2020-2021学年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)及答案解析

2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|12}A x x =-剟，{1B =-，1}，则(A B =I ) A ．{|11}x x -剟B ．{0，1}C ．{1-，0，1}D ．{1-，1}2．（5分）若(1)(1)iz i i =-+，则(z = ) A ．2iB ．0C ．i -D ．2i -3．（5分）已知向量(1,1),(2,3)a b =-=-r r ，则||(a b -=r r )A B ．1 C ．5 D ．254．（5分）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()f x lgx =，则函数()f x 的零点个数为()A ．4B ．3C ．2D ．15．（5分）命题“[0x ∀∈，)+∞，22020cos 0x x ->”的否定为( )A ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-„ B ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞-„ C ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∉+∞-„D ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∉+∞-< 6．（5分）2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜()ga 、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是( )A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标7．（5分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2410a a +=，424S =，则1a 的值为( ) A ．9B ．1C ．9-D ．2-8．（5分）在棱长均相等的四面体OABC 中，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．（5分）兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，⋯⋯，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）( ) A ．1031πB ．516πC ．10231D ．528π10．（5分）已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，1(2,0)F -，若双曲线的左支上有一点P ，满足12||||2PF PF -=-，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y x =C ．y =D ．13y x =±11．（5分）定义在R 上的函数()y f x =在(-∞，1]上单调递减，且(1)f x +是偶函数，则使(21)f x f ->（3）成立的x 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(-∞，0)(2⋃，)+∞C ．(0,1)D ．(,0)-∞12．（5分）在“家校连心，立德树人--重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成．已知该微信群众男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数．若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[a ，]b ，则b a -= ．14．（5分）数列{}n a 中，已知111,2n n n a a a +=+=，则6a = ．15．（5分）已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则tan()6a ππ-= ．16．（5分）“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，则FB AB =u u u r u u u rg ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABCD 是矩形，2AD AB =，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF ⊥平面PAF ；（2）若在棱PA 上存在一点G ，使得//EG 平面PFD，求AGAP的值．18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0a b C c B ++=． （1）求角C ；（2）若ABC ∆的面积83S =421R =ABC ∆的周长． 19．（12分）某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如表：日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日1月6日温差x （摄氏度） 10 11 12 13 8 9 发芽率y （粒)262730322124他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据1月2，3，4，5日的数据求出y 关于x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠．参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（12分）已知圆E 与圆22:(2)1F x y -+=相外切，且与直线10x +=相切． （1）记圆心E 的轨迹为曲线G ，求G 的方程；（2）过点(3,2)P 的两条直线1l ，2l 与曲线G 分别相交于点A ，B 和C ，D ，线段AB 和CD 的中点分别为M ，N ．如果直线1l 与2l 的斜率之积等于1，求证：直线MN 经过定点．。

2020年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1 •若集合A={| - 1<< 2} , B={| - 2vv 1}，贝煉合A U B=( )A . {| - 1<< 1} B. {| - 2<< 1} C. {| - 2<< 2} D . {| 0<< 1}2•如图所示，向量■:.所对应的复数分别为1, 2,则12=( )A . 4+2i B. 2+i C. 2+2i D. 3+i3. 某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表:女生男生合计喜欢吃甜食8412不喜欢吃甜食21618合计102030附表:P (2 > 0 ) 0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828经计算=10，则下列选项正确的是( )A .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C.有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响44. 已知tan=^，且在第三象限，则cos=( )4 n3 C.log,(3^x1, x<05. 函数f(Q二' ，则f (3)的值为(f(K-l), X>0A . - 1B . - 2C . 1D . 26. 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅A .①②⑥B .①②③C.④⑤⑥D .③④⑤助作用），贝U四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（7.设D ABC的所在平面内一点，「:[-1产,则：=（）8.某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量（单位: 台），把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=（）33⑥A . f () =2B . f () =1 - ||C . t 「匚二D . f () =ln (+1)10. 已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a , 2), B (- 4, a ), C (2a+2, 2), 则厶ABC 的外接圆的方程是()2 2 2 22 22 2A . 2+ (y - 3) 2=5B . 2+ (y+3) 2=5C . (- 3) 2+y 2=5D . (+3) 2+y 2=511.已知三棱锥S -ABC 的各顶点都在一个球面上，△ ABC 所在截面圆的圆心 O 在AB 上, SO 丄平面z 匚町；、仃「广.，若三棱锥的体积是等，则球体的表面积是( )AB 脊兀CD 25 n• 4 - 12- 48ITTT12.将函数1 K' :_in 1的图象向左平移^个单位，在向上平移1个单位，得到g()的图象，若 g (1) g (2)=16,且 y ] '「二一 —•,则 21 - 2 的最大值为( )9.Si196 B . 203 C .已知函数满足一下两个条件：①任意 1 , 2^( 0, +x),且佇 2 时，(1 - 2)[f ( l )(2) ]v 0;②对定义域内任意有f ()+f (-)=0,贝28 D . 29D .B.、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上13. ___________________________________________ 数列｛a n｝中，若a n+i (a n+1) =a n,a i=1，则a6= ___________________________________ .2x+y-4>014. 已知实数，y满足，则=-3y的最大值是_____ .y<315. ___________________________________________________________ 已知抛物线y2=8上一点P到焦点的距离为4,则厶PFO的面积为__________________________ .16. 已知函数丁亠丄1L与函数y=- 2的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是x-1三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列｛an+1｝是一个各项均为正数的等比数列，已知a3=7, a?=127.(1)求的a1值；(2)求数列｛a n｝的前n项和.18. 甘肃省瓜州县自古就以生产美瓜”面名扬中外，生产的瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%〜19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用，y，表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w=+y+的值平定蜜瓜的顶级，若w>4,则为一级；若2 < w< 3，则为二级；若0w w< 1，则为三级，今年，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：2 从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w 至少有一个为4的概率.19. 如图，在△ ABC 中，AB 丄BC,点D，E 分别在AB，AC 上, AD=2DB，AC=3EC，(1)若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；沿DE将厶ADE翻折起，使得点A到P的位置，满足；…=1 .(1)证明：DB丄平面PBC;(2)若L乩丸丁，点M在PC上，且，求三棱锥P-BEM的体积.20. 已知椭圆的顶点到直线1:『=的距离分别为「;(1)求椭圆C i的离心率；(2)过圆O：2+y2=4上任意一点P作椭圆C i的两条切线PM和PN分别与圆交于点M, N，求△ PMN面积的最大值.21. 已知函数f () =sin+cos.(1)当汽—时，求函数f ()的单调区间；(2)若存在m L ［—、—，使得f ()> 2+cos成立，求实数的取值范围.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.［选修4-4坐标系与参数方程］(1)使判断I与C的位置关系；22.已知直线…(2)若把曲线C1上个点的横坐标压缩为原的倍，纵坐标压缩为原的-一倍，得到曲线C2,设点P是曲线C2上一个动点，求它到直线I的距离的最小值.［选修4-5不等式选讲］23.设函数f () =| - 3|，g () =| - 2|(1)解不等式 f () +g ()< 2；(2)对于实数，y,若f ()< 1, g (y)< 1,证明:2017年甘肃省高考数学二诊试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 •若集合A={| - 1<< 2} , B={| - 2vv 1}，贝U集合A U B=( )A . {| - 1<< 1} B. {| - 2<< 1} C. {| - 2<< 2} D . {| 0<< 1}【考点】1D :并集及其运算.【分析】根据并集的定义写出 A U B即可.【解答】解：集合A={| - 1<<2}，B={| - 2<< 1}，则集合A U B={| - 2<< 2}.故选：C.2. 