2020年高考数学(文)母题题源解密23 不等式选讲(全国Ⅱ专版原卷版)

不等式选讲专题答案1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．2.（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．（1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．不等式选讲专题答案1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象；（2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．2.（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-. 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭. （2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥， a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．（1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++ 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc ..【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩ 21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.。

2020高考全国二卷数学试题分析解析解读2020年1月，教育部发布《中国高考评价体系》，明确“一核”、“四层”、“四翼”的高考评价体系，即高考要体现“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，考查“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四层内容考查要求，考查“基础性、综合性、应用性、创新性”的四翼要求。

2020年全国Ⅱ卷高考文理科数学试题，依托高考评价体系，充分落实了“一核”“四层”“四翼”的要求，在试题整体结构稳定的基础上，有适度创新，突出数学学科特色，突出学科素养导向，有时代特色，注重能力考查，着重考查学生的思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。

试题主要呈现以下特点：一、试题稳中有变，大题结构动态调整2020年的高考数学保持题型、考点、难度的相对稳定，但是为了对接新高考，以学科素养立意命题，增加了阅读量、信息量，学生明显表现出不适应，感觉难度增大。

尤其是在题的顺序上打破常规，文理科的第3、4题新颖试题过早出现，出乎学生意料，耽误了一定的答题时间，在感觉和信心上受挫。

若学生能及时调整答题策略，后面的选择填空题都很常规，多数学生都能轻松解决。

此试卷对学生和教师的提醒是，困难的试题可能会在试卷的任何地方出现，不能再坚持难题一定在后面的观念了。

全国Ⅱ卷的理科和文科试题，对主观题的结构布局及考查难度也都进行了动态调整，文理科的解答题顺序均为：17题解三角形、18题概率统计，19题圆锥曲线，20题立体几何，21题函数导数；22、23题为二选一。

其中第一道大题第17题考查解三角形的相关知识，替换了2019年的立体几何大题的位置；而立体几何大题后移至第20题，仍然考查平行、垂直关系，直线和平面所成的角及体积的计算，但灵活性加大；解析几何大题前移至第19题的位置，难度有所降低。

