2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评15 直接证明 Word版含解析

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学业分层测评(一）(建议用时：45分钟）[学业达标]一、填空题1．下列说法中正确的个数是________．①棱柱的面中，至少有两个面互相平行;②棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；③棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；④棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形．【解析】棱柱的面中，有两个底面,所以至少有两个面互相平行,故①正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面,②错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高，③错误．棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面可能是平行四边形，④错误．【答案】12．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为______(填序号)．图1.1。

11【解析】结合棱锥的定义可知，①不符合其定义，故填①.【答案】①3．在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号）①矩形;②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】在正方体ABCD.A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定:①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体，如A­A1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如A­CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A。

2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)[基础·初探]教材整理直接证明阅读教材P82～P84“练习”以上部分，完成下列问题.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.1.综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.(2)推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论.2.分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.(2)推证过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件.1.判断正误：(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)证明不等式“2＋7<3＋6”最合适的方法是分析法.( ) (4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2.命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝1＋cos 2θ2－1－cos 2θ2＝cos 2θ”应用了________(填“综合法”或“分析法”).【解析】 从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.【答案】 综合法3.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件为________.【导学号：01580044】【解析】 要证∠A 为钝角，只需证cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0即可，也就是b2＋c 2<a 2.【答案】 b 2＋c 2<a 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________解惑：____________________________________________[小组合作型]综合法的应用(1)在△ABC中，已知cos A cos B>sin A sin B，则△ABC的形状一定是__________.(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m－n|＝__________.(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)；②a(1－a)≤14；③ba＋ab≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________.【自主解答】(1)∵cos A cos B>sin A sin B，∴cos A cos B－sin A sin B>0，∴cos(A＋B)>0，即cos(π－C)>0，∴cos C<0，又0<C<π，∴π2<C<π，所以△ABC是钝角三角形.(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，x1＝12，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.设公比为q，则x4＝x1q3，∴4＝12·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝92，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝32.(3)①a2＋b2＋3＝a22＋32＋b22＋32＋a22＋b22≥2a22×b22＋2a22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立). ②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立.④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.【答案】 (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1.综合法处理问题的三个步骤2.用综合法证明不等式时常用的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0).[再练一题] 1.综合法是( ) A.执果索因的逆推证法B.由因导果的顺推证法C.因果分别互推的两头凑法D.原命题的证明方法 【答案】 B分析法的应用设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ).【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键. 【自主解答】 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )， 即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.综上所述，不等式成立.1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.[再练一题]2.已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. 【导学号：01580045】【证明】 由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab >1，即1b －1a >1，这是已知条件，所以原不等式得证.[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【精彩点拨】 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决.【自主解答】法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b ＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b ＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，即a2＋c2－b2＝ac成立.∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立. 法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2ac cos 60°.所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.[再练一题]3.设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .【证明】 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ， 只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1). 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy 成立.1.已知x >0，y >0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为______________. 【解析】 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝xy 3.∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立. 【答案】 32.如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是__________. 【解析】 要使a a >b b ， 只需使a >0，b >0，(a a )2>(b b )2， 即a >b >0. 【答案】 a >b >03.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________，即证__________.由于__________显然成立，因此原不等式成立.【解析】 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥04.设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________.【导学号：01580046】【解析】因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以1a ＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2cb·bc＋2ca·ac＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立. 【答案】95.已知a>0，b>0，试用分析法证明不等式ab＋ba≥a＋b.【证明】要证原不等式成立只需证：a a＋b b≥ab(a＋b)，即只需证(a)3＋(b)3≥ab(a＋b)，只需证(a＋b)(a－ab＋b)≥ab(a＋b)，只需证a－ab＋b≥ab，即(a－b)2≥0，而上式显然成立，故原不等式得证.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：打印版本(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________高中数学。

章末综合测评(三)（时间120分钟,满分160分）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分,请把答案填在题中的横线上）1。