如图所示，向量〔三「二所对应的复数分别为1, 2,则代=( )【分析】读图求出复数1, 2,根据复数的乘法运算法则计算即可【解答】解：由图可得，1=1+i, 2=3- i,二徨=(1+i) (3 - i) =3+1+3i - i=4+2i,故选：A.3. 某研究性学习小组调查研究性别对喜欢吃甜食的影响，部分统计数据如表:附表:经计算=10,则下列选项正确的是( )A .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响B .有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响C .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食无影响D .有99.9%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响【考点】BL :独立性检验.【分析】根据观测值与对照临界值的关系，即可得出结论.【解答】解：根据观测值2=10,对照临界值表得10>7.879,所以有99.5%的把握认为性别对喜欢吃甜食有影响.故选：B.44. 已知tan=，且在第三象限，则cos=( ) 八4 o4 3 小3A.「B.C.「D.-【考点】G9：任意角的三角函数的定义.【分析】利用正切化为正弦、余弦函数，结合的象限，同角三角函数的基本关系式，cos即可.【解答】解：因为：，且在第三象限，所以丄并且sin2+cos2=1解得J COSX J4sin=-；求出3 COS=—己故选D.5•函数3，则f (3)的值为( )f(D, x>0A .- 1 B.- 2 C . 1 D . 2【考点】5B :分段函数的应用；3P:抽象函数及其应用.【分析】利用分段函数，化简求解即可.【解答】解：函数彳，二、，则 f (3) =f (2) =f (1) =f (0) =log33=1.fSi), x>0故选：C.6.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )3④⑤⑥A .①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D .③④⑤【考点】L7 :简单空间图形的三视图.【分析】由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案.【解答】解：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD勺左视图为②，四面体ABCD勺俯视图为③，故四面体ABCD的三视图是①②③,故选：B7 •设D为厶ABC的所在平面内一点，矛--:丘，则■-=( )A . ~ —■ ■- B. .工. C. . 一］「.丄:. D . —：' j. -y~ ：f.【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义.【分析】取BC的中点E,则D为CE的中点，用...,...表示出，「即可得出「关于/ ,... 的不等式.【解答】解：•••；- | ,二D是BC的靠近C点的四等分点，取BC的中点E,则D为CE的中点，故选B.8. 某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量(单位: 台)，把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=( )196 B . 203 C . 【考点】EF :程序框图.【分析】由茎叶图可知n=7,模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S , i的值，当i=8 时不满足条件i < 7,退出循环，输出S 的值为29. 【解答】解：由茎叶图可知n=7, 模拟程序的运行，可得 S=0, i=1满足条件i <7,执行循环体，S=20, i=220+22满足条件i <7,执行循环体，S= - =21, i=3满足条件i <7,执行循环体，S='= , i=4满足条件i <7,执行循环体，S=-, i=5 4满足条件i < 7,执行循环体，S"* -=29, i=87Si满足条件i <7,执行循环体,满足条件i <7,执行循环体, i=6134S严罟+34 1686i=728 D . 29不满足条件i <7,退出循环，输出S的值为29.故选：D.9. 已知函数满足一下两个条件：①任意1，2€( 0, +X),且1工2时，(1 - 2)[ f ( 1)- f(2)]v0;②对定义域内任意有f () +f (-) =0，则符合条件的函数是( )A. f() =2B. f() =1- ||C.[工:：-D. f () =ln(+1)【考点】3P:抽象函数及其应用.【分析】由①可知f ()在(0, +x)上是减函数，由②可知f ()是奇函数.逐个分析各选项是否符合两条件即可.【解答】解：由①可知f ()在(0, +x)上是减函数，由②可知f ()是奇函数.对于A , f () =2是增函数，不符合题意；对于B, f (-) +f () =1 - | - 1+1- II =2- 2|| 丰0,不符合题意，对于D, f ()的定义域为(-1, +x),故f ()不是奇函数，不符合题意；故选C.10. 已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A (2a, 2), B (- 4, a), C (2a+2, 2),则厶ABC的外接圆的方程是( )A. 2+ (y-3) 2=5B. 2+ (y+3) 2=5C. (-3) 2+y2=5D. (+3) 2+y2=5【考点】J1：圆的标准方程.【分析】根据点A是直角三角形ABC的直角顶点，求出a, B, C的坐标求得圆心的坐标和圆的半径，则圆的方程可得.【解答】解：由题意，2a=- 4,二a=- 2圆的半径为：=〔」「〕「「；=匸，圆心为(-3, 0)•••圆的方程为(+3) 2+y2=5故选D.11•已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上，△ ABC所在截面圆的圆心0在AB 上，SO 丄平面"石厂1,若三棱锥的体积是芋，则球体的表面积是( )3A. ； B•垄「C. 「D. 25 n4 12 48【考点】LG :球的体积和表面积；LR :球内接多面体.【分析】利用条件，求出SO,禾U用勾股定理，求出R,即可求出球体的表面积.【解答】解：•••△ ABC所在截面圆的圆心0在AB 上, SO丄平面Ah:：.'：/.：- ::.，三棱锥的体积是竿，••• S0=2，设球体的半径=R，则R= [ ：：，• R=；，•••球体的表面积是■；. ' ■■ 7—=.:，lb Q故选：A.TT jr12. 将函数的图象向左平移r个单位，在向上平移1个单位，得到g()的图象，若g (1) g (2) =16，且「‘工，二'―；—-，则21 - 2的最大值为( ) A. ：「C.、【考点】HJ:函数y=Asin(M©)的图象变换.【分析】利用函数y=Asin (①+妨的图象变换规律，正弦函数的图象特征，求得21 - 2的最大值.【解答】解:将函数匚〔；_』匸一的图象向左平移亍个单位，在向上平移1个单位，e—IT JT 2兀，，E 宀得到g () =3sin (2+p+=) +仁3sin (2+ 一.)+1 的图象，••• g (1) g (2) =16，.・.g (1) =g (2) =4，都为最大值,令5 ，可得—•=,€,又因为宁」可以取：斗；二;-I-12 f12 ，则21 - 2的最大-■ - -，值:故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13. 数列｛a n｝中，若a n+i (a n+1) =a n，a i=1，则a6=.【考点】8H：数列递推式.【分析】&+1 (an+1) =a n，a i=1，可得：&==，同理可得：a3，a4，a5，a6，即可得出. 【解答】解：a n+1 (a n+1) =a n，a1=1，览=—，同理可得：a3=—，a4=—，応=广，贝U a6=-?,6故答案为：三2z+y-4^014. 已知实数，y满足m-lVO，则=-3y的最大值是占.y<3【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图，y<3x-y-l=O2x+y-4=0化目标函数=-3y 为y=* 一，由图可知，当直线y= " 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，有最大值为•十 故答案为：--.15•已知抛物线y 2=8上一点P 到焦点的距离为4,则厶PFO 的面积为_4_ 【考点】8:抛物线的简单性质.【分析】利用抛物线的定义，求出 P 的坐标，然后求出三角形的面积. 【解答】解：由抛物线定义，|PF|=P +2=4，所以P =2, |y p |=4,故答案为：4.16. 已知函数了亠丄吐与函数y=- 2的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是_ （-x-1 1，1）U （ 1，5）—.【考点】57:函数与方程的综合运用；54:根的存在性及根的个数判断. 【分析】化简函数的解析式，画出两个函数的图象，判断的范围即可. 卡（［二| 0+2） ST ） I 二| *2, -2<X<1 * x~l| x+2f 或 直线y=- 2过定点（o ,- 2）， 由函数图象: 可知结果为：（-1, 1）U （ 1, 5）. 给答案为：（-1, 1）U （ 1, 5）.所以，△ PFO 的面积S= |OF||y p | =¥ X 2X 4=4.【解答】解: 联立-三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列｛a n+1｝是一个各项均为正数的等比数列，已知a3=7，a?=127.(1)求的a i值；(2)求数列｛a n｝的前n项和.【考点】8E：数列的求和.【分析】(I)禾1」用等比数列的通项公式及其性质即可得出.(II)禾U用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解：(I)由题可知a3+仁8，a7+1=128,…又数列｛a n+1｝是一个各项均为正数的等比数列，则:;=:：‘产上;门十32 o可得a5+仁32= (a1+1)x 「i ,解得a1=1.…(II ) ｛a n+1｝是一个以2为首项，2为公比的等比数列，上1，…利用分组求和可得.' 1.…18. 甘肃省瓜州县自古就以生产美瓜”面名扬中外，生产的瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%〜19%，是消暑止渴的佳品，调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度，日照时长，温差有极强的相关性，分别用，y，表示蜜瓜甜度与海拔高度，日照时长，温差的相关程度，big对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，在用综合指标w=+y+的值平定蜜瓜的顶级，若w>4,则为一级；若2 < w < 3，则为二级；若0w w < 1，则为三级，今年，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：A B C D E种植地编号(，y,)(1, 0, 0)(2, 2, 1)(0, 1, 1)(2, 0, 2)(1, 1, 1)F G H I J种植地编号(，y,)(1, 1, 2)(2, 2, 2)(0, 0, 1)(2, 2, 1)(0, 2, 1)（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三家的蜜瓜种植地的数量；（2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标w 至少有一个为4的概率.【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】（1）计算10块种植地的综合指标，列出表格可知：等级为三级的有A，H 2块，其频率为卡，由此能估计等级为三级的块数.（2）等级是一级的（CD>4）有B，D，F，G，I，共5块，从中随机抽取两块，列举法能求出两块种植地的综合指标①至少有一个为4的概率.【解答】解：（1）计算10块种植地的综合指标，可得下表：用样本的频率估计总体的频率，2可估计等级为三级的块数为11.：—•一.…（2）由（1）可知：等级是一级的（G3>4）有B，D，F，G，I，共5块,从中随机抽取两块，所有的可能结果为：（B，D ），（B，F），（B，G），（B，I），（D，F），（D，G），(D, I), (F, G), (F, I), (G, I),共计10 个;其中综合指标s =4的有：D, F 2个，符合题意的可能结果为：（B, D）,（B, F）,（D, F）,（D, G）,（ D , I）（ F , G）,（F , I）共7 个，设两块种植地的综合指标s至少有一个为4”为事件M所以概率为：血-下•…19. 如图,在厶ABC 中,AB 丄BC,点D , E 分别在AB , AC 上,AD=2DB , AC=3EC , 沿DE 将厶ADE翻折起,使得点A到P的位置,满足•…一i .（1）证明：DB丄平面PBC；（2）若二E覗；、:,点M在PC上,且,求三棱锥P- BEM的体积.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW:直线与平面垂直的判定.【分析】（1）设二乩叨丄-匕I —厂由此利用勾股定理得BD丄PB ,再由BD丄BC ,能证明BD丄面PBC.（2）由勾股定理得PB丄BC ,再由BD丄PB ,得PB丄面BCE ,从而三棱锥P-BEM的体3积'：f'LL '；L ri±\ I'LC【解答】证明：（1）设乂二u，FL ■ h 玉••• BD2+PB2=PD2••• BD 丄PB …••• BD 丄BC , PBA BC=B ,••• BD丄面PBC.…解：（2）t 亠「「- 1 -',••• PB丄BC•/ BD 丄PB 且BD n BC=B , /. PB丄面BCE ,•••三棱锥p-BEM的体积二20. 