对数函数(重难点突破)

指数函数与对数函数重难点总结指数函数与对数函数可是数学里的一对“好兄弟”呢，它们的重难点可不少，今天咱就来好好唠唠。

一、指数函数。

指数函数的形式是y = a^x（a>0且a≠1）。

1. 图像。

- 当a > 1时，指数函数的图像是上升的，就像小火箭一样一飞冲天。

而且它过定点(0,1)，这个点可重要啦，就像是指数函数的“老家”。

不管a怎么变，只要是指数函数，都得经过这个点。

- 当0 < a < 1时，图像是下降的，就像小滑梯一样慢慢往下滑。

同样也过(0,1)这个定点。

2. 性质。

- 定义域是R，也就是全体实数。

这就意味着x可以取任何实数，就像一个超级大的舞台，x在上面可以尽情地表演。

- 值域是(0,+∞)。

这是因为不管x取啥值，a^x都大于0。

就像指数函数有个底线，不能是负数或者0，它总是积极向上（大于0）的呢。

- 单调性是个重难点哦。

当a > 1时是增函数，当0 < a < 1时是减函数。

这个单调性在比较大小的时候可有用啦。

比如说a^x_1和a^x_2比较大小，如果a > 1，x_1>x_2，那就有a^x_1>a^x_2；如果0 < a < 1，x_1>x_2，则a^x_1。

二、对数函数。

对数函数的形式是y=log_ax（a>0且a≠1），它和指数函数可是关系密切呢，就像照镜子一样。

1. 图像。

- 当a > 1时，对数函数的图像是上升的，不过它和指数函数上升的样子不太一样。

它过定点(1,0)，这个点也是对数函数的标志性地点。

- 当0 < a < 1时，图像是下降的，也过(1,0)这个点。

2. 性质。

- 定义域是(0,+∞)。

这是因为对数函数里x得是正数才行，就像只有正数才能进入对数函数这个“小城堡”。

- 值域是R，全体实数都可以是对数函数的值，就像对数函数的胸怀很宽广，可以容纳任何实数呢。

- 单调性也很重要哦。

对数函数教学设计一、教学目标1、知识与技能目标理解对数函数的概念，掌握对数函数的定义域、值域。

掌握对数函数的图象和性质，能利用对数函数的性质解决简单的数学问题。

2、过程与方法目标通过对数函数的图象和性质的探究过程，培养学生的观察、分析、归纳和逻辑推理能力。

让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的研究数学问题的方法。

3、情感态度与价值观目标通过对数函数在实际生活中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

通过小组合作探究，培养学生的团队合作精神和创新意识。

二、教学重难点1、教学重点对数函数的概念、图象和性质。

利用对数函数的性质解决简单的数学问题。

2、教学难点对数函数的图象和性质的探究过程。

对数函数性质的应用。

三、教学方法讲授法、探究法、练习法相结合四、教学过程1、导入新课回顾指数函数的概念和性质，提出问题：如果已知指数式中的指数，如何求底数？例如，已知\（2^x ＝ 8\），如何求\（x\）？引导学生思考，引出对数的概念。

2、讲解对数的概念定义：如果\（a^x ＝ N\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\）），那么数\（x\）叫做以\（a\）为底\（N\）的对数，记作\（x ＝＼log_a N\），其中\（a\）叫做对数的底数，＼（N\）叫做真数。