大题结构的调整主要考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力。

对重点内容的考查，在整体符合考试大纲的前提下，各部分内容和难度进行动态设计，这种设计有助于学生全面学习和掌握重点知识和重点内容，同时破解应试教育，指导高中教学。

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知合集A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A⋂B=A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位： ∘C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ∘C至40 ∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx6.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π28.设alog34=2，则4−a=()A. 116B. 19C. 18D. 169.执行下面的程序框图，则输出的n=()A. 17B. 19C. 21D. 2310.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 3211.设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则ΔPF1F2的面积为()A. 72B. 3 C. 52D. 212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0x−y−1≥0y+1≥0，则z=x+7y的最大值为_____．14.设向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____．16.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1，前16项和为540，则a1=____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=150∘．(1)若a=√3c，b=2√7，求▵ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√2，求C．219.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，▵ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P−ABC的体积．20.已知函数f(x)=e x−a(x+2).(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．21.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．22.[选修4−4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cos k ty=sin k t,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρcosθ+3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=│3x+1│−2│x−1│．(1)画出y=f(x)的图像；(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知合集A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A⋂B=A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算和解一元二次不等式，属于基础题．【解答】解：由不等式x2−3x−4<0，解得−1<x<4，所以A∩B={1,3}，故选D．24.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的运算，求复数的模，属于基础题．【解答】解：z=1+2i−i=1+i，则|z|=√12+12=√2，故选C．25.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+12【答案】C【解析】【分析】根据题意列出a,ℎ′,ℎ的关系式，化简即可得到答案．本题考查了立体几何中的比例关系，属于基础题．【解析】如图，设正四棱锥的高为h，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′，则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a)2−2(ℎ′a)−1=0,解得ℎ′a =√5+14．故答案选C．26.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 45【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的知识，属于基础题．【解答】解：如图，从5点中随机选取3个点，共有10种情况，其中三点共线的有两种情况：AOC和BOD，则p=210=15．故选A．27.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位： ∘C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ∘C至40 ∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx 【答案】D【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，属于基础题．连接各点，判断图象的大致走向，可判断函数为对数模型．【解析】用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+blnx．故答案选D．28.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查圆的方程、直线方程以及求弦长，属于较易题．【解答】解：由可得，则圆心，半径，已知定点，则当直线与OA垂直时，弦长最小，OA=√(3−1)2+(0−2)2=√8弦长，故选B．29.设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】【分析】本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题．先利用f(−4π9)=0得到w =−3+9k 4(k ∈Z)，由T <2π<2T ，可得，由w =−3+9k 4(k ∈Z)可得k 的值，w 的值可得，即可求解．【解析】 解：由图可知f(−4π9)=cos(−4π9w +π6)=0，所以−4π9w +π6=π2+kπ(k ∈Z),化简可得w =−3+9k 4(k ∈Z)，又因为T <2π<2T ，即2π|w |<2π<4π|w |，所以，当且仅当k =−1时，所以w =32，最小正周期T =2π|w |=4π3．故答案选C ．30. 设alog 34=2，则4−a =( )A. 116B. 19C. 18D. 16【答案】B【解析】【分析】本题主要考查指对数的运算，属于基础题． 【解答】解：由alog 34=log 34a =2，可得4a =32=9， ∴4−a =(4a )−1=9−1=19， 故选B ．31. 执行下面的程序框图，则输出的n =( )A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】【分析】本题以程序框图为载体，考查了等差数列求和，属于中档题．【解答】解：输入n=1，S=0，则S=S+n=1，S⩽100，n=n+2=3，S=S+n=1+3=4，S⩽100，n=n+2=5，S=S+n=1+3+5=9，S⩽100，n=n+2=7，S=S+n=1+3+5+7=16，S⩽100，n=n+2=9，根据等差数列求和可得，S=1+3+5+⋯+19=100⩽100，n=19+2=21，输出n=21．故选C．32.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列的通项公式，属基础题．根据a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，结合等比数列的通项公式可求得等比数列的公比q，因为a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)，从而得到答案．【解答】解：∵a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，∴q(a1+a2+a3)=2，所以q=2，∵a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)，所以a6+a7+a8=32，故选D33.设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则ΔPF1F2的面积为()A. 72B. 3 C. 52D. 2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的简单几何性质、圆的性质，属一般题．根据双曲线的标准方程得到其焦点坐标，结合|OP|=2，可确定点P在以F1F2为直径的圆上，得到|PF1|2+|PF2|2=16，结合双曲线的定义可得|PF1|⋅|PF2|的值，从而得到答案．【解答】解：由双曲线的标准方程可得a=1,b=√3，c=2，所以焦点坐标为F1(−2,0),F2(2,0)，因为|OP|=2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，∴|PF1|2+|PF2|2=16，∵||PF1|−|PF2||=2a=2，所以||PF1|−|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|= 4，所以|PF1|⋅|PF2|=6，所以三角形PF1F2面积为3，故选B．34.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】B【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属中档题．【解答】解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：ABsin60∘=2r=4，得AB=OO1=2√3，由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，故答案为A．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0x−y−1≥0y+1≥0，则z=x+7y的最大值为_____．【答案】1【解析】【分析】本题考查利用线性规划求最值问题，属基础题．【解答】解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，故答案为1．36.设向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查平面向量垂直的充要条件，平面向量数量积的坐标运算，属基础题．由a⃗⊥b⃗ 可得a⃗⋅b⃗ =0，再把两向量坐标代入运算可得答案．【解答】解：∵a⃗⊥b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =0，因为a⃗=(1,−1),b⃗ =(m+1,2m−4)，所以m+1−(2m−4)=0，故m=5．