江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高中数学 推理与证明 推理案例赏析同步测试 苏教版选修2-1

江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高中数学计数原理 1.3组合（二）同步测试苏教版选修2-1一.基础过关1.若C7n＋1－C7n＝C8n，则n＝________.2.C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720的值为________．(用组合数表示)3.5本不同的书全部分给4名学生，每名学生至少一本，不同的分法种数为________．4.某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．5.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为________．二.能力提升7.将6位志愿者分成4组，共中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．8.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________种．9.将0,1,2,3,4,5这六个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数有________个．10.某公司为员工制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果M、N为必选城市，并且在游览过程中必须按先M后N的次序经过M、N两城市(M、N两城市可以不相邻)，则不同的游览线路种数是________．11.某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________．12.要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？三.探究与拓展13.赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？答案1．14 2.C421 3.240 4.63 5.1806．①②③④7．1 0808．189．4010．60011．6012．解共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C37种，故共有C17＋A27＋C37＝84(种)．13．解分三类，第一类2人只划左舷的人全不选，有C35C35＝100(种)；第二类2人只划左舷的人中只选1人，有C12C25C36＝400(种)；第三类2人只划左舷的人全选，有C22C15C37＝175(种)．所以共有100＋400＋175＝675(种)．。

直接证明学习目标：1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.学习重难点：综合法和分析法学法指导综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，要结合实例了解两种证法的思考过程、特点.学习过程：探究一：综合法问题1：请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.小结：综合法的定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法.问题2：综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理.例1：在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形.跟踪训练：在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 探究二：分析法问题1：回顾一下：基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？证明：要证a ＋b 2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0， 因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立. 问题2：证明过程有何特点？从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件.问题3：综合法和分析法的区别是什么？例2：求证：3＋7<2 5.跟踪训练： 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3). 探究三：综合法和分析法的综合应用问题：在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q ；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P .若P ⇒Q ，则结论得证.例3已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θ·cos θ＝sin 2β.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β. 跟踪训练：若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β).当堂检测：1.设a ，b 是两个正实数，且a <b ，则下列式子一定成立的是________.①a >a ＋b 2>ab >b ；②b >ab >a ＋b 2>a ；③b >a ＋b 2>ab >a ；④b >a >a ＋b 2>ab .2.求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 3.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α).4.已知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=4232cos ,2sin B A B A a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=4232cos ,2sin 45B A B A b ，其中B A ,是ABC ∆的内角，⊥ ，求证：B A tan tan ∙为定值.5.已知数列{}n a ，n S 是它的前n 项和，且241+=+n n a S ，11=a ，(1)设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出它的通向公式；(2)设n n n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列，并求出它的通项公式.课堂小结：1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.。

演绎推理一、基础过关1．下列表述正确的是________．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．2．设a，b为两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是____________(填序号)．①a⊥α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b∥β，α∥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊂α，b∥β，α⊥β.3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理错误的原因是________．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是________．5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论)那么这个推理错误的原因是________．二、能力提升6．三段论：“①小宏在2020年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2020年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2020年的高考中正常发挥”中，“小前提”是__________(填序号)．7．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是__________________．8．由“(a2＋a＋1)x>3，得x>3a2＋a＋1”的推理过程中，其大前提是______________．9．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)．10．用演绎推理证明函数f(x)＝|sin x|是周期函数．11．设a>0，f(x)＝e xa＋ae x是R上的偶函数，求a的值．三、探究与拓展12．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.答案1．①③⑤2．②(或③)3．小前提不正确4．矩形都是对角线相等的四边形5．大前提错误6．③7．y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8．a >0，b >c ⇒ab >ac9．②③10．证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期．小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )．结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．11．解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴(a －1a )(e x －1ex )＝0对于一切x ∈R 恒成立， 由此得a －1a＝0， 即a 2＝1.又a >0，∴a ＝1.12.证明 如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，∴AE ⊥平面SBC ，∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，S A ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥平面SAB .∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC .。

