第二节定积分基本定理

第五章 定积分第一节 定积分的概念第二节 定积分的性质和中值定理第三节 微积分基本公式第四节 定积分的换元法第五节 定积分的分部积分法第六节 定积分的近似计算第七节 广义积分问题的提出定积分的定义 几何意义定积分存在定理第一节 定积分的概念abxyo?=A 曲边梯形由连续曲线实例1 （求曲边梯形的面积）)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一、问题的提出)(x f y =ab xyoab x yo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，,],[1210b x x x x x a b a n n =<<<<<=- 个分点，内插入若干在区间a bxyoi ξi x 1x 1-i x 1-n x ;],[],[11---=∆i i i i i x x x x x n b a 长度为，个小区间分成把区间形面积，曲边梯形面积用小矩上任取一点在每个小区间i i i x x ξ-],[1ii i x f A ∆ξ≈)(:))(],[(1近似为高为底，以i i i f x x ξ-（1）分割（2）近似ini i x f A ∆≈∑=)(1ξ曲边梯形面积的近似值为ini i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21→∆∆∆=λλn x x x 曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上t 的一个连续函数，且0)(≥t v ，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=∆i i i t t t ii i t v s ∆≈∆)(τ部分路程值某时刻的速度（3）求和ii ni t v s ∆≈∑=)(1τ（4）取极限},,,max{21n t t t ∆∆∆= λini i t v s ∆=∑=→)(lim 10τλ路程的精确值（2）近似设函数)(x f 在],[b a 上有界，记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 在],[b a 中任意插入若干个分点bx xx x x a nn =<<<<<=-121把区间],[b a 分成n 个小区间，各小区间的长度依次为1--=∆i i i x x x ，),2,1( =i ，在各小区间上任取一点i ξ（i i x ∆∈ξ），作乘积i i x f ∆)(ξ ),2,1( =i 并作和i i ni x f S∆=∑=)(1ξ，二、定积分的定义定义怎样的分法，⎰==ba I dx x f )(ii ni x f ∆∑=→)(lim 10ξλ被积函数被积表达式积分变量积分区间],[b a 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为积分上限积分下限积分和几点说明：（1） 定积分是一个数值，它仅与被积函数及积分区间有关，⎰b a dx x f )(⎰=b a dt t f )(⎰=ba duu f )(而与积分变量的字母无关.)( ,)()( 2⎰⎰⎰=-=aaabbadx x f dx x f dx x f 规定：）（.],[)(],[)( 3的取法无关的分法及的和式的极限与所表示上可积，则在区间若）（i bab a dx x f b a x f ξ⎰,0)(≥x f ⎰=ba Adx x f )(曲边梯形的面积,0)(≤x f ⎰-=ba Adx x f )(曲边梯形的面积的负值a b xyo)(x f y =AxyoabA -)(x f y =三、定积分的几何意义1A 2A 3A 4A 4321)(A A A A dx x f ba ⎰=-+-,],[)(变号时在区间b a x f 三、定积分的几何意义.)(是面积的代数和⎰badx x f几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于x x b x a x x f x ==,)(++--当函数)(x f 在区间],[b a 上连续时，定理1定理2 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在四、定积分的存在定理区间],[b a 上可积.例1 利用定义计算定积分.12dx x ⎰解将]1,0[n 等分，分点为nix i =，(n i ,,2,1 =)小区间],[1i i x x -的长度nx i 1=∆，(n i ,,2,1 =)取i i x =ξ，(n i ,,2,1 =)i i n i x f ∆∑=)(1ξi i ni x ∆=∑=21ξ,12i ni ix x ∆=∑=.,102的选取无关及法故和式极限与区间的分可积因为i dx x ξ⎰n n i ni 121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∑==n i i n 12316)12)(1(13++⋅=n n n n ,121161⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ∞→⇒→n 0λdx x ⎰102i i ni x ∆=∑=→210lim ξλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim .31= 几何上是曲线y=x 2,直线x=1及x 轴围成的曲边三角形面积.例2 利用定义计算定积分.121dx x⎰解在]2,1[中插入分点 12,,,-n q q q ,典型小区间为],[1ii q q -，（n i ,,2,1 =）小区间的长度)1(11-=-=∆--q qq q x i i i i ,取1-=i i qξ，（n i ,,2,1 =）i i ni x f ∆∑=)(1ξi ni ix ∆=∑=11ξ)1(1111-=-=-∑q q q i ni i ∑=-=ni q 1)1()1(-=q n 取2=nq即nq 12=),12(1-=n n )12(lim 1-+∞→xx x x xx 112lim1-=+∞→,2ln =)12(lim 1-∴∞→nn n ,2ln =dx x ⎰211i ni ix ∆=∑=→101lim ξλ)12(lim 1-=∞→n n n .2ln =i i ni x f ∆∑=)(1ξ原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+π-++π+π=∞→n n n n n n n nsin )1(sin 2sin sin 1lim π=∑=∞→n i n n i n 1sin 1lim n n i ni n π⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=∑=∞→1sin lim 1.sin 10⎰ππ=xdx ix ∆i ξ例3：将下列和式极限表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→n n n n n n πππ)(sin sin sin lim121 ：五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限Z .