2019年甘肃省高考数学一诊试卷(文科)含答案解析

甘肃省2019年高考数学一模试卷（文科）(解析版)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|≥0，x∈R}，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N为（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x＞1或x≤0}D．{x|0≤x≤1} 2．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q3．已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（）A．¬P：有的三角形不是等边三角形B．¬P：有的三角形是不等边三角形C．¬P：所有的三角形都是等边三角形D．¬P：所有的三角形都不是等边三角形4．在△ABC中，•＞0，则该三角形的形状是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定5．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（）A．B．C．D．6．函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（）A．，]（k∈z）B．，]（k∈z）C．，]（k∈z）D．，]（k∈z）7．将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为（）A． B． C．D．8．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+36πB．60πC．288+72πD．288+18π9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12=288，S9=162，则S6=（）A．18 B．36 C．54 D．7210．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A．B．（2﹣，2+）C．[1，3]D．（1，3）12．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A 的范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，π） D．[，π）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为．14．在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1﹣a n=sin，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2015=．15．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为．16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf （x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2，q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）＜0（m＞0）且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}满足：S n=1﹣a n（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．（1）求角A的大小；（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD．21．（12分）椭圆H： +y2=1（a＞1），原点O到直线MN的距离为，其中点M（0，﹣1），点N（a，0）．（1）求该椭圆H的离心率e；（2）经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点，若=+，求直线l的方程．22．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|≥0，x∈R}，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N为（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x＞1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算；其他不等式的解法．【分析】求出集合M，N，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|≥0，x∈R}={x|x＞1或x≤0}，N={y|y=3x2+1，x∈R}={y|y≥1}，M∩N={x|x＞1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，不等式的解法，是基础题．2．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图可知：z=3+i．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：由图可知：z=3+i．∴复数====2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（）A．¬P：有的三角形不是等边三角形B．¬P：有的三角形是不等边三角形C．¬P：所有的三角形都是等边三角形D．¬P：所有的三角形都不是等边三角形【考点】命题的否定．【分析】特称命题的否定是全称命题，即“∃x，使f（x）成立”的否定是“∀x，使f（x）不成立”，对照此结论即可得正确结果【解答】解：∵有的三角形是等边三角形，即存在一个三角形是等边三角形，是一个特称命题，¬P是它的否定，应为全称命题“所有的三角形都不是等边三角形”故应选D【点评】本题考查了特称命题的否定方式，解题时要对照否定形式规范作答，本题属基础题4．在△ABC中，•＞0，则该三角形的形状是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积运算性质、三角函数求值即可得出．【解答】解：∵•＞0，∴﹣cacosB＞0，∴cosB＜0．又B∈（0，π）．∴B为钝角．故选：A．【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（）A．B．C．D．【考点】向量的减法及其几何意义．【分析】利用D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，及向量的减法三角形法则，可得结论．【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点∴∴==∵D、F分别是△ABC的边AB、CA的中点∴∵E是△ABC的边BC的中点∴∴故选D．【点评】本题考查向量的减法三角形法则，考查共线向量，属于基础题．6．函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（）A．，]（k∈z）B．，]（k∈z）C．，]（k∈z）D．，]（k∈z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】求三角函数的单调区间，一般要将自变量的系数变为正数，再由三角函数的单调性得出自变量所满足的不等式，求解即可得出所要的单调递增区间．【解答】解：y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣）令，k∈Z解得，k∈Z函数的递增区间是，]（k∈Z）故选D．【点评】本题考查正弦函数的单调性，求解本题的关键有二，一是将自变量的系数为为正，二是根据正弦函数的单调性得出相位满足的取值范围，解题时不要忘记引入的参数的取值范围即k∈Z．7．将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为（）A． B． C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出φ的值．【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=，将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到函数，函数是偶函数，∴．当k=0时，φ=．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的图象平移变换，函数的基本性质的应用．8．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+36πB．60πC．288+72πD．288+18π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是3，母线长是8，下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长分别为8和6的矩形，四棱柱的高是6，做出两个几何体的体积求和．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是3，母线长是8，∴半圆柱的体积是==36π下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长分别为8和6的矩形，四棱柱的高是6，∴四棱柱的体积是6×8×6=288，∴组合体的体积是36π+288故选A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何图形，本题考查的几何体是一个组合体，上面的圆柱的一半比较特殊，需要仔细观察，圆柱的摆放方式和常见的摆放方式不同．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12=288，S9=162，则S6=（）A．18 B．36 C．54 D．72【考点】等差数列的性质．【分析】由题意和等差数列的求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得a1和d，代入求和公式计算可得S6【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得S12=12a1+d=288，S9=9a1+d=162，解得a1=2，d=4，∴S6=6a1+d=72，故选：D．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．10．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．【解答】解：设直线方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选C．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，也可以用数形结合画出图形来判断，是基础题．11．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A．B．（2﹣，2+）C．[1，3]D．（1，3）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．【解答】解：∵f（a）=g（b），∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+故选B【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．12．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A 的范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，π） D．[，π）【考点】余弦定理．【分析】已知不等式去分母后，整理得到关系式，两边除以2bc，利用余弦定理变形求出cosA的范围，即可确定出A的范围．【解答】解：由+≥1得：b（a+b）+c（a+c）≥（a+c）（a+b），化简得：b2+c2﹣a2≥bc，同除以2bc得，≥，即cosA≥，∵A为三角形内角，∴0＜A≤，故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为m＞﹣2．【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【分析】由题意可得f（x）为R上的奇函数和增函数，故原不等式可化为f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3），即2m﹣1＞m﹣3，解之即可．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣3x﹣sinx=﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，又f′（x）=3+cosx＞0，可得f（x）为R上的增函数．故不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0可化为：f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3）故2m﹣1＞m﹣3，解得m＞﹣2．故答案为：m＞﹣2【点评】本题以不等式为载体，考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．14．在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1﹣a n=sin，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2015=1008．【考点】数列的求和．【分析】a1=1，a n+1﹣a n=，可得a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，可得a5=a1，以此类推可得a n+4=a n．利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=，∴a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，∴a5=a1，以此类推可得a n+4=a n．∴S2015=503×（a1+a2+a3+a4）+a1+a2+a3=503×2+2=1008．故答案为：1008．【点评】本题考查了数列的周期性、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，把目标函数z=化为，其几何意义是可行域内的动点与定点M（﹣2，0）连线的斜率，数形结合得到使z=最大的点，联立方程组求出点的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．联立，解得B（2，3）．的几何意义是可行域内的动点与定点M（﹣2，0）连线的斜率．∴目标函数z=的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（2，] ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作函数f（x）的图象，从而可得方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上，从而解得．【解答】解：作函数f（x）的图象如右图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．三．解答题：本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016•静宁县一模）已知p：|1﹣|≤2，q：（x ﹣1+m）（x﹣1﹣m）＜0（m＞0）且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据q是p的必要不充分条件，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴p：﹣2≤x≤10；∵（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）＜0，∴q：﹣m+1＜x＜m+1，（m＞0），若q是p的必要不充分条件，则[﹣2，10]⊆（﹣m+1，m+1），故，解得：m＞9．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．18．（12分）（2016•衡水校级模拟）已知数列{a n}满足：S n=1﹣a n （n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）先把n=1代入求出a1，再利用a n+1=S n+1﹣S n求解数列的通项公式即可．（Ⅱ）把（Ⅰ）的结论代入，发现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列，故直接利用数列求和的错位相减法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=1﹣a n①∴S n+1=1﹣a n+1②②﹣①得a n+1=﹣a n+1+a n⇒a n；n=1时，a1=1﹣a1⇒a1=（6分）（Ⅱ）因为b n==n•2n．所以T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n③故2T n=1×22+2×23+…+n×2n+1④③﹣④﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=整理得T n=（n﹣1）2n+1+2．（12分）【点评】本题的第一问考查已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．19．（12分）（2016•衡水校级模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1+=． （1）求角A 的大小；（2）若函数f （x ）=2sin 2（x +）﹣cos2x ，x ∈[，]，在x=B处取到最大值a ，求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）把已知等式中的切化弦，利用正弦定理把边转化为角的正弦，整理可求得cosA 的值，进而求得A ．（2）把利用两角和公式对函数解析式化简，利用正弦函数的性质求得函数最大值时B ，C 和a 的值，进而利用正弦定理求得c ，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（1）因为1+•=，所以=2sinC ，又因为sinC ≠0，所以cosA=，所以A=．（2）因为f （x ）=2sin 2（x +）﹣cos2x=1+2sin （2x ﹣），所以，当2x ﹣=，即x=时，f （x ）max =3，此时B=，C=，a=3．因为=，所以c===，则S=acsinB=×3××=．【点评】本题主要考查了正弦定理和三角函数图象与性质．考查了学生基础公式的运用和一定的运算能力．20．（12分）（2016•静宁县一模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD 为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明EF∥面PAD，可用线面平行的判定定理，由题设及图，可先证明EF∥AP再由线面平行的判定定理证明；（2）证明面PDC⊥面PAD，由判定定理知要先证明线面垂直，由题设及图知，可先证AP⊥面PCD，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直．【解答】解：（1）如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F．（2分）又E是PC的中点，所以，EF∥AP．（4分）∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD（6分）（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，（8分）又AP⊂面PAD，∴AP⊥CD．（9分）又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD．（11分）又AD⊂面PAD，所以，面PDC⊥面PAD．（12分）【点评】本题考查线面平行与面面垂直，掌握线面平行的判定定理与面面垂直的判定定理是解决本题的关键，立体几何的证明题主要考查定理的使用及空间立体感知能力，观察能力，推理判断能力21．（12分）（2016•静宁县一模）椭圆H： +y2=1（a＞1），原点O到直线MN的距离为，其中点M（0，﹣1），点N（a，0）．（1）求该椭圆H的离心率e；（2）经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点，若=+，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）直线MN的方程为： +=1，即x﹣ay﹣a=0．由=，解得a=．利用，即可的得出．H的离心率e=．（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为：=1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由=+，可得C，利用A，B，C都在椭圆上整理化简可得：x1x2+3y1y2=0．设直线l的方程为：x=my+，代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+2my﹣1=0，利用根与系数的关系代入可得m，对直线l的斜率为0时，直接验证即可．【解答】解：（1）直线MN的方程为： +=1，即x﹣ay﹣a=0．∵=，解得a=．又b=1，则=．∴该椭圆H的离心率e===．（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为：=1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵=+，∴C，由A，B，C都在椭圆上，∴=3，①=3，② +3=3，③，由③化简整理可得：（）+（）+（x1x2+3y1y2）=3，x2+3y1y2=0，④．设直线l的方程为：x=my+，把①②代入化简可得：x+y2=，代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+2my﹣1=0，∴yy1•y2=+3，x2==m2y1y2+m（y1+y2）+2，∴x•y2+m（y1+y2）+2=0，∴（m2+3）y∴（m2+3）•+m•+2=0，解得m=±1．∴直线l的方程为x=±y+．当直线l的斜率为0时，其方程为：y=0，此时A（，0），B（﹣，0），不满足④，舍去．综上可得：直线l的方程为x=±y+．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）（2016•静宁县一模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即得单调区间；（2）由（1）可知x=为f（x）的极值点，按照极值点在区间[t，t+2]的右侧、内部、左侧三种情况进行讨论，由函数的单调性即可求得其最小值；【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=lnx +1，令f′（x ）＜0，解得0＜x ＜，令f′（x ）＞0，解得x ＞，所以f （x ）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；（2）由（1）知f （x ）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞），则（ⅰ）当0＜t ＜t +2＜时，t 无解；（ⅱ）当0＜t ＜＜t +2，即0＜t ＜时，f （x ）在[t ，]上递减，在[，t +2]上递增，所以f （x ）min =f （）=﹣；（ⅲ）当≤t ＜t +2，即t ≥时，f （x ）在[t ，t +2]上单调递增， 所以f （x ）min =f （t ）=tlnt ，所以f （x ）min =．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属中档题．。