已知椭圆「］：二［的顶点到直线I: y=的距离分别为—：二a b z占上（1）求椭圆Ci的离心率；（2）过圆O：2+y2=4上任意一点P作椭圆Ci的两条切线PM和PN分别与圆交于点M, N，求△ PMN面积的最大值.【考点】4：椭圆的简单性质.【分析】（1）根据点到直线的距离公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的离心率；（2）分类讨论，当一条切线的斜率不存在时，：…", yp=± 1,即可求得厶PMN面积,当切线的斜率存在时，设切线方程，代入椭圆方程，由厶=0，由PM丄PN，MN| =4..f i - V. ，即可求得△ PMN 面积的最大值.【解答】解：（1）由直线li的方程知，直线li与两坐标轴的夹角均为45° 故长轴端点到直线I1的距离为’'「，短轴端点到直线I1的距离为丄亍，••• C1的离心率（2）设点P （P，yp），贝则瘡掃二」（i ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则另一切线的斜率为0,从而PM丄PN.此时，■::-:.（ii）若切线的斜率均存在，则一「一二设过点P的椭圆的切线方程为y- yp= （- P）,y-y p=k（x'x p）2 ，消y 并整理得：（3kSi）/+6kGp“Xp）計3（那吨打）「3=0.—+y二1依题意△ =0,得 5 I：■，「丁- !' i ■"^11-y 工-3设切线PM, PN的斜率分别为i, 2,从而.;'.-, Ji at O Z3-% 3-%即PM丄PN,线段MN为圆0的直径，| MN|=4.所以，.一.祇［应卜三卜J . 「亠丨汕r -條「二当且仅当P. ■：：■-时，S A PMN 取最大值4.综合(i ) ( ii)可得：S A PMN取最大值4.…21. 已知函数f () =sin+cos.(1)当:. 时，求函数f ()的单调区间；(2)若存在-，使得f ()> 2+cos成立，求实数的取值范围.【考点】6B：利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；(2)分离参数，问题转化为.令.八’，则.- ‘三m”，根据函XX x数的单调性求出h ()的最大值，从而求出的范围即可.【解答】解：(1) f () =sin+cos- sin=cos,…•••/：〒• =丿时，f () =cos> 0，•••函数f ()在'丄..才;上是增函数；4 |S叮二—-.时，f () =COS V 0,•••函数f ()在 …• 上是减函数； …(2)由题意等价于sin+cos >2 3+cos ,整理得，「一二― x人 ginx * / \ xcosx-sinx令.■''，则，：， 令 g () =cos- sin , g' () = - sin v 0,二g ()在 < -上单调递减， •••-：‘：； 一厂 - < .'，即卩 g () =cos- sin v 0, 甘 £ H .n V2 千3,即・ .7171 TTJT V ~T 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑， 把答案填在答题卡上.［选修4-4坐标系与 参数方程］ ,=2+¥t f x=cos0 22.已知直线… - 一为参数)，曲线：…. |■为参数). (2)将直线的参数方程化为普通方程，曲线 C 2任意点P 的坐标，利用点到直线的距离公 式P2使判断I 与C 的位置关系； 3 若把曲线C i 上个点的横坐标压缩为原的 倍，纵坐标压缩为原的—倍，得到曲线 C 2,设点P 是曲线C 2上一个动点，求它到直线I 的距离的最小值.【考点】HJ ：函数y=Asin (小^)的图象变换；Q4：简单曲线的极坐标方程；QH :参数 方程化成普通方程.【分析】(1)将参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，即可得解.•■ ' ' ' '，即’亠在■ 上单调递到直线的距离d,分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d 的最小值即可.【解答】(本题满分为10分)解：(I ： x - - J 1，…，所以直线与曲线相离.…(II )变化后的曲线方程是，厂设点F' i~z~二m，…则点到直线的距离是丄V —•. - ■V2 =V2则最小距离是二•…2［选修4-5不等式选讲］23. 设函数f () =| - 3|，g() =| - 2|(1)解不等式f () +g ()v 2；(2)对于实数，y,若f ()w 1, g (y)< 1,证明：| - 2y+1| <3.【考点】R6:不等式的证明.【分析】(1)分类讨论，解不等式f () +g ()v 2;(2)利用绝对值不等式，即可证明结论.【解答】(1)解：解不等式| -3|+| - 2| v 2.①当W 2时，原不等式可化为3- +2-v2,可得■--.所以一:.②当2v< 3时，原不等式可化为3- +-2v2,可得1v2.所以2v< 3.③当》3时，原不等式可化为-3+- 2v2,可得「.所以W •.由①②③可知，不等式的解集为U £(2)证明：| —2y+1|=| (-3)— 2 (y - 2) | < | - 3|+2|y—2| < 1+2=3.当且仅当无｛［巾寸等号成立.…2017年5月24日。

【高三】2021高三数学二诊文科试题(甘肃含答案)甘肃省2022年第二次高考诊断试卷数学（文）试题注意事项：1．本试卷分第1卷（）和第ⅱ卷（非）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2.回答第一卷时，在选择每个小问题的答案后，用铅笔在答题卡上涂黑相应问题的答案号。

如果需要更改，请使用橡皮擦清洁，然后选择绘制其他答案。

在这张试卷上写字是无效的3．回答第ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4.考试结束后，将试卷和答题纸一起交回第ⅰ卷（选择题，共60分）一、多项选择题：这道主题共有12个子题，每个子题得5分。

在每个子问题给出的四个选项中。

只有一项符合主题的要求1．已知集合a={0，1}，b={}，则ab=a、 {0,1}B.{0,1,1}c．{0，1，一1，}d．{0，l，一1，一}2.如果是复数，Z是a．ib．一ic．2id．1+i3.假设回归线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点（4,5），回归线方程为a．y=1．23x+4b．y=1．23x+5c、 y=1.23x+0.08d.y=0.08x+1,2,34．抛物线的准线的方程是y=l，且抛物线恒过点p(1，一1)，则抛物线焦点弦pq的另一个端点q的轨迹方程是a、（x-1）2=-8（Y-1）B.（x-1）2=-8（Y-1）（x1）c．(y一1)2=8(x一1)d．(y一1)2=8(x一1)(x1．)5.让变量X和Y相遇，则X+2Y的最大值和最小值分别为a．1，-1b．2，一2c．1，一2d．2，一16.执行右图所示程序，输出结果为48，判断框中填写人员的条件为a．i≥4?b、 i>4？c．i≥6?d、 i>6？7．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸，可这个几何体的体积是a．b．c、 d。

8．各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是a．16b．20c．24d．329.给定函数y=2sin2（那么函数的最小正周期）t和它的图象的一条对称轴方程是a、 T=2，对称轴方程为b．t=2，一条对称轴方程为c、 T=，对称轴方程为d．t=，一条对称轴方程为10.已知点F是双曲线的左焦点，点E是双曲线的右顶点，穿过F并垂直于X轴的直线在两点a和B与双曲线相交，并且△ Abe是一个锐角三角形，则双曲线的偏心率e的取值范围为a．（1，+∞）b．（1，2）c．（1，1+）d．（2，1+）11.[1,2,2]中的已知功能和图像如下图所示。

最新高考数学二模试卷（文科）一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是．2．已知集合A={x||x﹣2|＜a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是．3．如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，b∈R，则a+b的最大值是．4．已知x，y满足若使用z=ax+y取最大值的点（x，y）有无数个，则a的值等于．5．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是．6．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b= ．7．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c2=b2﹣a2，若△ABC最大边长是且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为．8．设等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d= ．9．已知函数，则关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+2=0的实根的个数是．10．设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是．二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体的对角线长是（）A． B． C．D．12．向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|﹣|＞1”是命题q：θ∈[，）的（）条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．非充分非必要条件13．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1与一个侧棱长为2的正四棱锥P﹣A1B1C1D1组合而成．（1）求该几何体的主视图的面积；（2）若点E是棱BC的中点，求异面直线AE与PA1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．15．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0）．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）定义：当函数取得最值时，函数图象上对应的点称为函数的最值点，如果函数y=F（x）=的图象上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆x2+y2=k2（k＞0）的内部或圆周上，求k的取值范围．17．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，若曲线C上恰有三对不同的点关于点B（0，t）（t∈R）对称，求t的取值范围．18．已知数列{a n}，S n为其前n项的和，满足S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，数列{T n}的前n项和为R n，求证：当n≥2，n∈N*时R n=n（T n﹣1）；﹣1（3）若函数f（x）=的定义域为R，并且f（a n）=0（n∈N*），求证p+q＞1．参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知函数f（x）=a x+a﹣x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是12 ．【考点】指数函数的单调性与特殊点；函数的值．【分析】由f（1）=3可得到关于a的式子，由f（0）+f（1）+f（2）得到关于a的式子，寻找与已知表达式的联系即可求解．【解答】解：∵f（1）=a+a﹣1=3，f（0）=2，f（2）=a2+a﹣2=（a+a﹣1）2﹣2=7，∴f（1）+f（0）+f（2）=12．故答案为：122．已知集合A={x||x﹣2|＜a}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是a≥3 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出A，B，再利用B⊆A即可得出．【解答】解：由|x﹣2|＜a，可得2﹣a＜x＜2+a（a＞0），∴A=（2﹣a，2+a）（a＞0）．由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．B=（﹣1，3）．∵B⊆A，则，解得a≥3．故答案为：a≥3．3．如果复数z满足|z|=1且z2=a+bi，其中a，b∈R，则a+b的最大值是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由|z|=1，得|z2|=1，结合z2=a+bi，得a2+b2=1，然后利用基本不等式求得a+b的最大值．【解答】解：∵|z|=1，∴|z2|=1，由z2=a+bi，得a2+b2=1，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=2，故当时，a+b的最大值是．故答案为：．4．已知x，y满足若使用z=ax+y取最大值的点（x，y）有无数个，则a的值等于﹣1 ．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值的方法，因为目标函数取得的最大值的最优解有无穷多个，所以必有目标函数所在的直线z=ax+y与三角形的某一边所在的直线重合，只需求出可行域边上所在直线的斜率即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线线z=ax+y和直线AB重合时，z取得最大值的有序数对（x，y）有无数个，∴﹣a=k AB=1，a=﹣1故答案为：﹣1．