江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高中数学计数原理两个基本计数原理同步测试苏教版选修2-1一.基础过关1．如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是________．2.已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为________．3.从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a，b)的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是________．4.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．5.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．6.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有________种．二.能力提升7.某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________．8.有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法．9.某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞赛且每科只有1人，其中甲、乙两人不能参加生物竞赛．则不同的选派方法共有________种．10.若把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对．11.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形个数是多少？12.从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？答案1．19 2.15 3.81 4.36 5.48 6.127．7 2008．242 9.24010．2411．解 设较小的两边长为x ，y ，且x ≤y ，则x ≤y ≤11，x ＋y >11，x ，y ∈N *.当x ＝1时，y ＝11；当x ＝2时，y ＝10,11；当x ＝3时，y ＝9,10,11；当x ＝4时，y ＝8,9,10,11；当x ＝5时，y ＝7,8,9,10,11；当x ＝6时，y ＝6,7,8,9,10,11；当x ＝7时，y ＝7,8,9,10,11；当x ＝8时，y ＝8,9,10,11；当x ＝9时，y ＝9,10,11；当x ＝10时，y ＝10,11；当x ＝11时，y ＝11.所以不同三角形的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36. 12．解 因为抛物线经过原点，所以c ＝0，从而知c 只有1种取值． 又抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 顶点在第一象限，所以顶点坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a >0，4ac －b 24a >0，由c ＝0解得a <0，b >0，所以a ∈{－3，－2，－1}，b ∈{1,2,3}，这样要求的抛物线的条数可由a ，b ，c 的取值来确定： 第一步：确定a 的值，有3种方法；第二步：确定b 的值，有3种方法；第三步：确定c 的值，有1种方法．由分步计数原理知，表示的不同的抛物线有N ＝3×3×1＝9(条)．13.解 (1)如图，由题意知，四棱锥S －ABCD 的顶点S 、A 、B 所染色互不相同，则A 、C 必须颜色相同，B 、D 必须颜色相同，所以，共有5×4×3×1×1＝60(种)．(2)由题意知，四棱锥S －ABCD 的顶点S 、A 、B 所染色互不相同，则A 、C 可以颜色相同，B 、D 可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法(如：B 、D 颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S 、A 、B 、C 四个顶点上，有5×4×3×2＝120(种)涂法；根据分步计数原理，共有2×120＝240(种)不同的涂法．。

习题课 二项式定理一.基础过关1.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值为________．2.233除以9的余数是________．3.(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中x 3项的系数是________．4.若(1＋a )＋(1＋a )2＋(1＋a )3＋…＋(1＋a )n ＝b 0＋b 1a ＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n ，且b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝30，则自然数n 的值为________．5.若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．6.(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为________．二.能力提升7.(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝________.8.(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是________．9.已知(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n 的展开式中没有．．常数项，n ∈N *，且2≤n ≤8，则n ＝________. 10.求证：32n ＋2－8n －9 (n ∈N *)能被64整除．11.已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．12.在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n 的展开式中， (1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．答案1．32 2.8 3．－121 4．4 5．5 6.179 7.－31 8.－3 9．510．证明 32n ＋2－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182，该式每一项都含因式82，故能被64整除．11．解 ∵T r ＋1＝C r n ·x n －r 2·2r ·r －r 3＝C r n ·2r ·x 3n －5r6，据题意，得C 0n ＋C 1n ·2＋C 2n ·22＝129，解得n ＝8，∴T r ＋1＝C r 8·2r ·x 24－5r6，且0≤r ≤8.由于24－5r6＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．又24－5r 6＝4－5r6，∴当r ＝0，r ＝6时，24－5r6∈Z ，即展开式中存在有理项，它们是：T 1＝x 4，T 7＝26·C 68·x －1＝1 792x .12．解 (1)由题意得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0，∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70.故展开式中二项式系数最大的项的系数为352、70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.故展开式中二项式系数最大的项的系数为3 432.(2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，解得n ＝12.设展开式中第r ＋1项系数最大，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧ C r 12·4r ≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1.∴9.4≤r ≤10.4.∵r ＝0,1,2，…，12，∴r ＝10.∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212C 1012(4x )10＝16 896x 10.13．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5m ≥11－2m ，11－3m ≥2m －2 ⇒117≤m ≤135.∵m ∈N *，∴m ＝2.∴a 1＝C 710－A 25＝120－20＝100. 而7777－15＝(1＋19×4)77－15 ＝C 077＋C 177(19×4)＋C 277(19×4)2＋…＋C 7777(19×4)77－15 ＝(19×4)[C 177＋C 277(19×4)＋…＋C 7777(19×4)76]＋1－15＝(19×4)[C 177＋C 277(19×4)＋…＋C 7777(19×4)76]－19＋5.∴7777－15除以19余5，即n ＝5. ∴T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－253x 2r＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫525－2r·(－1)r ·x 5r －153. 令5r －15＝0，得r ＝3， 得T 4＝C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫52－1·(－1)3＝－4. ∴d ＝T 4＝－4.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝100＋(n －1)·(－4)＝104－4n .。