若复数z满足z i＝1－i，则z＝________。

【解析】法一:由z i＝1－i得z＝错误!＝错误!－1＝－1－i。

法二：设z＝a＋b i（a，b∈R)，由z i＝1－i,得（a＋b i）i＝1－i,即－b＋a i＝1－i。

由复数相等的充要条件得错误!即错误!∴z＝－1－i。

【答案】－1－i2。

在复平面内，复数z＝i(1＋3i）对应的点位于第________象限。

【解析】∵z＝i（1＋3i）＝i＋3i2＝－3＋i，∴复数z对应的点为（－3，1）在第二象限.【答案】二3。

(2015·全国卷Ⅱ改编）若a为实数，且（2＋a i）(a－2i)＝－4i,则a＝________。

【解析】∵（2＋a i）（a－2i）＝－4i，∴4a＋（a2－4)i＝－4i。

∴错误!解得a＝0.【答案】04。

设z为纯虚数，且｜z－1－i｜＝1，则z＝________.【解析】设z＝b i（b∈R，b≠0),则｜z－1－i｜＝|(b－1)i－1｜，∴（b－1）2＋1＝1，∴b＝1，则z＝i。

【答案】i5.（2016·辽宁三校高二期末）复数z满足方程｜z－(－1＋i）｜＝4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程是________。

【解析】设z＝x＋y i，由|z－（－1＋i）|＝4得|（x＋1)＋（y －1）i|＝4,即错误!＝4,则（x＋1）2＋（y－1)2＝16.【答案】(x＋1）2＋（y－1）2＝166.在复平面内,若复数（－6＋k2）－（k2－4）i所对应的点位于第三象限，则实数k的取值范围是________.【解析】由已知得错误!∴4<k2<6,∴k∈（－错误!,－2)∪(2，错误!）。

【答案】(－错误!,－2)∪(2,错误!）7。

设a，b∈R,a＋b i＝错误!（i为虚数单位）,则a＋b的值为________。

学业分层测评(五）（建议用时：45分钟）［学业达标]一、填空题1．函数y＝错误!x2－ln x的单调递减区间为________．【解析】函数的定义域为(0，＋∞）,且y′＝x－错误!≤0，由y′≤0，得x≤错误!,∴0<x≤1,∴函数y＝错误!x2－ln x的单调减递区间为（0,1］．【答案】(0,1］2．若函数y＝sin x＋ax为R上的增函数,则实数a的取值范围是________．【解析】y′＝cos x＋a,令y′≥0，可得a≥－cos x，故a≥1.【答案】［1，＋∞）3．已知f（x）＝错误!＋ln x,则f（e)，f（2）与f（3)的大小关系是________．【解析】f（x）的定义域为(0，＋∞)，∴f′（x）＝错误!＋错误!〉0，f（x)在（0，＋∞)上是增函数，故f（3)>f(e）〉f（2）．【答案】f（3）〉f(e）〉f(2）4．若函数h(x）＝2x－错误!＋错误!在（1，＋∞)上是增函数,则k 的取值范围是________．【解析】由题意知h′（x)＝2＋错误!≥0在(1，＋∞）上恒成立，得k≥－2x2，∴k≥－2。

【答案】［－2，＋∞)5．已知函数f(x）＝x3＋x2＋mx＋1在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是________.【导学号：01580012】【解析】f′（x）＝3x2＋2x＋m。

∵f(x)在R上不单调,∴f′(x)有两个相异零点，∴Δ＝4－12m>0,∴m〈错误!.【答案】错误!6．若函数f(x）＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2）,则b＝________，c＝________。

【解析】f′(x）＝3x2＋2bx＋c,由题意知－1<x〈2是不等式f′(x）〈0的解,即－1，2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，解得b＝－错误!,c＝－6。

【答案】－错误!－67．函数f(x）的定义域为R，f(－1)＝2,对任意x∈R，f′（x)〉2,则f（x）〉2x＋4的解集为________．【解析】令f（x）－2x－4＝g(x），则g′(x)＝f′(x)－2。

