高二数学变量之间的相关关系1

第 1 页 共 9 页 高二选择性必修二数学知识点

(实用版)

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第 1 页 共 2 页 高中数学知识点：变量之间的相关关系

变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。

1．函数关系

函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它相对应。

2．相关关系

变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性

相关关系分为两种:

正相关和负相关

要点诠释：

对相关关系的理解应当注意以下几点：

（1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.

（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.

（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下 第 2 页 共 2 页 可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计.

3．散点图

将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。

1 / 21 备战高考数学复习考点知识与题型讲解

第85讲 变量间的相关关系及回归模型

考向预测 核心素养

两个变量线性相关的判断及应用，经验回归方程的求法及应用是高考考查的热点，各种题型均会出现. 数据分析、数学运算

一、知识梳理

1．变量的相关关系

(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．

(2)散点图

每一个成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图．我们把这样的统计图叫做散点图．

(3)相关关系的分类：正相关和负相关．

(4)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关．

2．样本相关系数

(1)r＝∑ni＝1 （xi－x）（yi－y）∑ni＝1

（xi－x）2∑ni＝1 （yi－x）2.

(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．

(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．

3．一元线性回归模型参数的最小二乘估计

(1)我们将y^＝b^x＋a^称为Y关于x的经验回归方程， 2 / 21 其中b^＝∑ni＝1

（xi－x）（yi－y）∑ni＝1 （xi－x）2，a^＝y－b^x.

(2)残差分析

①对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y^称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．

②残差的散点图

比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则满足一元线性回归模型对随机误差的假设．

在R2表达式中，i＝1 n （yi－y）2与经验回归方程无关，残差平方和i＝1n (yi－y^i)2与经验回归方程有关．因此R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．

课题：§2.3.1变量之间的相关关系

一．教学任务分析:

（1）通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.

(2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断.

(3) 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用.

二．教学重点与难点：

教学重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系.

教学难点：理解变量间的相关关系.

三．教学基本流程:

通过具体实例说明变量之间的相关关系

↓

利用散点图认识变量间的相关性

↓

对现实问题中两个有关联变量的相关性作出判断

↓

巩固练习，小结、作业

四.教学情境设计:

1．创设情景，揭示课题

客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度,所以说，函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.

生活中存在着许多相关关系的问题:

问题1：商品销售收入与广告支出之间的关系.

问题2:粮食产量和施肥量之间的关系.

问题3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.

由上述问题我们知道,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系.

2.两个变量的线性相关

问题4: 在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: