变量之间的关系（带答案）
变量之间的关系、表达⽅法复习
知识要点
表⽰变量的三种⽅法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、⾃变量、因变量(1) 在⼀变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。
(2) 在⼀变化的过程中，主动发⽣变化的量，称为⾃变量，⽽因变量是随着⾃变量的变化⽽发⽣变化的量。例如⼩明出去旅⾏，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V⼀定，路程S则随着时间T的变化⽽变化。则T为⾃变量，路程为因变量。
◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表⽰变量之间关系的⽅法之⼀，可表⽰因变量随⾃变量的变化⽽变化的情况。
(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是⾃变量，谁是因变量。找⾃变量和因变量时，主动发⽣变化的是⾃变量，因变量随⾃变量的增⼤⽽增⼤或减⼩◆要点3 ⽤关系式表⽰变量之间的关系(1) ⽤来表⽰⾃变量与因变量之间关系的数学式⼦，叫做关系式，是表⽰变量之间关系的⽅法之⼀。
(2) 写变化式⼦，实际上根据题意，找到等量关系，列⽅程，但关系式的写法⼜不同于⽅程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是⽤含⾃变量的代数式表⽰因变量。(3) 利⽤关系式求因变量的值，①已知⾃变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每⼀个确定的⾃变量的值，因变量都有⼀个确定的与之对应的值。◆要点4 ⽤图象法表⽰变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的⼜⼀重要⽅式，特点是⾮常直观。
(2) 通常⽤横轴（⽔平⽅向的数轴）上的点表⽰⾃变量，⽤纵轴（竖直⽅向的数轴）上的点表⽰因变量。
(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利⽤图象求两个变量的对
应值，由图象得关系式，进⾏简单计算，从图象上变
量的变化规律进⾏预测，判断所給图象是否满⾜实际
情景，所给变量之间的关系等。(4) 对⽐看：速度—时间、路程—时间两图象
第三节 变量间的相关关系
预习设计 基础备考
知识梳理
1．两个变量的线性相关
(1)正相关：
在散点图中，点散布在从到 的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关：
在散点图中，点散布在从 到 的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在 就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程
(1)最小二乘法：
求回归直线使得样本数据的点到它的 的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程：
方程axbyˆˆ是两个具有线性相关关系的变量的一组数据),(,),,(),,(2211nnyxyxyx的回归方程，其中:ˆ,ˆba是待定参数．
xbyaiyxnyxiniiinibxnxxxyyxxniiininˆˆ22211ˆ111)())((
典题热身
1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是 ( )
A．参加60年国庆阅兵的人数与观看第十一届全运会开幕布式的人数
B．正方体的体积与棱长
C．人体内的脂肪含量与年龄
D．汶川大地震的经济损失与全球性金融危机的经济损失
答案：C
2．（2011．陕西高考）设),(,),,(),,(2211nnyxyxyx是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是 ( )
A．直线l过点),(yx
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在O到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
答案：A
3．设有一个回归直线方程为,5.12ˆxy则变量x增加一个单位 ( )
1 2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系
2.3.2 两个变量的线性相关
1．理解两个变量的相关关系的概念．(难点)
2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点)
3．会求回归直线方程．(重点)
4．相关关系与函数关系．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 变量之间的相关关系
阅读教材P84～P86的内容，完成下列问题．
1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．
2．散点图：将样本中几个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．
3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．
4．相关关系与函数关系的辨析 2 相关关系与函数关系均是指两个变量间的关系，它们的不同点如下：
(1)函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系，即不能用一个函数关系式来严格地表示变量之间的关系．
(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，脚的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会更多的新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿童长大一些以后，他们的阅读能力会提高，而且脚也会变大．
如图2-3-1所示的两个变量不具有相关关系的有________．
图2-3-1
【解析】 ①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
【答案】 ①④
教材整理2 回归直线方程
阅读教材P87～P89的内容，完成下列问题．
1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
1 2.3 变量间的相关关系
一、学习目标：1.理解两个变量的相关关系的概念
2.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观判断两个变量之间是否具有相关关系；
3. 知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
二、学习重点、难点：
1重点：作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
2.难点：对最小二乘法的理解。
三、学习方法：探究、合作、交流
四、学习过程：
〖创设情境〗
1、函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一
定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系
2、在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问
题。”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成
绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？
3、“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的
教学水平之间的关系是函数关系吗？
（一）．相关关系
(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的________性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．
(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．
[归纳总结] 两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．