2019年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．65．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．26．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．3 D．48．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4=．14．若tanθ+=4，则sin2θ=．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC=3acosB ﹣ccosB ． （Ⅰ）求cosB 的值； （Ⅱ）若，且，求a 和c 的值．18．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．（Ⅰ）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．19．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是∠A=60°、边长为a 的菱形，又PD ⊥底ABCD ，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN ∥平面PMB ；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．21．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2019年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】求出|z|，可判断p1的真假；化简z2，可判断p2的真假；，可得z的共轭复数为1﹣i，z的虚部为1，由此可得结论．【解答】解：p1：|z|==，故命题为假；p2：z2===2i，故命题为真；，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；∵，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．故真命题为p2，p4故选：C．【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．3．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A，写出命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题，可判断A；B，写出命题p：“存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定￢p，可判断B；C，利用复合命题的真值表可判断C；D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，利用充分必要条件的概念可判断D．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．综上所述，错误的选项为：C，故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．【解答】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a，则，∴a=6，故三棱柱体积．故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．5．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知将，|+2|=2，两边平方，得到，的模的等式，解之即可．【解答】解：由已知，|+2|2=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；故选D．【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．6．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，∴m+n=1．则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．7．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．3 D．4【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1•a8=a2•a7=…a4•a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，∴a4•a5=2×5=10，∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4=4lg（a4•a5）=4lg10=4故选：D．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．8．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合；导数的概念及应用．【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）﹣a的零点的个数．【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：C．【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．10．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵．【专题】计算题；新定义；三角函数的图像与性质．【分析】由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f （x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值．【解答】解：由定义的行列式运算，得====．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m=．当k=0时，m有最小值．故选C．【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】根据f （x ）•f （y ）=f （x+y ），令x=n ，y=1，可得数列{a n }是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【解答】解：∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），∴令x=n ，y=1，得f （n ）•f （1）=f （n+1），即==f （1）=，∴数列{a n }是以为首项，以为等比的等比数列，∴a n =f （n ）=（）n ，∴S n ==1﹣（）n ∈[，1）．故选C ．【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定义某种运算⊗，S=a ⊗b 的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= 14 ．【考点】选择结构．【专题】图表型．【分析】通过程序框图判断出S=a⊗b的解析式，求出5⊗3+2⊗4的值．【解答】解：有框图知S=a⊗b=∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14故答案为14【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．14．若tanθ+=4，则sin2θ=．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：若tanθ+=4，则sin2θ=2sinθcosθ=====，故答案为．【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】根据曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立．【解答】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=在x＞0时有解，所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以．综上．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC=3acosB ﹣ccosB ．（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）若，且，求a 和c 的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB ﹣2RsinCcosB ，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a 2+b 2=12，再根据完全平方式易得a=c=．【解答】解：（I ）由正弦定理得a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ，则2RsinBcosC=6RsinAcosB ﹣2RsinCcosB ，故sinBcosC=3sinAcosB ﹣sinCcosB ，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB ，即sin （B+C ）=3sinAcosB ，可得sinA=3sinAcosB ．又sinA ≠0，因此． （II ）解：由，可得accosB=2，，由b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，可得a 2+c 2=12，所以（a ﹣c ）2=0，即a=c ，所以．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．18．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（I）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；（II）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；（III）列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算．【解答】解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，；（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解．【解答】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．⇒DN∥平面PMB．（2）⇒PD⊥MB又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.．∴点A到平面PMB的距离为．【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1•x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．21．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题．【分析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．【解答】解：（1）当m=2时，（x＞0）令f′（x）＜0，可得或x＞2；令f′（x）＞0，可得，∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增故（2）（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；x∈（m，1）时，f′（x）＞0此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减；③当m＞1时，则，故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0此时f（x）在上单调递减，在单调递增（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即⇒∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，又x1，x2，m＞0∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立令，则对m∈[3，+∞）恒成立∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴故从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”∴x1+x2的取值范围为【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．【解答】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】坐标系和参数方程．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．【点评】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。

甘肃省兰州市2017届高三第一次诊断性考试文数试题第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】因为，所以，，故选C.3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. 45B. 90C. 120D. 75【答案】B【解析】因为是等差数列，设公差为，在，解得，，故选B.4. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（）A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】D【解析】，因为回归线必过样本中心点，将此点代入，可解的。