5．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．【解答】解：向量，在向量方向上的投影相同，∴=•，∵A（a，1），B（2，b），C（3，4），∴3a+4=6+4b，∴3a﹣4b=2，故答案为：2．6．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b= 3 ．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．7．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边且ac+c2=b2﹣a2，若△ABC最大边长是且sinC=2sinA，则△ABC最小边的边长为 1 ．【考点】正弦定理．【分析】根据余弦定理求出cosB=﹣，故b=，由sinC=2sinA得c=2a，代入余弦定理计算a．【解答】解：∵ac+c2=b2﹣a2，∴cosB==﹣，∴B=，∴b=．∵sinC=2sinA，∴c=2a，∴三角形的最短边为a．由余弦定理得cosB=，解得a=1．故答案为1．8．设等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d= ．【考点】极差、方差与标准差；等差数列的性质．【分析】根据等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，知这组数据的平均数是a4，写出这组数据的方差，得到关于数列的公差的代数式，根据方差是1，得到关于d的方程，解方程即可．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1∴这组数据的平均数是a4，∴（9d2+4d2+d2+0+d2+4d2+9d2）=4d2=1∴d2=，∴d=，故答案为：9．已知函数，则关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+2=0的实根的个数是 5 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点．【分析】方程f2（x）﹣3f（x）+2=0等价于f（x）=2或f（x）=1，再利用函数分类讨论，即可得到方程f2（x）﹣3f（x）+2=0的实根个数．【解答】解：方程f2（x）﹣3f（x）+2=0等价于f（x）=2或f（x）=1∵函数，∴﹣1≤x≤1，f（x）∈[﹣1，1]，|x|＞1时，f（1）＞0，∴f（x）=1时，cos或x2﹣1=1，∴x=0或x=±，f（x）=2时，x2﹣1=2，∴x=，综上知方程f2（x）﹣3f（x）+2=0的实根的个数是5．故答案为：5．10．设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是m＜﹣1 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】已知f（x）为增函数且m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论即可得出答案．【解答】解：已知f（x）为增函数且m≠0，当m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意．当m＜0时，有因为y=2x2在x∈[1，+∞）上的最小值为2，所以1+，即m2＞1，解得m＜﹣1或m＞1（舍去）．故答案为：m＜﹣1．二、选择题本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体的对角线长是（）A． B． C．D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】先求出长方体的棱长，再求出长方体体对角线长，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．【解答】解：设同一顶点的三条棱分别为x，y，z，则x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=c2得x2+y2+z2=（a2+b2+c2），则对角线长为．故选：B．12．向量，均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|﹣|＞1”是命题q：θ∈[，）的（）条件（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量数量积的运算公式，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若|﹣|＞1，则平方得：2﹣2•+2=2﹣2•＞1，即•＜，则cosθ==•＜，∴θ∈（，π]，即p：θ∈（，π]，∵命题q：θ∈[，），∴p是q的必要不充分条件，故选：B13．已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是（）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】由条件可得S n+1=4S n，对S1分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵a n+1=3S n，∴S n+1﹣S n=3S n，∴S n+1=4S n，若S1=0，则数列{a n}为等差数列；若S1≠0，则数列{S n}为首项为S1，公比为4的等比数列，∴S n=S1•4n﹣1，此时a n=S n﹣S n﹣1=3S1•4n﹣2（n≥2），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列．综上，数列{a n}可能为等差数列，但不会为等比数列．故选C．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1与一个侧棱长为2的正四棱锥P﹣A1B1C1D1组合而成．（1）求该几何体的主视图的面积；（2）若点E是棱BC的中点，求异面直线AE与PA1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【考点】异面直线及其所成的角；由三视图求面积、体积．【分析】（1）画出其主视图，可知其面积S为三角形与正方形面积之和，求出在正四棱锥P ﹣A1B1C1D1中棱锥的高，即可求出该几何体的主视图的面积；（2）取B1C1中点E1，连接A1E1则∠PA1E1为异面直线AE与PA1所成角，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．【解答】（文）解：（1）画出其主视图（如图），可知其面积S为三角形与正方形面积之和．在正四棱锥P﹣A1B1C1D1中，棱锥的高，．（2）取B1C1中点E1，连接A1E1，∵A1E1∥AE则∠PA1E1为异面直线AE与PA1所成角．在△PA1E1中，，又在正四棱锥P﹣A1B1C1D1中，斜高为，由余弦定理可得所以，异面直线AE与PA1所成的角为．15．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=（4+）p﹣x﹣6（p+），将p=代入化简得：y=19﹣﹣x（0≤x≤a）；（Ⅱ）y=22﹣（+x+2）≤22﹣3=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19﹣﹣x，y′=﹣，∴a＜2时，函数在[0，a]上单调递增，∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0）．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）定义：当函数取得最值时，函数图象上对应的点称为函数的最值点，如果函数y=F（x）=的图象上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆x2+y2=k2（k＞0）的内部或圆周上，求k的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由函数的周期为π可得ω=2，再由对称中心为（，0）可得φ值，由函数图象变换和诱导公式可得；（2）由三角函数的知识可得F（x）与原点距离最近的最大值和最小值点分别是点和，由题意结合图象可得，解不等式可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω＞0，∴，又∵曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），∴sin（2×+φ）=0，可得，∴f（x）=cos2x，将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，由诱导公式化简可得g（x）=sinx；（2）∵函数y=F（x）=在时取得最大值或最小值，当，即与原点距离最近的最大值和最小值点分别是点和，于是有，解不等式可得k≥2．17．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，若曲线C上恰有三对不同的点关于点B（0，t）（t∈R）对称，求t的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设M（x，y），由题意+|y﹣3|=4，分类讨论，可得点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）若（x0，y0）∈C，则（﹣x0，y0）∈C，所以曲线C关于y轴对称，所以一定存在关于y轴对称的对称点，联立方程组，得到4y0=﹣12（2t﹣y0﹣4）化简得t=，（0≤y0≤3），即可求出t的值．【解答】解：（1）设M（x，y），由题意+|y﹣3|=4，①：当y≤3时，有=y+1，化简得：x2=4y②：当y＞3时，有=7﹣y，化简得：x2=﹣12（y﹣4）（二次函数）综上所述：点M的轨迹方程为x2=（如图），（2）若（x0，y0）∈C，则（﹣x0，y0）∈C，所以曲线C关于y轴对称，所以一定存在关于y轴对称的对称点，下面研究P（x0，y0）是轨迹x2=4y（y≤3）上任意一点，则x02=4y0，（y0≤3），它关于B（0，t）的对称点为Q（﹣x0，2t﹣y0），由于点Q在轨迹x2=﹣12（y﹣4）上，所以（﹣x0）2=﹣12（2t﹣y0﹣4），联立方程组（*）得4y0=﹣12（2t﹣y0﹣4）化简得t=，（0≤y0≤3），当y0∈（0，3）时，t∈（2，3），此时方程组（*）有两解，即增加有两组对称点，所以t的取值范围是（2，3）18．已知数列{a n}，S n为其前n项的和，满足S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，数列{T n}的前n项和为R n，求证：当n≥2，n∈N*时R n=n（T n﹣1）；﹣1（3）若函数f（x）=的定义域为R，并且f（a n）=0（n∈N*），求证p+q＞1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=n，（2）写出数列的通项公式，数列=，求得前n项和，及，整理得R n﹣1=n（T n﹣1）；可以采用数学归纳法证明：先验证当n=2，等式成立，再假设当n=k时成立，推出n=k+1时成立，其中要利用好假设条件，（3）分类讨论q的取值，当q≠0，q=0与矛盾，当q≠0，（p﹣1）3qx+1≠0恒成立，即p﹣1≠，恒成立，的值域为（﹣∞，0）恒成立，结合条件3q＞1，从而p+q＞1．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，∴a n=n；（2）、＜法一＞∵，∴，∴==＜法二＞：数学归纳法①n=2时，，②假设n=k（k≥2，k∈N*）时有R k﹣1=k（T k﹣1）当n=k+1时，=∴n=k+1是原式成立由①②可知当n≥2，n∈N*时R n﹣1=n（T n﹣1）；（3）、易知q≠0，否则若q=0，则，与矛盾，∵函数f（x）的定义域为R，所以（p﹣1）•3qx+1恒不为零，而3qx的值域为（0，+∞），∴p﹣1≥0，又p=1时，f（x）=1，与矛盾，故p＞1∵，且∴3q＞1，∴q＞0即有p+q＞1．2016年6月20日。

