin φ=√74,两边平方,得1-sin 2φ=716,所以sin 2φ=1-716=916,故选B .(2)∫ 21(2i +1i )d x=(x 2+ln x ) 12=4+ln 2-1-0=3+ln 2.例2 [思路点拨] (1)由图像求出函数解析式,然后利用定积分求得图中阴影部分的面积;(2)先作出草图(可略),确定被积函数与积分区间,再利用定积分求面积.(1)C (2)76 [解析] (1)由图像可知,A=1,i 2=π3-(-π6)=π2,即T=π,所以ω=2,所以f (x )=sin (2i -π6).所以图中阴影部分的面积S=-∫ π120sin (2i -π6)d x=12cos (2i -π6) 0π12=12cos (π6-π6)-cos (-π6)=12(1−√32)=2−√34,故选C .(2)由题意得,曲线y=√i ,y=2-x 与x 轴所围成的封闭图形的面积S=∫ 10√i d x+∫ 21(2-x )d x=23i 3201+(2i -12i 2) 12=23+2-32=76.变式题 (1)B (2)C [解析] (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积S=∫ 5π4π4(sinx-cos x )d x=(-cos x-sin x )π45π4=2√2,故选B .(2)由题意得,直线l 的方程为x=2, 将y 2=8x 化为y=±2√2i .由定积分的几何意义得,所求面积S=2∫ 20(2√2i )d x=4√2∫ 20i 12d x=4√2×(23i 32) 02=4√2×23×2√2=323.例3 [思路点拨] 第(1)(2)问只要根据定积分的物理意义求解即可,第(3)问先求函数v=t+1在[0,x ]上的定积分,再求使得这个定积分等于112时的x 值,x 的值即为质点的运动时间.解:(1)该质点在前10 s 所走的路程S 1=∫ 100(t+1)d t=12t 2010+t010=60(m).(2)该质点在第5 s到第10 s所经过的路程S2=∫105(t+1)d t=12t2510+t510=42.5(m).(3)设质点到达另一点所需要的时间为x,显然x>0,则根据题意有∫i(t+1)d t=112,即(1 2i2+i)0i=112,即12x2+x=112,即x2+2x=224,得x=14,则该质点到达另一点所需要的时间是14 s,整个运动过程中的平均速度是11214=8(m/s).变式题解:由题意得,变力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分,即∫188F(x)d x=-36x-1818=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)-(-92)=52.从而可得变力F(x)在这一过程中所做的功为52J.【备选理由】例1考查定积分的计算,特别是需要结合函数的奇偶性与定积分的几何意义进行分析,有一定的综合性;例2考查根据图像求解函数解析式的能力以及分段计算定积分的方法;例3在知识点的交汇处命题,将利用定积分求面积与几何概型结合起来考查.例1[配合例1使用] [2019·深圳外国语学校月考]给出下列函数:①f(x)=x sinx;②f(x)=e x+x;③f(x)=ln(√1+i2-x).存在a>0,使得∫i-if(x)d x=0的函数是()A.①②B.①③C.②③D.①②③[解析] B对于①,f(x)=x sin x是偶函数,当x∈(0,π)时,f(x)>0,当x∈(π,2π)时,f(x)<0,作出f(x)=x sin x在[0,2π]上的图像,如图所示,设曲线y=x sin x(x∈[0,π])与x轴围成的图形的面积为S1,曲线y=x sin x(x∈[π,2π])与x轴围成的图形的面积为S2,由图可知S1<S2,则由定积分的几何意义知,存在a∈[π,2π],使得∫i-i x sin x d x=2∫ix sinx d x=0;对于②,f(x)=e x+x,则∫i-i f(x)d x=∫i-i(e x+x)d x=(e i+12i2)-i i=e a-e-a>0(a>0),即不存在满足题意的a ;对于③,f (x )=ln(√1+i 2-x )是奇函数,所以对于任意a>0,∫ i-i f (x )d x=0都成立.综上可知,①③中的函数满足题意.故选B .例2 [配合例1使用] 已知函数y=f (x )的图像为如图所示的折线ABC ,则∫ 1-1[(x+1)f (x )]d x=( ) A .2 B .-2 C .1 D .-1[解析] D 由图易知f (x )={-i -1,-1≤i ≤0,i -1,0<i ≤1,所以∫ 1-1[(x+1)f (x )]d x=∫ 0-1(x+1)(-x-1)d x+∫ 10(x+1)(x-1)d x=∫ 0-1(-x 2-2x-1)d x+∫ 10(x 2-1)d x=(-13i 3-i 2-i )-10+(13i 3-i )01=-13-23=-1,故选D .例3 [配合例2使用] 在直线x=0,x=1,y=0,y=e +1围成的区域内撒一粒豆子,则豆子落入曲线x=0,y=e +1,y=e x+1围成的区域内的概率为 . [答案] 1e +1[解析] 由题意,直线x=0,x=1,y=0,y=e +1所围成的区域是一个长为e +1,宽为1的矩形,所以其面积S=1×(e +1)=e +1. 由{i =e +1,i =e i +1,解得{i =1,i =e +1,所以由曲线x=0,y=e +1,y=e x+1所围成的区域的面积S 1=∫ 10(e +1-e x-1)d x=∫ 10(e -e x )d x=(e x-e x) 01=1,故所求概率P=i1i =1e +1.。

定积分与微积分基本定理习题一、选择题1． a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )练习、设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169C.⎝⎛⎭⎫43，157 D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64． ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11) 8．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1210．设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．1、 [答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x d x ＝12x 2|02＝2，b ＝⎠⎛02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |02＝1－cos2∈(1,2)，∴c <a <b .A.112B.14C.13D.7122、[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝112.