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卢国东的九宫格算法卢国东的九宫格算法是一个经典的数独解题算法，可以解决数独难题，也被广泛应用于图像处理和人工智能中。
下面是对该算法的详细介绍。
一、算法简介九宫格算法，又称候选数算法，是一种基于回溯思想的数独解题算法。
算法通过递归和推理的方式，不断填充空格，并排除不合法的数字。
算法的核心是候选数处理方法和结果验证方法。
二、候选数处理方法在九宫格中，每个空格都有一个候选数集合，即可能填入该空格的数字。
候选数集合的计算方法如下：1. 对于每个未填数字的空格，遍历该空格所属的行、列和宫，找出所有未填数字，将其添加到候选数集合中；2. 排除候选数集合中已经填出的数字，得到最终的候选数集合。
三、结果验证方法在填充数字的过程中，需要不断验证当前结果的合法性。
验证方法如下：1. 对于每个已填数字的格子，检查其所属的行、列和宫是否存在重复数字，如果存在，则当前结果不合法，返回回溯；2. 当所有格子都已填充，且结果合法，则成功解出数独。
四、算法流程1. 初始化：将数独棋盘转化为二位数组，并构建每个空格的候选数集合；2. 递归回溯：从棋盘左上角开始填充数字，并验证当前结果的合法性。
如果当前数字合法，则继续填下一个数字；如果当前数字不合法，则回溯到上一个空格，并选择候选数集合中的下一个数字继续填充；3. 结束条件：当所有空格都已填充，且结果合法时，算法结束，并返回结果；如果出现无解的情况，则返回错误信息。
五、算法优化为了提高算法效率，可以采用以下优化措施：1. 剪枝：在候选数集合中，如果找到一个只有一个数字的空格，则直接填充该数字，然后更新所有相关空格的候选数集合；2. 启发式搜索：采用尝试失败次数作为启发因子，选择候选数最少的空格进行尝试，以减少回溯的次数。
六、应用场景九宫格算法被广泛应用于数字游戏、图像处理、人工智能等领域。
在数字游戏方面，候选数算法可以解决不同难度级别的数独问题，并能够生成多种随机数独。
在图像处理方面，九宫格算法可以识别和填充图像中的空白区域，从而提高图像处理的准确性。
候选码的求解基本方法集合一、求解候选码基本算法的具体步骤.第1 步,求关系模式R < U , F > 的最小函数依赖集F第2 步, 按照上面的定义, 分别计算出UL ,UR , UB （UL 表示仅在函数依赖集中各依赖关系式左边出现的属性的集合; UR 表示仅在函数依赖集中各依赖关系式右边出现的属性的集合;另记UB = U - UL - UR ）第3 步,若UL ≠Φ,计算UL的闭包，若UL+ = U ,则UL 为R 的唯一的候选码,算法结束. 若UL+ ≠U ,转第4 步. 若UL = Φ,转第5 步.第4 步,将UL 依次与UB 中的属性组合,利用上述的定义4 判断该组合属性是否是候选码; 找出所有的候选码后,算法结束.第5 步,对UB 中的属性及属性组合利用上述的定义4 依次进行判断;找出所有的候选码后,算法结束.简而言之：取最小依赖集，计算UL闭包，如果UL闭包包含全属性，则UL为唯一侯选码，如果不包含，则依次与UB属性组合后再求闭包是否包含全属性。
（UL为空时，直接取UB依次组合求闭包）二、多属性依赖集候选码求解法输入:关系模式R及其函数依赖集F。
输出:R的所有候选码。
具体步骤:1)把R的所有属性分为L、R、N和LR四类,并令X代表L、N类,Y代表LR类。
2)求X+,如果X+包含了R的全部属性,则X为R的唯一候选码,转(5);否则,转(3)。
3)在Y中取一个属性A,求(XA)+,如果它包含了R的全部属性,则转(4);否则,调换一个属性反复进行这一过程,直到试完所有Y中的属性。
4)如果已经找到所有的候选码,则转(5);否则在Y中依次去两个、三个……求它们的属性闭包,直到其闭包包含R 的所有属性。
5)停止,输出结果。
简而言之：取一个X属性（X为L、N类）求闭包，如果包含R全部属性则为码，否则取一个LR类的Y属性A，求XA闭包，未包含R全属性则调换A，包含R全属性且找到所有码则结束，否则依次取2、3个。
候选码的求解方法姓名：xxx 学号：xxxxxxx 班级：xxxxxx在我们学习数据库原理与应用时，经常会遇到求解关系模型的一些相关问题，要看懂一个关系模型，我们必须知道这个关系模型中的候选码才能更好求解关系模型的问题，那么我该如何快速确定关系模型中的候选码呢？为此我查找相关资料得出以下一些方法，希望对我们的学习有所帮助。