2020届甘肃省高三第二次高考诊断考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}1,1B =-，则A B =I （ ） A ．{}1,1- B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}11x x -≤≤【答案】A【解析】根据集合交集的运算即可得解. 【详解】集合{}12A x x =-≤≤，{}1,1B =-， 根据集合交集运算可知{}1,1A B =-I ， 故选：A. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，属于基础题. 2．若(1)(1)iz i i =-+，则z =（ ） A ．2i B ．0C ．i -D ．2i -【答案】D【解析】利用复数的除法运算，化简即可得解. 【详解】(1)(1)iz i i =-+，则由复数除法运算可得(1)(1)i i z i-+=22i i==-， 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.3．已知向量(1,1)(2,3)a b =-=-r r，，则a b -=r r （ ）A B ．1C ．5D ．25【答案】C【解析】利用向量的坐标运算，可得a b -r r，再由模的运算即可得解.【详解】向量(1,1)(2,3)a b =-=-r r ，， 则()(1,1)(2,3)3,4a b -=---=-r r，则()22345a b -=+-=r r ，故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的求法，属于基础题.4．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()lg f x x =，则函数()f x 的零点个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B【解析】根据奇函数定义可得零点0x =，结合函数单调性及函数零点定义可得函数()f x 的其他零点，即可得解. 【详解】由奇函数定义可知，当定义域为R 时，(0)0f =，当0x >时，()lg f x x =，由()lg f x x =单调递增且(1)lg10f ==可知当0x >时有1个零点，根据奇函数性质可知，当0x <时也为单调递增，且(1)(1)0f f -=-=， 综上可知，()f x 有3个零点，分别为0，1-，1. 故选：B. 【点睛】本题考查了奇函数意义，函数零点的意义及求法，属于基础题. 5．命题“2[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞->”的否定为（ ） A ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-≤ B ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞-≤ C ．2000[0,),2020cos 0x x x ∃∉+∞-≤ D ．2000[0,),2020cos 0x x x ∀∉+∞-<【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定即可得解. 【详解】根据全称量词命题的否定可知，“2[0,),2020cos 0x x x ∀∈+∞->”的否定为2000[0,),2020cos 0x x x ∃∈+∞-≤， 故选：A. 【点睛】本题考查了含有量词命题的否定，属于基础题.6．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga ）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标 【答案】C【解析】根据指标雷达图，分别判断各选项即可. 【详解】由指标雷达图可知：对于A ，甲的轮滑指标为4，雪地足球指标为4，所以A 错误； 对于B ，乙的雪地足球指标为4，甲的冰尜指标3，所以B 错误； 对于C ，甲的爬犁速降指标为5，乙的爬犁速降指标为4，所以C 正确；对于D ，乙的俯卧式爬犁指标为5，甲的雪合战指标为5，所以D 错误； 综上可知，正确的为C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了读图分析能力，统计图表的简单应用，属于基础题.7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24410,24a a S +==，则1a 的值为（ ） A ．9 B ．1C ．9-D ．2-【答案】A【解析】根据等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式，可得关于1,a d 的方程组，进而解方程组可得1a 的值. 【详解】根据等差数列通项公式及前n 项和公式可得241141310434242a a a d a d S a d +=+++=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩， 解方程组可得192a d =⎧⎨=-⎩，故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式的简单应用，属于基础题.8．在棱长均相等的四面体OABC 中，,M N 分别是棱,OA BC 的中点，则异面直线MN 与AB 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【解析】取OB 中点P ，AB 中点Q ，连接,,,MP PN CQ OQ ，则PMN ∠为异面直线MN 与AB 所成角，由线面垂直的判定定理可证明AB ⊥平面OCQ ，因而可知PM PN ⊥，从而可得MPN △为等腰直角三角形，即可得PMN ∠. 【详解】取OB 中点P ，AB 中点Q ，连接,,,MP PN CQ OQ ， 由中位线定理可知//MP AB ,则PMN ∠（或补角）为异面直线MN 与AB 所成角，//,//MP AB PN OC ，,OQ AB CQ AB ⊥⊥且CQ OQ Q ⋂=，所以AB ⊥平面OCQ ， 则AB OC ⊥，所以PM PN ⊥，四面体OABC 棱长均相等，则PM PN =， 所以MPN △为等腰直角三角形， 所以45PMN ∠=︒， 故选：B. 【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，线面垂直的判定，属于中档题.9．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一．现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（ ）（单位：cm ．每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A ．1031πB ．516πC ．10231D ．528π【答案】D【解析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得拉伸后截面的直径. 【详解】经过五次对折拉伸之后面条的数量成等比数列，因而可知经过五次对折拉伸之后面条的长度为401002160⨯=， 设拉伸五次后面条的截面半径为r ，由面团体积为31000cm 可得216001000r π⨯⨯=，解得58r π=528d π= 故选：D. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式求法，圆柱体积公式及等体积法的应用，属于基础题.10．已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，1(2,0)F -，若双曲线的左支上有一点P ，满足122PF PF -=-，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =± B ．3y x = C ．3y x =D ．13y x =±【答案】C【解析】根据双曲线定义可得a ，由焦点坐标可知c ，进而由222c a b =+可求得b ，即可得双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线的左支上有一点P ，满足122PF PF -=-， 则由双曲线定义可得1222PF PF a -==，所以1a =， 由1(2,0)F -，可知2c =， 根据双曲线中222c a b =+，可得3b =所以渐近线方程为3by x x a=±=±， 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线定义及几何性质的简单应用，渐近线方程的求法，属于基础题. 11．定义在R 上的函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数，则使(21)(3)f x f ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,0)(2,)-∞+∞UC ．(0,1)D ．(,0)-∞【答案】B【解析】根据(1)f x +是偶函数，结合函数图像平移变换可知()y f x =关于1x =对称，再由函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减可画出函数图像示意图，进而解不等式即可得解. 【详解】定义在R 上的函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数， 所以()y f x =的图像关于1x =对称，示意图如下图所示：而()()31f f =-，且()y f x =在[)1,+∞单调递增， 所以若(21)(3)f x f ->，需满足211x -<-或213x ->， 解得0x <或2x >，所以使(21)(3)f x f ->成立的x 的取值范围为(,0)(2,)-∞+∞U ， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数单调性与对称性的综合应用，由单调性解不等式，正确画出函数图像示意图是解决此类问题常用方法，属于中档题.12．在“家校连心，立德树人——重温爱国故事，弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中，王老师组建了一个微信群，群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成.已知该微信群中男学生人数多于女生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数多于讲解员人数，讲解员人数的两倍多于男生人数.若把这5类人群的人数作为一组数据，当该微信群总人数取最小值时，这组数据的中位数是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设讲解员人数为x ，由题意可依次表示出教师人数、家长人数、女学生人数、男学生人数，结合讲解员人数的两倍多于男生人数可确定讲解员人数的最小值，进而得各组人数，即可求得中位数. 【详解】设讲解员人数为x ，由题意教师人数多于讲解员人数，则教师人数1x ≥+， 家长人数多于教师人数，则家长人数2x ≥+， 女学生人数多于家长人数，则女学生人数3x ≥+， 男学生人数多于女生人数，则男学生人数4x ≥+，而讲解员人数的两倍多于男生人数，则满足24x x >+，解得4x >， 所以当该微信群总人数取最小值时5x =，则各组人数分别为讲解员5人，教师6人，家长7人，女学生8人，男学生9人， 所以中位数为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式在实际问题中的应用，中位数的求法，正确理解题意是解决问题的关键，属于中档题.二、填空题13．已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[,]a b ，则b a -=______．【答案】3【解析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得,a b 的值，进而得解. 【详解】 因为[]3,x ππ∈，由余弦函数的图像与性质可得1cos [1,]2x ∈-， 则[]2cos 2,1y x =∈-，由值域为[,]a b 可得2,1a b =-=， 所以()123b a -=--=， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.14．数列{}n a 中，已知111,2nn n a a a +=+=，则6a =______.【答案】21【解析】利用递推公式，即可得解. 【详解】数列{}n a 中，111,2nn n a a a +=+=，当1n =时，代入可得122a a +=，则21a =， 当2n =时，代入可得234+=a a ，则33a =， 当3n =时，代入可得348a a +=，则45a =， 当4n =时，代入可得4516a a +=，则511a =， 当5n =时，代入可得6532a a +=，则621a =， 故答案为：21. 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用，属于基础题.15．已知曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-，则tan()6a ππ-=______．【答案】23【解析】根据导数的几何意义，即可求得a 的值，结合正切函数差角公式即可得解. 【详解】曲线4sin cos y a x x =-， 则4cos sin y a x x '=+，曲线4sin cos y a x x =-在点(0,1)-处的切线方程为1y x =-， 所以当0x =时，满足41y a '==， 解得14a =， 代入并由正切函数的差角公式可得tantan46tan 461tan tan 46ππππππ-⎛⎫-=⎪⎝⎭+⋅ 3132331-==+故答案为：23. 【点睛】本题考查了导数的几何意义简单应用，正切函数差角公式的简单应用，属于基础题. 16．“哪里有数，哪里就有美”（普洛克拉斯语），数学中到处充满着美的因素，闪烁着美的光辉．优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一，51-，所以也称为“黄金椭圆”，若记黄金椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，则FB AB ⋅=u u u r u u u r______． 【答案】0【解析】根据椭圆标准方程及几何性质，即可求得,a c 关系，由,,F A B 的坐标，可得,FB AB u u u r u u u r，进而结合平面向量数量积的坐标运算得解.【详解】设椭圆的标准方程为()22221,0x y a b a b+=>>，则51c a -=51c -=()()(),0,,0,0,F c A a B b -，所以()(),,,FB c b AB a b ==-u u u r u u u r，由平面向量数量积的坐标运算可得()()222,,FB AB c b a b ac b ac a c ⋅=⋅-=-+=-+-u u u r u u u r22251510a ⎫=--=⎪⎪⎝⎭+-，故答案为：0. 【点睛】本题考查了椭圆几何性质的简单应用，离心率公式的简单应用，平面向量数量积的坐标运算，属于中档题.三、解答题17．