练习； [答案] A[解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛t (tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3、[答案] A[解析] S ＝⎠⎛2x 3d x ＝⎪⎪x 4402＝4.4、[答案] B[解析] ⎠⎛1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5、[答案] A[解析] 如右图，S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.6、[答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. 7、[答案] D ；[解析] f (x )＝⎠⎛1x 1td t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <e 11.8、[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.9、[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝2＋2＝4.10、 [答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝⎪⎪－x 2614＝－52.11、[答案] A ；[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.12、[答案] C ；[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x ＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13.13、 [答案] －1或13；[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.14、 [答案] －192；[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.15、[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|－42＝18.16、 [答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01ax d x ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得，4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0，由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0. 17、 [答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.18、 [解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12，令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0. 因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增．所以，当t ＝12时，S min ＝14.。

课题：定积分与微积分基本定理考纲要求：① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 .② 了解微积分基本定理的含义.教材复习 1.定积分()1积分的定义及相关概念如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，用分点0122n n a x x x x x b -=<<<<<=，将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ(1,2,i =…，n )，作和式1()ni i b af n ξ=-∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰.其中， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间[],a b 叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．()2定积分的性质：①1ba dx =⎰；②()bakf x dx =⎰ (k 为常数)；③[]()()baf xg x dx ±=⎰ ；()b af x dx =⎰()3定积分的几何意义：① 当函数()f x 在区间[],a b 上恒正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积（左图中的阴影部分）即()baS f x dx =⎰； 当()f x ≤0时，()baS f x dx ==⎰()baf x dx ⎰.② 一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲边()f x以及直线x a =，x b =之间的曲边梯形的面积的代数和（右图中的阴影部分），其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.2.微积分基本定理如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()baf x dx =⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3.定积分的应用()1曲边梯形的面积：一般地，设由曲线()y f x =，()y g x =以及直线,x a x b ==所围成的平面图形的面积为S ，则S = （()()f x g x >）.()2匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数()v v t =(()0v t ≥)在时间区间[],a b 上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰.()3简单几何体的体积：若几何体是由曲线()y f x =与直线,x a x b ==以及x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周得到的，则其体积为V =基本知识方法：1.