举例说明：＼（＼log_2 8 ＝ 3\），＼（＼log_3 9 ＝ 2\）等。

3、引入对数函数给出对数函数的定义：一般地，函数\（y ＝＼log_a x\）（＼（a＞ 0\）且\（a ≠ 1\））叫做对数函数。

强调对数函数的定义域为\（（0, ＋∞）＼）。

4、探究对数函数的图象和性质让学生分组，分别画出\（y ＝＼log_2 x\）和\（y ＝＼log_{1/2} x\）的图象。

引导学生观察图象，从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面进行分析。

总结对数函数的性质：当\（a ＞ 1\）时，函数在\（（0, ＋∞）＼）上单调递增；当\（0 ＜a ＜ 1\）时，函数在\（（0, ＋∞）＼）上单调递减。

对数函数重难点突破一、知识梳理二、知识精讲知识点一 对数函数及其性质(1)概念：函数 y ＝log a x(a ＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质0<a<1图象定义域： (0，＋∞)值域： R当 x ＝ 1 时， y ＝0，即过定点(1，0)当 x>1 时， y>0； 当 0<x<1 时， y<0在(0，＋∞)上是增函数a>1对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a logaN ＝N ；②log a a b ＝b(a>0，且 a≠1). (2)对数的运算法则如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a (MN)＝log a M ＋log a N ； M④log a m M n ＝n mlog a M(m ，n∈R，且 m≠0).(3)换底公式： log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于 1).三、例题讲解(一) 对数函数的概念与图像 例 1、给出下列函数：；①y＝ x πx ．其中是对数函数的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】解： ①y＝x 2 的真数为 x 2，故不是对数函数；3（x ﹣ 1）的真数为x ﹣ 1，故不是对数函数； ③y＝ log x+1x 的底数为 x+1，故不是对数函数；②y＝ log④y＝log πx 是对数函数；故选： A ．【变式训练 1-1】．函数f(x)＝log a |x|＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )【答案】 A②log a ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝nlog a M(n∈R)；2 ②y＝log 3（x ﹣ 1）； ③y＝log x+1x ； ④y＝logN【解析】选A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g(x)＝log|x|，先画出ax>0 时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x<0 时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选 A.【变式训练 1-2】．函数f （x ）＝的图象可能是（ ）【答案】解：∵f（x ）＝，∴函数定义域为（﹣∞， 0）∪（0，+∞），∵，∴函数f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，故排除 B 、C ，∵当 0＜x ＜1 时， lnx ＜0，∴f（x ）＝＜0，x∈（0，1）故排除 D ．故选： A ．【变式训练 1-3】．函数 y ＝|lg （x+1） |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．故函数 y ＝ lg （x+1）的图象与 X 轴的交点是（0，0），即函数 y ＝ |lg （x+1） |的图象与 X 轴的公共点是（0， 0），考察四个选项中的图象只有 A 选项符合题意故选： A ． 1273 8【变式训练 1-4】．计算： ＋log 2(log 216)＝________. CD例 2．函数 y ＝ 的图象大致是(A ． ． ．B ．【解析】：原式＝2 331323x 2 ,x 02x1,x083.)＋log24＝＋2＝【答案】 B【变式训练 2-1】．已知a 0 ，b 0且a 1，b 1 ，若logab 1，则下列不等式可能正确的是（）．A．(b1)(b a)0B．(a1)(a b)0C．(a1)(b1)0D．(a1)(b a)0【答案】 AD【解析】∵loga b1logaa，∴若a1，则b a，即b a1．∴(b1)(b a)0，故A正确．(a1)(b a)0，故D正确．若0a1，则0b a1，∴(a1)(a b)0，(a1)(b1)0，故BC错误，2x,x12-3】．图中曲线是对数函数y log x的图象，已知a 取 3 ，，，C 2 ，C3，C4的a 值依次为( )4 3 1【变式训练a3510四个值，则相应于C1，【变式训练2-2】．已知函数f(x)log2(1x),x1，则f(0)f(3)_______.【解析】f(0)f(3)20log1(3)121．故答案为：－14 3 1 4 1 3A ． 3 ， ， ，B ． 3 ， ， ，3 5 10 3 10 54 3 1 4 1 3C ． ， 3 ， ，D ． ， 3 ， ，3 5 10 3 10 5【答案】 A 可得C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 的a 值从小到大依次为： C 4 ，C 3 ， C 2 ， C 1 ，4(二) 比较大小例 3．（2019·浙江湖州高一期中） 下列各式中错误的是（ ）A ． 30.8 30.7B ．log 0.5 0.4 log 0.5 0.6C ． 0.750.10.750.1 D ．log 2 3 log 3 2 【答案】 C【变式训练 3-1】．（2020·全国高一课时练习） 设 alog 3 ,b log 2 3,c log 3 2 则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a 【答案】 A1 【解析】 alog 3log 3 3 1, 2log 3 3 log 3 2 c ,1 2【变式训练 3-2】．（2019 秋•沙坪坝区校级月考） 已知 a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 【分析】容易得出，从而可得出 a ，b ，c 的大小关系．【答案】解：∵log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30 ＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1 ∴a＜c ＜b ．故选： B ． 【变式训练 3-3】．（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（ ）【答案】解：∵log 34＞log 33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log 0.310＜log 0.31＝0，CDlog 2 2 b log 2 3 log 2 2 1， a b c .故选： A. ． ． A ． B ． ．．∴．故选： A．(三) 对数函数过定点问题例4.（2019 秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点 P，则P 点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【分析】令 2x+3＝1，求得x 的值，从而求得P 点的坐标．【答案】解：令 2x+3＝1，可得 x＝﹣ 1，此时y＝3．即函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点 P 的坐标为（﹣ 1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【变式训练 4-1】．函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣ 1，2） D．（﹣ 1，3）【分析】根据 log a1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．【答案】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣ 1，故y＝0+1+2＝3，故图象过（﹣ 1，3），故选：D．【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据log a1＝0，a0＝1 是解题的关键．【变式训练 4-2】．已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【分析】令＝1，解得x＝﹣ 2，y＝0，进而得到f（x）＝log a的图象恒过点的坐标．【答案】解：令＝1，解得：x＝﹣ 2，故f（﹣2）＝log a1＝0 恒成立，即f（x）＝log a的图象恒过点（﹣ 2，0），故选：B．(四) 有关对数函数奇偶性问题例5．（多选题）下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )A．y＝x3＋x B．y＝logx2C．y＝2x2 －3 D．y＝x|x|【答案】 ADx 为非奇非偶函数，与题【解析】 A 中， y＝x3＋x 为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符； B 中，y＝log2意不符；C4.1，c f 20.8 ，【变式训练 5-1】．已知奇函数f x在R 上是增函数，若a f log b f log2则a,b,c 的大小关系为( )A．a b c B．b a c C．c b a D．c a b【答案】 C 5【解析】由题意：a f log21f log25，且：log25log24.12,120.82，据此： log 2 5log 2 4.1 20.8 ，结合函数的单调性有： f log 2 5 f log 2 4.1 f 20.8 ， 即a b c,c b a .本题选择 C 选项.【变式训练 5-2】．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）是奇函数B ．f （x ）是偶函数C ．f （x ）是非奇非偶函数D ．f （x ）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可． 【答案】解：由 ＞0，解得：﹣ 1＜x ＜1，故函数f （x ）的定义域是（﹣ 1，1），关于原点对称，而 f （ ﹣x ）＝log 2＝﹣ log 2＝﹣ f （x ），故f （x ）是奇函数，故选： A ．(五) 有关对数函数定义域问题 例 6．函数 y ＝1log 2(x 2)的定义域为( )A ．(－∞ ，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】 Cx 2 0,【变式训练 6-1】．（2018 秋•宜宾期末） 函数 y ＝的定义域是（ ）A ．（ ，+∞）B ．（ ，1]C ．（﹣∞， 1]D ．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域． 【答案】解：要使原函数有意义，则 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，即 0＜4x ﹣ 3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选： B ．【解析】：选 C 根据题意得 解得 x>2 且 x≠3，故选 C. log 2 (x 2) 0【变式训练 6-2】．（2018 春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数 y ＝ 的定义域满足： ，解得 ．故选： D ．1【变式训练 6-3】．函数ylog 2 x 2的定义域是__________．【答案】2,3 3,x 2 0 x 2 0因此，函数y 的定义域是2,3 3, .故答案为： 2,3 3, .【变式训练 6-4】．函数f xlog 1 x 2 2x 3 的定义域为______，最小值为______.2【答案】3,1 2 【解析】由题意得 x 2 2x 3 0 ，解得3 x 1，所以函数 f x 的定义域为 3,1 ，令t x 2 2x 3 x 1 2 4 0,4 ，所以g t log 1 t 在 0,4 递减，且g 4 log 1 4 2 .2 2因此函数 f x 的值域为[2, ) ，最小值为 2 .(六) 有关对数函数值域问题及最值问题1例 7．函数f(x)＝ 的值域是( )A ．(－∞ ，1)B ．(0,1)1 log2 x 23x 1【解析】由题意可得log 3 x2 0 ，即x2 1 ，解得 x 2且 x 3.【解析】∵3x ＋1>1， ∴0<13x 1<1，∴函数的值域为(0,1)．【变式训练 7-1】．（2019 秋•南昌校级期中） 函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2 ）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域． 【答案】解：设 u （x ）＝2x+3 ﹣ x 2＝﹣（x ﹣ 1） 2+4，当 x ＝1 时， u （x ）取得最大值 4，∵函数 y ＝log 4x 为（0，+∞）上的增函数， ∴当 u （x ）取得最大值时，原函数取得最大值，即 y max ＝log 4u （x ） max ＝log 44＝1，8因此，函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2）的值域为（﹣∞， 1]，故填： （﹣∞， 1]．【变式训练 7-2】．已知函数f(x) lg x 2 2x a ，若它的定义域为 R ，则 a_________，若它的值域为 R ，则 a__________． 【答案】 1 1【解析】函数 f(x) lg x 2 2x a 的定义域为 R ，则 x 22x a0恒成立，故 4 4a 0， 即 a1 ；函数 f(x) lg x2 2x a 为 R ，则 0, 是函数 y x 2 2x a 值域的子集，则 4 4a0 ，即 a 1.故答案为： 1； 1.【变式训练 7-3】．）已知f(x)＝log 2(1－x)＋log 2(x ＋3)，求f(x)的定义域、值城．【答案】定义域为 3,1 ，值域为,2 .【解析】由函数 f(x) 有意义得 ，解得 3 x1，因为 f xlog 2 (1 x) log 2 (x 3) log 2 1 x x 3 log 2 x 2 2x 3log 2x 1 2 4 ， 3 x 1， 又因为tx 1 24在( 3, 1) 上递增，在( 1,1) 上递减，所以t 0,4 ，所以log 2 t,2 .所以函数f(x) 的值域为 ,2 .【变式训练 7-4】．设f x log a 1 x log a (3 x)a 0,a 1 ,且 f 1 2 . 1）求a 的值及 fx 的定义域；2）求 fx 在区间 0, 3上的最大值．2 1 x 0 x3 0【答案】1）a2，定义域为1,3；2）2【解析】1）f1loga 2loga2loga42,解得a2.故f x log21x log2(3x),则解得-1< x < 3 ,故f x的定义域为1,3.（2）函数 f x log 2 1 x log 2 3 x log 2 3 x 1 x ,定义域为 1,3 , 01, 3 ,由函数 y log 2 x 在0, 上单调递增, 函数 y 3 x 1 x 在 0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减,可得函数 f x 在0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减.故 f x 在区间 0上的最大值为 f 1 log 2 4 2 .(七) 对数函数的概念与图像例 8．画出下列函数的图象：（1）y ＝lg|x －1| ．（2） y lg(x 1) ．(八) 对数型复合函数的单调性问题例 9．函数f(x) log 1 (2 x)的单调递增区间是( )2A ．( , 2) B ． ( ,0) C ． (2, ) D ． (0, )【答案】 A【解析】由 2 x 0 ，得到x 2 ，令t2 x ，则t 2 x 在(, 2) 上递减，而y log 1 t 在(0,) 上2递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x) log 1 (2 x) 在(, 2) 上递增，故选： A2226 ax在0,2 上为减函数，则a 的取值范围是（）【变式训练9-1】．函数f x logaA ．(0,1)B ．1,3C．1,3D．3,【答案】B，计算得出，所以 B 选项是正确的.【变式训练 9-2】．已知函数 f(x) log x 2log x 2(a 0, a 1) .(1)当 a 2 时,求 f(2) ；(2)求解关于x 的不等式 f(x) 0 ；(3)若x [2,4], f(x) 4 恒成立,求实数a 的取值范围.2, 1 1, 3 2【解析】 （1）当 a2 时， f x log 2 x 2 log 2 x 2 f 2 1 1 22 （2）由 f x 0 得： log x 2log x 2 log x 2 log x 1 0log a x 1或log a x 2当 a 1 时，解不等式可得： 0 x或 x a 2 1 a综上所述：当 a 1 时， f x 0 的解集为0, 1 a 2,；当 0 a 1时， f x 0 的解集为0, a 21 ,a（3）由 f x4 得： log x 2 log x 6 log x 3 log x 2 0log a x 2 或log a x 3①当 a 1 时，log a x maxlog a 4 ， log a xminlog a 2a当 0 a 1时，解不等式可得： x 或 0 x a 2【答案】（1） 2 ；（2）见解析； （3）【解析】若函数上为减函数,则a a a 2 在1a a a aa a a aloga 42logaa2或loga23logaa3，解得：1a32②当0 a 1时，loga xmaxloga2 ，logaxminloga4loga 2 2 logaa 2 或loga4 3 logaa3 ，解得：综上所述：a的取值范围为22,11,32(九) 对数型复合函数的最值问题2a 1例10．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知f x loga 1x1xa0，a1(1)求f x的定义域；(2)判断f x的奇偶性并予以证明；(3)求使f x 0 的x 的取值范围．【答案】（1）1,1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若 a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，则 0<<1，解得－1<x<0.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1 ）直接法， f x f x(正为偶函数，负为减函数)；（2 ）和差法，f x f x0（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，f xf x1（1为偶函数，1为奇函数）.【变式训练10-1】．.（2019·浙江高一期中）已知函数f(x) log3 mx2 8x nx21．2（Ⅰ）若m 4, n 4 ，求函数f(x) 的定义域和值域；（Ⅱ）若函数f(x) 的定义域为R ，值域为[0,2] ，求实数m, n 的值．8]；（Ⅱ）m5,n5.【答案】（Ⅰ）定义域为x x1，值域为(,log3【解析】（Ⅰ）若m 4, n 4 ，则 f(x) log34x 2 8x 4x 21，由4x 2 8x 4x 210 ，得到x 22x 1 0 ，得到 x 1 ，故定义域为x x 1 ．4x 28x 4，则 (t 4)x 2 8x t 4 0当t4 时， x 0 符合．64 4(t 4)2 0,又 x 1 ，所以 t 0 ，所以 0t 8 ，则值域为(,log 3 8] ．（Ⅱ）由于函数 f(x) 的定义域为 R ，则mx 2 8x n x 2 1m 0 m 0tmx 2 8x n，由于 f(x) 的值域为[0,2] ，则t [1,9] ，而(t m)x 2 8x t n 0 ，则由 64 4(t m)(t n) 0, 解得t [1,9] ，故 t 1和 t 9 是方程m n 10 m 5意．所以m 5, n 5 ． 【变式训练 10-2】．（2019 秋•荔湾区校级期末）已知函数 f （x ）＝log 3（1+x ）﹣ log 3（ 1 ﹣ x ）． （1）求函数f （x ）定义域，并判断 f （x ）的奇偶性．（2）判断函数f （x ）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论． （3）解关于 x 的不等式f （1 ﹣ x ）+f （1 ﹣ x 2 ）＞0．x 2 1 令 t 64 4(t m)(t n) 0 即t2(m n)t mn 16 0 的两个根，则 ，得到 ，符合题mn 16 9 n 5x 2 10 恒成立，则 ，即 ，令 64 4mn 0 mn 16当t 4 时，上述方程要有解，则 ，得到 0 t 4 或4 t 8 ， t 0【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，必须满足，解得：﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1），综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1）．f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）＝log3（）．f（﹣x）＝log3＝﹣log3．∴f（x）为奇函数．（2）函数f（x）＝log3（），在区间（﹣ 1 ，1）上任取两个不同的自变量x1 ，x2，且设x1＜x2 ，则f（x1）﹣f（x2 ）＝log3，又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，∴log3＜0，即f（x1 ）＞f（x2），∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），又∵f（x）在定义域上单调递增，∴1﹣x＞x2﹣1，x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，而，解得：0＜x＜，综上：0＜x＜1．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．四、迁移应用21x,x1,【答案】[0,)【解析】x1时，f(x)21x2，1x1，x0，∴0x1，x1时，f(x)1log2x2，log2x1，x1，所以x1，综上，原不等式的解集为[0, ) ．故答案为：[0,)．217．设函数f(x) 则满足f(x) 2 的x 的取值范围是_______________.1log2x,x1,。