思考n n n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dxx f e 2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n 证明n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛∞→ 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21lim ln n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dx x f e 利用对数的性质得⎪⎭⎫⎝⎛∑==∞→n i f n ni n e1ln 1lim n n i f ni n e1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==∞→ 指数上可理解为：)(ln x f 在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n 等分分点为nix i =，（n i ,,2,1 =）⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21ln lim 极限运算与对数运算换序得nn i f n i n 1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→⎰=10)(ln dx x f 故nn n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim.10)(ln ⎰=dxx f e 因为)(x f 在区间]1,0[上连续，且0)(>x f 所以)(ln x f 在]1,0[上有意义且可积 ,2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ⎰∑-=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=∞→∞→∞→1021222222222411)(41lim )(41)2(41)1(411lim 41241141lim dxx n ni n n n n n n n n n n i n n n 解第二节 定积分的性质、中值定理1.定积分性质2.中值定理对定积分的补充规定:（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f ；（2）当b a >时，⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(.说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、定积分性质和中值定理证⎰±ba dxx g x f )]()([i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dx x f )(.)(⎰±ba dx x g ⎰±b a dx x g x f )]()([⎰=b a dx x f )(⎰±ba dx x g )(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数).证⎰ba dx x kf )(ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i n i x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ.)(⎰=ba dx x f k 性质2⎰ba dx x f )(⎰⎰+=bcca dx x f dx x f )()(.补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,c b a <<⎰c a dx x f )(⎰⎰+=cb b a dx x f dx x f )()(⎰b a dx x f )(⎰⎰-=cb c a dxx f dx x f )()(.)()(⎰⎰+=bc ca dx x f dx x f （定积分对于积分区间具有可加性）假设bc a <<性质3dx b a ⋅⎰1dx ba⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f ba. )(b a <证,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,0≥∆i x ,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 1ξλ.0)(⎰≥=ba dx x f 性质4性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值dx e x⎰-20和dx x ⎰-20的大小.解令,)(x e x f x -=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x exdx ex⎰-∴2,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-2.20dx x ⎰-<性质5的推论：证),()(x g x f ≤ ,0)()(≥-∴x f x g ,0)]()([≥-∴⎰dx x f x g ba ,0)()(≥-⎰⎰ba ba dx x f dx x g 于是 dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.则dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(. )(b a <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）dx x f b a ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤- ,)()()(dx x f dx x f dx x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤≤-∴即dx x f ba ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.说明： 可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤ ,)(⎰⎰⎰≤≤∴ba ba b a Mdx dx x f dx m ).()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6例2 估计积分dx x⎰π+03sin 31值的范围.解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x例3 估计积分dx xx⎰ππ24sin 值的范围.解,sin )(xx x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ,0<)(x f 在]2,4[ππ上单调下降,,22)4(π=π=f M ,2)2(π=π=f m ,442π=π-π=-a b ,422sin 4224π⋅π≤≤π⋅π∴⎰ππdx x x .22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，上的平均值在],[)()(1b a x f dxx f a b ba⎰-则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，使dx x f b a ⎰)())((a b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ性质7（定积分中值定理）积分中值公式证Mdx x f a b m ba≤-≤∴⎰)(1)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知在区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,)(1)(⎰-=ξbadx x f a b f dx x f ba ⎰)())((ab f -=ξ.)(b a ≤≤ξ即在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，1. 积分中值公式的几何解释：xyoa b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。