故D正确.5. 下列命题中，真命题为（）A. ，B. ，C. 已知为实数，则的充要条件是D. 已知为实数，则，是的充分不必要条件【答案】D6. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A7. 设变量满足不等式组，则目标函数的最小值是（）A. 5B. 7C. 8D. 23【答案】B【解析】根据已知，可先画出约束不等式组所表示的区域，如下图所示：由于目标函数图象越往右上越大，且其斜率绝对值小于斜率绝对值，作图可知，在点取到最小值，点坐标可通过联立直线方程求解，解得，代入目标函数，故目标函数的最小值为。

故本题正确答案为B。

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8. 如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的值分别为6，8，0时，则输出的（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点的坐标为，，，即所以.答案：D.10. 函数，如果，且，则（）A. B. C. D. 1【答案】C点睛：本题主要考查的正弦型三角函数的图像和性质，根据三角函数的“五个关键点”可以从图像中得到，，求得函数的解析式，由，可知即得结果.11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点为双曲线支上一点，若，则双曲线的离心率取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据双曲线定义，，且点在左支，则，设，，则,,则,,在中,,则离心率.∴.故选A.点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由和得到两个方程三个未知数，为运算简洁，设，，整理方程可得到,,利用三角形两边之和大于第三边得不等关系即可求得离心率的范围.12. 设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有．当时，．若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值是（）A. B.C. 或D. 或【答案】C考点：函数的奇偶性、周期性点评：此题考查了函数的奇偶性、周期性及导数的应用，用到了数形结合的思想方法第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】【解析】.14. 已知菱形的边长为，，则__________．【答案】15. 已知球的半径为13，其球面上有三点，若，，则四面体的体积为__________．【答案】【解析】，,，的外接圆的半径为，到平面的距离为，，四面体的体积为.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．16. 已知数列，，若，，当时，有，则__________．【答案】【解析】由得，所以,所以即由于，所以，故.三、解答题17. 已知在中，角的对边分别为，且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）; (Ⅱ).试题解析：（1）在△中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，所以，即，又因为，所以．（2）在△中，由余弦定理得：，则即，解得或，又，所以．考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式．18. “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，及“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”，某校研究性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”等三种形式进行调查获得下表数据：用分层抽样的方法，从所有被调查的人中抽取一个容量为的样本，其中在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了66人，(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ)在所抽取的“带头闯红灯”的人中，任选取2人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，求这2人中至少有1人是女生的概率．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）由题意得：，解得．（Ⅱ）因为所有参与调查的人数为，所以从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为，其中男生为人，女生为人，设从“带头闯红灯”中抽取的6人中男生用表示，女生分别用表示，则从这6人中任选取2人所有的基本事件为：，，，，，共有15个．这两人均是男生的基本事件为，则至少有一个是女生的基本事件共有12个．故从这6人中任选取2人，至少有一个是女生的概率.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 在正三棱柱中，，，点为的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若点为上的点，且满足，三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为1：12，求实数的值．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.（Ⅱ）∵∴过作于，则平面，设，则解得所以此时为的中点，故．20. 已知函数，．(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值．(Ⅱ)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由,得,令,得或.由此列表讨论能求出.(Ⅱ)由,得 .由已知得.由此利用构造法和导数性质能求出.(Ⅱ)由，得∵，∴，由于不能同时取等号，所以，即．∴恒成立．令，，则当时，，，从而所以函数在上为增函数，所以所以．点睛：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.常用的方法有两个：（1）直接讨论找函数的最值，一般难度较大；（2）变量分离：可以转化为恒成立，构造函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.21. 已知椭圆经过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设是椭圆上的点，直线与(为坐标原点)的斜率之积为．若动点满足，试探究是否存在两个定点，使得为定值?若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.（Ⅱ）设，，，则由得即，，因为点在椭圆上，所以，故设，分别为直线与的斜率，由题意知，，因此所以，所以点是椭圆上的点，所以由椭圆的定义知存在点，满足为定值又因为，所以坐标分别为、．请考生在22、23题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目，如果多做，则按做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)，以原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．(1)求圆的直角坐标方程与直线的普通方程；(2)设直线截圆的弦长为半径长的倍，求的值．【答案】（Ⅰ）圆的直角坐标方程为；直线的普通方程为;（Ⅱ）或.试题解析：(1)圆的直角坐标方程为；直线的普通方程为．（2）圆，直线，∵直线截圆的弦长等于圆的半径长的倍，∴圆心到直线的距离，解得或．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的定义域为．(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)若的最大值为，解关于的不等式：．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】试题分析：(Ⅰ)先将已知条件转化为恒成立问题，再构造函数，利用绝对值不等式求出所构造的函数的最小值，然后求解的范围；(Ⅱ)先将的值代入原不等式中，再变形为，利用“”，可得其解集．。

2019年甘肃省兰州市高三一诊考试文科数学试卷2019.3.7本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则集合中的元素个数为 （ ） A. B. C. D. 答案：B解析：,故选B 2.A. B. C. D. 答案：C解析：,故选C3. 若双曲线的实轴长为则其虚轴长为( )A.答案：B解析：由题意得：B 4. 已知向量的夹角为, ，,则( )A. B. C. D.答案：D 解析：，故选D5. 某区要从参加扶贫攻坚任务的名干部中随机选取人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则或被选中的概率是（ ）A =x ÎN -1<x <4{}A 3456A =0,1,2,3{}(-1+i )(2i +1)=1+i 1-i -3-i -3+i (-1+i )(2i +1)=-2i +2i 2-1+i =-3-i x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)4a =2ca=\b =\2b =2p 3-32-33235A ,B ,C ,D ,E 2A BA.B. C. D. 答案：D解析：随机选取2人可能有：, 或被选中的有：,所以概率为：，故选D 6.朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界上最早的科学普及著作，《算学启蒙》提到一些堆垛问题，如，“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别是1,3,6,10，…。

现有一个“三角垛果子”，其第十层果子数为 A.50 B.55 C.100 D.110 答案：B解析：由题可知，每层果子的形状为正三角形。

因此第一层的果子有1个，每条边的果子有1个；第二层的果子有3个，每条边的果子有2个；第三层果子有6个，每条边的上的果子3个；以此类推。

甘肃省张掖市2019届高考机构一模试卷（文科）
、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的
1. ( 5 分)设集合 A={ - 1, 0, 1 , 2, 3}, B={x|x 2- 2x > 0}，则 A n B=( )
A . {3}
B . {2 , 3}
C . { - 1, 3}
D . {0 , 1, 2}
2. ( 5分)在复平面内，复数」r+i 所对应的点位于(
)
1+1
C . - 4
D . 4 6. （ 5分）直线x+2y - 5+.二=0被圆x 2+y 2- 2x - 4y=0截得的弦长为（
）
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A •第一象限 B. 第二象
限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. （ 5分）将函数 y=sin (x+
7
T
上各点的横坐
2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（
A . y=sin C . y=sin
(2x+ &21
12 K
12
4. （ 5分）若两个球的表面积之比为 1: 4，则这两个球的体积之比为（
A . 1: 2
B . 1: 4
C . 1: 8
D . 1: 16 5. （5分）若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线
-=1的右焦点重合,
则p 的值为（ A . 1
7.（ 5
分）某
且该几何体的体积是 一，
则正视图中的x 的值是
的图象上所有的点向左平移
个的单
位长
B .
D .
)
)。

甘肃省兰州市2019届高三一诊数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．65．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．26．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．3 D．48．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A ．[，2）B ．[，2]C ．[，1）D ．[，1]第Ⅱ卷本卷包括必考和选考题两部分。