专题 对数与对数函数（重难点突破）重难点一 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).重难点三 对数函数及其性质(1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)一、重难点题型突破重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5，则用a ，b 表示log 3645为 ．【解析】由已知得lg5b =，则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b aa++===++， 因为10lg 2lg 1lg515b ==-=-，所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+，即36log 4522a ba b +=-+.（2）求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．【解析】 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．【变式训练】（1）．（2017·全国高一单元测试）已知10m ＝2，10n ＝4，则3210m n -的值为( ) A.2【解析】3210m n -＝3221010m n ＝()()32121010m n ＝321224答案：B（2）．（2013·全国高一课时练习）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+，则MN的值为（ ） A ．14B ．4C ．1D ．4或1【解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+，所以2log (2)log a a M N MN -=（），2(2)M N MN -=，2540M MN N-+=（）,解得=1（舍去），=4，故选B.重难点2 对数函数的图像与性质 例2求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)； 【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． 例3．（1）（2017·北京市第二中学分校高一）函数12log y x =，x ∈(0,8]的值域是( )A.[－3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，－3]D.(－∞，3]【解析】∵12083x log x <≤∴≥，－，故选A.（2）．下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（ ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以ln(2)y x =-，故选B ．（3）．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0【答案】D【解析】由于f (x )的图象单调递减，所以0<a <1，又0<f (0)<1，所以0<a －b <1＝a 0，即－b >0，b <0，故选D.（4）．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )A B C D【解析】∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.重难点3 对数函数的单调性与最值（比较大小） 例4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 【解析】由2280x x -->，得2x <-或4x >，设228u x x =--，则(,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 例5．设，则( )A ．B ．C ．D ． 【解析】， 由下图可知D 正确．【变式训练】．(1)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=，357log 6,log 10,log 14a b c ===c b a >>b c a >>a c b >>a b c >>33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a b ab+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．（2）已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】 由题意，可知，，，所以最大，，都小于1，因为，所以，故选A ． 重难点4 对数型复合函数的应用例6．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,2D ．()2,+∞【解析】因为0a >，所以2y ax =-在[]0,1上是减函数，又因为()f x 在[]0,1上是减函数，所以log a y x =是增函数，所以1a >；又因为对数的真数大于零，则2020a >⎧⎨->⎩，所以2a <；则(1,2)a ∈.故选：C. 【变式训练】．（1）判断f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．（2）已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(3)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．【解析】（1） 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u在(－∞，＋0.20.32log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<5log 21a =<115122221log 0.2log log 5log 5log 425b --====>=0.20.51c =<b a c 5log 2a ==150.210.52⎛⎫==== ⎪⎝⎭22log 5log 42>=>12⎛< ⎝c <a c b <<∞)上递减， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝⎛⎭⎫13u≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．（2）∵f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. (3)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2。