故答案为：537.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____．【答案】2x−y=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，属基础题．根据导数的几何意义确定切点坐标，再根据直线的点斜式得到切线方程．【解答】+1解：∵y=lnx+x+1，∴y′=1x+1=2，故x0=1，设切点坐标为(x0,y0)，因为切线斜率为2，所以1x此时，y0=ln1+2=2，所以切点坐标为(1,2)，∴y−2=2(x−1)所以切线方程为2x−y=0．故答案为：2x−y=0．38.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1，前16项和为540，则a1=____．【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属较难题．对n取偶数，再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和，对n取奇数时，利用累加法求得a n+2的值，用其表示出前16项和可得答案．【解答】解：因为a n+2+(−1)n a n=3n−1，当n=2，6，10，14时，a2+a4=5，a6+a8= 17，a10+a12=29，a14+a16=41因为前16项和为540，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540−(5+17+29+41)，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，当n为奇数时，a n+2−a n=3n−1，所以a3−a1=2，a5−a3=8，a7−a5=14⋯a n+2−a n=3n−1，累加得an+2−a1=2+8+14+⋯3n−1=(2+3n−1)⋅n+122，∴a n+2=(3n+1)⋅(n+1)4+a1，∴a3=2+a1，a5=10+a1，a7=24+a1，a9=44+a1，a11=70+a1，a13= 102+a1，a15=140+a1，因为a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，所以8a1+392=448，所以a1=7．故答案为7．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）39.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？【答案】解：(1)根据频数分布表可知甲、乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数分别为40，28，所以频率分别为40100=0.4，28100=0.28，用频率估计概率可得甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为0.4和0.28．(2)甲分厂四个等级的频率分别为：0.4，0.2，0.2，0.2，故甲分厂的平均利润为：0.4×(90−25)+0.2×(50−25)+0.2×(20−25)+0.2×(−50−25)=15(元)，乙分厂四个等级的频率分别为：0.28，0.17，0.34，0.21，故乙分厂的平均利润为：0.28×(90−20)+0.17×(50−20)+0.34×(20−20)+0.21×(−50−20)=10(元)，因为甲分厂平均利润大于乙厂的平均利润，故选甲分厂承接加工业务．【解析】本题主要考查频率的算法，平均数的概念及其意义，属基础题．(1)根据图表信息可得甲乙分厂的频数，从而得到答案．(2)根据图表信息可得甲乙分厂的四个等级的频率，再根据平均数的定义求得答案，比较两厂的平均数得到最终答案即可．40.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=150∘．(1)若a=√3c，b=2√7，求▵ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√22，求C．【答案】解：(1)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即28=3c2+c2−2√3c2cos150∘，解得c=4，所以a=4√3，所以S△ABC=12acsinB=12×4√3×4×12=4√3．(2)因为A=180∘−B−C=30∘−C，所以sinA+√3sinC=sin(30∘−C)+√3sinC=12cosC+√32sinC=sin(30∘+C)=√22，因为A>0°，C>0°，所以0°<C<30°，所以30°<30°+C<60°，所以30°+C=45°，所以C=15°．【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可．41.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，▵ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P−ABC的体积．【答案】解：(1)由已知条件得PA=PB=PC，因为∠APC=90°，所以PA⊥PC，所以AP2+PC2=AC2，又因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，所以PA2+PB2=AB2，PB2+PC2=BC2，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA∩PC=P，所以PB⊥平面PAC，因为PB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得{2+r2=l2,πrl=√3π,解得l=√3,r=1，所以等边三角形ABC的边长为√3，从而PA=PB=PC=√62，所以PO=√32−1=√22，所以三棱锥P−ABC的体积V=13SΔABC⋅PO=13×12×√3×√3×√32×√22=√68．【解析】【解析】本题考查线面位置关系的判定，圆锥的侧面积公式，棱锥的体积公式的应用，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题．(1)由题意证得PB⊥PA，PB⊥PC，从而得到PB⊥平面PAC，根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)由圆锥的性质可求得底面半径与母线长，从而可求得△ABC的边长，从而可求得三棱锥P−ABC的高，从而可求得体积．42.已知函数f(x)=e x−a(x+2).(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−(x+2)，则f′(x)=e x−1，令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，从而f(x)在(−∞,0)单调递减；在(0,+∞)单调递增．(2)f(x)=e x−a(x+2)=0，显然x≠−2，所以a=e xx+2，令g(x)=e xx+2，问题转化为y=a与g(x)的图象有两个交点，所以g′(x)=e x(x+1)(x+2)2，当x<−2或−2<x<−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>−1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)的极小值为g(−1)=1e，当x <−2时，g(x)<0，当x >−2时，g(x)>0， 所以当a >1e 时，y =a 与g(x)的图象有两个交点， 所以a 的取值范围为(1e ,+∞)． 【解析】【解析】本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的零点，有一定难度． (1)先求导，可直接得出函数的单调性；(2)先分离参数得a =e x x+2，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即可得出a 的取值范围．43. 已知A ，B 分别为椭圆E:+=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，=8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ， (1)求E 的方程;(2)证明：直线CD 过定点． 【答案】解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )， 则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y=m9(x+3)x29+y2=1⇒(9+m2)x2+6m2x+9m2−81=0,由韦达定理−3x C=9m2−819+m2⇒x C=−3m2+279+m2，代入直线PA的方程y=m9(x+3)得，y C=6m9+m2，即C(−3m2+279+m2,6m9+m2)，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m 1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；(1)求出各点坐标，表示出向量；(2)求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明．44.[选修4−4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cos k ty=sin k t,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρcosθ+3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．【答案】【答案】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sint ，化为直角坐标方程为x 2+y 2=1， 表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4ty =sin 4t ，化为直角坐标方程为√x +√y =1，曲线C 2化为直角坐标方程为4x −16y +3=0，联立{√x +√y =14x −16y +3=0，解得{x =14y =14, 所以曲线C 1与曲线C 2的公共点的直角坐标为(14,14)．【解析】本题考查简单曲线的参数方程、极坐标方程，参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，考查运算求解能力，难度一般．45. [选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=│3x +1│−2│x −1│．(1)画出y =f(x)的图像；(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．【答案】(1)函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,x >15x −1,−13≤x ≤1−x −3,x <−13，图象如图所示：第21页，共21页(2)函数f(x +1)的图象即将函数f(x)的图象向左平移一个单位所得，如图，联立{y =−x −3y =5x +4可得交点横坐标为x =−76， 所以f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}．【解析】本题考查解绝对值不等式，考查了运算求解能力及数形结合的思想，难度一般．。