2019届甘肃省酒泉市敦煌中学高三一诊数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题(每题5分，共60分)1.集合{}|03P x Z x =∈≤≤,{}2|9M x Z x =∈<,则P M ⋂= ( )A.{}1,2B.{}0,1,2C.{}|03x x ≤<D.{}|03x x ≤≤ 2.下列函数中,定义域为[)0,+∞的函数是( )A.y =B.22y x =- C.31y x =+ D.()21y x =-3.下列命题中的假命题是( )A.x R ∀∈,120x ->B.*x N ∀∈,()210x -> C.∃0x R ∈,0lg 1x < D.0x R ∃∈,0tan 2x =4.已知集合(]2,5A =-,[]1,21B m m =+-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是( ) A.(]3,3- B.[]3,3- C.(,3]-∞ D.(,3)-∞5.已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示,则不等式()0xf x <的解集为( )A.()1,2B.()-2-1，C.()()2,11,2--⋃D.()1,1- 6.“24x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”成立的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, ()x x x f 22-=,则当()y f x =在R 上的解析式为( )A.()()2f x x x =+B.()()2f x x x =+C.()()2f x x x =-D.()()2f x x x =-8.设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则等于（ ）B.2C.D.4 9.命题“2,x R x x ∀∈≠”的否定是( )A.2,x R x x ∀∈≠B.2,x R x x ∀∈=C.2000,x R x x ∃∉≠ D.0200,x x R x =∈∃10.在下列四个命题中,其中真命题是( ) ①“若1xy =,则lg lg 0x y +=”的逆命题; ②“若a b a c ⋅=⋅,则()a b c ⊥-”的否命题;③“若0b ≤,则方程2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题; ④“等边三角形的三个内角均为60”的逆命题. A.①② B.①②③④ C.②③④ D.①③④11.在函数()121f x x =,()22f x x =,()32xf x =,()412log f x x =四个函数中,当211x x >>时,使()()1212122x x f x f x f +⎛⎫+<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭成立的函数是( ). A.()121f x x = B.()22f x x = C.()32xf x = D.()412log f x x =12.下列命题中的假命题是( ) A.0x ∀>且1x ≠,都有12x x+> B.a R ∀∈,直线ax y a +=恒过定点()1,0 C.R ϕ∀∈,函数()y sin x ϕ=+都不是偶函数 D.m R ∃∈,使()()3421+--=m mx m x f 是幂函数,且在()0,+∞上单调递减二、填空题(每题5分，共20分)13.设集合{}|22,A x x =-≤{}2|,12,B y y x x ==--≤≤则A B ⋂=__________14.已知命题p :0x R ∃∈,20020x ax a ++≤,则p ⌝为 .15.计算: 021.10.5lg252lg2-++=__________. 16.给定下列四个命题: ①∃0x Z ∈,使0510x +=成立;②x R ∀∈,都有()22log 110x x -++>;③若一个函数没有减区间,则这个函数一定是增函数;④若一个函数在[],a b 上为连续函数,且()()0f a f b >,则这个函数在[],a b 上没有零点. 其中真命题个数是__________. 三、解答题（6大题，共70分）17.（10分）已知{}|25M x x =-≤≤,{}|121N x a x a =+≤≤-若M N ⊇,求实数a 的取值范围。