求定积分有两种途径：牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义；当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.2.若()f x 是[],a a -连续的奇函数，则()aaf x dx -=⎰ ；若()f x 是[],a a -连续的偶函数，则()aaf x dx -=⎰()af x dx ⎰典例分析：考向一 定积分的计算（考虑牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义）问题1．计算下列积分：()1221x dx ⎰； ()20(sin cos )x x dx π-⎰； ()32132xdx -⎰；()41-⎰； ()5()11cos 5sin x x x dx --⎰考向二 利用定积分求面积问题2．求下图中阴影部分的面积．解：考向三 定积分的应用问题3．()1一物体以()238v t t t =-+()m s 的速度运动，在前30s 的平均速度为()2（2012福建）如图所示，在边长为1 的正方形OABC中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为.A 14 .B 15 .C 16 .D 17课后作业：1.计算定积分：①220sin 2xdx π⎰； ②()0cos x x e dx π-+⎰；③；④⎰2. （2013届高三西工大附中六模）)1x dx ⎰=3. （2013届高三湖北武汉调研）2302cos 12x dx π⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰.A -.B 12-.C 12.D走向高考：1.（2013北京）直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 .A 43 .B 2 .C 83 .D 132.（2013江西）若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231,x S e dx =⎰则123,,S S S 的大小关系为.A 123S S S << .B 213S S S << .C 231S S S << .D 321S S S <<3.（2013湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()73v t t =-251t++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止.在此期间汽车继 续行驶的距离（单位;m ）是.A 125ln5+ .B 11825ln 3+ .C 425ln5+ .D 450ln 2+4.（2013湖南）若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为5.（2012江西）计算定积分()121sin xx dx -+=⎰6.（2010湖南） 421dx x⎰等于 .A 2ln 2- .B 2ln 2 .C ln 2- .D l n 2 7.（2011陕西）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a =。

定积分与微积分基本定理练习一、选择题1．下列各定积分的值等于1的是( )A ．⎠⎛01 x d x B ．⎠⎛01 (x ＋1)d x C ．⎠⎛01 1d x D ．⎠⎛0112 d x 2．如图，抛物线的方程是y ＝x 2－1，则阴影部分的面积是( )A ．⎠⎛02 (x 2－1)d x B ．⎠⎛02 (x 2－1)d xC ．⎠⎛02 |x 2－1|d x D ．⎠⎛01 (x 2－1)d x －⎠⎛12 (x 2－1)d x 3．如图所示，正弦曲线y ＝sin x ，余弦曲线y ＝cos x 与两直线x ＝0，x ＝π所围成的阴影部分的面积为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 24.⎠⎛01 (1－（x －1）2 －x)d x ＝( ) A ．2＋π2 B ．π2 ＋1C ．π2 －12D ．π4 －125．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ≤21－（x －3）2，2<x ≤4，则定积分⎠⎛14 f(x)d x 的值为( )A .9＋4π8B ．1＋4π4C ．1＋π2D ．3＋2π46．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[－π，0]1－x 2，x ∈（0，1]，则 ⎠⎛－π1 f(x)d x ＝( ) A ．2＋π B ．π2C ．－2＋π2D ．π4 －27．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6 cm 处，则克服弹力所做的功为( )A ．0.28 JB ．0.12 JC ．0.26 JD ．0.18 J8．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等，记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为△OKL 的面积．将Gini ＝a S ，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y ＝f(x)，则对∀x ∈(0，1)，均有f （x ）x >1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y ＝x 2(x ∈[0，1])，则Gini ＝14 ；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x 3(x ∈[0，1])，则Gini ＝12 .其中不正确的是：( )A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④二、填空题9.⎠⎛01 (2x ＋1－x2 )d x ＝________． 10．∫cos xdx 错误!未定义书签。