一、根据候选码的相关定理和推论求解候选码定理1 对于给定的关系模式R 及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L 类属性，则X 必为R 的任一候选码的成员。
推论l 对于给定的关系模式R 及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L 类属性，且X+包含了R 的全部属性，则X 必为R 的唯一候选码。
定理2 对于给定的关系模式R 及其函数依赖集F，若X（X∈R）是R 类属性，则X 不在任何候选码中。
定理3 设有关系模式R 及其函数依赖集F，如果X 是R 的N 类属性，则X 必包含在R 的任一候选码中。
推论2 对于给定的关系模式R 及其函数依赖集F，如果X 是R 的N 类和L 类组成的属性集，且X+包含了R 的有属性，则X 是R 的唯一候选码。
二、利用属性闭包进行候选码求解的算法1、属性分类相关定义对于给定的关系模式R（U，F），其属性分为4 类：L 类（仅出现在F 的函数依赖左部的属性）；R 类（仅出现在F 的函数依赖右部的属性）；N 类（在F 的函数依赖左部和右部均未出现的属性）；LR 类（在F 的函数依赖左部和右部两部均出现的属性）。
2、算法描述（1）将R 的所有属性分为L、R、LR 和N 四类，并令X 代表L、N 类，Y 代表LR 类。
（2）求X+。
若X+包含了R 的全部属性，则即为R 的唯一候选码，转（5）；否则，转（3）。
（3）在Y 中取一属性A，求（XA）+ ，若它包含了R 的全部属性，则是候选码，转（4）；否则，调换一属性反复进行这一过程，直到试完所有Y 中的属性。
（4）如果已找出所有候选码，则转（5）；否则在Y 中依次取2 个、3 个、…，求它们的属性闭包，若其闭包包含R 的全部属性，则是候选码。
数据库闭包和候选码求解方法概念：设 F 是属性集合 U 上的一个函数依赖集，X ∈ U，称 X+ = { A|A∈U,X → A 由 F 按照 Armstrong 公理系统推导得到 } 为属性集的 x 关于 F 的闭包。
举个例子：设有关系模式R（U，F），U = ABC，F={A→B，B → C}，则有 A 的闭包 A+ = ABC，B+=BC，C+=C。
说白话一点：闭包就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合。
例如：f={a->b，b->c，a->d，e->f}；由a可直接得到b 和d，间接得到c，则a的闭包就是{a，b，c，d}闭包概念以下是写的比较科学规范的闭包求解方法，设X和Y均为关系R 的属性集的子集，F是R上的函数依赖集，若对R的任一属性集B，一旦X→B，必有B?Y，且对R的任一满足以上条件的属性集Y1 ，必有Y?Y1，此时称Y为属性集X在函数依赖集F下的闭包，记作X＋。
计算关系R的属性集X的闭包的步骤如下：第一步：设最终将成为闭包的属性集是Y，把Y初始化为X；第二步：检查F中的每一个函数依赖A→B，如果属性集A中所有属性均在Y中，而B中有的属性不在Y中，则将其加入到Y中；第三步：重复第二步，直到没有属性可以添加到属性集Y中为止。
最后得到的Y就是X＋例（1）：设有关系模式R(U，F)，其中U={A，B，C，D，E，I}，F={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，计算(AE)+解: (1) 令X={AE}，X(0)=AE(2)在F中寻找尚未使用过的左边是AE的子集的函数依赖，结果是: A→D，E→C；所以 X(1)=X(0)DC=ACDE，显然X(1)≠X(0).(3) 在F中寻找尚未使用过的左边是ACDE的子集的函数依赖，结果是: CD→I；所以X(2)=X(1)I=ACDEI。
虽然X（2）≠X(1)，但F中寻找尚未使用过函数依赖的左边已经没有X（2）的子集，所以不必再计算下去，即(AE)+=ACDEI。
求候选码的方法范文候选码（Candidate Code）是一种计算机程序设计中使用的一种方法，它可以用来生成或者到所有可能的解决方案。
候选码有许多不同的应用，比如密码破译、组合优化问题、遗传算法等等。
以下是几种常见的候选码生成和方法：1. 穷举法（Exhaustive Search）：穷举法是最简单的一种方法，它会遍历所有的可能性并检查是否满足条件。
