导数常考题型总结
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变化率与导数、导数的运算
考纲要求
1.导数概念及其几何意义
(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．
(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
2．导数的运算
(1)能根据导数的定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的导数．
(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数〔仅限于形如f(ax＋b)〕的导数．
(3)会使用导数公式表．
1．平均变化率
函数f(x)从x1到x2的平均变化率ΔfΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.
2．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0 ΔfΔx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝
limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.
3．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝
limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．
4．导函数(导数)
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx.
5．几种常见函数的导数
(1)c′＝0(c为常数)，(xn)′＝nxn－1(n∈Z)
(2)(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx (3)(lnx)′＝1x，(logax)′＝1xlogae
(4)(ex)′＝ex，(ax)′＝axlna
6．函数的和、差、积、商的导数
(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′
uv′＝u′v－uv′v2，(cu)′＝cu′(c为常数)．
7．复合函数的导数
1．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )
A.193 B.163 C.133 D.103
解析：f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝103.
2．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝π2附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1
解析：∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，
k1＝cos0＝1，k2＝cosπ2＝0，∴k1>k2.
3．函数y＝xcosx－sinx的导数为( )
A．xsinx B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx
解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx. 答案：B
5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，¡，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2008(x)＝__________.
解析：f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx
∴fn(x)是以4为周期的周期函数，2008被4整除，∴f2008(x)＝f0(x)＝sinx
答案：sinx
热点之一 利用导数的定义求函数的导数 4．已知一个物体的运动方程是s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬间速度是________．
解析：s′＝－1＋2t，∴s′|t＝3＝－1＋6＝5. 答案：5米/秒 根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；
(3)得导数f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx.简记作：一差、二比、三极限．
[例1] 用定义法求下列函数的导数．
(1)y＝x2；(2)y＝4x2.
[课堂记录] (1)因为ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx
＝(x＋Δx)2－x2Δx＝x2＋2x·Δx＋Δx2－x2Δx＝2x＋Δx，
所以y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (2x＋Δx)＝2x.
(2)Δy＝4(x＋Δx)2－4x2＝－4Δx(2x＋Δx)x2(x＋Δx)2，
ΔyΔx＝－4·2x＋Δxx2(x＋Δx)2，
∴limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 －4·2x＋Δxx2(x＋Δx)2＝－8x3.
即时训练 用导数的定义求函数y＝1x在x＝1处的导数．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－1
＝1－1＋Δx1＋Δx＝1－1－Δx(1＋1＋Δx)1＋Δx
＝－Δx(1＋1＋Δx)1＋Δx，
∴ΔyΔx＝－1(1＋1＋Δx)1＋Δx.
∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝－12.
热点之二 导数的计算
求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数，在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式进行求导；对于不具备直接求导的结构形式要适当变形．
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝lnxx2＋1；(4)y＝sin32x.
[课堂记录] 直接利用导数公式和导数运算法则求导．
(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx；
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′
＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2
＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2；
(3)y′＝(lnx)′(x2＋1)－lnx·(x2＋1)′(x2＋1)2
＝1x·(x2＋1)－lnx·2x(x2＋1)2＝x2＋1－2x2·lnxx(x2＋1)2；
(4)y′＝3(sin2x)2·(sin2x)′＝6sin22xcos2x.
[思维拓展] 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因，从本例可以看出：深刻理解和掌握导数的运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时才能举一反三，触类旁通，得心应手．
即时训练 求下列函数的导数：
(1)y＝xsinx；(2)y＝lnxx；
(3)y＝x2＋1；(4)y＝e1－x.
解：(1)y′＝(xsinx)′＝(x′)sinx＋x(sinx)′＝sinx＋xcosx.
(2)y′＝lnxx′＝(lnx)′x－(x)′lnxx2＝1x·x－lnxx2
＝1－lnxx2.
(3)∵函数y＝x2＋1可以看作函数y＝u和u＝x2＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u)′(x2＋1)′
＝12·1u·(2x)＝xx2＋1.
(4)∵函数y＝e1－x可以看作由y＝eu和u＝1－x复合而成的函数，∴y′x＝(eu)′·(ux)′＝eu(1－x)′＝－e1－x.
热点之三 导数的几何意义
1．函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程得切线方程
y－y0＝f′(x0 (x－x0)．
特别警示：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
[例3] (1)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．
(2)已知曲线y＝13x3＋43.
①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
②求曲线过点P(2,4)的切线方程；
③求斜率为4的曲线的切线方程．
[思路探究] 求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．
[课堂记录] (1)由y′＝3x2－10＝2可解得x＝±2，
∵切点P在第二象限内，
∴x＝－2，由此可得点P的坐标为(－2,15)．
(2)①∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
②设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，13x03＋43)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x02.
∴切线方程为y－(13x03＋43)＝x02(x－x0)，
即y＝x02·x－23x03＋43.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x02－23x03＋43，
即x03－3x02＋4＝0，∴x03＋x02－4x02＋4＝0，
∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
③设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝x02＝4，x0＝±2.切点为(2,4)或(－2，－43)，
∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y＋43＝4(x＋2)，
即4x－y－4＝0或12x－3y＋20＝0.
[思维拓展] 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：
(1)函数在切点处的导数函数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．
解析：因为f(x)＝xlnx＋1，
所以f′(x)＝lnx＋x·1x＝lnx＋1.
因为f′(x0)＝2，所以lnx0＋1＝2，
解得x0＝e，y0＝e＋1.
由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为y－(e＋1)＝2(x－e)，即2x－y－e＋1＝0.故填2x－y－e＋1＝0.
答案：2x－y－e＋1＝0
即时训练 设f(x)＝xlnx＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为________．