定积分与微积分基本定理自我检测：1.设连续函数f(x)>0,则当a<b 时,定积分∫()ba f x dx 的符号( )A.一定是正的B.一定是负的C.当0<a<b 时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不对 2. ∫22ππ- (1+cosx)dx 等于( )A.πB.2C.π-2D.π+23.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A. ∫()c a f x dxB.| ∫()c a f x dx|C. ∫()b a f x dx+∫()c b f x dxD. ∫()c b f x dx-∫()ba f x dx4.设函数()m f x x ax =+的导函数f′(x)=2x+1,则∫21()f x -dx 的值等于( )A.56 B.12 C.23 D.165.直线y=2x+3与抛物线2y x =所围成的图形面积为 .巩固练习：1. ∫412x dx 等于( )A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln22. ∫10(e 2)xx +dx 等于( )A.1B.e-1C.eD.e+13.已知f(x)= 210101x x x ⎧,-≤≤,⎨,<<,⎩则∫11()f x -dx 的值为 ( )A.32B.23-C.23 D.434.函数f(x)= 2110cosx 0x x x π+,-≤<,⎧⎨,≤≤⎩ 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B.1 C.2 D.125.函数y=∫(x x -cos 22)t t ++dt( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.以上都不正确6.由直线330x x y ππ=-,=,=与曲线y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 C.32 D.3 7.由曲线32y x y x =,=围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14 C.13 D.7128.曲线1x y =与直线y=x,x=2所围成的图形面积为 .9.如果∫10()f x dx=1, ∫20()f x dx=-1,则∫21()f x dx= .10.由曲线2y x =和直线x=0,x=1,y=2(01)t t ,∈,所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 .11.计算下列定积分.(1) ∫2211(2)x x -dx; (2) ∫3212()x x +dx; (3) ∫30π (sinx-sin2x)dx.12.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,∫10()f x dx=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.。

定积分与微积分根本定理习题一、选择题1．a＝2xdx，b＝2e x dx，c＝2sinxdx，那么a、b、c的大小关系是()000 A．<<B．<<C．<<a D．<<acb abc cb cab2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()练习、设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作1，2.如下列图，当1＝2时，点P的坐标是()S S S S3．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为() A．4D．64．1－1(sin x＋1)dx的值为()A．0B．2C ．2＋2cos1D．2－2cos15．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2πB．3πD．π6．函数F(x)＝x t(t－4)dt在[－1,5]上()32A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－332C．有最小值－3，无最大值D．既无最大值也无最小值7．等差数列2＋n，函数f(x)＝x1{a}的前n项和S＝2nt dt，假设f(x)<a，那么x的取值范围是()n n31B．(0，21)C．(－11，)D．(0，11)e e e e8．如下列图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如下列图的阴影局部，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，那么所投的点落在阴影局部的概率是()x＋2－2≤x<09．函数f(x)＝π的图象与x轴所围成的图形面积S为()2cosx0≤x≤2B．1 C．410．设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数x ng(x)＝－3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，那么g(x)dx的m值是()54C．－57A．－B．－D．－234611．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规那么如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，假设关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，那么甲获胜，否那么乙获胜，那么在一场比赛中甲获胜的概率为()12．正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1) ，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，那么质点落在区域 M内的概率是( )二、填空题13．函数f(x)＝3x2＋2x＋1，假设1－1f(x)dx＝2f(a)成立，那么a＝________.14．＝∫π0(sinx＋cos)dx，那么二项式(a x－1)6的展开式中含x2项的系数是________．a2xx15．抛物线y 2＝2与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．x16．抛物线y 2＝(>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为4，假设直线l与抛物线相切且平行于直线axa32x－y＋6＝0，那么l 的方程为______．17．函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如下列图，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数1图象所围成区域(图中阴影局部)的面积为12，那么a的值为________．三、解答题18．如下列图，在区间[0,1]上给定曲线2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影局部的面积1 y＝x S＋S2最小．