绝密★启用前高一下学期第二次质量检测数学试题一、填空题。

（共14题，每题5分，共70分) 1．若4sin ,tan 05θθ=->,则cos θ=2．已知tan 2α=,则sin cos 3sin 2cos αααα+=-________3．一船以每小时km 15的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60的方向，行驶h 4后,船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15的方向,这时船与灯塔的距离为 _________km .4．已知54)2cos(=-πα，则=-)2cos(απ ．5．在等差数列{}na 中，有67812aa a ++=，则此数列的前13项之和为 . 6．当02x π<<时,函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为________．7．在等比数列{}na 中， 若101,a a 是方程06232=--x x的两根，则47a a ⋅=.8．读右图，若5N =,则输出结果S = 。

9．设1,m >在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m的值为 ． 10．一元二次不等式220axbx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是11．若数列{}na 是等差数列，前n 项和为S n ,593595S S a a 则==12．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线_______. 10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 ． 14．D 能被半径为1的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是__________．二、解答题。

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修2-21．下面几种推理过程是演绎推理的是__________．(填序号)①两条直线平行，同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某校高三共有10个班，一班有51人,二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列｛a n ｝中，a 1＝1，11112n n n a a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（n ≥2)，由此归纳出{a n ｝的通项公式 2．“平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提），平面内动点M 到两定点F 1（－2,0)，F 2(2，0）的距离之和为4（小前提)，则M 点的轨迹是椭圆(结论）．”此推理中错误的是____________．3．类比梯形的面积公式：S ＝12×(上底＋下底)×高，可推知上底半径为r 1，下底半径为r 2，母线长为l 的圆台侧面展开图中扇环的面积公式S 扇环＝__________。

4．因为直线a ，b 为异面直线，所以直线a ，b 没有交点，这里运用的推理规则是________．5．定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后面一项的和都为同一常数，那么这个数列叫等和数列．下列数列不是等和数列的为__________（填正确结论的序号)．①a n ＝10 ②2,3,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数③2,3,n n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 ④22sin ,cos ,n n a n αα⎧=⎨⎩为奇数为偶数6．在三段论“∵a ＝（1,0),b ＝（0，－1）,∴a·b ＝(1,0）·（0，－1）＝1×0＋0×（－1)＝0,∴a⊥b ”中，大前提：___________________________________________________________________， 小前提：___________________________________________________________________, 结论：_____________________________________________________________________。