2019年兰州市高三诊断考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题的4个选项中只有一个是正确的. 1.设全集{}14A x N x =∈-＜＜，则A 中元素个数是（B ） A .3 B .4 C .5 D .6 解：{}{}140,1,2,3∵＜＜A x N x =∈-=，∴A 元素个数为4，故选B . 2.(1)(21)i i -++= （C ）A .1i -B .1i +C .3i --D .3i -+ 解：复数(1)(21)2123i i i i i -++=---+=--，故选C3.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的实轴长为4，则其虚轴长为（B ）A .B .C .D .3解：根据题意2a =，ca =c =∴=∴b 2b =∴B 4.已知向量,a b 的夹角为23π，3a b ⋅=-，2b =，则a =的值为（D ）A .32-B .3-C .32D .3解：根据题意132a b -=-，又2b =∵，3a =∴，选D .5.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某 贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是（D ）A .15B .25C .35D .710解：从5人中任选2人不同的选法共有2510C =种，选中A 或B 的共有1123227C C C +=种， ∴710P =，故选D . 6. 朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》提到一些堆垛问题，如“三角垛子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三 棱锥，每层皆成正三角形，从上向上数，每层果子数分别为1，3，6，10，….现有一个“三 角垛子”，则其第10层果子数为（B ）A .50B .55C .100D .110解：设第n 层果子数为n a ，则1n n n b a a +=-构成等差数列2，3，4，…，即11n n a a n +-=+，所以11a =，212a a -=，323a a -=，434a a -=，，10910a a -=，所以10121055a =+++=，故选B .7.已知函数1()ln1x f x x x +=⋅-，1()3a f =-，1()2b f =，1()4c f =，则以下关系成立的是（A ） A .c a b ＜＜ B .c b a ＜＜ C .a b c ＜＜ D .a c b ＜＜解：11111()ln ln 2ln16332312a f =-=-==∵，6111()ln 3ln 32212b f ===，311515()ln ln()443123c f ===，c a b ∴＜＜，故选A8.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n 的值是（AA .168B .169C .336D .338 解：①1,0,k n ==→②2,0,k n ==→③3,0k n ==→④4,1k n ==→⑤5,1k n ==→⑥6,n 1k ==→ ⑦7,1k n ==→⑧8,1,k n ==→⑩9,1k n ==→ ⑩10,1k n ==→⑾11,1k n ==→⑿12,1k n ==→ ⑿13,1k n ==→⒀14,1k n ==→⒁15,1k n ==→ ⒂16,2k n ==→归纳规律：262k m πππ=+时，sin 16k π=，所以1n n =+ 即123k m =+，也就是说当3,15,27,39k =时n 的值要增加1，列表如下：即12k =168，故选A9.若点P 是函数2sin sin cos xy x x=+图象上任一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 的斜率的范围是（C ）A .(,1)-∞B .[0,1]C .[1,)+∞D .(0,1] 解：22cos (sin cos )(sin cos )2sin 21(sin cos )1sin 2≥x x x x x x y x x x+--+'==++∵，1≥l k ∴，故选C 10.在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，1AB =，2PD =，则异面直线PA 与BD 所成角的余弦值为（D ） A .B C D 解：设DA x =，DC y =，DA x =，DP z =， 则0,0,0,x y x z z y ⋅=⋅=⋅=且1,2x y z ===PA x z =-∵，DB x y =+，()()1PA DB x z x y ⋅=-⋅+=∴1ABCDP2 1又2,5DB PA ==∵，所以10cos ,10PA BD <>=D 11.已知点1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，动点Q 在射线1F P 的延长线上，且2PQ PF =，若PQ 的最小值为1,最大值为9,则椭圆的离心率为A .35B .13C .45D .19解：如图2PQ PF =∵，212PF PF a +=，又min1PQ =，max9PQ =2min1PF =∴，2max9PF=，1a c -=∴，9a c +=，5a =∴，4c =，45∴e =，故选C . 12.已知函数2()ln(1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈，2()(3)f ax f ＜恒成立，则实数a 的范围是A .3344a -＜＜B .33a -＜＜C .34a ＜ D .3a ＜解：0≥x ∵时，2()ln(1)f x x x =++，()f x ∴在[0,)+∞单调递增，且是偶函数 又因为对于[1,2]x ∈，2()(3)f ax f ＜恒成立，所以23ax ＜，23a x∴＜恒成立 min233)4a x =∴＜(，3344a -∴＜＜，故选A 二、填空题：（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{}n a 中，12n n a a +=对*n N ∀∈成立，且312a =，则1_________a =. 解：根据题意，数列{}n a 是公比为2的等比数列，所以112n n a a -=，又因为312a =，所以13a =.14.若实数,x y 满足约束条件2202x y x y --⎧⎨+-⎩≥≥0，则2z x y =--必有_______值填“大”或“小” ）解：作出平面区域如图，两直线交点坐标为42(,)33所以当42,33x y ==时，max 103z =-.故填：“大”15.已知7sin cos 5αα+=，sin cos αα＞，则tan α=______.解：7sin cos 5αα+=∵，4912sin cos 25αα+=∴，112sin cos 25αα-=∴21(sin cos )25αα-=∴，又sin cos αα＞∵，1sin cos 5αα-=∴，4sin 5α=∴，3cos 5α=，4tan 3α=∴ 16.已知函数211()ln 24f x a x x =-+，当1(,0)2a ∈-时，函数的零点个数为______.解：()(0)a f x x x x '=-∵＞，又1(,0)2a ∈-∵，()0f x '∴＜，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，又因为1(1)04f =-＜，2111()024f a e e '=--+＞，所以函数的零点个数为1.三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题是必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据实际要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知锐角ABC Δ中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，10b c +=，a =. 5sin cos 5sin cos 3b A C c A B a +=（1）求A 的余弦值； （2）求b 和c .解：（1）5sin cos 5sin cos 3b A C c A B a +=∵，5sin sin cos 5sin sin cos 3sin B A C C A B A +=∴，5sin (sin cos sin cos )3sin A B C C B A +=∴，25sin 3sin A A =∴，3sin 5A =∴；又因为ABC Δ是锐角三角形，所以4cos 5A =.（2）2222cos a b c bc A =+-∵，2810()25b c cb bc =+--∴，18905bc =∴，25bc =∴，又10b c +=，所以5b c ==，即b 和c 的值都为5. 18.（12分）“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又 成为了兰州的另一张名片.随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且 在全国各大城市逐淅兴起，参加马拉松训练与比赛的人口逐年增加.为此，某市对人们参 加马拉松运动的情况进行了统计调查.其中一项调查是调查人员从参加马拉松运动的人若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则为“非 热烈参与者”.（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数； （2）根据上表数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超 过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？附：22()(()()()()n ad bc K n a b c d a c b d -=++++为样本容量）解：（1）因为样本为200人，又因为“热烈参与者”为40人，故热烈参与者的概率为15，又因为全市参与者有2万人，故计“热烈参与者”为12000040005⨯=（人），（4分）（2 所以2222200(35555105)20025562571757.2924016060140401606014062224K ⨯-⨯⨯⨯⨯====≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 又因为7.292 6.635＞，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下能认为“热烈参与马拉松”与性别有关. 19.（12分）已知曲线C 上的任意一点到直线l ：12x =-的距离与到点1(,0)2F 的距离相等.（1）求曲线C 的方程；（2）若过(1,0)P 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，(1,0)Q -为定点，设直线AQ 的斜率为1k ， 直线BQ 的斜率为2k ，直线AB 的斜率为k ，证明：22212112k k k +=为定值. 解：（1）根据题意，曲线C 是以1(,0)2F 为焦点的抛物线，所以曲线C 的方程为22y x =；（2）如图设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB ：(1)y k x =-解方程组2(1)2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(22)0k x k x k -++=，121x x =∴，12222x x k+=+∴，又2121111()x k y +=∵，2222211()x k y +=所以22122212121111(()x x k k y y +++=+)，又因为2112y x =，2222y x = 所以22112212122212121221211111()()22222x x x x x xx x k k x x x x ++++++=+=+++224k=+，所以222121124k k k +-=，即22212112k k k +=为定值4. 20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，PCD △为正三角形，30BAD ∠=，4AD =，AB =PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 中点.（1）证明：BE PC ⊥（2）求多面体PABED 的体积 （1）证明：根据题意2BD ==所以AD BD ⊥， 又因为四边形ABCD 为平行四边形所以CD BD ⊥又因为平面PCD ⊥平面ABCD所以BD ⊥平面PCD ，所以BD PC ⊥又因为E 为PC 中点，PCD △为正三角形，所以DE PC ⊥，又DE BD D ⊥= 所以PC ⊥平面BDE ，所以BE PC ⊥； （2）由（1）知正三角形PCD的边长为AB =3， 又因为平行四边形ABCD的面积为ABCDSAB BD =⨯=所以133P ABCD ABCDV S-=⨯=E 为PC 中点，所以E 到平面ABCD 的距离为32，所以13133232E BCD BCD V S -=⨯=⨯=△所以P ABED P ABCD E BCD V V V ---=-== 即多面体PABED的体积为 21.（12分）已知函数322211()(2)(2),32f x x a a x a a x a R =-++++∈.（1）当1a =-时，求函数()y f x =的单调区间； （2）求函数()y f x =的极值.解：（1）1a =-∵，321()3f x x x x =-+∴，22()21(1)0f x x x x '=-+=-∴≥所以函数()y f x =的单调增区间为(,)-∞+∞ ，没有减区间；（4分）23（2）2222()(2)(2)()(2)f x x a a x a a x a x a '=-++++=---所以()0f x '=时，2x a =或2x a =+所以当22(2)(1)0a a a a --=-+＞时，1a -＜或2a ＞ 即当1a -＜或2a ＞时，22a a +≥，所以()f x 在(,2)a -∞+和2(,)a +∞上递增，在2(2,)a a +上递减，所以()(2)f x f a =+极大，2()()f x f a =极小当1a -=或2a =时，()0f x '≥，所以函数没有极值；当12a -<< 时，22a a <+所以()f x 在2(,)a -∞和(2,)a ++∞上递增，在2(,2)a a +上递减，所以()(2)f x f a =+极小，2()()f x f a =极大.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题纸上将所选题题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题平 分；多答按所答第一题评分. 22[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线E 的极坐标方程为22224(4)sin (16)cos ρθρθ-=-，以极轴为x 轴的非负半轴，极点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系. （1）写出曲线E 的直角坐标方程；（2）若点P 为曲线E 上动点，点M 为线段OP 的中点，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求点M 到直线l 的距离的最大值.解：（1）22224(4)sin (16)cos ρθρθ-=-∵，2222224sin 16sin 16cos cos ρθθθρθ-=-∴，2222224sin cos 16cos 16sin ρθρθθθ+=+∴，22416y x +=∴， 即221164x y +=， 所以曲线E 的直角坐标方程是221164x y +=；（2）设(4cos ,2sin )P αα则(2cos ,sin )M αα，又因为5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以20x y -+=，设点M 到直线l 的距离为d则d === 即点M 到直线l23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0a ＞，0b ＞，4a b +=，m R ∈.（1）求11a b+的最小值（2）若112x m x a b+--+≤对任意实数x 的恒成立，求m 的范围.解（1）4a b +=∵，0a ＞，0b ＞，211()()(11)4a b a b+++=∴≥，111a b +∴≥，即11a b+的最小值为1，（取最小值时2a b ==）；（2）2()(2)2x m x x m x m +--+--=+∵≤，由（1）知111a b+≥，又因为112x m x a b+--+≤对任意实数x 的恒成立，所以21m +≤，所以121m -+≤≤，所以3m -≤≤-1， 所以m 的范围是[3,--1].。

2019年甘肃省高2016级数学一诊试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数(1)(2)(i i +-= ) A.3i +B.1i +C.3i -D.1i -2.(5分)设集合{0U =,1,2,3,4},{0A =,2,4},{2B =,3,4},则()(U A B =ð )A.{2,4}B.{0,4}C.{0,1,3}D.{1,2,3}3.(5分)已知平面向量a ,b 的夹角为23π,||1a =,||2b =,则()(a a b += )A.3B.2C.0D.14.(5分)已知函数()sin cos f x x x =,则( ) A..()f x 的最小正周期是2π,最大值是1 B..()f x 的最小正周期是π,最大值是12 C..()f x 的最小正周期是2π,最大值是12D.()f x 的最小正周期是π,最大值是15.(5分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是( )A.55B.45C.66D.366.(5分)若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )A.(,)a b 和(,)b c 内B.(,)a -∞和(,)a b 内C.(,)b c 和(,)c +∞内D.(,)a -∞和(,)c +∞内7.(5分)抛物线28y x =的焦点到双曲线2214y x -=的渐近线的距离是( )8.(5分)已知函数()f x 的图象如图所示,则()f x 的解析式可能是( )A.||()cos x f x e x =B.()||cos f x ln x x =C.||()cos x f x e x =+D.()||cos f x ln x x =+9.(5分)在ABC ∆中,120A =︒,14BC =,10AB =,则ABC ∆的面积为( )A.15B. C.40D.10.(5分)法国机械学家莱洛(F .Reuleaux 18291905)-发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形,它是分别以正三角形ABC 的顶点为圆心,以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线,在封闭曲线内随机取一点,则此点取自正三角形ABC 之内(如图阴影部分)的概率是( )11.(5分)四棱锥P ABCD -的顶点均在一个半径为3的球面上,若正方形ABCD 的边长为4,则四棱锥P ABCD -的体积最大值为( ) A.43B.83C.163D.64312.(5分)直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点,且交抛物线于A ,B 两点,交其准线于C 点,已知||4,3AF CB BF ==,则(p = )A.2B.43 C.83D.4二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