122xx2221、[答案]D[解析]a＝2xdx＝2x|0＝2，b＝2edx＝e|0＝e－1>2，c＝2sinxdx＝－cosx|0＝1000－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.y＝x22、[答案]A[解析]由y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴＝1(23＝131411 x－x)dxx－x0＝.S3412 0练习；[答案]A[解析]设P(t，t2≤t≤2)，那么直线OP：y＝tx，∴S＝t2t32 )(0(tx－x)dx＝6；S＝120t8t 34416212，(x －tx)dx＝3－2t＋6，假设S＝S，那么t＝3，∴P39.3x423、[答案]A[解析]S＝2xdx＝40＝4.4、[答案]B[解析]1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5、[答案]A[解析]2π2π＝2π.如右图，S＝∫0(1－cosx)dx＝(x－sinx)|06、[答案]B[解析]F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4，7322532∵F(－1)＝－3，F(0)＝0，F(4)＝－3，F(5)＝－3.∴最大值为0，最小值为－3.7、[答案]D；[解析]f(x)＝x1|x＝lnx，a＝S－S＝2111t dt＝lnt1－10＝11，由lnx<11得，0<x<e.33218、[答案]A[解析]由图可知阴影局部是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得＝πSsinxdx＝－cosx|πP＝S2＝1.0＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率＝πS矩形OABC2π9、[答案]C[解析]面积＝∫πf()dx＝0－2(x＋2)dxπ02cosxd＝2＋2＝4.－2＋∫S2x2x10、[答案]A[解析]由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－1，所以当x∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，n4x x245所以m＝1，n＝4，那么g(x)dx＝－3dx＝－61＝－2.m111、[答案]A；[解析]方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为＝4b2－4c≥0，即b2≥c，1b2db01由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝1×1＝3.12、[答案]C ；[解析]如图，正方形面积213|111 1，区域M的面积为S＝1x dx＝x＝，故所求概率p＝.3331232113、[答案]－1或3；[解析]∵1－1f(x)dx＝1－1(3x ＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|－1＝4，1－211f(x)dx＝2f(a)，∴6a＋4a＋2＝4，∴a＝－1或.14、[答案]－192；[解析]由得aπ0(sinx＋cos)dx＝(－cosxπ0＝(sinπ＝∫＋sin)|－2x x22π16的展开式中第r＋1项是T ＝(－1)r r6－r×x3－r，令3－r＝cos2)－(sin0－cos0)＝2，(2x－x)×C×2r＋162得，r＝1，故其系数为115(－1)×C6×2＝－192.15、[答案]18[解析]由方程组y2＝2x 解得两交点(2,2)、(8，－4)，选y作为积分变量x＝y2、y＝4－x A B2x＝4－y∴S＝y2y2y322－4[(4－y)－]dy＝(4y－－)|－4＝18.22616、[答案]16－8y ＋1＝0[解析]由题意知1x2axdx＝3，∴a＝1，2221设l：y＝2x＋b代入y ＝x中，消去y得，4x＋(4b－1)x＋b＝0，由＝0得，b＝8，∴l方程为16x－8y＋1＝0.17、[答案]－1[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．S＝－0(32141阴影－x＋ax)dx＝12a＝12，∴a＝－1.a2t22318、[解析]由题意得S1＝t·t－xdx＝3t，2＝12d－t 2(1－)＝23－t2＋1，所以S x x t3t3t＝1＋2＝43－21≤≤1)．3t t＋(0SSS3t又′(＝4t 2－2t＝4tt－1，令′(＝，得t＝1或t＝.St)2St)021 1因为当0<t<2时，S′(t)<0；当2<t≤1时，S′(t)>0.所以()在区间，1上单调递减，在区间1t11，1上单调递增．所以，当＝时，min＝.St222S4。

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323.4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2. 消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)et＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a的值．[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S阴影＝⎠⎛a0[0－(－x3＋ax2)]d x＝(14x4－13ax3)|0a＝112a4＝112，∵a<0，∴a＝－1.1．已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dxππ-⎰的值，结果是()＋π2B．πC．1 D．0[答案]B[解析]22()f x dxππ-⎰＝22ππ-⎰sin5x d x＋22ππ-⎰1d x，由于函数y＝sin5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin5x d x＝0，而22ππ-⎰1d x＝x|π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若ab 的运算原理如图所示，则2⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⎠⎛0πsin x d x ＝22＝2－12＝22.4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