类比推理一、基础过关1.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝________.2.下列推理正确的是________．(填序号)①把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ； ②把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin (x ＋y )＝sin x ＋sin y ； ③把a (b ＋c )与ax ＋y类比，则有ax ＋y＝a x ＋a y；④把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3.下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.4．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是________． ①b 4＋b 8>b 5＋b 7；②b 5＋b 7>b 4＋b 8；③b 4＋b 7>b 5＋b 8；④b 4＋b 5>b 7＋b 8.5．类比平面直角坐标系中△ABC 的重心G (x ，y )的坐标公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3))，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 4)为顶点的四面体A —BCD 的重心G (x ，y ，z )的公式为________．6．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有______________________． 二、能力提升7.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．(填序号) ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交；②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．8.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质 中，你认为比较恰当的是________．(填序号) ①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．9.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为(p k 2＋p ，pk)，请你写出弦MN 的中点坐标：________. 10.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．11.如图(1)，在平面内有面积关系S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．12．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．三、探究与拓展13．已知在Rt△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由．答案1.12lr 2.④3．①②④4．①5.⎩⎪⎨⎪⎧x＝x1＋x2＋x3＋x44y＝y1＋y2＋y3＋y44z＝z1＋z2＋z3＋z446.T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为q1007．②8．①②③9．(pk2＋p，－pk)10.a3811.解类比S△PA′B′S△PAB＝PA′PA·PB′PB，有V P—A′B′C′V P—ABC＝PA′PA·PB′PB·PC′PC证明：如图：设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.则h′h＝PC′PC，故V P—A′B′C′V P—ABC＝13·S△PA′B′·h′13S PAB·h＝PA′·PB′·h′PA·PB·h＝PA′·PB′·PC′PA·PB′·PC.12．解如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.13．解类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.猜想正确．如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确.。

推理案例赏析学习目标：1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力.学习重难点：合情推理和演绎推理学法指导：在实际的数学活动中，通过观察、思考、联想，可以猜测新的结论，新的结论的正确性可以利用演绎推理进行证明.学习过程:探究一:运用归纳推理探求结论问题1:在数学活动中，归纳推理一般有几个步骤？实验、观察(列举几个特别的例子)→概括、推广(分析特例，发现规律，找出共性)→猜测一般性结论.问题2：归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向.例1：已知数列的前4项为32，1，710，917，试写出这个数列的一个通项公式.跟踪训练：下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为______.探究二：运用类比推理探求结论问题1：在数学活动中，类比推理一般有几个步骤？观察，比较(类比两类对象，挖掘他们之间的相似或相同点)→联想，类推(提炼出两类对象的本质的共同的属性，并根据一类对象所具有的性质推测另一类对象也具有某种类似的性质)→猜测新的结论.问题2：类比推理的结论是否一定正确？从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证.例2：Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC2＝BD·BA.类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P—ABC中，可得到什么结论？跟踪训练：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”.拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_____________________.探究三：运用演绎推理证明结论的正确性问题1：合情推理与演绎推理有何异同之处？问题2：应用三段论推理时，一定要严格按三段论格式书写吗？ 在实际应用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式.前一个三段论的结论往往作为下一个三段论的前提.例3：在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)求证数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；跟踪训练：已知函数f (x )，对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ).求证：f (x )是奇函数.当堂检测：1.一个数列的第2项到第4项分别是3，15，21，据此可以猜想这个数列的第一项是________.2.在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形.运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________.3.设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2x 1x 2；x 1＋x 2＋x 3≥33x 1x 2x 3，…类比上述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论________________________________.4.已知a 、b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f f ＋ f f ＋…＋f f ＝________.5. 如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，B 1C 1＝l ，半径为R，△ABC的面积可通过下列公式计算：(1)S＝12ah；(2)S＝12bc sin∠BAC.运用类比的方法，猜想扇形ABC的面积算式，并指出其真假.(1)______________________(2)______________________。