常考题型大通关：第23题 不等式选讲1、已知函数.()()12f x x x m m R =-++∈（1）若时，解不等式；2m =()3f x ≤（2）若关于x 的不等式在上有解，求实数m 的取值范围.()23f x x ≤-[]0,1x ∈2、已知函数．12f x x x =+--（）（1）求不等式的解集；1f x ≥（）（2）若不等式的解集非空，求m 的取值范围2–f x x x m ≥+（）3、设函数.()2221f x x x a =---(1).若，求不等式的解集；2a =()0f x <(2).若不等式存在实数解，求实数的取值范围.()3f x >a 4、已知函数．()31f x x m x m =----（1）若，求不等式的解集；1m =()1f x <（2）对任意的，有，求实数m 的取值范围．R x ∈()(2)f x f ≤5、已知函数.()2f x x a x =-++1.若,解不等式;1a =2()1f x x ≤-2.若,且的最小值为,求证.0,0,0a b c >>>()f x 4b c --112a b c +≥+6、已知不等式的解集为M .21214x x ++-<(1)求集合M ；(2)设实数，证明:.,a M b M ∈∈1ab a b +≤+7、已知函数.()22,f x x x a a R =-++∈(1)当时,解不等式1a =()3f x ≥(2)若存在满足,求a 的取值范围.0x 00()25f x x +-<8、选修4-5:不等式选讲设函数.()52f x x a x =-+--(1)当时,求不等式的解集;1a =()0f x ≥(2)若,求a 的取值范围.()1f x ≤9、[选修4-5:不等式选讲]已知函数()1f x x a x =---1.当时,求不等式的解集2 a =()01f x <≤ 2.若,,求的取值范围(0,)x ∀∈+∞()23f x a ≤-a 10、[选修4—5:不等式选讲]已知函数.()221f x x x =+--1.求的解集;()5f x >-2.若关于的不等式能成立,求实数 x |2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-(0)a ≠的取值范围.m答案以及解析1答案及解析：答案：（1）当时，不等式为，2m =1223x x -++≤若，则原不等式可化为解得，所以；1x ≤-1223x x -+--≤43x ≥-413x -≤≤-若，则原不等式可化为解得，所以；11x -<<1223x x -++≤0x ≤10x -<≤若，则原不等式可化为解得，所以．1x ≥1223x x -++≤23x ≤x ∈∅综上不等式的解集为．4|03x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）当时，由，得[]0,1x ∈()23f x x ≤-1232x x m x-++≤-即22x m x+≤-故解得，222x x m x -≤+≤-223x m x -≤≤-又由题意知，()()min max 223x m x --≤≤-所以．32m -≤≤故实数m 的取值范围为．[]3,2-解析：2答案及解析：答案：（1）()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩＜＞当时，无解；1x -＜()1f x ≥当时，由得，，解得12x -≤≤()1f x ≥211x -≥12x ≤≤当时，由解得.2x ＞()1f x ≥2x ＞所以的解集为.()1f x ≥{}1x x ≥（2）由得，而()2f x x x m ≥-+212m x x x x ≤+---+22235512+1+2=--+244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤--+≤ ⎪⎝⎭且当时，.32x =2512=4x x x x +---+故m 的取值范围为5-4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，解析：3答案及解析：答案：(1).若，由，得，2a =()0f x <22140x x ---<即，即，2214x x -<-222214x x -<-424221816x x x x -+<-+得，解得.2615x <1010x <<故不等式的解集是()0f x <1010⎛ ⎝(2).“不等式存在实数解”等价于“不等式存在实数解”.()3f x >22213x x a --->因为，()()2222222111x x a x x a a ---≤---=-所以，即或，解得或.213a ->213a ->213a -<-2a >2a <-故实数a 的取值范围是()(),22,-∞-+∞ 解析：4答案及解析：答案：；(,3)-∞1123m -≤≤解析：（1），()141f x x x =---<所以或或．11(4)1x x x <⎧⎨---<⎩141(4)1x x x ≤≤⎧⎨---<⎩4141x x x >⎧⎨--+<⎩解之得不等式的解集为．()1f x <(,3)-∞（2）当，时，31m m +>12m >-由题得2必须在的右边或者重合，31m +31m +所以；∴，所以；231m ≥+12m ≤1123m -<≤当时，不等式恒成立；1310,2m m +==-当时，由题得2必须在的左边或者与重合，131,2m m m +<<-31m +31m +由题得，所以m 没有解．1231,3m m ≤+≥综上，．1123m -≤≤5答案及解析：答案：1.【解】当时，1a =21,2,()3,21,21,1x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩①当时，由得；,所以;2x <-2()1f x x ≤-220x x +≥2x <-②当时，由得,所以;21x -≤≤2()1f x x ≤-24x ≥2x =-③当时，由得,所以.1x >2()1f x x ≤-2220x x --≥13x ≥+综上可得不等式的解集为.2()1f x x ≤-{|213}x x x ≤-≥或2.【证明】因为，()2()(2)2f x x a x x a x a =-++≥--+=+当时，取到最小值，2x a -≤≤()f x 2a +所以,即,24a b c +=--2a b c ++=所以，当且1111()()22a b c a b c a b c ++=++=++12()2c a b a b c +++≥+12+=仅当，即时等号成立2()2c a b a b c +=+a b c +=解析：6答案及解析：答案：(1)设，则，()2121f x x x =++-()f x =14,2112,2214,2x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩函数的图像如图，因为，由图可得，所以集合()f x ()4f x <11x -<<{}|11M x x =-<<(2)因为，所以，.a M b M ∈∉,1a <1b ≥所以，()1ab a b +-+1ab a b =+--()()110a b =-⋅-≤所以.1ab a b +≤+解析：7答案及解析：答案：(1)(2)[)2,0,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦91a -<<解析：8答案及解析：答案：(1)当时.1a =()512f x x x =-+--即即()0f x ≥5120x x ----≥215x x -++≤①当时,原不等式可化为:1x ≤-125x x ---+≤即121240x x x ≤-⎧⇒-≤≤-⎨--≤⎩②当时,原不等式可化为:2x ≥125x x ++-≤即223260x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩③当时,原不等式可化为:12x -<<125x x ++-≤恒成立1235x -<<⎧⎨≤⎩12x ⇒-<<综上得解集为.()0f x ≥[]2,3-(2)恒成立即恒成立()1f x ≤24x a x ++-≥∵2()(2)2x a x x a x a ++-≥+--=+∴即或24a +≥2a ≥6a ≤-∴实数a 的取值范围为.(][),62,-∞⋃+∞解析：9答案及解析：答案：1.当时,因为,2 a =()()()21211f x x x x x =---≤---=所以的解集为,()1f x ≤R 由,得,则,即,解得,()0f x >21x x ->-2221x x ->-22421x x x x ->-+32x <故不等式的解集为;()01f x <≤3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2.当时, ,()0,0,a x ≤∈+∞()1,1121,01a x f x x a x x a x -≥⎧=---=⎨--<<⎩则,又,所以()()2max 113f x f a a ==-≤-0a ≤a ≤当时, ,故不合题意,[)01,1,a x <<∈+∞()2103f x a a =->>-01a <<当时, ()1,0,a x ≥∈+∞()()()1111f x x a x x a x a a =---≤---=-=-当且仅当时等号成立,则,又,所以01x <≤231a a -≥-1a ≥2 a ≥综上: 的取值范围为.a [),2,⎛-∞+∞ ⎝ 解析：10答案及解析：答案：1. 3 , 21()2213 1 ,2213 , 2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩故的解集为()5f x >-(2,8)-2.由,能成立,|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-(0)a ≠得能成立,即能成立,令22(1)b a b a x x m a +--≥++-2211b b x x m a a+--≥++-,则能成立,b t a =221(1)t t x x m +--≥++-由1知, 52212t t +--≤又∵11x x m m++-≥+∴512m +≤∴实数的取值范围: m 73,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：。