学业分层测评(十六)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题.△中，若＝，是△内的一点，∠>∠，求证：∠<∠.用反证法证明时的假设为.【答案】∠≥∠.用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，个锐角.”【解析】“至少有两个”的否定是“至多有一个”.【答案】至多有一个.用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是.【解析】因为“方程＋＋＝至少有一个实根”等价于“方程＋＋＝的实根的个数大于或等于”，所以要做的假设是“方程＋＋＝没有实根”.【答案】方程＋＋＝没有实根.命题“，是实数，若－＋－＝，则＝＝”用反证法证明时应假设为.【导学号：】【解析】“＝＝”是“＝且＝”，又因“且”的否定为“綈或綈”，所以“＝＝”的否定为“≠或≠”.【答案】≠或≠.若下列两个方程＋(－)＋＝，＋－＝中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是.【解析】若两个方程均无实根，则(\\(Δ＝(－(－<，,Δ＝＋<，))解得(\\(>()或<－，,－<<.))∴－<<－.因此两方程至少有一个有实根时，应有≤－或≥－.【答案】{≤－或≥－}.用反证法证明命题“若＋＝，则，全为(，为实数)”，其反设为.【解析】“，全为”即是“＝且＝”，因此它的反设为“≠或≠”，即，不全为.【答案】，不全为.若，，是不全相等的正数，给出下列判断：①(－)＋(－)＋(－)≠；②>与<及＝中至少有一个成立；③≠，≠，≠不能同时成立.其中正确的是(填序号).【解析】因为，，不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的≠，≠，≠可以同时成立，所以③错.【答案】①②.完成反证法证题的全过程.题目：设，，…，是由数字，…，任意排成的一个数列，求证：乘积＝(－)(－)…(－)为偶数.证明：假设为奇数，则均为奇数.①因个奇数之和为奇数，故有(－)＋(－)＋…＋(－)为.②而(－)＋(－)＋…＋(－)＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)＝.③②与③矛盾，故为偶数.【解析】由假设为奇数可知(－)，(－)，…，(－)均为奇数，故(－)＋(－)＋…＋(－)＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)＝为奇数，这与为偶数矛盾.【答案】①－，－，…，－②奇数③二、解答题.已知，，均大于零，求证：＋，＋，＋这三个数中至少有一个不小于.【证明】假设＋，＋，＋都小于，即＋<，＋<，＋<，。

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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学业分层测评(十五）（建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在直角坐标系中,直线错误!x＋3y－3＝0的斜率是________．【解析】直线错误!x＋3y－3＝0化为斜截式得y＝－错误!x＋1，故直线的斜率为－错误!.【答案】－错误!2．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1,且它的倾斜角是直线错误!x－y－错误!＝0的倾斜角的2倍，则a＝________，b＝________. 【导学号：60420062】【解析】由ax＋by－1＝0在y轴上截距为－1,∴错误!＝－1，b＝－1.又错误!x－y－错误!＝0的倾斜角为60°。

∴直线ax＋by－1＝0的斜率－错误!＝tan 120°，∴a＝－错误!。

【答案】－ 3 －13．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l经过原点和第二、四象限，则A,B，C应满足________．【解析】l过原点，则C＝0，又过二、四象限，则－AB〈0，即AB>0即AB〉0。

【答案】AB>0且C＝04．若方程(a2－a－2）x＋（a2＋a－6）y＋a＋1＝0表示垂直于y轴的直线，则a为________．【解析】因为方程表示垂直于y轴的直线，所以a2－a－2＝0且a2＋a－6≠0,解得a＝－1。

学业分层测评(二十）(建议用时：45分钟）[学业达标]一、填空题1。

（2016·盐城期末)设复数z满足i z＝－3＋i（i为虚数单位)，则z的实部为________。

【解析】由i z＝－3＋i得，z＝错误!＝1＋3i,则z的实部为1。

【答案】12。

(2016·吉林一中高二期末)复数错误!的共轭复数是________.【解析】∵错误!＝错误!＝－1－2i。

∴错误!的共轭复数是－1＋2i。

【答案】－1＋2i3.复数错误!＝________。

【解析】原式＝错误!＝错误!＝－错误!－错误!i.【答案】－错误!－错误!i4.设i是虚数单位，则i3i＋1i－1等于________.【解析】(1）∵错误!＝－错误!＝错误!＝－i，∴错误!＝i3·（－i）＝－i4＝－1。

【答案】－15.（2015·全国卷Ⅰ改编）设复数z满足错误!＝i，则｜z|＝________。

【解析】由错误!＝i，得z＝错误!＝错误!＝错误!＝i,所以｜z｜＝|i｜＝1。

【答案】16。

（2014·北京高考)若（x＋i）i＝－1＋2i，(x∈R），则x＝________.【解析】由（x＋i）i＝－1＋2i，得x＝错误!－i＝错误!－i＝2.【答案】27。