江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校2014-2015学年高一下学期第二次质检数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．不等式的解集是．2．已知直线l：3x+4y﹣12=0，则过点（﹣1，3）且与直线l的斜率相同的直线方程为．3．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是．4．如图，给出一个算法的伪代码，则f（﹣2）+f（3）=．5．如图是一个算法流程图，则输出的a的值是．6．若等差数列{a n}前n项之和是S n，且a2+a10=4，则S11=．7．已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为．8．在△ABC中，已知b=6，c=5，A=30°，则a=．9．若{a n}是等比数列，a4•a5=﹣27，a3+a6=26，且公比q为整数，则q=．10．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是．11．已知关于x的不等式2ax2﹣2x+3＜0的解集为（2，b），则3x2+2x+2a＜0的解集为．12．直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为．13．数列{a n}的通项，第2项是最小项，则的取值范围是．14．已知x，y为正数，则的最大值为．二.解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域作答，解题时应写出文字说明、解题步骤或证明过程.）15．已知三角形的顶点为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3），求BC边上的高AD所在直线的方程．16．如图，△ABC中，D在边BC上，BD=2，CD=1，AD=，B=60°，求：（1）AB的长；（2）AC的长；（3）△ABC的面积．17．已知函数f（x）=ax2+bx+1（1）若f（x）＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}，求实数a，b的值．（2）若f（﹣1）=1且f（x）＜2恒成立，求实数a的取值范围．18．设S n是等比数列{a n}的前n项和，且，．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．20．设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一个根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）证明：数列是等差数列；（2）设方程x2﹣a n x﹣a n=0的另一个根为x n，数列的前n项和为T n，求22013（2﹣T2013）的值；（3）是否存在不同的正整数p，q，使得S1，S p，S q成等比数列，若存在，求出满足条件的p，q，若不存在，请说明理由．江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校2014-2015学年高一下学期第二次质检数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．不等式的解集是（﹣3，1）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式可得（x+3）（x﹣1）＜0，解此一元二次不等式，求得原不等式的解集．解答：解：由不等式可得（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1，故答案为（﹣3，1）．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．2．已知直线l：3x+4y﹣12=0，则过点（﹣1，3）且与直线l的斜率相同的直线方程为3x+4y ﹣9=0．考点：直线的点斜式方程；直线的斜率．专题：直线与圆．分析：利用已知条件求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求出直线方程即可．解答：解：直线l：3x+4y﹣12=0的斜率为：﹣，过点（﹣1，3）且斜率﹣的直线方程为：y﹣3=﹣（x+1），即3x+4y﹣9=0，故答案为：3x+4y﹣9=0．点评：本题考查直线方程的求法，点斜式方程的求法，是基础题．3．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是3．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x ﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2且y=1时，z=2x+y取得最大值3．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，2），B（0，5），C（2，1）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，1）=2×2﹣1=3故答案为：3点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．4．如图，给出一个算法的伪代码，则f（﹣2）+f（3）=﹣1．考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求f（x）=的值，分别求得f（﹣2）和f（3）的值，可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，∴f（﹣2）=﹣2×4﹣1=﹣9；f（3）=23=8；∴f（﹣2）+f（3）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是关键．5．如图是一个算法流程图，则输出的a的值是26．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件a＜10，跳出循环，计算输出a的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环a=1+1=2；第二次循环a=22+1=5；第三次循环a=52+1=26，不满足条件a＜10，跳出循环，输出a=26．故答案为：26．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．