(完整版)导数常见题型与解题方法总结

(完整版)导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结

1、分离变量—————用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0)

2、变更主元-—-——已知谁的范围就把谁作为主元

3、根分布 4、判别式法--——-结合图像分析

5、二次函数区间最值求法—--—-(1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

（2）端点处和顶点是最值所在

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立

此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('xf得到两个根；

第二步：画两图或列表;

第三步:由图表可知；

第三种:变更主元（即关于某字母的一次函数）———-—（已知谁的范围就把谁作为主元)。

例1：设函数()yfx在区间D上的导数为()fx,()fx在区间D上的导数为()gx,若在区间D上，()0gx恒成立，则称函数()yfx在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数，4323()1262xmxxfx

（1）若()yfx在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；

(2）若对满足2m的任何一个实数m，函数()fx在区间,ab上都为“凸函数"，求ba的最大值.

解：由函数4323()1262xmxxfx 得32()332xmxfxx

2()3gxxmx

(1） ()yfx在区间0,3上为“凸函数”，

则 2()30gxxmx 在区间［0,3］上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手:等价于max()0gx

(0)0302(3)09330gmgm

解法二:分离变量法： (完整版)导数常见题型与解题方法总结

∵ 当0x时, 2()330gxxmx恒成立,

当03x时, 2()30gxxmx恒成立

等价于233xmxxx的最大值（03x）恒成立，

而3()hxxx（03x)是增函数，则max()(3)2hxh

2m

（2)∵当2m时()fx在区间,ab上都为“凸函数"

则等价于当2m时2()30gxxmx 恒成立

变更主元法

再等价于2()30Fmmxx在2m恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

22(2)023011(2)0230FxxxFxx

2ba

例2：设函数),10(3231)(223Rbabxaaxxxf

（Ⅰ）求函数f（x)的单调区间和极值;

（Ⅱ）若对任意的],2,1[aax不等式()fxa恒成立，求a的取值范围。

解：(Ⅰ)22()433fxxaxaxaxa

01a

令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a，3a)

令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为(－，a）和（3a，+）

∴当x=a时，)(xf极小值=;433ba 当x=3a时，)(xf极大值=b。

（Ⅱ）由|)(xf|≤a，得：对任意的],2,1[aax2243axaxaa恒成立① -2 2

3a a ()fx

a 3a (完整版)导数常见题型与解题方法总结

则等价于()gx这个二次函数maxmin()()gxagxa 22()43gxxaxa的对称轴2xa 01,a

12aaaa(放缩法）

即定义域在对称轴的右边，()gx这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。

22()43[1,2]gxxaxaaa在上是增函数。 （9maxmin()(2)21.()(1)44.gxgaagxgaa ∴于是，对任意]2,1[aax,不等式①恒成立，等价于

(2)44,41.(1)215gaaaagaaa解得

又,10a∴.154a

点评：重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间）与定义域的关系

例3：已知函数32()fxxax图象上一点(1,)Pb处的切线斜率为3,

326()(1)3(0)2tgxxxtxt

（Ⅰ）求,ab的值;

（Ⅱ）当[1,4]x时，求()fx的值域;

（Ⅲ）当[1,4]x时，不等式()()fxgx恒成立，求实数t的取值范围.

解：（Ⅰ）/2()32fxxax∴/(1)31fba, 解得32ab

(Ⅱ）由（Ⅰ）知,()fx在[1,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递减

又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff

∴()fx的值域是[4,16]

(Ⅲ)令2()()()(1)3[1,4]2thxfxgxxtxx

思路1：要使()()fxgx恒成立，只需()0hx，即2(2)26txxx分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、参数问题

1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 2xa 1,2aa (完整版)导数常见题型与解题方法总结

解法1：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立, 回归基础题型

解法2：利用子区间(即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m , n）上是减函数”与“函数的单调减区间是(a ， b）"，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4:已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23．

（Ⅰ)如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围．

解：)14()1(41)(2axaxxf.

（Ⅰ)∵ ()fx是偶函数，∴ 1a. 此时xxxf3121)(3，341)(2xxf，

令0)(xf，解得：32x.

列表如下：

x (－∞，－23） －23 (－23,23)

23 (23,+∞）

)(xf + 0 － 0 +

)(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增

可知：()fx的极大值为34)32(f， ()fx的极小值为34)32(f。

（Ⅱ）∵函数)(xf是),(上的单调函数,

∴21()(1)(41)04fxxaxa，在给定区间R上恒成立判别式法

则221(1)4(41)204aaaa， 解得:02a。

综上，a的取值范围是}20{aa.

例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa

（I）求()fx的单调区间；

（II）若()fx在［0,1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

解：(I)2()(2)1(1)(1).fxxaxaxxa (完整版)导数常见题型与解题方法总结

1、20,()(1)0,afxx当时恒成立

当且仅当1x时取“=”号,()(,)fx在单调递增.

2、12120,()0,1,1,,afxxxaxx当时由得且

单调增区间：(,1),(1,)a

单调增区间:(1,1)a

（II)当()[0,1],fx在上单调递增 则0,1是上述增区间的子集：

1、0a时，()(,)fx在单调递增 符合题意

2、0,11,a，10a 1a

综上,a的取值范围是[0,1］。

2、题型二：根的个数问题

题1 函数f(x)与g（x)（或与x轴）的交点，即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式)和“趋势图"即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减"；

第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组)；主要看极大值和极小值与0的关系;

第三步：解不等式（组）即可。

例6、已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数．

（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围．

解：（1）由题意xkxxf)1()(2 ∵)(xf在区间),2(上为增函数，

∴0)1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立（分离变量法）

即xk1恒成立，又2x，∴21k，故1k∴k的取值范围为1k

（2）设312)1(3)()()(23kxxkxxgxfxh，

)1)(()1()(2xkxkxkxxh

令0)(xh得kx或1x由(1）知1k， a-1 -1 ()fx (完整版)导数常见题型与解题方法总结

①当1k时，0)1()(2xxh，)(xh在R上递增，显然不合题意…

②当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表：

x

),(k k )1,(k 1 ),1(

)(xh  0 — 0 

)(xh ↗ 极大值312623kk ↘ 极小值

21k ↗

由于021k,欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点,即方程0)(xh有三个不同的实根,故需0312623kk，即0)22)(1(2kkk ∴02212kkk,解得31k

综上,所求k的取值范围为31k

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数321()22fxaxxxc

（1）若1x是()fx的极值点且()fx的图像过原点，求()fx的极值；

（2）若21()2gxbxxd，在（1)的条件下,是否存在实数b,使得函数()gx的图像与函数()fx的图像恒有含1x的三个不同交点?若存在,求出实数b的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网解:(1)∵()fx的图像过原点，则(0)00fc 2()32fxaxx，

又∵1x是()fx的极值点，则(1)31201faa