2019年兰州市高三诊断考试(文科)一、 选择题1. 已知集合{|14},,=∈-<<⊆A x N x B A 则集合B 中的元素个数至多是（ ）A ．3 B.4 C.5 D.6 2.(1)(21)=-++i i （ ）A ．1-i B.1+i C.3--i D.3-+i3.若双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的实轴长为4）A．B.C.D.34.已知向量,a b 的夹角为23π，3=-a b ，||2=b ，则||=→a （ ）A.3-2B.-3C. 32 D. 35.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部,,,,A B C D E 中随机抽取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是（ ） A.15 B.25 C.35 D.7106.朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作，中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子对多成正三棱锥，上向下数，每层果子数分别为1,3,6,10，.现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（ ）A.50B.55C.100D.110 7.已知函数1111()ln ,(),(),()14π+==-==-x f x x a f b f c f x e ，则以下关系成立的是（ ）A.<<c a bB.<<c b aC.<<a b cD.<<a c b8.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n 是（ ） A.168 B.169 C.336 D.338 9.若点P 是函数2sin sin cos =+xy x x图像上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 倾斜角的范围是（ ）A.-1∞（，）B.[0,1]C.[1,+)∞D.(0,1]10.在四棱锥-P ABCD 中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，1,2,==AB PD 则异面直线PA 与BD 所成角的余弦值为（ ）11.已知点12,F F 是椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点，P 为椭圆上动点，动点Q 在射线1F P 的延长线上，且2||||→→=PQ PF ，若||→PQ 的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（ ） A.35 B.13 C.45 D.1912．已知函数2()ln(||1)=++f x x x ，若对于[1,2]∈-x ，2()(3)<f ax f 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.3344-<<a B.33-<<a C.34<a D.3<a 二、填空题13.已知数列{}n a 中，1=2+n n a a 对*∀∈n N 成立，且312=a ，则1=a .14.若实数,x y 满足条件22020--≥⎧⎨+-≥⎩x y x y ，则2=--z x y 必有最 值（填“大”或“小”）15.已知7sin cos 5αα+=，sin cos αα>，则tan α= .16.若211()ln 24=-+f x a x x ，当1(,0)2∈-a 时，函数的零点个数为 .17.（12分）已知锐角∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，10,+==b c a ，5sin cos 5sin cos +=b A C c A B （1）求A 的余弦值； （2）求b 和c .18.(12分)“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加.为此，某事对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松送运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”. （1）经调查，该市越有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？附：22()()()()()-=++++n ad bc k a b c d a c b d （n 为样本容量）已知曲线C 上任意一点到直线1:2=-l x 的距离与到点1(,0)2F 的距离相等. （1）求曲线C 的方程；（2）若过点(1,0)P 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，(1,0)-Q 为定点，设直线的斜率为，直线的斜率为，设直线的斜率为，证明：22212111++k k k为定值. 20.（12分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，∆PCD 为正三角形，30∠=BAD，4,==AD AB ⊥PCD 平面ABCD ，E 为PC 中点.（1）证明：⊥BE PC ； （2）求多面体PABED 的体积.已知函数322211()(2)(2),32=-++++∈f x x a a x a a x a R . （1）当1=-a 时，求函数()=y f x 的单调区间； （2）求函数()=y f x 的极值点.（选考题）：共10分.（二选一）22.[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）已知曲线E 的极坐标方程为22224(4)sin (16)cos ρθρθ-=-，以极轴x 为轴的非负半轴，极点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系.（1）写出曲线E 的直角坐标方程；（2）若点P 为曲线E 上动点，点M 为线段OP 的中点，直线l的参数方程为⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y （t 为参数），求点M 到直线l 的距离的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0,0,4,.>>+=∈a b a b m R （1）求11+a b的最小值； （2）若11|||2|---≤+x m x a b对任意的实数x 恒成立，求m 的范围.。

2019年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1、若集合{|12},{|21}A x x B x x =-<<=-<<，则集合A B =A ．{|11}x x -<<B ．{|21}x x -<<C ．{|22}x x -<<D ．{|01}x x <<2、如图所示，向量12,OZ OZ 所对应的复数分别为12,Z Z ，则12Z Z ⋅= A ．42i + B ．2i + C ．22i + D ．3i +3、某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响， 部分统计数据如下表：经计算210K =，则下列选项正确的是A ．有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B ．有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C ．有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D ．有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响 4、已知4tan 3x =，且x 角的终边在第三象限，则cos x =A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 5、函数()3log (3),0(1),0x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩，则(3)f 的值为A ．-1B ．-2C ．1D ．26、如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的三视图（用①②③④⑤⑥代表图形）A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤ 7、设D 为ABC ∆的所在平面内一点，4BC CD =-，则AD =A ．1344AB AC - B ．1344AB AC + C ．3144AB AC -D ．3144AB AC + 8、某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图所示的程序框图处理后，输出的S =A ．196B ．203C ．28D ．299、已知函数满足一下两个条件：①任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠时，1212()[()()]0x x f x f x --<；②对定义域内任意x 有()()0f x f x +-=，则符合条件的函数是 A ．()2f x x = B ．()1f x x =- C ．()1f x x x=- D ．()ln(1)f x x =+ 10、已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且(2,2),(4,),(22,2)A a B a C a -+，则ABC ∆的外接圆的方程是A ．22(3)5x y +-=B ．22(3)5x y ++=C ．22(3)5x y -+=D ．22(3)5x y ++=11、已知三棱锥S-ABC 的各顶点都在一个球面上，ABC ∆所在截面圆的圆心O 在AB 上，SO ⊥平面,1ABC AC BC ==，若三棱锥的体积是，则球体的表面积是 A ．254π B ．2512π C ．12548π D ．25π 12、将函数()3sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，在向上平移1个单位，得到()g x 的图象，若()()1216g x g =，且1233,[,]22x x ππ∈-，则122x x -的最大值为 A ．2312π B ．3512π C ．196π D ．5912π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分 的面积约为（14）已知函数若，则的取值范围是 .2,0,()1,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩()1f x ≤x（15）若点P 是椭圆上的动点,则P 到直线的距离的最大值是 .（16）△ABC 的顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝1上，B ，C两点在直线3x+y+3=0上，若|AB －AC |＝4，则△ABC 面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知sin sin()2C B A A +-=，.2A π≠ （Ⅰ）求角A 的取值范围； （Ⅱ）若1,a ABC =∆的面积14S =，C 为钝角，求角A 的大小．（18）（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：1222=+y x 1:+=x y l（Ⅱ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60︒，AB ⊥B 1C ．（Ⅰ）求证：平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ；（Ⅱ）若AB ＝2，求三棱柱ABC -A 1B 1C 1体积． （20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．（21）（本小题满分12分）已知函数 x 轴是函数图象的一条切线． （Ⅰ）求a ； （Ⅱ）已知 ．请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋ π4)＝2距离的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设f (x )＝|x －3|＋|x －4|． （Ⅰ）解不等式f (x )≤2；B C B 1BAC 1A 1A（Ⅱ）若存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围．2019年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）参考答案一、选择题：1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.B8.D9.C 10. D 11. A 12.B 12.答案提示：由题可知2()3sin(2)13g x x π=++，因为12()()16g x g x =所以4)()(21==x g x g 都为最大值，令22232x k ππ+=π+，可得12x k π=π-，又因为1233,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以取得1311,,121212x πππ=--，则122x x -的最大值=1113352()121212πππ⨯--=，答案为B二、填空题： （13）4.6 ； （14） ； （15） ； （16）1．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由sin sin()2,C B A A +-=得sin()sin()cos .B A B A A A ++-=即2sin cos cos .B A A A =因为cos 0,A ≠所以sin .B A = ……………3分由正弦定理，得.b = 故A 必为锐角。