6．若等差数列{a n}前n项之和是S n，且a2+a10=4，则S11=22．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式可得S11 =（a1+a11）=（a2+a10），运算求得结果．解答：解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，∴S11 =（a1+a11）=（a2+a10）=22，故答案为：22．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．7．已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用乘“1”法，再使用基本不等式即可求出．解答：解：∵正数x，y满足x+2y=1，∴==3=，当且仅当，x+2y=1，x＞0，y＞0即，时取等号．因此的最小值为．故答案为．点评：熟练掌握变形应用基本不等式的性质是解题的关键．8．在△ABC中，已知b=6，c=5，A=30°，则a=．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，将题中数据代入算出a2=21，再开方即可得到边a的大小．解答：解：∵在△ABC中，，∴由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=62+（5）2﹣2×6×5×=21因此，a=故答案为：点评：本题给出三角形两边和其夹角的大小，求第三边之长，着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．9．若{a n}是等比数列，a4•a5=﹣27，a3+a6=26，且公比q为整数，则q=﹣3．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：可得a3•a6=a4•a5=﹣27，进而可得a3，a6是方程x2﹣26x﹣27=0的实根，解之讨论，满足公比q为整数的即可．解答：解：由等比数列的性质可得a3•a6=a4•a5=﹣27，又因为a3+a6=26，所以a3，a6是方程x2﹣26x﹣27=0的实根，解之可得两实根为﹣1，27，当时，q3==﹣27，解之可得q=﹣3，为整数，满足题意，当时，q3==，解之可得q=，不合题意．故答案为：﹣3点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程根的求解，属基础题．10．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是a≥．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．解答：解：∵x＞0，∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴=≤=，即的最大值为，故答案为：a≥点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．11．已知关于x的不等式2ax2﹣2x+3＜0的解集为（2，b），则3x2+2x+2a＜0的解集为{x|﹣＜x＜﹣}．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：依题意，由2是方程2ax2﹣2x+3=0的根可求得a，从而可求3x2+2x+2a＜0的解集．解答：解：∵关于x的不等式2ax2﹣2x+3＜0的解集为（2，b），∴2是方程2ax2﹣2x+3=0的根，∴8a﹣4+3=0，∴a=．∴3x2+2x+2×＜0⇔12x2+8x+1＜0，解得：﹣＜x＜﹣．∴所求不等式的解集为{x|﹣＜x＜﹣}．故答案为：{x|﹣＜x＜﹣}．点评：本题考查一元二次不等式的解法，求得a的值是关键，属于基础题．12．直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为2x﹣3y=0或x+y+5=0．考点：直线的一般式方程；直线的截距式方程．分析：当直线过原点时，求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式．当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y+m=0，把（﹣3，﹣2）代入直线的方程，求出m值，可得直线方程．解答：解：当直线过原点时，斜率k==，故直线的方程为y=x即2x﹣3y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y+m=0，把（﹣3，﹣2）代入直线的方程得m=5，故求得的直线方程为 x+y+5=0，综上，满足条件的直线方程为2x﹣3y=0或 x+y+5=0．故答案为：2x﹣3y=0或x+y+5=0．点评：本题考查求直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，体现了分类讨论的数学思想．13．数列{a n}的通项，第2项是最小项，则的取值范围是[2，6]．考点：基本不等式；数列的函数特性．专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：利用导数判断函数f（x）=cx（x＞0）的单调性，再利用已知条件及不等式即可得出．解答：解：∵c＞0，d＞0，令f（x）=cx（x＞0），则=，∴，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；当时，f′（x）≤0，函数f（x）单调递减．∵数列{a n}的通项，第2项是最小项，∴，在n≥2时单调递增．∴，即，解得．则的取值范围是[2，6]．故答案为[2，6]．点评：熟练掌握利用导数判断函数f（x）=cx（x＞0）的单调性、不等式的性质设解题的关键．14．已知x，y为正数，则的最大值为．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0，从而有==，利用基本不等式可求解答：解：令2x+y=a，x+2y=b，则且a＞0，b＞0∴==当且仅当即a=b时取等号即最大值为故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是利用换元法配凑基本不等式的应用条件二.解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域作答，解题时应写出文字说明、解题步骤或证明过程.）15．