第二章 第十四节 定积分与微积分基本定理一、选择题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)1．∫10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋12．如图，由抛物线y ＝x 2和直线y ＝1所围成的图形的面积为( )A.23B.13C.43D.453．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0＝( )A ．±1B. 2 C ．±3 D ．24．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则∫21f (－x )d x 的值等于( ) A.56B.12C.23D.165．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12B ．1 C.32D. 3 6．若(x 2－1ax )9(a ∈R)展开式中x 9的系数是－212，则∫a 0sin x d x 等于( ) A ．1－cos 2B ．2－cos 1C ．cos 2－1D ．1＋cos 2二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)7．已知a ∈[0，π2]，则当∫a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]1x，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则∫e 0f (x )d x 的值为________． 9．如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y ＝x 2图像下方的点构成的区域，现在D 内随机取一点，则该点在E 中的概率为________．三、解答题(本大题共3小题，共38分)10．设f (x )是二次函数，其图像过点(1,0)，且f ′(1)＝2，∫10f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．11．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．12．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积．详解答案一、选择题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)1．解析：∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)| 10＝(e 1＋1)－(e 0＋0)＝e.答案：C2．解析：S ＝∫1－1(1－x 2)dx ＝(x －13x 3)|1－1＝(1－13)－(－1＋13)＝43. 答案：C3．解析：∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2＋b )d x ＝(a 3x 3＋bx )| 30＝9a ＋3b ＝3f (x 0)． ∴f (x 0)＝3a ＋b ＝ax 20＋b ，∴x 20＝3，∴x 0＝±3.答案：C4．解析：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是∫21f (－x )d x ＝∫21(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)| 21＝56. 答案：A5．解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分cos x d x ＝sin x ＝32－(－32)＝ 3. 答案：D6．解析：由题意得T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r (－1)r (1ax)r ＝(－1)r C r 9x 18－3r 1a r，令18－3r ＝9得r ＝3， 所以－C 391a 3＝－212，解得a ＝2， 所以∫20sin x d x ＝(－cos x ) |20＝－cos 2＋cos 0＝1－cos 2.答案：A二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)7．解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a0＝sin a ＋cos a －1＝2sin(a ＋π4)－1， ∵a ∈[0，π2]，∴当a ＝π4时，2cos(a ＋π4)－1取最大值． 答案：π48．解析：∫e 0f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫e 11x d x ＝13x 3| 10＋ln x | e 1＝13＋ln e ＝43. 答案：439．解析：由定积分的几何意义可得阴影部分的面积为S 阴＝2∫20x 2d x ＝23x 3| 20＝163，又S 正＝42＝16，所以由几何概型可得该点在E 中的概率为P ＝S 阴S 正＝16316＝13. 答案：13三、解答题(本大题共3小题，共38分)10．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)其图像过点(1,0)，∴a ＋b ＋c ＝0，①f ′(x )＝2ax ＋b 而f ′(1)＝2，∴2a ＋b ＝2.②由∫10f (x )d x ＝0，∴∫10(ax 2＋bx ＋c )d x ，＝a 3x 3＋b 2x 2＋cx |10， ＝a 3＋b 2＋c ＝0.③ 由①、②、③联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－4，c ＝1.∴f (x )＝3x 2－4x ＋1.11．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则∫x 0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ， 即(12kx 2－13x 3) |x 0＝(13x 3－12kx 2) |2x . 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12kx 2)， 解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)． 12．解：作出直线x ＝2，曲线y ＝x 2－1的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，因此所求图形的面积为S ＝∫1－1|x 2－1|d x ＋∫21(x 2－1)d x＝∫1－1(1－x 2)d x ＋∫21(x 2－1)d x＝(x －13x 3)| 1－1＋(x 33－x )| 21 ＝(1－13)－(－1＋13)＋(13×23－2)－(13－1)＝1－13＋1－13＋83－2＋23＝83.。