兰州市2019届高三第一次诊断性考试文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}2．复数（i是虚数单位）的模等于（）A．B．10 C．D．53．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．4．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．15．已知=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且=0，则△ABC的面积为（）A．1+B． +C．1+D．8．已知数列{a n}为等差数列，公差d=﹣2，S n为其前n项的和．若S10=S12，则a1=（）A．19 B．20 C．21 D．229．若﹣＜θ＜0，且P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．64+24πcm2B．64+36πcm2C．48+36πcm2D．48+24πcm211．设函数f（x）=，则使得f（2x）＞f（x﹣3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，1）12．若函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．（，2] C．[1，4）D．[2，8）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数，则f[f（﹣1）]=______．14．已知α，β∈（0，π），cosα=，cos（α+β）=，则cosβ=______．15．已知双曲线=l（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则该双曲线的离心率为______．16．已知正四面体ABCD的棱长为l，E是AB的中点，过E作其外接球的截面，则此截面面积的最小值为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}中，公差d≠0，a1=2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是棱PB、PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FGH的体积．19．有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决5组，各组的人数如下：人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．20．已知F1，F2为椭圆=l（a＞b＞0）的左、右焦点，B1，B2椭圆短轴的端点，四边形F1B1，F2B2为正方形且面积等于50．（I）求椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F l且倾斜角为30°的直线l交椭圆于M，N两点，求△F2MN内切圆的半径．21．设函数f（x）=（ax+b）e x，g（x）=﹣x2+cx+d．若函数f（x）和g（x）的图象都过点P（0，1），且在点P处有相同的切线y=2x+1．（I）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n 的最小值．兰州市2019届高三第一次诊断性考试文科数学试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}【考点】并集及其运算．【分析】根据交集关系求出a，b，即可得到结论．【解答】解：∵M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，∴2a=2，即a=1，则N={1，b}，则b=2，即N={1，2}，则M∪N={0，1，2}，故选：C2．复数（i是虚数单位）的模等于（）A．B．10 C．D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模．【解答】解：=1+=3+i，故模为；故选：A．3．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．【考点】数列与函数的综合；等比数列的性质．【分析】由已知条件推导出a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣2，由（a3+a8）2=2a2a9+6，能求出锐角α的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a3和a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣2=0的两根，∴a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣sinα，∵（a3+a8）2=2a2a9+6，∴4sin2α=﹣2+6，即sinα=，或sinα=﹣（舍），∴锐角α的值为．故选：C．4．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．5．已知=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵=，∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣[1﹣2]=﹣[1﹣2•]=﹣，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出S≥2时终止循环，写出输出n的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，S=0，S＜2，S=0+sin=，n=2；S＜2，S=+sin=+，n=3；S＜2，S=++sin=+，n=4；S≥2，终止循环，输出n=4．故选：C．7．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且=0，则△ABC的面积为（）A．1+B． +C．1+D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由条件得．两边平方计算，得出∠AOB．从而得出∠AOC，∠BOC，分别计算三个小三角形的面积即可．【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，∴OA=OB=OC=1．∵=，∴．∴，即1+1+2=2．∴．∴，即∠AOB=90°，∴∠AOC=∠BOC=135°，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=++=．故选D．8．已知数列{a n}为等差数列，公差d=﹣2，S n为其前n项的和．若S10=S12，则a1=（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵S10=S12，∴10a1+×（﹣2）=12a1+×（﹣2），化为：2a1=42，则a1=21．故选：C．9．若﹣＜θ＜0，且P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q【考点】三角函数线．【分析】判断三个数的范围，即可比较大小．【解答】解：﹣＜θ＜0，cosθ∈（0，1）且P=3cosθ＞1，Q=（cosθ）3∈（0，1）；R=∈（0，1）．（cosθ）3＜，可得：Q＜R＜P．故选：B．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．64+24πcm2B．64+36πcm2C．48+36πcm2D．48+24πcm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的表面积公式、矩形面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，且圆锥的底面圆的半径是4、高为3，则母线长=5，正方体的棱长是4，∴该几何体的表面积S=5×4×4+π×42﹣4×4+π×4×5=64+36π（cm2），故选：B．11．设函数f（x）=，则使得f（2x）＞f（x﹣3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】函数单调性的性质．【分析】求出x＞0时f（x）的表达式，结合函数的单调性以及奇偶性，得到|2x|＜|x﹣3|，解出即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）==1+，x→+∞时，f（x）→1，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，又f（x）是偶函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数．∵f（2x）＞f（x﹣3），∴|2x|＜|x﹣3|，即4x2＜x2﹣6x+9，解得：﹣3＜x＜1，故选：A．12．若函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．（，2] C．[1，4）D．[2，8）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数零点的定义，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，∴log2a=x2+﹣4在（0，2]上有两解，设g（x）=x2+﹣4，则g′（x）=2x﹣，得x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（1）=﹣1，g（2）=1，∴﹣1＜log2a≤1，∴＜a≤2，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数，则f[f（﹣1）]=0．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可．【解答】解：函数，则f[f（﹣1）]=f（（﹣1）2+1）=f（2）=．故答案为：0．14．已知α，β∈（0，π），cosα=，cos（α+β）=，则cosβ=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知可得α∈（0，），α+β∈（0，）或α+β∈（，2π），当α+β∈（，2π）时，由α∈（0，），可得β∈（π，），矛盾，可得α+β∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β），再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）﹣α]的值．【解答】解：∵α，β∈（0，π），cosα=＞0，cos（α+β）=＞0，∴α∈（0，），α+β∈（0，）或α+β∈（，2π），∵α+β∈（，2π）时，由α∈（0，），可得β∈（π，），矛盾，故α+β∈（0，），∴sinα==，sin（α+β）==，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+=．故答案为：．15．已知双曲线=l（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线=l（a＞0，b＞0）的一条渐近线ay=bx与直线2x+y ﹣3=0垂直，可得：，可得，解得：e=．故答案为：．16．已知正四面体ABCD的棱长为l，E是AB的中点，过E作其外接球的截面，则此截面面积的最小值为．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】将正四面体放入正方体中，正方体的中心即为其外接球的球心，AB为过E的最小截面圆的直径，求出截面圆的面积即可．【解答】解：将正四面体放入正方体中，则正方体的中心即为其外接球的球心，AB为过E的最小截面圆的直径，如图所示：则所求截面圆的面积为π•=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}中，公差d≠0，a1=2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）由题意列出方程，解得公差d，写出通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法对数列求和即得结论．【解答】解：（I）设数列{a n}的公差为d∵a1，a3，a7成等比数列∴=a1a7，∴=a1（a1+6d）又a1=2，∴d=1或d=0（舍去）∴a n=2+（n﹣1）•1=n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n==﹣，∴T n=b1+b2+…+b n=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是棱PB、PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FGH的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）取AC中点D，连结FD，GD，由中位线定理及PA⊥平面ABC可得EG⊥AH，由AB=AC，GD∥BC可得AH⊥GD，故AH⊥平面EGDF，得到AH⊥FG；（II）设AH∩GD=M，则M为AH的中点，由中位线定理得EF=，EG=1，由平行公理的推论可得EG⊥EF，从而V E﹣FGH =V H﹣EFG=．【解答】证明：（I）∵E，G分别是PB，AB的中点，∴EG∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴EG⊥平面ABC，∵AH⊂平面ABC，∴EG⊥AH，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，取AC中点D，连结FD，GD，∵G，D分别是AB，AC的中点，∴GD∥BC，∴AH⊥GD，又EG⊂平面EGDF，GD⊂平面EGDF，EG∩GD=G，∴AH⊥平面EGDF，∵FG⊂平面EGDF，∴AH⊥FG．解：（II）由（I）知EG⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EG⊥BC，∵E，F是PB，PC的中点，∴EF∥BC，EF===．∴EG⊥EF．又∵EG=，∴S△EFG===．∵AB⊥AC，AB=AC=2，H是BC的中点，∴AH===．设AH∩GD=M，则．∴HM==．∴V E﹣FGH =V H﹣EFG===．19．有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决5组，各组的人数如下：人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率．【解答】解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表抽取人数 3 6 9 9 3歌手的概率为．B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．20．已知F1，F2为椭圆=l（a＞b＞0）的左、右焦点，B1，B2椭圆短轴的端点，四边形F1B1，F2B2为正方形且面积等于50．（I）求椭圆方程；（Ⅱ）过焦点F l且倾斜角为30°的直线l交椭圆于M，N两点，求△F2MN内切圆的半径．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由四边形F1B1F2B2为正方形且面积等于50，推导出b=c=5，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）直线l的方程为x=，代入=1，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆定义，结合已知条件能求出△F2MN内切圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）由四边形F1B1F2B2为正方形且面积等于50，得，解得b=c=5．∴a2=b2+c2=50，∴椭圆方程为．（Ⅱ）过焦点F l（﹣5，0），倾斜角为30°的直线l的方程为x=，代入=1，得，，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=2，y1y2=﹣5，，|y1﹣y2|=4，==20，又=，∴r=2．21．设函数f（x）=（ax+b）e x，g（x）=﹣x2+cx+d．若函数f（x）和g（x）的图象都过点P（0，1），且在点P处有相同的切线y=2x+1．（I）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】导数的运算．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，1），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）对函数h（x）=f（x）﹣g（x）进行求导，即可判断其单调性．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（ax+a+b）e x，∴，∴a=b=1，g′（x）=﹣2x+c，∴∴c=2，d=1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）e x﹣（﹣x2+2x+1）=（x+1）e x+x2﹣2x﹣1，∴h′（x）=（x+2）e x+2x﹣2=（x+2）e x+2x+4﹣6=（x+2）（e x+2）﹣6≥2×3﹣6=0，∴h（x）在[0，+∞）为增函数．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得：+1=0，利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出．【解答】解（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开可得：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得： +1=0，∴ρ1ρ2=1．∴|OA||OB|=|ρ1ρ2|=1．【选修4-5：不等式选讲】23．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=3，不等式即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，不等式恒成立，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．（Ⅱ）由f（x）≤1求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|，即|x﹣3|+|x﹣1|≥|x ﹣3﹣x+1|=4．由绝对值的意义可得；不等式恒成立，故|x﹣3|+|x﹣1|≥4的解集为R．（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2．故有+=2（m＞0，n＞0），即+=1，∴m+2n=（m+2n）（+）=1++≥2，当且仅当=时，等号成立，故m+2n的最小值是2．。