学习资料分享[公司地址]2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1对数的概念与基本性质】1.对数的概念条件)1,0(≠>=a a N a x 且结论数x 叫做以a 为底N 的对数，a 叫做对数的底数，N 叫做真数记法Nx a log =2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把N 10log 记为N lg .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把N e log 记为N ln .3.对数与指数的关系当0>a ,且1≠a 时，N x N a a x log =⇔=.4.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即0>N ；(2)01log =a )1,0(≠>a a 且；(3))1,0(1log ≠>=a a a a 且．【知识点2对数的运算性质】1.运算性质条件0>a ,且1≠a ，0,0>>N M 性质NM MN a a a log log )(log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =(n ∈R)2.换底公式ab bc c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．3.知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =；②1log log log =⋅⋅ac b c b a ；③b b a n a n log log =；④b n m b a m a n log log =；⑤b b a alog log 1-=.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1对数有意义条件】【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，5）B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可．【答案】解：要使对数式b ＝log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则，解得a∈（2，3）∪（3，5），故选：C．【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．3有意义，则实数t的取值范围是（）【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log（t﹣2）A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．【分析】根据对数式log（t﹣2）3有意义，【答案】解：要使对数式log（t﹣2）须；解得t＞2且t≠3，∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查了对数定义的应用问题，是基础题目．（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）【变式1-2】在M＝log（x﹣3）A．（﹣∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x的范围．【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x＜4，或x＞4．故选：B．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．【答案】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，∴x2﹣5x+6＞0，∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【考点2对数式与指数式的互化】【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625②（）m＝5.73③ln10＝2.303④lg0.01＝﹣2⑤log216＝4．【分析】利用对数的定义进行指对互化．【答案】解：①log5625＝4，② 5.73＝m，③e2.303＝10，④10﹣2＝0.01，⑤24＝16．【点睛】本题考查了指对互化，是基础题．【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．【分析】根据对数的定义进行转化．【答案】解：（1）lg100＝2，（2）e b＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．【点睛】本题考查了对数的定义，属于基础题．【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【分析】根据指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，可将指数式与对数式互化．【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，是解答的关键．【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3﹣2＝；（2）9＝﹣2；（3）1g0.001＝﹣3．【分析】直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可．【答案】解：（1）3﹣2＝；可得﹣2＝1og3．（2）9＝﹣2；（）﹣2＝9．（3）1g0.001＝﹣3.0.001＝10﹣3．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力．【考点3解对数方程】【例3】求下列各式中x的值：（1）log4x＝﹣，求x；（2）已知log2（log3x）＝1，求x．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log232＝5化成指数式；（2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式3-1】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N＞0）是解答的关键．【变式3-2】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【变式3-3】将下列对数式化为指数式求x值：（1）log x27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；（4）；（5）x＝16．【分析】利用指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质log a1＝0及log a a ＝1、指数的性质即可得出．【答案】解：（1）∵，∴，∴x＝＝32＝9；（2），∴＝＝；（3）∵log5（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2；（4）∵，∴，化为33x＝3﹣2，∴3x＝﹣2，得到；（5）∵，∴，∴2﹣x＝24，解得x＝﹣4．【点睛】熟练掌握指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质、指数的性质是解题的关键．【考点4对数运算性质的化简求值】【例4】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg +（）lg 1（2）lg 52+lg 8+lg 5lg 20+（lg 2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg 5+2lg 2+lg 5（2lg 2+lg 5）+（lg 2）2＝2+（lg 2+lg 5）2＝3．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用．【变式4-1】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式4-2】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义．【变式4-3】（2019春•禅城区期中）（1）化简：（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）；（2）求值：2（lg）2+lg2•lg5+．【分析】（1）由指数幂的运算得：原式＝4a b＝4a，（2）由对数的运算得：原式＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．得解【答案】解：（1）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）＝4a b＝4a，（2）2（lg）2+lg2•lg5+＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，属简单题．【考点5利用换底公式化简求值】【例5】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c•log c a；（2）log23•log34•log45•log52；（3）（log43+log83）（log32+log92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．【答案】解：（1）log a c•log c a＝•＝1；（2）log23•log34•log45•log52＝•••＝1；（3）（log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝•＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．【变式5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（log43+log83）（log32+log92）【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式5-2】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log43+log83（2）log45+log92．【分析】（1）利用对数的换底公式展开后通分计算；（2）直接利用对数的换底公式进行化简．【答案】解：（1）log43+log83＝＝；（2）log45+log92＝＝．【点睛】本题考查对数的换底公式，是基础的会考题型．【变式5-3】（2019秋•西秀区校级期中）利用换底公式求log225•log34•log59的值．【分析】利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．【答案】解：原式＝＝2log25•2log32•2log53＝8log25•log32•log53＝＝8．【点睛】本题考查了对数的运算法则和对数的换底公式，属于基础题．【考点6用已知对数表示其他对数】【例6】已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，∴log645＝＝＝＝【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题【变式6-1】（1）已知log310＝a，log625＝b，试用a，b表示log445．（2）已知log627＝a，试用a表示log1816．【分析】（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625＝b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816的式子．【答案】解：（1）∵log310＝a，∴a＝，∵log625＝b＝＝＝，∴lg2＝，∴log445＝＝＝＝＝．（2）∵log627＝a＝＝，∴lg3＝，∴log1816＝＝＝＝．【点睛】本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想，属于基础题．【变式6-2】（1）已知log147＝a，log145＝b，用a、b表示log3528．（2）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：（1）log147＝a，log145＝b，∴log3528＝＝＝＝，（2）∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝，【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题．【变式6-3】．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各式的值．（1）lg12；（2）log224；（3）log34；（4）lg．【分析】利用对数的换底公式与对数的运算法则即可得出．【答案】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴（1）lg12＝2lg2+lg3＝2a+b；（2）log224＝+log23＝3+；（3）log34＝＝；（4）＝lg3﹣3lg2＝b﹣3a．【点睛】本题考查了对数的换底公式与对数的运算法则，属于基础题．【考点7与对数有关的条件求值问题】【例7】（2018秋•龙凤区校级月考）（1）已知lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），求x﹣y的值；（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a，b表示log830．【分析】（1）由lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），推导出＝9，再由x﹣y＝＝，能求出结果．（2）log830＝＝，由此能求出结果．【答案】解：（1）∵lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），∴，解得＝9，∴x﹣y＝＝＝4．（2）∵lg2＝a，lg3＝b，∴log830＝＝＝．【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式7-1】（2019秋•江阴市期中）已知lgx+lgy＝2lg（x﹣y），求．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，从而解得＝，从而解得．【答案】解：∵lgx+lgy＝2lg（x﹣y），∴x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，∴x2﹣3xy+y2＝0，即（）2﹣3+1＝0，故＝，故＝（）＝（3+）﹣2．【点睛】本题考查了对数的化简与运算，同时考查了整体思想的应用，属于基础题．【变式7-2】已知lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，求log8的值．【分析】由已知条件推导出，由此能求出log8的值．【答案】解：∵lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，∴，整理，得，解得或＝﹣1（舍），∴log8＝log82＝＝．∴log8的值为．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．【变式7-3】已知2lg＝lgx+lgy，求．【分析】根据对数的运算法则进行化简即可．【答案】解：由得x＞y＞0，即＞1，则由2lg＝lgx+lgy，得lg（）2＝lgxy，即（）2＝xy，即（x﹣y）2＝4xy，即x2﹣2xy+y2＝4xy，即x2﹣6xy+y2＝0，即（）2﹣6（）+1＝0，则＝＝3+2或＝3﹣2（舍），则＝（3+2）＝（3﹣2）﹣1＝﹣1【点睛】本题主要考查对数的基本运算，根据对数的运算法则是解决本题的关键．【考点8对数的综合应用】【例8】设x、y、z均为正数，且3x＝4y＝6z（1）试求x，y，z之间的关系；（2）求使2x＝py成立，且与p最近的正整数（即求与P的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较3x、4y、6z的大小．【分析】（1）令3x＝4y＝6z＝k，利用指对数互化求出x、y、z，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；（2）由换底公式求出P，由对数函数的性质判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简P与这2个整数的差，即可得到答案；（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．【答案】解：（1）令3x＝4y＝6z＝k，由x、y、z均为正数得k＞1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∴，，，∵＝，且，∴；（2）∵2x＝py，∴p＝＝＝＝＝2＝log316，∴2＜log316＜3，即2＜p＜3，∵p﹣2＝log316﹣2＝，3﹣p＝3﹣log316＝，∵﹣＝0，∴，即＞，∴与p的差最小的整数是3；（3）由（1）得，3x＝3log3k，4y＝4log4k、6z＝6log6k，又x、y、z∈R+，∴k＞1，＝﹣＝＝＞0，∴，则3x＜4y，同理可求＝＞0，则4y＜6z，综上可知，3x＜4y＜6z．【点睛】本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．a+log（c﹣b）a＝2log 【变式8-1】设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a•log（c﹣b）a．（c+b）a＝，log（c﹣b）a＝证明左端＝右【分析】依题意，利用对数换底公式log（c+b）端即可．【答案】证明：由勾股定理得a2+b2＝c2．log（c+b）a+log（c﹣b）a＝+＝＝＝a•log（c﹣b）a．＝2log（c+b）∴原等式成立．【点睛】本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．【变式8-2】（2018秋•渝中区校级期中）令P＝80.25×+（）﹣（﹣2018）0，Q＝2log32﹣log3+log38．（1）分别求P和Q．（2）若2a＝5b＝m，且，求m．【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q．（2）2a＝5b＝m，且＝2，利用对数换底公式可得a＝，b＝，代入解出即可得出．【答案】解：（1）P＝×+﹣1＝2+﹣1＝．Q＝＝log39＝2．（2）2a＝5b＝m，且＝2，∴a＝，b＝，∴＝2，可得lgm＝，∴m＝．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、非常的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式8-3】已知2y•log y4﹣2y﹣1＝0，•log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．【分析】由2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0可求y，再由•log5x＝﹣1求出x即可．【答案】解：∵2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0，∴y＝16；∵•log5x＝﹣1，∴，解得，x＝；故P＝＝＝3．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的应用及方程的解法，属于基础题．。