已知三角形的顶点为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3），求BC边上的高AD所在直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：求出BC的斜率，可得BC边上的高的斜率，利用点斜式，可求BC边上的高所在直线的方程．解答：解：∵B（1，﹣2）、C（﹣2，3），∴BC的斜率是=﹣，∴BC边上的高的斜率为，又∵BC边上的高过A（2，4）点，∴BC边上的高所在直线的方程为y﹣4=（x﹣2），即3x﹣5y+14=0．点评：本题考查直线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．16．如图，△ABC中，D在边BC上，BD=2，CD=1，AD=，B=60°，求：（1）AB的长；（2）AC的长；（3）△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理和已知条件求得AB．（2）由余弦定理公式求得AC．（3）根据三角形面积公式求得三角形ABC的面积．解答：解：（1）在△ABD中，设AB=x，由余弦定理得AD2=AB2+BD2=2AB•BD•cosB，即（）2=x2+22﹣4xcos60°，解得x=1，∴AB=1．（2）在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即AC==．（3）S△ABC=AB•BC•sinB=×1×3×=．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．考查了学生对基础知识的记忆．17．已知函数f（x）=ax2+bx+1（1）若f（x）＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}，求实数a，b的值．（2）若f（﹣1）=1且f（x）＜2恒成立，求实数a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由题意得：a＞0且3，4是方程ax2+bx+1=0的两个根．利用根与系数的关系解出即可．（2）由f（﹣1）=1，解得a=b．而f（x）＜2恒成立，即：ax2+bx﹣1＜0恒成立．所以a ＜0且△=b2+4a＜0，解出即可．解答：解（1）由题意得：a＞0且3，4是方程ax2+bx+1=0的两个根．所以，解得，．（2）由f（﹣1）=1，解得a=b，而f（x）＜2恒成立，即：ax2+bx﹣1＜0恒成立．当a=0时，显然恒成立．当a≠0时，必须a＜0且△=b2+4a＜0，即a2+4a＜0，解得﹣4＜a＜0，故所求的a的取值范围是（﹣4，0]．点评：熟练掌握一元二次不等式的解法与判别式的关系、根与系数的关系是解题的关键．18．设S n是等比数列{a n}的前n项和，且，．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）设{a n}的首项为a1，公比为q，分q=1与q≠1讨论，列方程组计算即可求得q，从而可求{a n}的通项公式a n；（2）由a n=2n﹣3，b n=log2a n，可求得b n=n﹣3，从而可求得b1，利用等差数列的前n项和公式即可求得T n．解答：解：（1）设{a n}的首项为a1，公比为q当q=1时，S3=3a1，S6=6a1，则S6=2S3，不合题意；…当q≠1时，，两式相除得1+q3=9，∴q=2，∴…∴a n=a1q n﹣1=×2n﹣1=2n﹣3…（2）b n=log2a n=log22n﹣3=n﹣3，…11分∴b1=﹣2，∴T n===…14分点评：本题考查数列的求和，突出考查等比数列与等差数列的通项公式及求和公式，属于中档题．19．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．考点：函数模型的选择与应用；函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；应用题．分析：（I）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．解答：解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x﹣2）+180•2a=225x+360a﹣360．由已知ax=360，得，所以．（II）因为x＞0，所以，所以，当且仅当时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20．设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一个根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）证明：数列是等差数列；（2）设方程x2﹣a n x﹣a n=0的另一个根为x n，数列的前n项和为T n，求22013（2﹣T2013）的值；（3）是否存在不同的正整数p，q，使得S1，S p，S q成等比数列，若存在，求出满足条件的p，q，若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由S n﹣1是方程x2﹣a n x﹣a n=0的根，代入可得s n与a n的递推关系，令n=1可求a1，n≥2，利用a n=S n﹣S n﹣1，化简得S n S n﹣1﹣2S n+1=0，构造即可证明（2）由（1）可求，带入方程可求a n，进而可求x n，代入利用错位相减可求T n，进而可求（3）由（1）可求S n，假设存在不同的正整数p，q使得S1，S p，S q成等比数列，结合等比数列的性质代入可求满足条件的p，q解答：解：（1）证明∵S n﹣1是方程x2﹣a n x﹣a n=0的根，n=1，2，3，…∴当n=1时，a1=S1，∴，解得，∴…当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，∴化简得S n S n﹣1﹣2S n+1=0，∴，∴，∴，又…∴数列是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列…（2）由（1）得，∴，带入方程得，，∴，∴原方程为，∴，∴…∴①②①﹣②得==…，∴22013（2﹣T2013）=2015…（3）由（1）可得S n=假设存在不同的正整数p，q使得S1，S p，S q成等比数列则即∵∴化简可得，p2﹣2p﹣1＜0∴∵p∈N*且p＞1∴p=2∴∴q=8∴存在不同的正整数p=2，q=8使得S1，S p，S q成等比数列（16分）点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列的错位相减求和方法的应用，等比数列的性质的综合应用．。