例如，对于一个由n个元素组成的集合，可以通过从集合中选择不同的元素来生成不同的候选解。
穷举法的优点是简单易懂，但缺点是随着问题规模增大，空间会呈指数增长，计算复杂度非常高。
2. 递归法（Recursive Search）：递归法是一种通过递归调用自身的方式来生成候选码的方法。
它可以将一个大问题分解成一个个更小的子问题，并通过递归的方式来解决。
例如，可以通过递归方法生成给定长度的二进制序列，其中每个位置上的数字可以是0或1、递归法的优点是可以有效地利用计算机的内存，但是同样存在空间随问题规模增大而指数增长的问题。
3. 回溯法（Backtracking）：回溯法是一种通过回溯的方式来生成候选解的方法，它可以避免不必要的。
回溯法通常用于求解组合优化问题，例如八皇后问题、0-1背包问题等。
回溯法的基本思想是逐步构建候选解，如果当前构建的候选解无法满足问题的约束条件，就回溯到上一个状态，重新选择其他的候选项。
回溯法的优点是能够快速剪枝，减少不必要的，但是缺点是仍然需要遍历所有的可能性。
4. 动态规划（Dynamic Programming）：动态规划是一种将大问题分解成子问题，并使用已经解决的子问题的解来构建候选解的方法。
动态规划的核心思想是将问题分解成重叠子问题，并使用一个表格或者数组来存储已经计算过的解，从而避免重复计算。
动态规划法的优点是可以显著降低计算复杂度，但是需要事先确定问题的状态转移方程。
5. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种模拟自然界遗传进化过程的算法，它通过一系列的遗传操作（如选择、交叉、变异）来生成下一代的候选解，并使用一定的评价函数来评估候选解的质量。
数据库求候选码例题详解什么是候选码？在数据库设计中，候选码（Candidate Key）是能够唯一标识关系模式中每一个元组的属性集合。
如果一个关系模式中存在多个候选码，那么可以选择其中的一个作为主键，其他的候选码即为备选键。
候选码需要满足以下三个条件： - 唯一性：每个候选码的属性集合能够唯一标识一个元组。
- 不可约性：候选码的任意一个子集都不能唯一标识一个元组。
- 最小性：不能再删除候选码中的任何一个属性，否则就无法唯一标识一个元组。
候选码的例题假设有一个学生表，包含以下字段：学生ID 姓名年龄班级001 张三18 1班002 李四17 2班003 王五18 1班004 赵六17 2班现在我们要求候选码。
解题步骤：1.根据属性是否能唯一标识一个元组，初步判断属性是否可能成为候选码。
–学生ID：这个属性的取值对于每一个学生都是唯一的，因此它可以成为候选码。
–姓名：不同学生可能有相同的姓名，不满足唯一性，排除。
–年龄：不同学生可能有相同的年龄，不满足唯一性，排除。
–班级：不同学生可能在同一个班级，不满足唯一性，排除。
综上所述，初步判断学生ID为候选码。
2.判断学生ID是否满足不可约性。
–学生ID不可约：如果去掉学生ID中的任何一个数字，就无法唯一标识一个学生。
因此，学生ID满足不可约性。
3.判断学生ID是否满足最小性。
–学生ID不再删除任何数字，否则就无法唯一标识一个学生。
因此，学生ID满足最小性。
综上所述，学生ID符合候选码的所有要求，可以作为候选码。
候选码的应用候选码在数据库设计中起到了非常重要的作用。
通过选择合适的候选码作为主键，可以帮助我们实现数据的唯一性约束，提高数据的查询效率和准确性。
候选码还可以用来进行表的拆分，将原本的大表拆分成多个小表，提高数据库查询和维护的效率。
在具体的数据库设计中，我们可以根据业务需求和数据特点选择不同的候选码。
有时候一个表可能存在多个候选码，我们需要根据具体情况选择其中之一作为主键，其他的候选码则成为备选键。
候选码的求解基本方法集合
一、求解候选码基本算法的具体步骤.
第1 步,求关系模式R < U , F > 的最小函数依赖集F
第2 步, 按照上面的定义, 分别计算出UL ,UR , UB （UL 表示仅在函数依赖集中各依赖关系式左边出现的属性的集合; UR 表示仅在函数依赖集中各依赖关系式右边出现的属性的集合;另记UB = U - UL - UR ）
第3 步,若UL ≠Φ,计算UL的闭包，若UL+ = U ,则UL 为R 的唯一的候选码,算法结束. 若UL+ ≠U ,转第4 步. 若UL = Φ,转第5 步.