2019届甘肃省兰州市高考一诊数学试题（文）一、单选题1．已知集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}，则集合A 中的元素个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】先根据集合A 的限制条件，确定A 中的元素，然后可得元素个数. 【详解】集合A={x ∈N|-1＜x ＜4}={0，1，2，3}．即集合A 中的元素个数是4． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查集合的表示，根据元素的限定条件确定集合的元素，是求解关键. 2．（-1+i ）（2i+1）=（ ） A ．1i - B ．1i + C ．3i -- D ．3i -+【答案】C【解析】利用复数的乘法进行运算，注意12-=i . 【详解】（-1+i ）（2i+1）=-2i -1+2i 2+i=-3-i ．故选：C ． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，侧重考查数学运算的核心素养.3．若双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为4，则其虚轴长为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】B【解析】利用实轴长为4，可得a ，结合离心率可得c ，再根据222c a b =+可得虚轴长. 【详解】根据题意，若双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=3，则有e ca==，则c=3 a=23， 则=， 则该双曲线的虚轴长； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，注意到222c a b =+是求解的桥梁，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知向量a ，b 的夹角为2π3，a b ⋅=-3，|b |=2，则|a |=（ ） A ．32-B ．3-C ．32D ．3【答案】D【解析】利用数量积的运算公式可求. 【详解】∵a b ，的夹角为2,3,||23a b b π⋅=-=； ∴2||||cos ||3;||33a b a b a a π⋅==-=-∴=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，侧重考查数学运算的核心素养.5．某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．710【答案】D【解析】先求基本事件总数25C ，再求A 或B 被选中的对立事件，从而可得. 【详解】某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人， 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n=25C =10， A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中，则A 或B 被选中的概率是P=1-2325710C C =．故选：D ． 【点睛】本题主要考查古典概型的求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（ ） A ．50 B ．55C ．100D ．110【答案】B【解析】根据题意归纳出本质是等差数列求和问题，利用求和公式可得. 【详解】由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，…，即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…， 其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为1+2+3+…+10=12×10×11=55． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查以数学传统文化为背景的数列求和问题，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.7．已知函数f （x ）=xln 1x1x +-，a=f （13-），b=f （12），c=f （14），则以下关系成立的是（ ） A ．c a b << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】A【解析】把所比较的值代入函数，化简，结合对数函数的单调性可求. 【详解】11111111ln ln 2ln 4,ln 3ln 2733236226a f b f ⎛⎫⎛⎫=-=-===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11511ln 44326c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭111427;ln 4ln 27666<<∴<；∴c ＜a ＜b ． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查对数式大小的比较，构造同系数或者同底数的对数式是求解关键. 8．如图所示是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n 是（ ）A ．168B ．169C ．336D ．338【答案】A【解析】结合循环结构找到周期，再求出n 的值. 【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出1到2019中 满足条件sin6k π=1的k 的个数n 的值，由sin 2π=1， 又正弦函数的性质可知函数的取值周期为12，且2019=12×168+3，可得：n=168． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查利用程序框图的求解输出值，求解策略是“还原现场”，侧重考查逻辑推理的核心素养. 9．若点P 是函数y=2sinxsinx cosx+图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l斜率的范围是（ ） A ．(),1∞- B ．[]0,1C ．[)1,∞+D ．(]0,1 【答案】C【解析】先求导数，结合导数的几何意义可知，导数的范围就是切线的斜率的范围. 【详解】 ∵22sin 2cos (sin cos )2sin (cos sin ),sin cos (sin cos )x x x x x x x y y x x x x '+--=∴=++222cos 2sin 212sin cos 1sin 2x x x x x+==++．∵-1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2， ∴111sin 22x ≥+，则211sin 2y x'=≥+．∴直线l 斜率的范围是[1，+∞）．故选：C ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究曲线的切线的斜率问题，侧重考查数学运算的核心素养.10．在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．B C D 【答案】D【解析】先建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求解两个向量的夹角的余弦，再转化为异面直线所成角的余弦. 【详解】由题意，建立如图的空间坐标系，∵底面ABCD 为正方形，AB=1，PD=2，PD ⊥底面ABCD ，∴点A （1，0，0），P （0，0，2），D （0，0，0），B （1，1，0），则(1,0,2),(1,1,0)PA DB =-=，∴cos ,10||||5PA DB PA DB PA DB ⋅<>===⋅．∴异面直线PA 与BD 所成角的余弦值为1010．故选：D ．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，利用空间向量能简化推理过程.11．已知点F 1，F 2是椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，动点Q 在射线F 1P 的延长线上，且|PQ |=|2PF |，若|PQ |的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（ ） A ．35B ．13C ．45D ．19【答案】C【解析】利用|PQ |的最小值为1，最大值为9，可得a,c 的值，从而可得椭圆的离心率. 【详解】因为2||,||PQ PF PQ =的最小值为1，最大值为9，∴|PF 2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1，∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=45c a =，故选：C ． 【点睛】本题主要考查椭圆的性质，求解椭圆的离心率，主要是寻求a,b,c 之间的关系式. 12．已知函数f （x ）=x 2+ln （|x|+1），若对于x ∈[1，2]，f （ax 2）＜f （3）恒成立，则实数a 的范围是（ ） A ．33a 44-<< B ．3a 3-<< C ．3a 4<D ．a 3<【答案】A【解析】先根据函数解析式的特点，确定函数的奇偶性和单调性，再利用分离参数法求解. 【详解】函数f （x ）=x 2+ln （|x|+1）的定义域为R ，且f （-x ）=（-x ）2+ln （|-x|+1）=x 2+ln （|x|+1）=f （x ），所以f （x ）为R 上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；所以对于x ∈[1，2]，f （ax 2）＜f （3）恒成立，等价于|ax 2|＜3在x ∈[1，2]上恒成立；即|a|＜2min3x ⎛⎫⎪⎝⎭在x ∈[1，2]上恒成立，所以|a|＜34，解得-34＜a ＜34；所以实数a 的范围是33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数的性质，利用性质求解不等式问题时，一般是结合单调性处理，侧重考查数学运算的核心素养.二、填空题13．已知数列{a n}中，a n+1=2a n对∀n∈N成立，且a3=12，则a1=______．【答案】3【解析】利用递推公式a n+1=2a n，可以逐步得出a1。