2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数的概念与基本性质】2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把N 10log 记为N lg .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把N e log 记为N ln . 3.对数与指数的关系当0>a ,且1≠a 时，N x N a a xlog =⇔=.4.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即0>N ； (2)01log =a )1,0(≠>a a 且； (3))1,0(1log ≠>=a a a a 且． 【知识点2 对数的运算性质】 1.2.abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 3.知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论： ①a b b a log 1log =；②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b nm b a m a n log log =；⑤b b a alog log 1-=.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1 对数有意义条件】【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，5） B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【答案】解：要使对数式b ＝log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则，解得a∈（2，3）∪（3，5），故选：C．【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】根据对数式log（t﹣2）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．【答案】解：要使对数式log（t﹣2）3有意义，须；解得t＞2且t≠3，∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查了对数定义的应用问题，是基础题目．【变式1-2】在M＝log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）A．（﹣∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x的范围．【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x＜4，或x＞4．故选：B．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．【答案】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，∴x2﹣5x+6＞0，∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【考点2 对数式与指数式的互化】【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625②（）m＝5.73③ln10＝2.303④lg0.01＝﹣2⑤log216＝4．【分析】利用对数的定义进行指对互化．【答案】解：①log5625＝4，② 5.73＝m，③e2.303＝10，④10﹣2＝0.01，⑤24＝16．【点睛】本题考查了指对互化，是基础题．【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．【分析】根据对数的定义进行转化．【答案】解：（1）lg100＝2，（2）e b＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．【点睛】本题考查了对数的定义，属于基础题．【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【分析】根据指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，可将指数式与对数式互化．【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，是解答的关键．【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3﹣2＝；（2）9＝﹣2；（3）1g0.001＝﹣3．【分析】直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可．【答案】解：（1）3﹣2＝；可得﹣2＝1og3．（2）9＝﹣2；（）﹣2＝9．（3）1g0.001＝﹣3.0.001＝10﹣3．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力．【考点3 解对数方程】【例3】求下列各式中x的值：（1）log4x＝﹣，求x；（2）已知log2（log3x）＝1，求x．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log232＝5化成指数式；（2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式3-1】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N ＞0）是解答的关键．【变式3-2】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【变式3-3】将下列对数式化为指数式求x值：（1）log x27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；（4）；（5）x＝16．【分析】利用指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质log a1＝0及log a a ＝1、指数的性质即可得出．【答案】解：（1）∵，∴，∴x＝＝32＝9；（2），∴＝＝；（3）∵log5（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2；（4）∵，∴，化为33x＝3﹣2，∴3x＝﹣2，得到；（5）∵，∴，∴2﹣x＝24，解得x＝﹣4．【点睛】熟练掌握指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质、指数的性质是解题的关键．【考点4 对数运算性质的化简求值】【例4】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg+（）lg1（2）lg52+lg8+lg5lg20+（lg2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg2+lg5）2＝3．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用．【变式4-1】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式4-2】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义．【变式4-3】（2019春•禅城区期中）（1）化简：（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）；（2）求值：2（lg）2+lg2•lg5+．【分析】（1）由指数幂的运算得：原式＝4a b＝4a，（2）由对数的运算得：原式＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．得解【答案】解：（1）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）＝4a b＝4a，（2）2（lg）2+lg2•lg5+＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，属简单题．【考点5 利用换底公式化简求值】【例5】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c•log c a；（2）log23•log34•log45•log52；（3）（log43+log83）（log32+log92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．【答案】解：（1）log a c•log c a＝•＝1；（2）log23•log34•log45•log52＝•••＝1；（3）（log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝•＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．【变式5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（log43+log83）（log32+log92）【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式5-2】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log43+log83（2）log45+log92．【分析】（1）利用对数的换底公式展开后通分计算；（2）直接利用对数的换底公式进行化简．【答案】解：（1）log43+log83＝＝；（2）log45+log92＝＝．【点睛】本题考查对数的换底公式，是基础的会考题型．【变式5-3】（2019秋•西秀区校级期中）利用换底公式求log225•log34•log59的值．【分析】利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．【答案】解：原式＝＝2log25•2log32•2log53＝8log25•log32•log53＝＝8．【点睛】本题考查了对数的运算法则和对数的换底公式，属于基础题．【考点6 用已知对数表示其他对数】【例6】已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，∴log645＝＝＝＝【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题【变式6-1】（1）已知log310＝a，log625＝b，试用a，b表示log445．（2）已知log627＝a，试用a表示log1816．【分析】（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625＝b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816 的式子．【答案】解：（1）∵log310＝a，∴a＝，∵log625＝b＝＝＝，∴lg2＝，∴log445＝＝＝＝＝．（2）∵log627＝a＝＝，∴lg3＝，∴log1816＝＝＝＝．【点睛】本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想，属于基础题．【变式6-2】（1）已知log147＝a，log145＝b，用a、b表示log3528．（2）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：（1）log147＝a，log145＝b，∴log3528＝＝＝＝，（2）∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝，【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题．【变式6-3】．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各式的值．（1）lg12；（2）log224；（3）log34；（4）lg．【分析】利用对数的换底公式与对数的运算法则即可得出．【答案】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴（1）lg12＝2lg2+lg3＝2a+b；（2）log224＝+log23＝3+；（3）log34＝＝；（4）＝lg3﹣3lg2＝b﹣3a．【点睛】本题考查了对数的换底公式与对数的运算法则，属于基础题．【考点7 与对数有关的条件求值问题】【例7】（2018秋•龙凤区校级月考）（1）已知lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），求x﹣y的值；（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a，b表示log830．【分析】（1）由lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），推导出＝9，再由x﹣y＝＝，能求出结果．（2）log830＝＝，由此能求出结果．【答案】解：（1）∵lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），∴，解得＝9，∴x﹣y＝＝＝4．（2）∵lg2＝a，lg3＝b，∴log830＝＝＝．【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式7-1】（2019秋•江阴市期中）已知lgx+lgy＝2lg（x﹣y），求．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，从而解得＝，从而解得．【答案】解：∵lgx+lgy＝2lg（x﹣y），∴x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，∴x2﹣3xy+y2＝0，即（）2﹣3+1＝0，故＝，故＝（）＝（3+）﹣2．【点睛】本题考查了对数的化简与运算，同时考查了整体思想的应用，属于基础题．【变式7-2】已知lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，求log8的值．【分析】由已知条件推导出，由此能求出log8的值．【答案】解：∵lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，∴，整理，得，解得或＝﹣1（舍），∴log8＝log82＝＝．∴log8的值为．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．【变式7-3】已知2lg＝lgx+lgy，求．【分析】根据对数的运算法则进行化简即可．【答案】解：由得x＞y＞0，即＞1，则由2lg＝lgx+lgy，得lg（）2＝lgxy，即（）2＝xy，即（x﹣y）2＝4xy，即x2﹣2xy+y2＝4xy，即x2﹣6xy+y2＝0，即（）2﹣6（）+1＝0，则＝＝3+2或＝3﹣2（舍），则＝（3+2）＝（3﹣2）﹣1＝﹣1【点睛】本题主要考查对数的基本运算，根据对数的运算法则是解决本题的关键．【考点8 对数的综合应用】【例8】设x、y、z均为正数，且3x＝4y＝6z（1）试求x，y，z之间的关系；（2）求使2x＝py成立，且与p最近的正整数（即求与P的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较3x、4y、6z的大小．【分析】（1）令3x＝4y＝6z＝k，利用指对数互化求出x、y、z，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；（2）由换底公式求出P，由对数函数的性质判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简P与这2个整数的差，即可得到答案；（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．【答案】解：（1）令3x＝4y＝6z＝k，由x、y、z均为正数得k＞1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∴，，，∵＝，且，∴；（2）∵2x＝py，∴p＝＝＝＝＝2＝log316，∴2＜log316＜3，即2＜p＜3，∵p﹣2＝log316﹣2＝，3﹣p＝3﹣log316＝，∵﹣＝0，∴，即＞，∴与p的差最小的整数是3；（3）由（1）得，3x＝3log3k，4y＝4log4k、6z＝6log6k，又x、y、z∈R+，∴k＞1，＝﹣＝＝＞0，∴，则3x＜4y，同理可求＝＞0，则4y＜6z，综上可知，3x＜4y＜6z．【点睛】本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．【变式8-1】设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a+log（c﹣b）a＝2loga•log（c﹣b）a．（c+b）【分析】依题意，利用对数换底公式log（c+b）a＝，log（c﹣b）a＝证明左端＝右端即可．【答案】证明：由勾股定理得a2+b2＝c2．log（c+b）a+log（c﹣b）a＝+＝＝＝＝2log（c+b）a•log（c﹣b）a．∴原等式成立．【点睛】本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．【变式8-2】（2018秋•渝中区校级期中）令P＝80.25×+（）﹣（﹣2018）0，Q＝2log32﹣log3 +log38．（1）分别求P和Q．（2）若2a＝5b＝m，且，求m．【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q．（2）2a＝5b＝m，且＝2，利用对数换底公式可得a＝，b＝，代入解出即可得出．【答案】解：（1）P＝×+﹣1＝2+﹣1＝．Q＝＝log39＝2．（2）2a＝5b＝m，且＝2，∴a＝，b＝，∴＝2，可得lgm＝，∴m＝．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、非常的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式8-3】已知2y•log y4﹣2y﹣1＝0，•log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．【分析】由2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0可求y，再由•log5x＝﹣1求出x即可．【答案】解：∵2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0，∴y＝16；∵•log5x＝﹣1，∴，解得，x＝；故P＝＝＝3．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的应用及方程的解法，属于基础题．。