2020届高考数学（文）二轮复习专题过关检测专题23 不等式选讲1．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当x ≥1时，f (x )＝(x －1)(x ＋|x －2|)≥0.所以不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2019·合肥第二次质量检测)已知f (x )＝|3x ＋2|.(1)求f (x )≤1的解集；(2)若f (x 2)≥a |x |恒成立，求实数a 的最大值．解：(1)由f (x )≤1得|3x ＋2|≤1，所以－1≤3x ＋2≤1，解得－1≤x ≤－13， 所以f (x )≤1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13. (2)f (x 2)≥a |x |恒成立，即3x 2＋2≥a |x |恒成立．当x ＝0时，a ∈R.当x ≠0时，a ≤3x 2＋2|x |＝3|x |＋2|x |恒成立． 因为3|x |＋2|x |≥26⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3|x |＝2|x |，即|x |＝63时等号成立，所以a ≤2 6. 综上，知a 的最大值是2 6.3．(2019·安徽考试试题)已知f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋1>f (2x )；(2)若f (m )≤1，f (2n )≤2，求|m －2n －1|的最大值，并求此时实数m ，n 的取值． 解：(1)原不等式等价于|x －2|＋1>2|x －1|，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，2－x ＋1>2－2x 或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤2，2－x ＋1>2x －2。