已知ABCD 是矩形，2AD AB E F =，，分别是线段AB BC ，的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF ⊥平面PAF ；（2）若在棱PA 上存在一点G ，使得//EG 平面PFD ，求AGAP的值． 【答案】（1）详见解析；（2）14【解析】试题分析：（1）通过证明DF AF DF PA ⊥⊥，，然后再利用线面垂直的判定定理，即可证明DF ⊥平面PAF ；（2）过E 作//EH FD 交AD 于H ，则//EH 平面PFD ，且14AH AD =．再过H 作//HG PD 交PA 于G ，所以//GH 平面PFD ，且14AG PA =，所以平面//EHG 平面PFD ，进而满足题意．试题解析：（1）在矩形ABCD 中，因为2AD AB =，点F 是BC 的中点，所以45AFB DFC ∠=∠=︒．所以90AFD ∠=︒，即AF DF ⊥．又PA ⊥平面ABCD ，所以PA DF ⊥，所以DF ⊥平面PAF ． （2）过E 作//EH FD 交AD 于H ，则//EH 平面PFD ，且14AH AD =．再过H 作//HG PD 交PA 于G ， 所以//GH 平面PFD ，且14AG PA =．所以平面//EHG 平面PFD ，所以//EG 平面PFD ，从而点G 满足14AG AP =．【考点】1．线面垂直的判定定理；2．面面平行的判定定理和性质定理．18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c 且满足(2)cos cos 0a b C c B ++=． （1）求角C ；（2）若ABC V 的面积83=S 421R =ABC V 的周长． 【答案】（1）23C π=（2）127+【解析】（1）根据正弦定理，将变化为角，结合正弦函数的和角公式即可得解.（2）根据外接圆半径及正弦定理可求得c ，结合三角形面积公式可得ab ，代入余弦定理可得+a b ，进而得ABC V 的周长． 【详解】（1）()2cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理得2sin cos sin cos cos sin 0A C B C B C ++=. 即()2sin cos sin sin A C B C A =-+=-， 又sin 0A ≠，故1cos 2C =-，又0C π<<， 所以23C π=（2）由23C π=，4213R =及2sin c R C =， 可得47c =又1213sin 832322S ab ab π==⨯=32ab =， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得(22222cos 473a b ab π+-=， 即()222112a b ab a b ab ++=+-=， 又32ab =，故12a b +=. 所以1247a b c ++=+ 即ABC V 的周长为1247+【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的用法，属于基础题. 19．某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如下： 日期1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 1月6日 温差x （摄氏度） 10 11 12 13 8 9 发芽数y （粒） 262730322124他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据1月2，3，4，5日的数据求出y 关于x 的线性回归方程（保留两位小数），并检验此方程是否可靠.参考公式：1122211()()()ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =- 【答案】（1）13（2） 2.21 3.19y x =+.可靠 【解析】（1）先求得从6组数据中任选2组数据的基本事件个数，再得相邻2天数据事件个数，即可得选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）根据所给数据，分别求得x y ，，代入公式可得$ˆ,ba ，进而得回归直线方程；分别再代入10x =，9x =检验即可判断. 【详解】（1）从6组数据中任选2组数据，共有15个基本事件，()()()()()1.1,1.2,1.1,1.3 1.1,1.4 1.1,1.5 1.1,1.6，()()()()1.2,1.3 1.2,1.4 1.2,1.5 1.2,1.6，()()()1.3,1.4 1.3,1.5 1.3,1.6，()()1.4,1.5 1.4,1.6，()1.5,1.6.记这2组数据恰好是相邻两天数据为事件A ，则A 中有()()()()()1.1,1.2 1.2,1.3 1.3,1.4 1.4,1.5 1.5,1.6，共5个基本事件， 故()51153P A ==. （2）()11113128114x =+++=， ()2730322127.541y =+++=， 所以()()11271230133282141127.512411210ˆ 2.21121169144644121498484b⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-==≈+++-⨯-ˆ27.5 2.2111 3.19a=-⨯=. 所求的回归方程为 2.21 3.19y x =+.当10x =时，25.29y =，25.29261-<，当9x =时，25.08y =，23.08241-<. 故此线性回归方程是可靠的. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，线性回归方程的求法及简单应用，属于基础题. 20．已知圆E 与圆22:(2)1F x y -+=相外切，且与直线10x +=相切． （1）记圆心E 的轨迹为曲线G ，求G 的方程；（2）过点(3,2)P 的两条直线12,l l 与曲线G 分别相交于点,A B 和,C D ，线段AB 和CD 的中点分别为,M N .如果直线1l 与2l 的斜率之积等于1，求证：直线MN 经过定点． 【答案】（1）28y x =（2）见解析【解析】（1）根据抛物线定义可知圆心E 的轨迹为抛物线，进而可得其轨迹方程. （2）由题意可设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k，表示出直线AB 的方程，联立直线与抛物线方程即可求得交点M 的坐标，进而以1k代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标；即可表示出直线MN 的斜率及其方程，进而得所过定点的坐标. 【详解】（1）依题意EF 等于E 到直线20x +=的距离，故所求轨迹是以()2,0F 为焦点，以2x =-为准线的抛物线. 故其轨迹G 的方程为28y x =.（2）依题意直线12,l l 斜率都存在且均不为0， 故设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k. 直线AB 的方程为()23y k x -=-， 即为()32y k x =-+.由()2328y k x y x⎧=-+⎨=⎩消去x 整理得2824160ky y k --+=， 所以8A B y y k +=，点M 的坐标为24243,kk k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，以1k代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标为()2423,4k k k -+， 所以直线MN 的斜率222 1141142 21MNk k k k k k k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪==⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，所以直线MN 的方程为()224423121y k x k k k k ⎡⎤-=--+⎣⎦⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即1112k y x k⎛⎫+-=+⎪⎝⎭.故MN 经过定点()1,0-. 【点睛】本题考查了抛物线定义及方程的求法，直线与抛物线的位置关系及应用，直线过定点的求法，属于中档题.21．已知函数2()[(25)85]()x f x e x a x a a R =+--+∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）当[0,2]x ∈时，若不等式2()2f x e ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值为27e ，极小值为33e -.（2）252,8e ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦ 【解析】（1）将1a =代入解析式，求得()f x '并令()0f x '=，求得极值点；由导函数的符号，可判断函数()f x 的单调性，进而求得其极值.（2）根据解析式求得()f x '，并令()0f x '=，求得极值点；讨论a 的取值范围，即可由最值及不等式求得符合题意的a 的取值范围． 【详解】（1）由1a =得()()233xf x e xx =--，故()()()()2623xx f x exx e x x '=--=+-.令()0f x '=，解得2x =-或3x =，由()0f x '>，得2x <-或3x >，所以()f x 在() ,2-∞-和()3,+∞单调递增， 由()0f x '<，得23x -<<， 所以()f x 在()2,3-单调递减. 所以()f x 极大值为()272f e-=，极小值为()333f e =-. （2）()()()23xf x e x a x '=+-，[]0,2x ∈，令()()()230xf x ex a x '=+-=，得12x a =-，23x =， （i ）当20a -≤，即0a ≥时，()f x 在()0,2单调递减， 依题意则有()()222412f a e e =-+≥成立，得34a ≤-，此时不成立； （ii ）当022a <-<，即 10a -<<时，()f x 在()0,2a -上单调递增，在()2,2a -上单调递减，依题意则有()()()2220852,2412,f a e f e a e ⎧=-+≥⎪⎨=--≥⎪⎩得252834e a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，由于25218e -<-，故此时不成立；（iii ）当22a -≥，即1a ≤-时，()f x 在()0,2上单调递增，依题意则有()202f e ≥，得2528e a -≤ 综上，a 的取值范围是252,8e ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了导数与函数单调性和极值的关系，由导数求函数的单调性与最值，根据不等式求参数的取值范围的应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为222x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标为(,2)a ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且4PA PB =，求实数a 的值．【答案】（1）20x y a --+=，()220y x x =≠.（2）4225或269. 【解析】（1）根据参数方程，消参后可得直线l 直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标方程转化关系，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并设,A B 两点对应参数为1t ，2t ，即可由韦达定理及4PA PB =求得a 的值． 【详解】（1）直线l 的参数方程为222x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 直线l 直角坐标方程为20x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入C 即得， 曲线C 的直角坐标方程为()220y x x =≠.（2）将2,222,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22y x =，化简得222480t t a +-+=， 由判别式>0∆得32a >， 设,A B 两点对应参数为1t ，2t ，则1222t t +=-1284t t a =-， 依题意有124t t =，即124t t =±， 代入解得4225a =或269a =，均满足32a >， 所以实数a 的值为4225或269. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义，由韦达定理求参数值，属于中档题. 23．已知函数22()44441f x x x x x =-+-+（1）解不等式()(2)f x f ≥； （2）若关于x 的不等式25()2f x t t ≤-在[0,3]上无解，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）{|0x x ≤或2}x ≥.（2）132t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）根据函数解析式，化简变形为绝对值形式，利用分类讨论法即可解不等式，求得解集.（2）根据不等式无解，结合绝对值不等式求得最小值，即可由恒成立问题求得t 的取值范围. 【详解】 （1）函数()()()22221|2||21|f x x x x x =--=-+-，不等式可化为|2||21|3x x -+-≥，即12333x x ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，12213x x ⎧<<⎪⎨⎪+≥⎩或2333x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得0x ≤或2x ≥.所以不等式的解集为{|0x x ≤或2}x ≥.（2）由于()133,,212211,2,233,2,x x f x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+-=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩当[]0,3x ∈时，()min 32f x =， 不等式()252f x t t ≤-在[]0,3上无解， 则有()2min 5322t t f x -<=，解得132t -<<.故所求t 的取值范围为132t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，含参数绝对值不等式的解法，属于中档题.。