2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数函数的定义】1.对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =. （2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =. 【知识点2 对数函数的图象与性质】 对数函数的图象与性质列表如下：温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【知识点3 反函数】在指数函数)10(≠>=a a a y x ，中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）；在对数函数)1,0(log ≠>=a a y x a 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）， 像这样的两个函数叫作互为反函数.【考点1 对数函数的概念】【例1】（2019秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（）A．y＝log3（x+1）B．y＝log a（2x）（a＞0，且a≠1）C．y＝lnxD．【变式1-1】给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝log x+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y＝log x2；②y＝log a x（a∈R）③y＝log8x；④y＝lnx⑤y＝log x（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（）①y＝log a x2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝log x a（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）A．1B．2C．3D．4【考点2 利用对数函数的性质比较大小】【例2】（2019秋•福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【变式2-1】（2019秋•天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足log a2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【变式2-2】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【变式2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（）A．B．C．D．【考点3 与对数函数有关的函数图象识别】【例3】（2018秋•合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【变式3-2】（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【考点4 对数函数图象过定点问题】【例4】（2018秋•赣州期中）函数y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（）A．（）B．（0，﹣）C．（）D．（）【变式4-1】（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【变式4-2】（2018秋•烟台期中）函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2）B．（2，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）【变式4-3】（2019秋•赣州期末）已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【考点5 有关对数函数奇偶性问题】【例5】（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【变式5-1】（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝log a（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f （x）在定义域上是（）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【变式5-2】（2019秋•新宁县校级期中）对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数【变式5-3】（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则f（x）+g（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数【考点6 与对数函数有关的定义域问题】【例6】（2018秋•肇庆期末）函数y＝的定义域为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪[3，+∞）【变式6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【变式6-3】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【考点7 与对数函数有关的值域问题】【例7】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【变式7-1】（2019春•赣榆区校级月考）函数的值域为．【变式7-2】（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5 在2≤x≤4时的值域为．【变式7-3】（2019秋•松江区期末）函数的值域为．【考点8 与对数函数有关的最值问题】【例8】（2019秋•离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为．【变式8-1】（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为2，则a的值为．【变式8-2】（2019春•天津期末）若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【变式8-3】（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，函数y＝[f（x）]2+f（x2）的最大值为．【考点9 与对数函数的单调性有关的问题】【例9】（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【变式9-1】（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【变式9-2】（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．（1）求函数的定义域．（2）讨论函数f（x）的奇偶性．（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．【变式9-3】（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数函数的定义】 1.对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =. （2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =. 【知识点2 对数函数的图象与性质】对数函数的图象与性质列表如下：温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【知识点3 反函数】在指数函数)10(≠>=a a a y x ，中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）；在对数函数)1,0(log ≠>=a a y x a 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）， 像这样的两个函数叫作互为反函数.【考点1 对数函数的概念】【例1】（2019秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（ ） A ．y ＝log 3（x +1）B．y＝log a（2x）（a＞0，且a≠1）C．y＝lnxD．【分析】根据对数函数的定义即可得出．【答案】解：根据对数函数的定义可得：只有y＝lnx为对数函数．故选：C．【点睛】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式1-1】给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝log x+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由对数函数的定义依次判断即可．【答案】解：①y＝x2的真数为x2，故不是对数函数；②y＝log3（x﹣1）的真数为x﹣1，故不是对数函数；③y＝log x+1x的底数为x+1，故不是对数函数；④y＝logπx是对数函数；故选：A．【点睛】本题考查了对数函数的定义的应用．【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y＝log x2；②y＝log a x（a∈R）③y＝log8x；④y＝lnx⑤y＝log x（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对数函数的定义，y＝log a x（a＞0，且a≠1），逐一分析给定函数是否为指数函数，可得结论．【答案】解：①y＝log x2不是对数函数；②y＝log a x（a∈R）不是对数函数；③y＝log8x是对数函数；④y＝lnx是对数函数；⑤y＝log x（x+2）不是对数函数；⑥y＝2log4x不是对数函数；⑦y＝log2（x+1）不是对数函数；综上所述，对数函数有2个，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的定义，熟练掌握对数函数的定义，是解答的关键．【变式1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（）①y＝log a x2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝log x a（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）A．1B．2C．3D．4【分析】根据对数函数的定义进行判断即可．【答案】解：①y＝log a x2（a＞0，且a≠1），真数不是变量x，不是对数函数；②y＝log2x﹣1，不是对数函数；③y＝2log8x；系数不是1，不是对数函数④y＝log x a（x＞0，且x≠1），底数不是常数，不是对数函数；⑤y＝log5x，满足对数函数的定义，是对数函数；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）满足对数函数的定义，是对数函数，故是对数函数的有⑤⑥，共有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数概念的判断，根据对数函数的定义是解决本题的关键．【考点2 利用对数函数的性质比较大小】【例2】（2019秋•福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【分析】根据对数的换底公式可得出，从而可得出2＜log420＜log315，且可得出，这样即可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：，，，且log54＞log53＞0，∴，∴2＝log416＜log420＜log315，∴a＜c＜b．故选：C．【点睛】考查对数的换底公式，以及指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，不等式的性质．【变式2-1】（2019秋•天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足log a2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据条件可得出，从而得出a6＝8，b6＝9且c6＝7，a，b，c都是正数，这样即可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：∵log a2＝2，log3b＝，c6＝7，∴∴a6＝8，b6＝9，c6＝7，且a，b，c都是正数，∴c＜a＜b故选：C．【点睛】考查对数的定义，对数与指数的互化，以及指数的运算，幂函数的单调性．【变式2-2】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：∵log30.3＜log31＝0，30.3＞30＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1∴a＜c＜b．故选：B．【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．【变式2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（）A．B．C．D．【分析】容易得出，从而可得出正确的选项．【答案】解：∵log34＞log33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log0.310＜log0.31＝0，∴．故选：A．【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义．【考点3 与对数函数有关的函数图象识别】【例3】（2018秋•合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据a与b的正负，利用指数函数与对数函数的性质判断即可确定出其图象．【答案】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，∴函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是，故选：B．【点睛】此题考查了指数函数与对数函数的图象，熟练掌握指数、对数函数的图象与性质是解本题的关键．【变式3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由于当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y＝log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y＝log a x，而函数y＝log a||＝﹣log a|x|，即可得出图象．【答案】解：∵当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y＝log a|x|的图象：红颜色的图象．而函数y＝log a||＝﹣log a|x|，其图象如黑颜色的图象．故选：B．【变式3-2】（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除BC，再根据函数值域，可排除D．【答案】解：∵f（x）＝，∴函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵，∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B、C，∵当0＜x＜1时，lnx＜0，∴f（x）＝＜0，x∈（0，1）故排除D．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．【变式3-3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项【答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0），故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，解答本题关键是掌握住对数型函数的图象图象的变化规律，由这些规律得出函数y＝|lg（x+1）|的图象的特征，再由这些特征判断出函数图象应该是四个选项中的那一个【考点4 对数函数图象过定点问题】【例4】（2018秋•赣州期中）函数y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（）A．（）B．（0，﹣）C．（）D．（）【分析】根据对数函数的性质求出定点的坐标即可．【答案】解：y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）＝log a（x2﹣1），令x2﹣1＝1，解得：x＝±，而x﹣1＞0，解得：x＞1，故x＝，故函数的图象过（，0），故选：C．【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查特殊值问题，是一道基础题．【变式4-1】（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【分析】令2x+3＝1，求得x的值，从而求得P点的坐标．【答案】解：令2x+3＝1，可得x＝﹣1，此时y＝3．即函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【变式4-2】（2018秋•烟台期中）函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2）B．（2，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）【分析】根据log a1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．【答案】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣1，故y＝0+1+2＝3，故图象过（﹣1，3），故选：D．【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据log a1＝0，a0＝1是解题的关键．【变式4-3】（2019秋•赣州期末）已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【分析】令＝1，解得x＝﹣2，y＝0，进而得到f（x）＝log a的图象恒过点的坐标．【答案】解：令＝1，解得：x＝﹣2，故f（﹣2）＝log a1＝0恒成立，即f（x）＝log a的图象恒过点（﹣2，0），故选：B．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．