2020全国2卷高考数学试题解析
1．已知集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则()=B A C U
A.2{-，}3 B ．2{-，2，}3
C ．2{-，1-，0，3}
D ．2{-，1-，0，2，}3
【思路分析】先求出B A ，再根据补集得出结论．
【解析】：集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，
则{}2,1,0,1-=B A ，则(){}3,2-=B A C U .故选：A ．
【总结与归纳】本题主要考查集合的交并补运算，属于基础题．
2．若α为第四象限角，则( )
A ．cos20α>
B ．cos20α<
C ．sin20α>
D ．sin20α<
【思路分析】先求出2α是第三或第四象限角或为y 轴负半轴上的角，即可判断．
【解析】：α为第四象限角，则222k k π
παπ-+<<，k Z ∈，则424k k ππαπ-+<<，
2α∴是第三或第四象限角或为y 轴负半轴上的角，sin20α∴<，故选：D ．
【总结与归纳】本题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题．
3．在情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，。

2020全国2卷高考数学试题(试卷版+解析版)1.已知集合 $A=\{-1.1\}$，$B=\{1.2\}$，$C=\{-2.-1.1.2.3\}$，则 $(A\cup B)\cup C$ 等于哪个集合。

A。

$\{-2.3\}$B。

$\{-2.2.3\}$C。

$\{-2.-1.3\}$D。

$\{-2.-1.1.2.3\}$2.若 $\alpha$ 为第四象限角，则 $\cos2\alpha$ 的大小关系是。

A。

$\cos2\alpha>0$B。

$\cos2\alpha<0$C。

$\sin2\alpha>0$D。

$\sin2\alpha<0$3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货。

由于订单量大幅增加，导致订单积压。

为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05.志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货。

为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要多少名志愿者。

A。

10 名B。

18 名C。

24 名D。

32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层。

上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块。

下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块。

已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）多少块。

A。

3699 块B。

3474 块C。

3402 块D。

3339 块5.若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线$2x-y-3=0$ 的距离为多少。