2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}2．复数（i是虚数单位）的模等于（）A． B．10 C．D．53．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．4．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．15．已知=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且=0，则△ABC的面积为（）A．1+B． +C．1+D．8．已知数列{a n}为等差数列，公差d=﹣2，S n为其前n项的和．若S10=S12，则a1=（）A．19 B．20 C．21 D．229．若﹣＜θ＜0，且P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．64+24πcm2B．64+36πcm2C．48+36πcm2D．48+24πcm211．设函数f（x）=，则使得f（2x）＞f（x﹣3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，1）12．若函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．（，2]C．[1，4）D．[2，8）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，则他们参加项目不同的概率是______．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心，且与直线x﹣y﹣3=0相切的圆的标准方程为______．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，则此三棱柱外接球的表面积为______．16．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥．（Ⅰ）求锐角A的大小；（Ⅱ）如果b=2，c=6，AD⊥BC于D，求AD的长．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国规定PM2.5的数值在0～50ug/m2为空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国“空气质量优秀城市”评选，下表是2011至2020年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）：2011年2020年2020年2020年2020年甲86 77 92 72 78乙78 82 88 82 95（Ⅰ）画出茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选出一个城市为“空气质量优秀城市”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）；（Ⅲ）若从甲、乙两市的2020至2020年这三年记录中各随机抽取一年的数据，求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，AA1=2，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是A1D上一点，且A1E=2ED．（1）求证：EO∥平面A1ABB1；（2）求直线A1B与平面A1ACC1所成角的正弦值．20．以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点A（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l交椭圆C于M、N两点，P为椭圆C上的点，且与M、N不关于坐标轴对称，设直线MP、NP的斜率分别为k1，k2，试问：k1，k2的乘积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2lnx+ax（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距；（Ⅱ）对于任意的x0＞0，记函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线在y轴上的截距为g（x0），求g（x0）的最大值．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题号对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD：DC=1：2，AE：AB=2：3，BD与CE相交于点F．（Ⅰ）证明：A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）若BC=2，求△AEF外接圆的半径．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数）（Ⅰ）求曲线M与曲线N的普通方程；（Ⅱ）若曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）求不等式|2x﹣4|+|x+1|≥5解集；（Ⅱ）已知a，b为正数，若直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，求证：≥8．2020年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，3}【考点】并集及其运算．【分析】根据交集关系求出a，b，即可得到结论．【解答】解：∵M={0，2a}，N={a，b}，若M∩N={2}，∴2a=2，即a=1，则N={1，b}，则b=2，即N={1，2}，则M∪N={0，1，2}，故选：C2．复数（i是虚数单位）的模等于（）A． B．10 C．D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模．【解答】解：=1+=3+i，故模为；故选：A．3．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a2a9+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．【考点】数列与函数的综合；等比数列的性质．【分析】由已知条件推导出a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣2，由（a3+a8）2=2a2a9+6，能求出锐角α的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a3和a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣2=0的两根，∴a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣sinα，∵（a3+a8）2=2a2a9+6，∴4sin2α=﹣2+6，即sinα=，或sinα=﹣（舍），∴锐角α的值为．故选：C．4．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．5．已知=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵=，∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣[1﹣2]=﹣[1﹣2•]=﹣，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出S≥2时终止循环，写出输出n的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，S=0，S＜2，S=0+sin=，n=2；S＜2，S=+sin=+，n=3；S＜2，S=++sin=+，n=4；S≥2，终止循环，输出n=4．故选：C．7．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且=0，则△ABC的面积为（）A．1+B． +C．1+D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由条件得．两边平方计算，得出∠AOB．从而得出∠AOC，∠BOC，分别计算三个小三角形的面积即可．【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，∴OA=OB=OC=1．∵=，∴．∴，即1+1+2=2．∴．∴，即∠AOB=90°，∴∠AOC=∠BOC=135°，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=++=．故选D．8．已知数列{a n}为等差数列，公差d=﹣2，S n为其前n项的和．若S10=S12，则a1=（）A．19 B．20 C．21 D．22【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵S10=S12，∴10a1+×（﹣2）=12a1+×（﹣2），化为：2a1=42，则a1=21．故选：C．9．若﹣＜θ＜0，且P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q【考点】三角函数线．【分析】判断三个数的范围，即可比较大小．【解答】解：﹣＜θ＜0，cosθ∈（0，1）且P=3cosθ＞1，Q=（cosθ）3∈（0，1）；R=∈（0，1）．（cosθ）3＜，可得：Q＜R＜P．故选：B．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．64+24πcm2B．64+36πcm2C．48+36πcm2D．48+24πcm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的表面积公式、矩形面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是圆锥、下面是正方体，且圆锥的底面圆的半径是4、高为3，则母线长=5，正方体的棱长是4，∴该几何体的表面积S=5×4×4+π×42﹣4×4+π×4×5=64+36π（cm2），故选：B．11．设函数f（x）=，则使得f（2x）＞f（x﹣3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】函数单调性的性质．【分析】求出x＞0时f（x）的表达式，结合函数的单调性以及奇偶性，得到|2x|＜|x﹣3|，解出即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）==1+，x→+∞时，f（x）→1，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，又f（x）是偶函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数．∵f（2x）＞f（x﹣3），∴|2x|＜|x﹣3|，即4x2＜x2﹣6x+9，解得：﹣3＜x＜1，故选：A．12．若函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B．（，2]C．[1，4）D．[2，8）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数零点的定义，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣（4+log2a）x+2在（0，2]上有两个零点，∴log2a=x2+﹣4在（0，2]上有两解，设g（x）=x2+﹣4，则g′（x）=2x﹣，得x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（1）=﹣1，g（2）=1，∴﹣1＜log2a≤1，∴＜a≤2，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，则他们参加项目不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出他们参加项目不同包含的基本事件个数，由此能求出他们参加项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名同学分别报名参加足球、篮球、排球活动中的一项，基本事件总数n=3×3=9，他们参加项目不同包含的基本事件个数m=3×2=6，∴他们参加项目不同的概率p==．故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心，且与直线x﹣y﹣3=0相切的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【考点】圆的标准方程．