设i是虚数单位,复数1＋a i2－i为纯虚数,则实数a的值是________。

【解析】错误!＝错误!＝错误!，由纯虚数定义，则2－a＝0，∴a ＝2.【答案】28.已知错误!＝b＋i（a,b∈R），其中i为虚数单位,则a＋b＝__________。

【解析】∵错误!＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋b i,∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1。

【答案】1二、解答题9。

计算：(1）错误!＋错误!6；(2）错误!＋错误!2＋错误!.【解】(1）原式＝错误!＋i6错误!6＝i＋i2＝i－1。

(2）原式＝错误!＋错误!＋错误!＝i＋错误!＋错误!＝i＋(－i）＋0＝0。

学业分层测评(十七)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题.设()＝＋＋＋…＋(∈*)，那么(＋)－()等于.【解析】(＋)－()＝＋＋＋…＋＋＋＋－()＝＋＋.【答案】＋＋.(·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋＞”，当＝时，不等式左边的项为：.【解析】不等式左边分子是，分母是从＋一直到＋的分数之和，当＝时，＋＝＋＝，左边项为＋＋.【答案】＋＋.用数学归纳法证明：“＞＋对于≥的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取值.【导学号：】【解析】∵当＝时，＝＋；当＝时，＜＋，当＝时，＜＋；当＝时，＜＋；当≥时，＞＋恒成立.∴＝.【答案】.若()＝＋＋＋…＋()，∈*，则(＋)－()＝.【解析】()＝＋＋＋…＋()，(＋)＝＋＋＋…＋()＋(＋)＋(＋)，则(＋)－()＝(＋)＋(＋).【答案】(＋)＋(＋).已知数列{}的前项和＝(≥)，而＝，通过计算，，，猜想＝.【解析】＝＝，＝，＝，＝，猜想＝.【答案】.用数学归纳法证明≥(，是非负实数，∈*)时，假设＝命题成立之后，证明＝＋时命题也成立的关键是两边同乘以.【解析】要想办法出现＋＋＋，两边同乘以，右边也出现了要证的＋.【答案】.以下是用数学归纳法证明“∈*时，＞”的过程，证明：()当＝时，＞，不等式显然成立.()假设当＝(∈*)时不等式成立，即＞.那么，当＝＋时，＋＝×＝＋＞＋≥＋＋＝(＋).即当＝＋时不等式也成立.根据()和()，可知对任何∈*不等式都成立.其中错误的步骤为(填序号).【解析】在＋＝×＝＋＞＋≥＋＋中用了≥＋，这是一个不确定的结论.如＝时，＜＋.【答案】().用数学归纳法证明＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋＝时，由＝的假设到证明＝＋时，等式左边应添加的式子是.【解析】当＝时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋.当＝＋时，左边＝＋＋…＋＋(＋)＋＋(－)＋…＋＋，所以左边添加的式子为(＋)＋.【答案】(＋)＋二、解答题.用数学归纳法证明：当∈*时，＋＋＋…＋＜(＋).【证明】()当＝时，左边＝，右边＝＜，不等式成立.()假设当＝(∈*)时不等式成立，即＋＋＋…＋＜(＋)，那么，当＝＋时，左边＝＋＋＋…＋＋(＋)＋＜(＋)＋(＋)＋＝(＋)(＋)＜(＋)＋＝[(＋)＋]＋＝右边，即左边＜右边，即当＝＋时不等式也成立.根据()和()，可知不等式对任意∈*都成立..已知数列{}满足＋＝，＝.试猜想{}的通项公式，并用数学归纳法证明.＝，＝，得【解】由＋＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，….归纳上述结果，可得猜想＝(＝，…).。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________.【解析】f(n＋1)－f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.【答案】13n＋13n＋1＋13n＋22.(2016·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1＞2512”，当n＝1时，不等式左边的项为：________.【解析】不等式左边分子是1，分母是从n＋1一直到3n＋1的分数之和，当n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，左边项为12＋13＋14.【答案】12＋13＋143.用数学归纳法证明：“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取值________.【导学号：01580053】【解析】∵当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22＜22＋1，当n＝3时，23＜32＋1；当n＝4时，24＜42＋1；当n≥5时，2n＞n2＋1恒成立.∴n0＝5.【答案】 54.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，n∈N*，则f(k＋1)－f(k)＝______________.【解析】f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，则f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.【答案】 (2k ＋1)2＋(2k ＋2)25.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝________.【解析】 a 1＝1＝21×2，a 2＝22×3，a 3＝23×4，a 4＝24×5，猜想a n ＝2n (n ＋1). 【答案】 2n (n ＋1)6.用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________.【解析】 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b 27.以下是用数学归纳法证明“n ∈N *时，2n ＞n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即2k ＞k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N *不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).【解析】 在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论.如k ＝2时，k 2＜2k ＋1.【答案】 (2)8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是_____.【解析】 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.【答案】 (k ＋1)2＋k 2二、解答题9.用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n ＜(n ＋1)n .【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k ＜(k ＋1)k ，那么，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1＜(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋2)＜(k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边＜右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N *都成立.10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0.试猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解】 由a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0，得 a 2＝12－0＝12，a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23＝34， a 5＝12－34＝45，….归纳上述结果，可得猜想a n ＝n －1n (n ＝1,2,3，…).下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n ＝1时，猜想显然成立.(2)假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝k －1k ，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k＝12－k －1k＝k k ＋1＝(k ＋1)－1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想a n ＝n －1n 对所有正整数都成立，即为数列{a n }的通项公式.能力提升]1.用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n －y n 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________.【解析】 由于n 为正偶数，第一步应检验n ＝2时，命题成立.第二步，应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立，即n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除.【答案】 2 假设n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除2.用数学归纳法证明：凸n 边形对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)时，f (k ＋1)与f (k )的关系是_______________________________________________.【解析】假设n＝k(k≥4，k∈N*)时成立，则f(k)＝12k(k－3)，当n＝k＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k＋1－2＝k－1条，所以f(k＋1)＝f(k)＋k－1.【答案】f(k＋1)＝f(k)＋k－13.用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n＞1)”，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________.【解析】当n＝k＋1时，左边是1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1增加的是12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共有2k＋1－1－2k＋1＝2k项，故左边应增加的项的项数是2k.【答案】2k4.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.【导学号：01580054】【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k ＋2.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋25.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.当n＝1时，f(1)＝1满足条件.假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。