第4 步,将UL 依次与UB 中的属性组合,利用上述的定义4 判断该组合属性是否是候选码; 找出所有的候选码后,算法结束.
第5 步,对UB 中的属性及属性组合利用上述的定义4 依次进行判断;找出所有的候选码后,算法结束.
简而言之：取最小依赖集，计算UL闭包，如果UL闭包包含全属性，则UL为唯一侯选码，如果不包含，则依次与UB属性组合后再求闭包是否包含全属性。
（UL为空时，直接取UB依次组合求闭包）
二、多属性依赖集候选码求解法
输入:关系模式R及其函数依赖集F。
输出:R的所有候选码。
具体步骤:
1)把R的所有属性分为L、R、N和LR四类,并令X代表L、N类,Y代表LR类。
2)求X+,如果X+包含了R的全部属性,则X为R的唯一候选码,转(5);否则,转(3)。
3)在Y中取一个属性A,求(XA)+,如果它包含了R的全部属性,则转(4);否则,调换一个属性反复进行这一过程,直到试完所有Y中的属性。
4)如果已经找到所有的候选码,则转(5);否则在Y中依次去两个、三个……求它们的属性闭包,直到其闭包包含R 的所有属性。
5)停止,输出结果。
简而言之：取一个X属性（X为L、N类）求闭包，如果包含R全部属性则为码，否则取一个LR类的Y属性A，求XA闭包，未包含R全属性则调换A，包含R全属性且找到所有码则结束，否则依次取2、3个。
三、依次递推法：
具体方法:给出一个关系模式R及所对应的函数依赖集F,经过初步判断,在函数依赖集中没有属于L的属性,所有属性都是属于LR类的,此时可以在函数依赖集中找出作为确定因素在左部出现频率最多的属性,如X,求X闭包,若其闭包包含了R中的所有属性,则X为R的一个候选码;再找出能够确定X的属性,如Y→X,求Y的闭包,若Y的闭包包含了R中的所有属性,则Y为R的一个候选码,依次往下找,直到把所有的函数依赖找完;单个属性的找完了后再找两个属性结合的,注意:此时不应该把原来求解出的候选码再进行组合(可以采用一般求解法)。
如设有关系模式R(A,B,C,D,E),其上的函数依赖集F={A→BC,CD→E,B→D,E→A},求出R的所有候选码。
根据上述方法,具体求解步骤如下:把F右部单一化后F={ A→B,A→C,CD→E,B→D,E→A };根据判断,A作为确定因素在左部出现的频率最高,求A+=ABCDE,又有E→A,求E+=ABCDE而CD→E,求(CD)+=ABCDE,可以得出属性A,E,CD为候选码;除去A,E,CD外,根据一般求解法求两个属性组合的闭包,可以得到(BC)+=ABCDE,最后可以算出R的候选码为:A,E,CD,BC。
简而言之：没有L，所有属性都属LR，取左边出现频率最多的属性X，求X+，若包含R中所有属性，则X为侯选码。
找能决定X的属性Y，求Y+，说Y+包含R中所有属性，则Y也是。
单个完后找两两结合，依次类推。
（侯选码不参与结合）
四、一般的求候选码的算法
已知关系模式R(U)属性集是A1A2...An及R的函数依赖集F,求R(U)的一个候选码。
算法：
KEY(X,F)
K=A1A2…An;
For i=1 to n
{求K-Ai相对于F的属性闭包(K-Ai)F+;
if (K-Ai)F + =U then K=K-Ai
else then K=K; }
return K;
利用此算法求R(U)的候选码时,只能求出一个,并不能保证求出所有的码。
但可以用同样的方法调整属性的删除次序而把所有的候选码都求解出来。
如此题设关系R(ABCD)及R上成立的函数依赖集为F,F={AB→C,C→D,D→A},求R的所有码。
按照上面的算法具体步骤如下:
设K={ABCD},当K=BCD时,由于KF+=ABCD，所以根据算法可删除A;
K=CD,由于KF+=ACD又因KF+不等于ABCD,所以根据算法,B不可删除;
K=BD,由于KF+=ABCD且因KF+=AB-CD,所以根据算法C可删除;
K=B,由于KF+=B又因KF+不等于ABCD,
所以根据算法,D不可删除;最后可求出KEY=BD,用同样的方法调整属性的删除次序,还可以得到另外的一个候选码AB,所以最后可以得到R的码为BD和AB。
一般求解算法适用于在判断了所有的属性均是属于在函数依赖的左部和右部都出现且在后面的几种算法都不适合的情况下采用的。
简而言之：算法概述——有N个属性，从1到N循环。