【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．【解答】解：由题意可得圆心为点（1，0），半径为r==，∴要求的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2，故答案为：（x﹣1）2+y2=2．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，则此三棱柱外接球的表面积为20π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，可将棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，BC=4，∠BAC=90°，AA1=2，∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=2，即为球的直径，∴球的半径为，∴球的表面积为4π×（）2=20π，故答案为：20π．16．已知点A（4，0），抛物线C：x2=12y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=3：5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，过点M作准线的垂线，设垂足为P，准线FA的斜率为﹣．利用|FM|：|MN|=|MP|：|MN|即可得出．【解答】解：如图所示，抛物线C：x2=12y的焦点为F（3，0），过点M作准线的垂线，设垂足为P，准线FA的斜率为﹣．利用抛物线的定义可得：|FM|=|MP|．|FM|：|MN|=|MP|：|MN|=3：5．故答案为：3：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥．（Ⅰ）求锐角A的大小；（Ⅱ）如果b=2，c=6，AD⊥BC于D，求AD的长．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由两向量垂直得到tan2A=﹣，由此得到A．（Ⅱ）由余弦定理得到a，再由三角形面积公式得到AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2sinA，），=（2cos2﹣1，cos2A），且⊥，∴且•=2sinA（2cos2A﹣1）+cos2A=sin2A+cos2A=0，∴tan2A=﹣，∵A为锐角，∴A=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=28，∴a=2，∵△ABC的面积为S=bcsinA=a•AD，∴AD=．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也可称为可入肺颗粒物，我国规定PM2.5的数值在0～50ug/m2为空气质量一等，甲、乙两城市现参加全国“空气质量优秀城市”评选，下表是2011至2020年甲乙两市空气质量一等天数的记录（单位：天）：2011年2020年2020年2020年2020年甲86 77 92 72 78乙78 82 88 82 95（Ⅰ）画出茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选出一个城市为“空气质量优秀城市”，你认为选谁更好？说明理由（不用计算）；（Ⅲ）若从甲、乙两市的2020至2020年这三年记录中各随机抽取一年的数据，求空气质量一等天数甲市比乙市多的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）十位为茎，个位数为叶，完成茎叶图，（Ⅱ）由茎叶图可以直接判断，（Ⅲ）甲乙抽取的数据共有9种情况，其中其中空气质量一等天数甲市比乙市多的有2种情况，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示；（Ⅱ）选乙好，因为乙空气质量一等天数的平均值高，（Ⅲ）甲乙抽取的数据共有9种情况，（92，88），（92，82），（92，95），（72，88），（72，82），（72，95），（78，88），（78，82），（78，95），其中空气质量一等天数甲市比乙市多的有2种情况：（92，85），（92，82），故空气质量一等天数甲市比乙市多的概率P=19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2，CD=2，AA1=2，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是A1D上一点，且A1E=2ED．（1）求证：EO∥平面A1ABB1；（2）求直线A1B与平面A1ACC1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1B，利用△AOB∽△COD得出，又，故而OE∥A1B，于是EO∥平面A1ABB1．（2）过A1作A1F⊥B1C1于F，连结BF，则可证明A1F⊥平面BB1C1C，于是∠A1BF是直线A1B与平面A1ACC1所成的角，求出A1F和A1B即可求出线面角的正弦值．【解答】证明：（1）连结A1B，∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴，∵A1E=2ED，∴．∴，∴OE∥A1B，又OE⊄平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴EO∥平面A1ABB1．（2）过C1作C1G⊥A1B1于G，则四边形A1D1C1G是矩形，∴C1G=A1D1=AD=2，A1G=C1D1=2，∴B1G=2，B1C1=2．过A1作A1F⊥B1C1于F，连结BF，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，AF⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥AF，又BB1∩B1C1=B1，BB1⊂平面BB1C1C，B1C1⊂平面BB1C1C，∴A1F⊥平面BB1C1C，∴∠A1BF是直线A1B与平面A1ACC1所成的角．∵S==，∴A1F==．∵A1B==2．∴sin∠A1BF==．20．以F1（﹣2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点A（2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l交椭圆C于M、N两点，P为椭圆C上的点，且与M、N不关于坐标轴对称，设直线MP、NP的斜率分别为k1，k2，试问：k1，k2的乘积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，将A（2，3）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可设M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（s，t），代入椭圆方程，作差，再由直线的斜率公式计算即可得到所求定值．【解答】解：（1）由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，将A（2，3）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=4，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意可设M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（s，t），可得+=1， +=1，相减可得=﹣，则k1•k2=•=﹣=﹣．即有k1，k2的乘积为定值﹣．21．已知函数f（x）=x2lnx+ax（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距；（Ⅱ）对于任意的x0＞0，记函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线在y轴上的截距为g（x0），求g（x0）的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得所求切线的方程，令x=0，即可得到所求y轴上的截距；（Ⅱ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，可令x=0，可得y轴上的截距，求得g（x0）的导数和单调区间，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2lnx+ax的导数为f′（x）=2xlnx+x+a，可得函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为1+a，切点为（1，a），即有切线的方程为y﹣a=（1+a）（x﹣1），令x=0，可得y=a﹣1﹣a=﹣1，在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为﹣1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2xlnx+x+a，可得函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线斜率为2x0lnx0+x0+a，即有切线的方程为y﹣（x02lnx0+ax0）=（2x0lnx0+x0+a）（x﹣x0），令x=0，可得y=x02lnx0+ax0﹣x0（2x0lnx0+x0+a）=﹣x02lnx0﹣x02，设g（x0）=﹣x02lnx0﹣x02，g′（x0）=﹣（2x0lnx0+x0）﹣2x0=﹣x0（2lnx0+3），当x0∈（0，e）时，g′（x0）＞0，g（x0）递增；当x0∈（e，+∞）时，g′（x0）＜0，g（x0）递减．可得g（x0）max=g（e）=e﹣3．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题号对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD：DC=1：2，AE：AB=2：3，BD与CE相交于点F．（Ⅰ）证明：A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）若BC=2，求△AEF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）证明：△BAD≌△CBE，可得∠ADB=∠BEC，∠ADF+∠AEF=π，即可证明A，B，C，D四点共圆；（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，证明点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为，利用A，E，F，D四点共圆，即可求△AEF外接圆的半径．【解答】（Ⅰ）证明：∵AE=AB，∴BE=B．又∵AD=AC，AB=AC，∴AD=BE．又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，∴∠ADF+∠AEF=π，∴A，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：如图所示，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE．∵AE=AB，∴AG=GE=AB=．∵AD=AC=，∠DAE=60°，∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数）（Ⅰ）求曲线M与曲线N的普通方程；（Ⅱ）若曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．利用cos2α+sin2α=1可得普通方程，注意y的取值范围．曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m 为常数），展开可得：=m，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（ⅠI）由直线N与圆M相切时，=1，取m=．直线经过点（1，0）时，m=1．即可得出m的取值范围．【解答】解：（I）由曲线M的参数方程为，（α为参数），α∈[0，π]．可得x2+y2=1（1≥y≥0）．曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=m（其中m为常数），展开可得：=m，化为：x+y=m．（ⅠI）由直线N与圆M相切时，=1，取m=．直线经过点（1，0）时，m=1．∵曲线M与曲线N有两个公共点，∴m的取值范围是[1，）．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）求不等式|2x﹣4|+|x+1|≥5解集；（Ⅱ）已知a，b为正数，若直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，求证：≥8．【考点】绝对值不等式的解法；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据直线的垂直关系，求出关于a，b的等式，根据基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）=|2x﹣4|+|x+1|，∵f（x）=，x≥2时，3x﹣3≥5，解得：x≥，﹣1≤x＜2时，﹣x+5≥5，解得：x≤0，x＜﹣1时，﹣3x+3≥5，解得：x≤﹣，综上，不等式的解集是（﹣∞，0]∪[，+∞）．（Ⅱ）证明：∵直线（a﹣1）x+2y+6=0与直线2x+by﹣5=0互相垂直，∴2（a﹣1）+2b=0，得：a+b=1，∵ab≤=，当且仅当a=b时取“=”，∴≥4，∴+≥≥8，当且仅当a=b=时取“=”，即：≥8．2020年9月18日。