导数知识点各种题型归纳方法总结
- 格式：docx
- 大小：42.22 KB
- 文档页数：21
导数知识点各种题型归纳方法总结
导数知识点和题型总结
一、导数的定义：
1.函数y=f(x)在x=x处的导数为f'(x)=y'|x=x=lim(Δy/Δx)，其中Δy=f(x+Δx)-f(x)。
2.求导数的步骤：
① 求函数的增量：Δy=f(x+Δx)-f(x)；
② 求平均变化率：Δy/Δx；
③ 取极限得导数：f'(x)=lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.
二、导数的运算：
1.基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
① C'=0（C为常数）；
② (xn)'=nxn-1；
③ (1/x)'=-1/x^2；
④ (ex)'=ex；
⑤ (sinx)'=cosx；
⑥ (cosx)'=-sinx；
⑦ (ax)'=axlna（a>0，且a≠1）；
⑧ (lnx)'=1/x；
⑨ (loga x)'=1/(xlna)（a>0，且a≠1）。
2.导数的运算法则：
法则1：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)（和与差的导数等于导数的和与差）；
法则2：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（前导后不导相乘+后导前不导相乘）；
法则3：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号）。
3.复合函数y=f(g(x))的导数求法：
① 换元，令u=g(x)，则y=f(u)；
② 分别求导再相乘，y'=g'(x)·f'(u)；
③ 回代u=g(x)。
题型：
1.已知f(x)=1/x，则lim(Δy/Δx)，其中Δx→0，且x=2+Δx，f(2)=1/2.
答案：C。
2.设f'(3)=4，则lim(f(3-h)-f(3))/h，其中h→0.
答案：A。
3.设f(x)在x可导，且f(x+Δx)-f(x-3Δx)可导，则lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.
答案：3f'(x)。
D.4f'(x)
题型二：导数运算
1.已知$f(x)=x^2+2x-\sin(\pi)$，则$f'(x)=2x+2-\pi\cos(\pi)$。
2.若$f(x)=e^x\sin(x)$，则$f'(x)=e^x(\sin(x)+\cos(x))$。
3.设$f(x)=ax^3+3x^2+2$，且$f'(-1)=4$，则$a=19/3$。
三．导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻$t$时的瞬时速度$V$就是物体运动规律$S=f(t)$在$t=t$时的导数$f'(t)$，即有$V=f'(t)$。
2.$V=s/(t)$表示即时速度。$a=v/(t)$表示加速度。（了解）
四．导数的几何意义：
函数$f(x)$在$x$处导数的几何意义，曲线$y=f(x)$在点$P(x,f(x))$处切线的斜率是$k=f'(x)$。于是相应的切线方程是：$y-f(x)=f'(x)(x-x)$。
题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
1）曲线$y=f(x)$在点$P(x,f(x))$处切线：性质：$k=\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=x}=f'(x)$。相应的切线方程是：$y-f(x)=f'(x)(x-x)$。
2）曲线$y=f(x)$过点$P(x,y)$处切线：先设切点，切点为$Q(a,b)$，则斜率$k=f'(a)$，切点$Q(a,b)$在曲线$y=f(x)$上，切点$Q(a,b)$在切线$y-f(y)=f'(a)(x-a)$上，切点$Q(a,b)$坐标代入方程得关于$a,b$的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率$k=f'(a)$，确定切线方程。注意：若函数$f(x)$在$(a,c)$上为减函数，在$(c,b)$上为增函数，则$x=c$两侧使函数$f'(x)$变号，即$x=c$为函数的一个极值点，所以$f'(c)=0$。 例题：若函数$f(x)=\ln(x)$，若$a=f(3),b=f(4),c=f(5)$，则$(a,b,c)$的大小关系为$c 五．函数的单调性：设函数$y=f(x)$在某个区间可导。 1）$f'(x)>0$ $\Rightarrow$ $f(x)$该区间为增函数； 2）$f'(x)<0$ $\Rightarrow$ $f(x)$该区间为减函数； 注意：当f'(x)在某个区间个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，f(x)在这个区间上仍是递增（或递减）的。 如果在某个区间上，函数f(x)的导数f'(x)在个别点处为零，在其他点处为正（或负），那么函数f(x)在这个区间上仍然是递增（或递减）的。 