【考点5 有关对数函数奇偶性问题】【例5】（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【分析】求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义以及复合函数的单调性判断即可．【答案】解：由得：x∈（﹣10，10），故函数f（x）的定义域为（﹣10，10），关于原点对称，又由f（﹣x）＝lg（10﹣x）+lg（10+x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，而f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x）＝lg（100﹣x2），y＝100﹣x2在（0，10）递减，y＝lgx在（0，10）递增，故函数f（x）在（0，10）递减，故选：D．【点睛】本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查转化思想，是一道基础题．【变式5-1】（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝log a（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f （x）在定义域上是（）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【分析】把（4，0）和（7，1）代入f（x）列出方程组解出a，m，根据对数函数的性质判断．【答案】解：∵f（x）的图象过点（4，0）和（7，1），∴，解得．∴f（x）＝log4（x﹣3）．∴f（x）是增函数．∵f（x）的定义域是（3，+∞），不关于原点对称．∴f（x）为非奇非偶函数．故选：A．【点睛】本题考查了对数函数的性质，属于基础题．【变式5-2】（2019秋•新宁县校级期中）对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【答案】解：由＞0，解得：﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域是（﹣1，1），关于原点对称，而f（﹣x）＝log2＝﹣log2＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，故选：A．【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．【变式5-3】（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则f（x）+g（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数【分析】首先令h（x）＝f（x）+g（x），求出h（x）的定义域，而后用函数奇偶性定义求证．【答案】解：令h（x）＝f（x）+g（x）＝ln（2x+1）+ln（1﹣2x）由得：﹣＜x＜，h（x）定义域为（﹣，），∴h（﹣x）＝ln（1﹣2x）+ln（1+2x）＝h（x），所以，h（x）为偶函数．故选：B．【点睛】本题主要考查了奇偶函数的定义域要求，以及函数奇偶性定义，属基础题．【考点6 与对数函数有关的定义域问题】【例6】（2018秋•肇庆期末）函数y＝的定义域为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪[3，+∞）【分析】根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．【答案】解：要使函数有意义则解得x＞1且x≠2∴函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞）故选：C．【点睛】本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．【变式6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（）A．B．C．D．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可．【答案】解：由题意得，，解得x＞，则函数的定义域是，故选：C．【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．【变式6-2】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到log0.5（4x﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【答案】解：要使原函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0，即0＜4x﹣3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选：B．【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．【变式6-3】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数y＝的定义域满足：，解得．故选：D．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．【考点7 与对数函数有关的值域问题】【例7】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域．【答案】解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝1时，u（x）取得最大值4，∵函数y＝log4x为（0，+∞）上的增函数，∴当u（x）取得最大值时，原函数取得最大值，即y max＝log4u（x）max＝log44＝1，因此，函数y＝log4（2x+3﹣x2）的值域为（﹣∞，1]，故填：（﹣∞，1]．【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，涉及对数函数的单调性，用到配方法和二次函数的性质，属于基础题．【变式7-1】（2019春•赣榆区校级月考）函数的值域为．【分析】先将原函数y＝log0.5（x2+x+）转化为两个基本函数令t＝x2+x+＝（x+）2+，y＝log0.5t 的，再用复合函数的单调性求解．【答案】解：令t＝x2+x+＝（x+）2+∈[，+∞]，∵函数y＝log0.5t的在定义域上是减函数，∴y∈（﹣∞，2]；故答案为（﹣∞，2]．【点睛】本题主要考查用复合函数的单调性来求函数的值域，本题关键是求出二次函数的值域，属于基础题．【变式7-2】（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5 在2≤x≤4时的值域为．【分析】利用换元法，令t＝由2≤x≤4 可得﹣1≤t≤﹣，由题意可得y＝＝（t﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，从而可求函数的值域．【答案】解：令t＝，因为2≤x≤4，所以﹣1≤t≤﹣，则y＝＝（t﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，当t＝﹣是函数有最小值，当t＝﹣1时函数有最大值8；故答案为：{y|}【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题．【变式7-3】（2019秋•松江区期末）函数的值域为．【分析】由函数的解析式可得，当x＜1时，f（x）＞；当x≥1时，f（x）≥0，综上可得f（x）的值域．【答案】解：由于函数，故当x＜1时，f（x）＝＞．当x≥1时，f（x）＝log2x≥log21＝0．综上可得，f（x）≥0，故函数的值域为[0，+∞），故答案为[0，+∞）．【点睛】本题主要考查求函数的值域，指数函数、对数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．【考点8 与对数函数有关的最值问题】【例8】（2019秋•离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为．【分析】由已知中x≥0，y≥0且x+2y＝，可得y∈[0，]，8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，结合二次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质，可得答案．【答案】解：∵x+2y＝，∴x＝﹣2y，由x≥0，y≥0，可得y∈[0，]，则8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，令t＝﹣12y2+8y+1，当y∈[0，]时，t∈[1，]，又由u＝log0.5t为减函数，故当t＝1时函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的值域和最值，其中熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．【变式8-1】（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为2，则a的值为．【分析】对a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，利用函数的单调性即可．【答案】解：若a＞1，f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上单调递增，∴f（x）max＝log a4＝2log a2，f（x）min＝log a1＝0，∵f（x）max﹣f（x）min＝2，∴2log a2﹣0＝2，∴log a2＝1，故a＝2；若0＜a＜1，f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上单调递减，同理可得a＝．故答案为：2或．【点睛】本题考查对数函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，属于中档题．【变式8-2】（2019春•天津期末）若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）＝x2﹣ax+1的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：①当a＞1时，考虑对数函数的图象与性质得到x2﹣ax+1的函数值恒为正；②当0＜a＜1时，△＝a2﹣4＜0恒成立，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值．最后取这两种情形的并集即可．【答案】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，y＝log a x在R+上单调递增，∴要使y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，∴△＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．【点睛】本题考查对数函数的值域最值，着重考查复合函数的单调性，突出分类讨论与转化思想的考查，是中档题．【变式8-3】（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，函数y＝[f（x）]2+f（x2）的最大值为．【分析】根据f（x）的定义域为[1，9]先求出y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数g（x）＝[f（x）]2+f（x2）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3的最大值．【答案】解：由f（x）的定义域为[1，9]可得y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，又g（x）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3，∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．∴当x＝3时，g（x）有最大值13．故答案为：13【点睛】根据f（x）的定义域，先求出g（x）的定义域是正确解题的关键步骤，属于易错题．【考点9 与对数函数的单调性有关的问题】【例9】（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【分析】（1）由题意可得，从而求定义域；（2）可判断函数f（x）是奇函数，再证明如下；（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得f（x）为增函数，从而求最值．【答案】解：（1）由题意知，；解得，﹣3＜x＜3；故函数f（x）的定义域为（﹣3，3）；（2）函数f（x）是奇函数，证明如下，函数f（x）的定义域（﹣3，3）关于原点对称；则f（﹣x）＝log a（﹣x+3）﹣log a（3+x）＝﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x）为增函数，则函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f max（x）＝f（1）＝log a2．【点睛】本题考查了函数的定义域，奇偶性，单调性，最值的判断与应用，属于基础题．【变式9-1】（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的特性，可得f（0）＝0，再由f（﹣x）＝﹣f（x），m≠﹣1，可得实数m的值；（2）结合对数函数的图象和性质，及复合函数同增异减的原则，可得函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性；（3）由f（）＞0，可得函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，结合函数的定义域和奇偶性，解不等式，可得实数b的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）＝0，且f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，即+＝＝log a1＝0，故m2＝1，又∵m≠﹣1，故m＝1，（2）由（1）得f（x）＝＝，令t＝，则t在区间（﹣1，1）上单调递减，当0＜a＜1时，y＝log a t为减函数，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增；当a＞1时，y＝log a t为增函数，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递减；（3）若f（）＝＞0，则0＜a＜1，由（1）得，函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，若f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，则f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），则f（b﹣2）＞f（2﹣2b），则﹣1＜2﹣2b＜b﹣2＜1，解得：b∈（，）【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，难度不大，属于基础题．【变式9-2】（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．（1）求函数的定义域．（2）讨论函数f（x）的奇偶性．（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．【分析】（1）解不等式得出x的范围，从而得出函数f（x）的定义域；（2）将﹣x代入函数f（x）的解析式，利用对数的运算性质得到f（﹣x）＝﹣f（x），从而得出答案；（3）在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，作差f（x1）﹣f（x2），通过对数的运算性质以及对数函数的单调性得出差值f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得出函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，再利用同样的方法可得出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性．【答案】解：（1），零和负数无对数，，可得x＜﹣1或x＞1，则定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（2）函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，＝，因此，函数f（x）为奇函数；（3）函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上都是减函数，下面利用定义来证明．先利用定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．任取x1＞x2＞1，则＝＝，∵x1＞x2＞1，则x1x2+x2﹣x1﹣1＜x1x2+x1﹣x2﹣1，此时，g a1＝0，即f（x1）＜f（x2），所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，同理可证函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上也为减函数．【点睛】本题考察函数的定义域的求解，考察对数型函数的奇偶性与单调性的定义，关键在于利用定义来判断函数的基本性质，以及熟悉定义法判断函数基本性质的基本步骤，属于中等题．【变式9-3】（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，必须满足，解得：﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣1，1），综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣1，1）．f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）＝log3（）．f（﹣x）＝log3＝﹣log3．∴f（x）为奇函数．（2）函数f（x）＝log3（），在区间（﹣1，1）上任取两个不同的自变量x1，x2，且设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log3，又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，∴log3＜0，即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），又∵f（x）在定义域上单调递增，∴1﹣x＞x2﹣1，x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，而，解得：0＜x＜，综上：0＜x＜1．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。

对数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.2．过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.3．情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1、重点：（1）对数函数的定义、图象和性质；（2）对数函数性质的初步应用.2、难点：底数a对图象的影响.（三）教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.（四）教学过程组织学生充分讨论、交流，使≠1．．师：用多媒体演示函数图象，对数函数图象有以下特征相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）.不同点：y=log3x的图象是上升的，y=log x的图象是下降的备选例题例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域.【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x . ∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.例2 求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象. 【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }. 函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x x x ，其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.对数函数及其性质（二）（一）教学目标 1．知识技能（1）掌握对数函数的单调性.x（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.2．过程与方法（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.（2）培养学生的数学应用的意识.3．情感、态度与价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（二）教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.2、难点：不同底数的对数比较大小.（三）教学方法启发式教学利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分1a>和a<<两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含有01字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.（四）教学过程备选例题例1 比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3和log0.71.8；（2）log35和log64.（3）(lg n)1.7和(lg n)2 (n＞1)；【解析】（1）对数函数y= log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64.（3）把lg n看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n讨论.若1＞ln n＞0，即1＜n＜10时，y = (lg n)x在R上是减函数，所以(lg n)1.7＞(lg n)2；若lg n＞1，即n＞10时，y = (lg n)2在R上是增函数，所以(lg n)1.7＜(lg n)2.若ln n = 1，即n = 10时，(ln n)1.7 = (ln n)2.【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较.在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a ＞1时是增函数，0＜a ＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.例2 求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 【分析】根据函数单调性定义来证明. 【解析】设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x xx x --- 21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1， ∴12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --⋅＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数.对数函数及其性质（三）（一）教学目标 1．知识与技能（1）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.（2）能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质. 2．过程与方法（1）熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习. （2）综合提高指数、对数的演算能力.（3）渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.3.情感、态度、价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（3）加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力.（二）教学重点、难点重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.难点：反函数概念的理解.（三）教学方法通过对应关系与图象的对称性，理解同底的对数函数与指数函数互为反函数.（四）教学过程设计课堂练习答案备选例题例1 函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求a 的值. 【解析】根据反函数的概念，知函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（4，1），∴1log 3a =， ∴3a =.【小结】若函数()y f x =的图象经过点(,)a b ，则其反函数的图象经过点(,)b a .例2 求函数y = log 4 (7 + 6 x – x 2)的单调区间和值域.【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.【解析】由7 + 6 x – x 2＞0，得(x – 7) (x + 1)＜0，解得–1＜x ＜7. ∴函数的定义域为{x |–1＜x ＜7}.设g (x ) = 7 + 6x – x 2 = – (x – 3)2 + 16. 可知，x ＜3时g (x )为增函数，x ＞3时，g (x )为减函数.因此，若–1＜x 1＜x 2＜3. 则g (x 1)＜g (x 2) 即7 + 6x 1 – x 12＜7 + 6x 2 – x 22， 而y = log 4x 为增函数.∴log(7 + 6 x1–x12)＜log4 (7 + 6x2–x22)，4即y1＜y2.故函数y = log4 (7 + 6x–x2)的单调增区间为(–1, 3)，同理可知函数y = log4 (7 + 6x–x2)的单调减区间为(3, 7).又g (x) = – (x– 3)2 + 16在(–1, 7)上的值域为(0, 16].所以函数y = log4(7 + 6x–x2)的值域为(–∞, 2].【小结】我们应明白函数的单调区间必须使函数有意义. 因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间. 求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一.。

对数函数一．教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉2log xy =的图象,②了解对数函数的反函数. 2．过程与方法让学生通过类比思想由指数函数的概念得出对数函数的概念 3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数2log xy =的图象,2、难点：用对称性画2log xy =的图象,.四．教学过程 1．设置情境在科学上，考古学家利用logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log xa y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x =关于的函数．2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为ya x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．3、研究对数函数的反函数提问：指数函数y=a x(a>0且≠1)和对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)有什么关系? 答：指数函数y=a x和对数函数y=log a x 刻画的是同一对变量 x, y 之间的关系， 但是，在指数函数y=a x中,x 是自变量, y 是x 的函数, 其定义域是R,值域是 (0,+ ∞)；在对数函数x=log a y 中, y 是自变量, x 是y 的函数,其定义域是 (0,+ ∞),值域是R 。