第三节 变量间的相关关系
预习设计 基础备考
知识梳理
1．两个变量的线性相关
(1)正相关：
在散点图中，点散布在从到 的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关：
在散点图中，点散布在从 到 的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在 就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程
(1)最小二乘法：
求回归直线使得样本数据的点到它的 的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程：
方程axbyˆˆ是两个具有线性相关关系的变量的一组数据),(,),,(),,(2211nnyxyxyx的回归方程，其中:ˆ,ˆba是待定参数．
xbyaiyxnyxiniiinibxnxxxyyxxniiininˆˆ22211ˆ111)())((
典题热身
1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是 ( )
A．参加60年国庆阅兵的人数与观看第十一届全运会开幕布式的人数
B．正方体的体积与棱长
C．人体内的脂肪含量与年龄
D．汶川大地震的经济损失与全球性金融危机的经济损失
答案：C
2．（2011．陕西高考）设),(,),,(),,(2211nnyxyxyx是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是 ( )
A．直线l过点),(yx
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在O到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
答案：A
3．设有一个回归直线方程为,5.12ˆxy则变量x增加一个单位 ( )
课题：变量间的相关关系
教学目的：1、了解变量间的相关关系，能利用散点图直观认识变量间的相关关系，并能初步判定这种相关关系。
2、经历描述两个变量线性相关关系的过程。了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
3、体会研究相关性问题在现实生活中的重要性,学会用数量来描述现实关系，体会统计思想与确定性思维的差异。
教学重点：（1）利用散点图直观认识两个变量之间的相关关系。
（2）了解最小二乘法的思想
（3）能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
教学难点：建立回归思想，理解回归直线与观测数据的关系。
教学方法：启发式教学，讲练结合
教学用具：多媒体
教学过程：
一、引入课题：男生身高与体重
二、讲授新课：
（一）：变量之间的相关关系
1、相关关系含义：
2、阅读课本p84回答问题：
（1）相关关系与函数关系的异同：
相同点：
不同点：
（2）请举出生活中具有相关关系的两个变量的例子。
练习1、
练习2、
（二）：散点图
探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：（见课本）
思考：人的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？
类比函数，可用图像给我们直观感觉。
以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，在直角坐标系中描出样本数据对应的图形
1、学生画出图形——散点图——观察点散布的位置。
2、正相关：根据样本数据所作得散点图中，若点散布在从左下角到右上角的区域。对于两个变量的这种相关关系，我们称之为正相关。
负相关：根据样本数据所作得散点图中，若点散布在从左上角到右下角的区域。对于两个变量的这种相关关系，我们称之为负相关。
练习3、
（三）：两个变量的线性相关
1、阅读课本：p87第一段完成下面问题
（1）上面所作的图叫做散点图，从散点图中，我们得到的结论是：（散点图中的点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近）
变量之间的相关关系
导入案例：
2012年奥斯卡颁奖典礼中，每30秒广告定价为170万美元，相当于每秒5.67万美元，折合成人民币约每秒35.7万元。但是比起春晚广告却很便宜，以2011年春晚为例，“零点报时”的价格达到创纪录的每秒500万元天价，比奥斯卡的广告价格高了17倍。
广告投入与产品销售之间的关系世人皆知。然而“广告投入越多，产品销售越好”共性下，不同行业不同产品的“广告投入有效率”却各有差异。
广告每多投入一元将拉动销售增长多少？
现象相互之间的密切关系怎样衡量？
现象间的数量关系如何表达？
这就需要引入新的统计工具——相关于回归分析。
1、 相关关系的概念
相关关系(Correlation)是指现象间的非确定性的数量上的依存关系。它有两个特点：一是现象上确实存在数量上的依存关系；而是数量依存关系的值是不确定的。
例如人的身高和体重之间确实存在着“身高越高，体重越大”的数量关系，但是，身高和体重却不是一一对应的。身高170cm的人，相应的体重并不完全一样；同样，体重65kg的人，会对应着不同的身高。相关关系这种特点，决定了它与函数关系的区别。
函数关系是指现象间存在确定性的数量依存关系，例如给定一个圆的半径，它的面积便可唯一确定，面积是半径的函数。
函数关系与相关关系既有区别又有联系，可相互转化，一般来说在社会经济等领域中的函数关系反映了现象之间的理想状态，而相关关系则反映了现象之间的现实状态。相关关系是相关分析的研究对象，函数关系是相关分析的工具。
2、 相关关系的种类
按变量多少区分：单相关(两个变量之间，只涉及一个自变量和一个因变量，例如只研究收入与消费水平的关系)和复相关(三个或三个以上的相关关系，例如冰激凌的销售量与价格、气温、消费者收入和消费者年龄构成等之间的相关关系)。
按相关表现形式区分：线性相关和非线性相关。
按直线相关方向：正相关和负相关。
按相关程度：完全相关（函数关系）、不相关（变量之间相互独立，如成绩与身高）和不完全相关（介于前两者之间，如女性的结婚年龄与受教育程度）。
第 1 页 共 2 页 高中数学知识点：变量之间的相关关系
变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。
1．函数关系
函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它相对应。
2．相关关系
变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性
相关关系分为两种:
正相关和负相关
要点诠释：
对相关关系的理解应当注意以下几点：
（1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.
（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.
（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下 第 2 页 共 2 页 可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计.
3．散点图
将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。