当f(x)在该区间单调递增时，可以得出结论：f'(x)大于等于零在该区间恒成立；当f(x)在该区间单调递减时，可以得出结论：f'(x)小于等于零在该区间恒成立。 利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性的步骤如下：（1）求导数y' = f'(x)；(2)判断导函数y' = f'(x)在区间上的符号；(3)根据符号下结论，如果f'(x)大于零，则函数f(x)在该区间上单调递增；如果f'(x)小于零，则函数f(x)在该区间上单调递减。 利用导数求函数y = f(x)的单调区间的步骤如下：（1）分析函数y = f(x)的定义域；（2）求导数y' = f'(x)；（3）解不等式f'(x)大于零，解集在定义域的部分为增区间；（4）解不等式f'(x)小于零，解集在定义域的部分为减区间。 利用单调性求参数的取值的思路可以有两种：一种是根据函数在某区间上单调递增或递减的结论，推导出参数的取值范围，使得结论恒成立；另一种是先求出函数在定义域上的单调增或减区间，再根据已知条件中限定的单调增或减区间，推导出参数的取值范围。 函数的极值与其导数的关系如下：①极值的定义：如果函数f(x)在点x附近有定义，且对于x附近的所有点都有f(x)小于f(x)（或f(x)大于f(x)），则称f(x)为函数的一个极大（或极小）值，x为极大（或极小）值点；②可导函数f(x)在极值点，但函数f(x)在某点x处的导数为零，并不一定在该处取得极值；③求极值的步骤：第一步是求导数f'(x)；第二步是求方程f'(x)等于零的所有实根；第三步是在每个根x附近，从左到右，考察导数f'(x)的符号如何变化，如果f'(x)的符号由正变负，则f(x)是极大值；如果f'(x)的符号由负变正，则f(x)是极小值；如果f'(x)的符号不变，则f(x)不是极值，x不是极值点。④函数的最值：如果函数在定义域D上存在x使得对于任意的x属于D，都有f(x)小于等于f(x)（或f(x)大于等于f(x)），则称f(x)为函数的最大（小）值，记作ymax = f(x)（或ymin = f(x)）。 请同学们高度重视导数各种题型方法的总结。对于二次函数的不等式恒成立问题，可以采用分离变量、变更主元、根分布和判别式法等解法。对于二次函数区间最值求法，需要重视对称轴与定义域的关系、以及端点处和顶点是最值所在的问题。在解决函数的单调区间、极值、最值和不等式恒成立问题时，需要充分应用数形结合思想，创建不等关系求出取值围。在看例题时，需要注意寻找关键的等价变形和回归的基础。 对于函数$f(x)=\frac{x^4-mx^3-3x^2}{3x-3}$，求$b-a$的最大值，其中$m\leq 2$时，$f(x)$在区间$(a,b)$上都为凸函数。 首先，求$f(x)$的导数$g(x)$，有$g(x)=x^2-mx-3$。由于$f(x)$在区间$(a,b)$上都为凸函数，等价于$g(x)$在区间$(a,b)$上恒小于0.因此，我们可以采用二次函数区间最值求法，求出$g(x)$的最大值。由于$g(x)$是一个二次函数，其最大值出现在顶点处，即$x=\frac{m}{2}$。因此，$g(x)$的最大值为$\frac{m^2}{4}-3$。由于$m\leq 2$，所以$\frac{m^2}{4}-3\leq -\frac{1}{2}$。因此，$b-a$的最大值为2. 第一种方法是分离变量求最值，但需要特别注意是否需要分类讨论，例如>0，=0，g(x)恒成立的形式，再转化为第一、二种题型进行求解。 已知函数$f(x)=x^3+ax^2$图象上一点P(1,b)处的切线斜率为$-3$，$g(x)=x^3+\frac{t-6}{2}x^2-(t+1)x+3(t>0)$ Ⅰ）求$a,b$的值； Ⅱ）当$x\in[-1,4]$时，求$f(x)$的值域； Ⅲ）当$x\in[1,4]$时，不等式$f(x)\leq g(x)$恒成立，数$t$的取值范围。 解：（Ⅰ）$f'(x)=3x^2+2ax$，因为切线斜率为$-3$，所以$f'(1)=-3$，解得$a=-3$，$b=1+a=-2$。 Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f(x)$在$[-1,0]$上单调递增，在$[0,2]$上单调递减，在$[2,4]$上单调递减。又$f(-1)=-4,f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$，所以$f(x)$的值域是$[-4,16]$。 Ⅲ）令$h(x)=f(x)-g(x)=-\frac{t}{2}x^2+(t+1)x-3$，因为$f(x)\leq g(x)$恒成立，所以$h(x)\leq 0$，即$\frac{t}{2}x^2-(t+1)x+3\geq 0$。将$x\in[1,4]$代入，得到$2\leq t\leq 7$。 题型二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围（逆向考查，正向思考） 解法1：转化为$f'(x)\geq 0$或$f'(x)\leq 0$在给定区间上恒成立，回归基础题型； 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
