第三节 变量间的相关关系
预习设计 基础备考
知识梳理
1．两个变量的线性相关
(1)正相关：
在散点图中，点散布在从到 的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关：
在散点图中，点散布在从 到 的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在 就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程
(1)最小二乘法：
求回归直线使得样本数据的点到它的 的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程：
方程axbyˆˆ是两个具有线性相关关系的变量的一组数据),(,),,(),,(2211nnyxyxyx的回归方程，其中:ˆ,ˆba是待定参数．
xbyaiyxnyxiniiinibxnxxxyyxxniiininˆˆ22211ˆ111)())((
典题热身
1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是 ( )
A．参加60年国庆阅兵的人数与观看第十一届全运会开幕布式的人数
B．正方体的体积与棱长
C．人体内的脂肪含量与年龄
D．汶川大地震的经济损失与全球性金融危机的经济损失
答案：C
2．（2011．陕西高考）设),(,),,(),,(2211nnyxyxyx是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是 ( )
A．直线l过点),(yx
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在O到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
答案：A
3．设有一个回归直线方程为,5.12ˆxy则变量x增加一个单位 ( )
课题：变量间的相关关系
教学目的：1、了解变量间的相关关系，能利用散点图直观认识变量间的相关关系，并能初步判定这种相关关系。
2、经历描述两个变量线性相关关系的过程。了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
3、体会研究相关性问题在现实生活中的重要性,学会用数量来描述现实关系，体会统计思想与确定性思维的差异。
教学重点：（1）利用散点图直观认识两个变量之间的相关关系。
（2）了解最小二乘法的思想
（3）能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
教学难点：建立回归思想，理解回归直线与观测数据的关系。
教学方法：启发式教学，讲练结合
教学用具：多媒体
教学过程：
一、引入课题：男生身高与体重
二、讲授新课：
（一）：变量之间的相关关系
1、相关关系含义：
2、阅读课本p84回答问题：
（1）相关关系与函数关系的异同：
相同点：
不同点：
（2）请举出生活中具有相关关系的两个变量的例子。
练习1、
练习2、
（二）：散点图
探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：（见课本）
思考：人的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？
类比函数，可用图像给我们直观感觉。
以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，在直角坐标系中描出样本数据对应的图形
1、学生画出图形——散点图——观察点散布的位置。
2、正相关：根据样本数据所作得散点图中，若点散布在从左下角到右上角的区域。对于两个变量的这种相关关系，我们称之为正相关。
负相关：根据样本数据所作得散点图中，若点散布在从左上角到右下角的区域。对于两个变量的这种相关关系，我们称之为负相关。
练习3、
（三）：两个变量的线性相关
1、阅读课本：p87第一段完成下面问题
（1）上面所作的图叫做散点图，从散点图中，我们得到的结论是：（散点图中的点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近）
第 1 页 共 2 页 高中数学知识点：变量之间的相关关系
变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。
1．函数关系
函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它相对应。
2．相关关系
变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性
相关关系分为两种:
正相关和负相关
要点诠释：
对相关关系的理解应当注意以下几点：
（1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.
（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.
（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下 第 2 页 共 2 页 可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计.
3．散点图
将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。
变量间的相关关系
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：abxy（最小二乘法）
1221niiiniixynxybxnxaybx 注意：线性回归直线经过定点),(yx。
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()())((
注：⑴r>0时，变量yx,正相关；r <0时，变量yx,负相关；
⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存有线性相关关系。
例：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相对应的生产
能耗y（吨）标准煤的几组对照数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程yˆ=bˆx+aˆ；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
练习题：
1、线性回归方程ˆybxa表示的直线必经过的一个定点是_________ 2、对于给定的两个变量的统计数据，下列说法准确的是 .
①都能够分析出两个变量的关系
②都能够用一条直线近似地表示两者的关系
③都能够作出散点图
④都能够用确定的表达式表示两者的关系
3、下列关系中，是相关关系的为 （填序号）.
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.
4、观察下列散点图，则①正相关；②负相关；