定积分基本定理定积分基本定理是微积分中的一条重要定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系，为我们求解定积分提供了重要的方法和技巧。

本文将围绕定积分基本定理展开，介绍其基本概念、定理表述及应用。

一、定积分基本概念定积分是微积分中的一个概念，它可以用来计算曲线下面的面积。

给定一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上，我们可以将其曲线下方的面积进行划分，然后通过无限分割与极限的方法求得最终的结果。

这个最终结果就是定积分。

二、定积分基本定理的表述定积分基本定理是指：如果函数f(x)在[a, b]上连续，那么它的一个原函数F(x)在[a, b]上就是一个定积分。

即∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

这个定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么它的一个原函数F(x)在[a, b]上的定积分等于F(x)在区间端点处的值之差。

三、定积分基本定理的应用定积分基本定理在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 几何意义：定积分可以用来计算曲线下方的面积。

例如，我们可以利用定积分来计算一个曲线所围成的封闭区域的面积。

2. 物理应用：定积分可以用来计算物理问题中的质量、体积、功等。

例如，我们可以利用定积分来计算一个物体的质量，或者计算一个力的作用所做的功。

3. 统计学应用：定积分可以用来计算统计学中的概率密度函数下的概率。

例如，我们可以利用定积分来计算某个随机变量在一定范围内取值的概率。

4. 经济学应用：定积分可以用来计算经济学中的总收益、总成本等。

例如，我们可以利用定积分来计算某个企业在一定时间内的总收益。

5. 工程应用：定积分可以用来计算工程问题中的功率、能量等。

例如，我们可以利用定积分来计算电路中的功率，或者计算流体中的能量损失。

定积分基本定理为我们求解定积分问题提供了一种简便的方法。

通过找到原函数，我们可以将定积分转化为不定积分，从而利用不定积分的方法求解。

定积分的计算知识点总结一、定积分的定义。

1. 概念。

- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x_0将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δ x=(b - a)/(n)。

在每个小区间[x_i - 1,x_i]上取一点ξ_i(i =1,2,·s,n)，作和式S_n=∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。

当nto∞时，如果S_n的极限存在，则称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_a^bf(x)dx，即∫_a^bf(x)dx=limlimits_n→∞∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。

- 这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式。

2. 几何意义。

- 当f(x)≥slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形的面积。

- 当f(x)≤slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数。

- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，∫_a^bf(x)dx表示位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积。

二、定积分的基本性质。

1. 线性性质。

- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。

2. 区间可加性。

- ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^bf(x)dx，其中a < c < b。

3. 比较性质。

- 如果在区间[a,b]上f(x)≥slant g(x)，那么∫_a^bf(x)dx≥slant∫_a^bg(x)dx。

- 特别地，<=ft∫_a^bf(x)dxright≤slant∫_a^b<=ftf(x)rightdx。

定积分的基本公式和运算法则定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际应用中都有着广泛的用途。

那咱们就来好好聊聊定积分的基本公式和运算法则。

先来说说定积分的基本公式。

这就好比是我们在数学世界里的一把神奇钥匙，可以打开很多难题的大门。

比如，牛顿-莱布尼茨公式，这可是个相当重要的家伙。

它告诉我们，如果函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数，那么定积分∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) 。

这就像是找到了一个直接通往答案的捷径，让复杂的计算变得简单了许多。

再谈谈定积分的运算法则。

加法法则就像是搭积木，两个函数的定积分之和等于它们分别定积分的和。

比如说，∫[a,b] [f(x) + g(x)]dx =∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx 。

这就好像你有两堆糖果，要算它们加起来的总数，分别算出每一堆的数量再相加就好啦。

还有乘法法则，这个稍微有点复杂，但也不难理解。

就像是做乘法运算一样，只不过是在定积分的世界里。

给大家讲个我曾经遇到的事儿吧。

有一次我给学生们讲定积分的运算，有个学生怎么都搞不明白。

我就拿分糖果打比方，假如有一堆糖果，我们要按照不同的规则来分配，这就好比是不同函数的定积分运算。

然后我一步一步地带着他分析，最终他恍然大悟，那种开心的表情让我也特别有成就感。

在实际应用中，定积分的这些公式和法则用处可大了。

比如计算图形的面积、计算物体的体积、求解物理问题等等。

就拿计算图形面积来说吧，通过定积分，我们可以把不规则的图形分割成很多小的部分，然后利用公式和法则算出每一部分的面积，最后加起来就得到了整个图形的面积。

这就像是拼图，一块一块地拼起来，最终呈现出完整的画面。

再比如在物理中，计算变力做功的问题。

力不是恒定的，而是随着位置或者时间变化的，这时候定积分就派上用场啦。

通过对力函数进行积分，就能算出力在一段距离或者一段时间内所做的功。

总之，定积分的基本公式和运算法则是我们解决各种数学和实际问题的有力工具。

定积分是积分学中的一个重要概念，它涉及到曲线、面积、速度等多个领域。

在定积分中，有几个重要的定理，它们对于理解和应用定积分具有关键的作用。

1.微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼兹公式）：这是定积分中的核心定理。

它建立了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即一个函数在区间上的定积分等于其原函数在该区间的端点值的差。

这个定理使得定积分的计算变得更为简单，因为它允许我们通过找到被积函数的原函数来求解定积分。

2.中值定理：定积分的中值定理表明，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]
上的定积分等于f(x)在[a,b]上的某一个值c乘以区间[a,b]的长度，即∫abf(x)dx=f(c)(b−a)。

这个定理在理论上很重要，因为它揭示了定积分与函数值之间的关系。

3.可积性定理：如果一个函数在闭区间[a,b]上只有有限个第一类间断点，那么
这个函数在[a,b]上是可积的。

这个定理给出了函数可积的充分条件，是定积分存在性的基础。

以上三个定理在定积分中占据重要地位。

它们不仅提供了定积分的计算方法，还揭示了定积分与被积函数之间的关系，以及定积分存在的条件。

在理解和应用定积分时，这些定理都是不可或缺的。

智慧城市的智能公共交通智慧城市的建设已经成为现代城市规划的重要组成部分，其中智能公共交通系统的发展具有关键性的意义。

智慧公共交通通过融合信息技术与交通系统，提供更加高效、便捷、可持续的出行方式，为城市居民带来全新的出行体验。

一、智能公共交通系统智能公共交通系统是指通过网络技术和智能设备，使城市公共交通更加智能化、高效化的系统。

其核心是基于信息技术的数据采集、分析和应用，为公共交通管理实现智能化、精细化的运营管理。

1.1 数据采集与分析智能公共交通系统通过各类传感器、监控设备等手段，实现对城市交通状况、公交车辆运营、乘客需求等数据的实时采集。

这些数据经过处理和分析，可以为公共交通管理者提供决策参考，优化车辆调度，提高运行效率。

1.2 公交信号优化智能公共交通系统还可以通过智能信号控制技术，为公交车辆提供绿波通行的便利。

交通信号可以根据实时交通数据和公交车辆的位置信息，动态调整信号灯的时长，尽量减少红灯等待时间，提高公交出行速度和运行效率。

1.3 公交调度与导航智能公共交通系统通过建立信息平台，将公交车辆的实时位置信息与乘客需求进行匹配，实现公交车辆的实时调度和导航。

乘客可以通过手机或电子显示屏查看公交车辆的实时到站信息和运行状态，提前规划出行路线，减少等待时间。

二、智能公共交通的优势智能公共交通系统的引入，为城市公共交通带来了诸多优势和便利，不仅提升了乘客出行体验，也有助于城市交通管理的提升。

2.1 提高运行效率智能公共交通系统可以实时获取乘客需求和交通状况，通过优化调度和信号控制，提高公交车辆的运行效率。

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2.2 减少碳排放智能公共交通系统的推广使用，可以减少汽车出行需求，降低交通拥堵，从而减少了尾气排放和能源的消耗。

这有助于改善城市的空气质量，减少环境污染，推动可持续交通的发展。

2.3 提升出行体验智能公共交通系统为乘客提供了多种出行信息服务，包括实时车辆到站信息、乘车路线建议、交通状况预测等。