导数各类题型方法总结

导数题型总结（解析版）

题型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系;（2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('xf得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

例1：设函数()yfx在区间D上的导数为()fx，()fx在区间D上的导数为()gx，若在区间D上，()0gx恒成立，则称函数()yfx在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，4323()1262xmxxfx

（1）若()yfx在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足2m的任何一个实数m，函数()fx在区间,ab上都为“凸函数”，求ba的最大值.

解:由函数4323()1262xmxxfx 得32()332xmxfxx,2()3gxxmx

（1） ()yfxQ在区间0,3上为“凸函数”，则 2()30gxxmx 在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max()0gx

(0)0302(3)09330gmgm

解法二：分离变量法：

∵ 当0x时, 2()330gxxmx恒成立,当03x时, 2()30gxxmx恒成立

等价于233xmxxx的最大值（03x）恒成立，而3()hxxx（03x）是增函数，则max()(3)2hxh2m

(2)∵当2m时()fx在区间,ab上都为“凸函数” ,则等价于当2m时2()30gxxmx 恒成立,(变更主元法)再等价于2()30Fmmxx在2m恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

22(2)023011(2)0230FxxxFxx,2ba

例2：设函数),10(3231)(223Rbabxaaxxxf

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的],2,1[aax不等式()fxa恒成立，求a的取值范围.

解：（Ⅰ）22()433fxxaxaxaxa,01aQ

3a a ()fx

a 3a 令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a,3a）

令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）

∴当x=a时，)(xf极小值=;433ba 当x=3a时，)(xf极大值=b.

（Ⅱ）由|)(xf|≤a，得：对任意的],2,1[aax2243axaxaa恒成立①

则等价于()gx这个二次函数maxmin()()gxagxa 22()43gxxaxa的对称轴2xa 01,aQ

12aaaa（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()gx这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。22()43[1,2]gxxaxaaa在上是增函数. （9分）

∴maxmin()(2)21()(1)44.gxgaagxgaa，于是，对任意]2,1[aax，不等式①恒成立，等价于(2)44,41.(1)215gaaaagaaa解得 又,10a∴.154a

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3.已知函数32()fxxax图象上一点(1,)Pb处的切线斜率为3，326()(1)3(0)2tgxxxtxt

（Ⅰ）求,ab的值；

（Ⅱ）当[1,4]x时，求()fx的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x时，不等式()()fxgx恒成立，求实数t的取值范围。

解：（Ⅰ）/2()32fxxax∴/(1)31fba， 解得32ab

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx在[1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减

又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff ∴()fx的值域是[4,16]

（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2thxfxgxxtxx

思路1：要使()()fxgx恒成立，只需()0hx，即2(2)26txxx分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、参数问题

题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23．

（Ⅰ）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围．

解：)14()1(41)(2axaxxf.

（Ⅰ）∵ ()fx是偶函数，∴ 1a. 此时xxxf3121)(3，341)(2xxf，

令0)(xf，解得：32x.

列表如下：

x

(－∞,－23) －23 (－23,23) 23 (23,+∞)

)(xf + 0 － 0 +

)(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增

可知：()fx的极大值为34)32(f， ()fx的极小值为34)32(f.

（Ⅱ）∵函数)(xf是),(上的单调函数，

∴21()(1)(41)04fxxaxa，在给定区间R上恒成立判别式法

则221(1)4(41)204aaaa， 解得：02a.

综上，a的取值范围是}20{aa.

例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa

（I）求()fx的单调区间；

（II）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

（I）2()(2)1(1)(1).fxxaxaxxa

1、20,()(1)0,afxx当时恒成立当且仅当1x时取“=”号，()(,)fx在单调递增。

2、12120,()0,1,1,,afxxxaxx当时由得且单调增区间：(,1),(1,)a,单调增区间：(1,1)a

（II）当()[0,1],fxQ在上单调递增 则0,1是上述增区间的子集：

1、0a时，()(,)fx在单调递增 符合题意

2、0,11,a，10a

1a

综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数．

（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

解：（1）由题意xkxxf)1()(2 ∵)(xf在区间),2(上为增函数，

∴0)1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立（分离变量法）

即xk1恒成立，又2x，∴21k，故1k∴k的取值范围为1k

（2）设312)1(3)()()(23kxxkxxgxfxh，)1)(()1()(2xkxkxkxxh

令0)(xh得kx或1x由（1）知1k，

①当1k时，0)1()(2xxh，)(xh在R上递增，显然不合题意…

②当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表：

x ),(k k )1,(k 1 ),1(

)(xh  0 — 0  )(xh ↗ 极大值312623kk ↘ 极小值

21k ↗

由于021k，欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三个不同的实根，故需0312623kk，即0)22)(1(2kkk ∴02212kkk，解得31k

综上，所求k的取值范围为31k

题型2、根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数321()22fxaxxxc

（1）若1x是()fx的极值点且()fx的图像过原点，求()fx的极值；

（2）若21()2gxbxxd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数()gx的图像与函数()fx的图像恒有含1x的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。

解：（1）∵()fx的图像过原点，则(0)00fc

2()32fxaxx，

又∵1x是()fx的极值点，则(1)31201faa

2()32(32)(1)0fxxxxx

3()(1)2fxf极大值 222()()37fxf极小值