A。

$\frac{5}{\sqrt{5}}$B。

$\frac{25}{\sqrt{5}}$C。

$\frac{35}{\sqrt{5}}$D。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（II 卷）答案详解一、选择题1.（集合）已知集合A ={}3,x x x Z <∈，B ={}1,x x x Z >∈，则A B =A.∅B.{}3,2,2,3-- C.{}2,0,2- D.{}2,2-【解析】∵{}2,1,0,1,2A x =--，∴{2,2}A B =- .【答案】D2.（复数）41i -=（）A.－4 B.4C.－4iD.4i【解析】[]224221(1)244i i i i ⎡⎤=-=-=-⎣⎦-=（）.【答案】A3.（概率统计）如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.15【解析】原位大三和弦：1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===；共5个.原位小三和弦：1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===；共5个.总计10个.【答案】C4.（概率统计）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。

志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B5.（平面向量）已知单位向量a ,b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A.2a b+ B.2a b+ C.2a b- D.2a b -【解析】解法一（待定系数法）：设()ma nb b +⊥，则有21()02ma nb b ma b nb m n +⋅=⋅+=+=，即2m n =-，故选D.解法二：2o(2)2211cos6010a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-= ，故选D.特殊法：如图A5所示，画单位圆，作出四个选项的向量，只有2a b -与b 垂直.图A5【答案】D6.（数列）记n S 为等比数列{n a }的前n 项和.若5a －3a =12,6a －4a =24，则nnS a =A ．21n -B ．122n-- C.122n --D ．121n --【解析】设{}n a 的公比为q ，∵6453()1224a a a a q q -=-==，∴2q =，∵22253311(1)(1)1212a a a q a q q a -=-=-==，∴11a =，∴111111(1)2111=22222n n n n n n n n a q S q a a q -------==-=-.【答案】B7.（算法框图）执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为A.2B.3C.4D.5【解析】①输入00k a ==，，得211a a =+=，11k k =+=，10a >否，继续；②输入11k a ==，，得213a a =+=，12k k =+=，10a >否，继续；③输入23k a ==，，得217a a =+=，13k k =+=，10a >否，继续；④输入37k a ==，，得2115a a =+=，14k k =+=，10a >是，程序退出循环，此时4k =.【答案】C8.（解析几何）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A．5B.5C.5D.5【解析】如图A8所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵圆过点（2,1）且与两坐标轴都相切，∴222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===，即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=5或=5.图A8【答案】B9．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的两条渐近线分别交于D ,E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】如图A9所示，双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的渐近线为b y x a =±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴1282ODE S a b ab ∆=⋅==，∴焦距2248c ==≥⨯=，当且仅当a =等号成立.故C 的焦距的最小值为8.图A9【答案】B10.（函数）设函数331()f x x x =-，则()f x A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【解析】∵333311()()()()f x x x f x x x-=--=-+=--，∴()f x 是奇函数，243()3f x x x'=+，当x >0，()0f x '>，∴()f x 在(0,+∞)单调递减.【答案】A11.（立体几何）已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D ．32【解析】由题意可知244ABC S AB ∆==，∴3AB =，如图A11所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心，故1232O A =⨯=，∴O 到平面ABC 的距离11OO ==.图A11【答案】C12.（函数）若2233x y x y ---<-，则A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【解析】2233xyxy---<-可化为2323xxyy---<-，设1()2323xxxxf x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第2讲 不等式选讲[全国卷3年考情分析](1)不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解.(2)此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.[例1] (2019·福建省质量检查)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|ax －3|(a >0). (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，求a 的值. [解] (1)当a ＝2时，不等式f (x )>1即|x ＋1|－|2x －3|>1.当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＋2x －3>1，解得x >5，因为x ≤－1，所以此时原不等式无解；当－1<x ≤32时，原不等式可化为x ＋1＋2x －3>1，解得x >1，所以1<x ≤32；当x >32时，原不等式可化为x ＋1－2x ＋3>1，解得x <3，所以32<x <3.综上，原不等式的解集为{x |1<x <3}. (2)因为a >0，所以3a>0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －4，x ≤－1，（a ＋1）x －2，－1<x ≤3a ，（1－a ）x ＋4，x >3a. 若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形， 则(a －1)(a ＋1)＝－1或(a ＋1)(1－a )＝－1， 解得a ＝0(舍去)或a ＝2或a ＝－2(舍去). 经检验，a ＝2符合题意， 所以所求a 的值为 2.[解题方略] 绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a ＞0，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号.(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解. (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.[跟踪训练]1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a ). (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1). 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0； 当x ≥1时，f (x )≥0，所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1).(2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞).2.(2019·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )≤5－f (x －3)的解集；(2)已知关于x 的不等式2f (x )＋|x ＋a |≤x ＋4在[－1，1]上有解，求实数a 的取值范围. 解：(1)不等式f (x )≤5－f (x －3)，即|x ＋1|＋|x －2|≤5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ＋1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x ＋1＋x －2≤5， 解得－2≤x ≤3，所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤3}.(2)当x ∈[－1，1]时，不等式2f (x )＋|x ＋a |≤x ＋4，即|x ＋a |≤2－x ， 所以|x ＋a |≤2－x 在[－1，1]上有解， 即－2≤a ≤2－2x 在[－1，1]上有解，所以－2≤a ≤4，即实数a 的取值范围是[－2，4].[例2] (2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立.所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立. 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[解题方略] 证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等. (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法.(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的.(3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法.用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾.[跟踪训练]1.已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b ). 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}.(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2， 即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立.2.已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.证明：法一：(放缩法)因为a ＋b ＝1，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋2）＋（b ＋2）22＝12[(a ＋b )＋4]2＝252⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋2＝b ＋2，即a ＝b ＝12时，等号成立. 法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2<252，则a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8<252.因为a ＋b ＝1，则b ＝1－a ，所以a 2＋(1－a )2＋12<252.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122<0，这与⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≥0矛盾，故假设不成立.所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.[例3] 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .(1)若不等式f (x )＋|x －1|≥2对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为a －1，求实数a 的值. [解] (1)f (x )＋|x －1|≥2可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥1.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≥1，∴a ≤0或a ≥4，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞).(2)当a <2时，易知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点分别为a 2和1，且a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1，x <a2，x －a ＋1，a 2≤x ≤1，3x －a －1，x >1，易知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝a －1，解得a ＝43，又43<2，∴a ＝43.[解题方略]解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略[跟踪训练]1.在本例条件下，若f (x )≤|x ＋1|的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，求a 的取值范围.解：由题意可知f (x )≤|x ＋1|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上恒成立， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时， f (x )＝|2x －a |＋|x －1|＝|2x －a |＋x －1≤|x ＋1|＝x ＋1，∴|2x －a |≤2，即2x －2≤a ≤2x ＋2， ∵(2x －2)max ＝4， (2x ＋2)min ＝5，因此a 的取值范围为[4，5].2.在本例中函数f (x )不变的条件下，若存在实数x ，使不等式f (x )－3|x －1|≥2能成立，求实数a 的取值范围.解：∵f (x )－3|x －1|＝|2x －a |－2|x －1| ＝|2x －a |－|2x －2|≤|a －2|. ∴|a －2|≥2. ∴a ≤0或a ≥4.∴实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞). 3.已知函数f (x )＝|x |＋|x ＋1|.