学业分层测评（十五）(建议用时：45分钟）[学业达标］一、填空题1.命题“函数f（x)＝x－x ln x在区间（0,1］上是增函数”的证明过程“对函数f（x）＝x－x ln x求导得f′（x)＝－ln x，当x∈(0，1)时,f′（x）＝－ln x>0，故函数f（x)在区间（0,1)上是增函数”应用了________的证明方法。

【答案】综合法2.已知a，b是不相等的正数，x＝错误!，y＝错误!,则x，y的大小关系是x________y.【解析】要比较x，y的大小。

∵x〉0，y〉0，只需比较x2，y2的大小,即错误!与a＋b的大小.∵a，b为不相等的正数,∴2错误!〈a＋b,∴错误!<a＋b,则x2〈y2，∴x〈y.【答案】〈3。

已知sin θ＋cos θ＝错误!且错误!≤θ≤错误!,则cos 2θ＝______________.【解析】由sin θ＋cos θ＝错误!得1＋2sin θcos θ＝错误!。

则2sin θcos θ＝－错误!，∵错误!≤θ≤错误!，∴sin θ〉0,cos θ<0。

∴sin θ－cos θ＝错误!＝错误!.∴sin θ＝错误!，∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×错误!＝－错误!。

【答案】－错误!4。

（2016·南京高二期末）已知函数f(x）＝e x－ax在区间(0，1)上有极值，则实数a的取值范围是________。

【解析】函数f（x）＝e x－ax在区间(0,1）上有极值,就是导函数f′（x）＝e x－a在区间(0,1)上有零点。

即方程e x－a＝0在区间（0，1）上有解。

所以a＝e x∈（1，e）.【答案】（1，e）5。

已知f（x）＝错误!是奇函数，那么实数a的值等于________.【解析】函数的定义域为R,函数为奇函数，当x＝0时f(0）＝0,即错误!＝0,∴a＝1.【答案】16.已知等差数列｛a n}的公差d≠0,且a1，a3,a9成等比数列,则错误!＝________.【解析】∵a1·a9＝a错误!，即a1·（a1＋8d)＝(a1＋2d)2,∴4d(a1－d)＝0，∵d≠0，∴a1＝d，∴错误!＝错误!＝错误!。