K初始为全部属性，每次循环时减去第N个属性，如果KF+包含全部属性，则K的值重新附值为K减去第N个属性后的值；否则K仍为上次循环后的值。
（算法适于所有属性皆为LR类且其他算法不合适时，实际算时要更换删除顺序后反复计算）
五、快速求候选码的方法
首先对于给定的R(U)和函数依赖集F,可以将它的属性划分为4类:
L类,仅出现在F的函数依赖左部的属性。
R类,仅出现在F的函数依赖右部的属性。
N类,在F的函数依赖左部和右部均未出现的属性。
LR类,在F的函数依赖左部和右部两部均出现的属性。
根据以下定理和推论来求解候选码。
定理1:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,若X(X∈R)是L类属性,则X必为R的任一候选码的成员。
推论1:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,若X(X∈R)是L类属性,且X+包含了R的全部属性,则X必为R 的唯一候选码。
定理2:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,若X(X∈R)是R类属性,则X不在任何候选码中。
定理3:设有关系模式R及其函数依赖集F,如果X是R的N类属性,则X必包含在R的任一候选码中。
推论2:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,如果X是R的N类和L类组成的属性集,且X+包含了R的有属性,则X是R的唯一候选码。
例：如设有关系模式R(U),其函数依赖集为F,其中:
U={A,B,C,D,E},F={A→C,C→A,B→AC,D→AC}
求R的候选码。
解:根据函数依赖可得:
属性B、D为L类,E为N类,因此属性B、D、E必为候选码的成员,且此三个属性的闭包:B+=ABC,(BD)+=ABCD,(BDE)+=ABCDE,根据推论2可得BDE是R的唯一候选码。
所以R的候选码为BDE。
如果把例题中关系模式R(U)中的属性E去掉,那么再求R的候选码的话可以根据推论1得出BD为R的唯一候选码。
快速求解方法适用于判断有属性是属于L类、N类或其中一种的情况下求解。
如果有L类和N类的属性,则求解候选码速度非常快。
简而言之：L、R、N、LR类。
根据定理，L、N类必为侯选码之一，如果L+包含全部R，则L为唯一侯选。
R 类不在任何侯选码中。
L+N类且（L+N）+包含所有R，则L+N为唯一侯选。
（适于有L、N类至少一种的情况。
）
六、左边为单属性的函数依赖集的候选码成员的图论判定方法
算法2:单属性依赖集图论求解法。
输入:关系模式R,R的单属性函数依赖集F。
输出:R的所有候选码。
步骤:
1、求F的最小函数依赖集;
2、构造函数依赖图FDG;
3、从图中找出关键属性集X(X可为空);
4、查看G中有无独立回路,如果没有则输出X即为R的唯一候选码,转6);如果有则转5);
5、从各独立回路中去取一结点对应的属性与X组合成一候选码,并重复这一过程,取尽所有可能的组合,即为R的全部候选码;
6、结束。
如已知有关系模式R(U),其函数依赖集为F,其中：
R={A,B,C,D,E,F}，F={A→B,C→D,D→E,E→F,F→C},求R的所有候选码。
根据算法，具体步骤如下：
求最小函数依赖集Fm,Fm={ A→B,C→D,D→E,E→F,F→C };
构造函数依赖图。
关键属性为:A
在图1中可以看到有一条独立回路CDFE,所以M=4,因此共有4个候选码,每个候选码有N=1+1=2个属性。
最后可得R的候选码为:AC,AD,AE,AF。
此方法适用于左部是单个属性的函数依赖求解候选码,而且如果用快速求解法又不是能很快地求解出来候选码来的情况。
附：候选码求解方法
1.查找只在左边出现的属性集X;
2.若X非空:
判断X的闭包是否为U,若是则即为所求码;
否则,考查两边都出现的属性y：依次检查X与y的各种极小组合,判断其闭包是否为U;
3.若X为空:
考查两边都出现的属性y：依次检查y的各种极小组合,判断其闭包是否为U;
F+ = G+ 的充分必要条件是F⊆G+ ，和G⊆F+
判断两个函数依赖集等价的可行算法：
要判定F⊆G+，只须逐一对F中的函数依赖X→Y，考察Y 是否属于XG++ 就行了。