(1)若任意x ∈R ，恒有f (x )≥λ成立，求实数λ的取值范围. (2)若存在m ∈R ，使得m 2＋2m ＋f (t )＝0成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)由f (x )＝|x |＋|x ＋1|≥|x －(x ＋1)|＝1知，f (x )min ＝1，欲使任意x ∈R ，恒有f (x )≥λ成立， 则需满足λ≤f (x )min ，所以实数λ的取值范围为(－∞，1].(2)由题意得f (t )＝|t |＋|t ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t －1，t <－1，1，－1≤t ≤0，2t ＋1，t >0，存在m ∈R ，使得m 2＋2m ＋f (t )＝0成立， 即有Δ＝4－4f (t )≥0， 所以f (t )≤1，又f (t )≤1可等价转化为⎩⎪⎨⎪⎧t <－1，－2t －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤0，1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，2t ＋1≤1， 所以实数t 的取值范围为[－1，0].[专题过关检测]大题专攻强化练1.(2019·昆明市质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4；(2)当x ≠0，x ∈R 时，证明：f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x≥4. 解：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4等价于|2x －1|＋|2x ＋1|≥4， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－4x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，4x ≥4， 解得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)证明：当x ≠0，x ∈R 时，f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|－2x －1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－1，因为|－2x －1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋2x ＝2|x |＋2|x |≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1≥0，2|x |＝2|x |，即x ＝±1时等号成立，所以f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x≥4.2.(2019·沈阳市质量监测(一))设a >b >0，且ab ＝2，记a 2＋b 2a －b的最小值为M .(1)求M 的值，并写出此时a ，b 的值； (2)解关于x 的不等式：|3x ＋3|＋|x －2|>M . 解：(1)因为a >b >0，所以a －b >0，4a －b>0， 根据基本不等式有a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋4a －b ＝a －b ＋4a －b≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，ab ＝2，即⎩⎨⎧a ＝3＋1，b ＝3－1时取等号，所以M 的值为4，此时a ＝3＋1，b ＝3－1.(2)当x ≤－1时，原不等式等价于－(3x ＋3)＋(2－x )>4，解得x <－54；当－1<x <2时，原不等式等价于(3x ＋3)＋(2－x )>4，解得－12<x <2；当x ≥2时，原不等式等价于(3x ＋3)＋(x －2)>4，解得x ≥2.综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 3.已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥5.(2)若|a |>1，且f (ab )>|a |·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a，证明：|b |>2.解：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥5等价于|x －2|＋|x －1|≥5， 当x >2时，(x －2)＋(x －1)≥5，x ≥4；当1≤x ≤2时，(2－x )＋(x －1)≥5，1≥5，无解； 当x <1时，(2－x )＋(1－x )≥5，x ≤－1. 综上，不等式的解集为{x |x ≥4或x ≤－1}. (2)证明：f (ab )>|a |·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a⇔|ab －2|>|a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪ba－2 ⇔|ab －2|>|b －2a | ⇔(ab －2)2>(b －2a )2⇔a 2b 2＋4－b 2－4a 2>0⇔(a 2－1)(b 2－4)>0.因为|a |>1，所以a 2－1>0， 所以b 2－4>0，|b |>2.4.已知a ，b ∈(0，＋∞)，且2a 4b＝2. (1)求2a ＋1b的最小值；(2)若存在a ，b ∈(0，＋∞)，使得不等式|x －1|＋|2x －3|≥2a ＋1b成立，求实数x 的取值范围.解：(1)由2a 4b＝2可知a ＋2b ＝1， 又因为2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝4b a ＋ab＋4，由a ，b ∈(0，＋∞)可知4b a ＋ab＋4≥24b a ·ab＋4＝8，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以2a ＋1b的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于|x －1|＋|2x －3|≥8，①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ＋（3－2x ）≥8，所以x ≤－43.②⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32，x －1＋3－2x ≥8，无解， ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，x －1＋2x －3≥8，所以x ≥4. 综上，实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪[4，＋∞). 5.(2019·济南市模拟考试)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集为空集，求实数a 的取值范围.解：(1)法一：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，当x ≤12时，f (x )＝－3x ＋3≤3，解得x ≥0，即0≤x ≤12，当12<x <2时，f (x )＝x ＋1≤3，解得x ≤2，即12<x <2， 当x ≥2时，f (x )＝3x －3≤3，解得x ≤2，即x ＝2. 综上所述，原不等式的解集为[0，2].法二：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，作出f (x )的图象如图所示，注意到当x ＝0或x ＝2时，f (x )＝3， 结合图象，不等式的解集为[0，2].(2)由(1)可知，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )>ax 对任意x ∈R 恒成立， 即函数y ＝ax 的图象始终在函数y ＝f (x )的图象的下方，当直线y ＝ax 过点A (2，3)以及与直线y ＝－3x ＋3平行时为临界情况， 所以－3≤a <32，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32. 6.(2019·广州市调研测试)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R ).(1)当a ＝2时，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≥1； (2)设不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12⊆M ，求实数a 的取值范围. 解：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3， ①当x ≤13时，1－3x ＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13＜x ＜2时，3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x ＜2；③当x ≥2时，3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，不等式的解集为{}x |x ≤0或x ≥1.(2)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ， 依题意不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上恒成立， 所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13，a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.7.(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立.所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立.所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23.由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.8.(2019·江西省五校协作体试题)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|3x ＋a |，若f (x )的最小值为1.(1)求实数a 的值；(2)若a ＞0，m ，n 均为正实数，且满足m ＋n ＝a2，求m 2＋n 2的最小值.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|3x ＋a |，①当a ＞3，即－1＞－a3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1－a ，x ≤－a3，2x ＋a －1，－a 3＜x ＜－1，4x ＋a ＋1，x ≥－1，∵f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝()－3＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a3－1＝2（a －3）3＞0， ∴f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3， 则当x ＝－a3时，f (x )min ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－1－a ＝1，∴a ＝6.②当a ＜3，即－1＜－a3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1－a ，x ≤－1，－2x －a ＋1，－1＜x ＜－a 3，4x ＋a ＋1，x ≥－a3， ∵f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝(3－a )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＝2（3－a ）3＞0，∴f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，则当x ＝－a3时，f (x )min ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＋a ＝1，∴a ＝0.③当a ＝3，即－1＝－a3时，f (x )＝4|x ＋1|，当x ＝－1时，f (x )min ＝0不满足题意. 综上，a ＝0或a ＝6.(2)由题意知，m ＋n ＝3.∵m ＞0，n ＞0，∴(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤(m 2＋n 2)＋(m 2＋n 2)＝2(m 2＋n 2)， 即m 2＋n 2≥12(m ＋n )2，当且仅当m ＝n ＝32时取“＝”.∵m 2＋n 2≥92，∴m 2＋n 2的最小值为92.。

一.绝对值不等式：1．（2020·江苏高考真题23）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．2．（2020·全国Ⅱ卷高考真题（文理23））已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.3．（2020·全国Ⅰ卷高考真题（文理23））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．二.线性规划4．（2020高考浙江卷3）若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则y x z 2+=的取值范围是（）A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞5．（2020·全国Ⅱ卷高考真题（文15））若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．6．（2020·全国Ⅲ卷高考真题（文理13））若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则yx z 23+=的最大值为_________．7．（2020·全国Ⅰ卷高考真题（文理13））若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则yx z 7+=的最大值为____________.三.不等式及其性质8．（2020高考天津卷2）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件四.基本不等式9．（2020海南卷12山东卷11)已知0>a ，0>b ，且1=+b a ，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D ≤10．（2020高考天津卷14）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为________．11．（2020海南卷12山东卷11)已知0>a ，0>b ，且1=+b a ，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D ≤12．（2020·全国Ⅲ卷高考真题（文理23））设a ，b ，c ∈R ，+0a b c +=，1abc =．（1）证明：0<++ca bc ab ；（2）用{}c b a ,,max 表示a ,b ,c 中的最大值，证明：{}34,,max ≥c b a ．13．（2020·江苏高考真题12）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22xy +的最小值是_______．。