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双曲抛物面上的一类G~2连续逼近样条

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抛物型方程的galerkin有限元方法

抛物型方程的galerkin有限元方法

抛物型方程的Galerkin有限元方法一、引言抛物型方程是一类常见的偏微分方程，具有广泛的应用。

在数值解中，Galerkin有限元方法是一种常用且有效的方法。

本文将介绍抛物型方程的基本概念，并详细讲解Galerkin有限元方法在求解抛物型方程中的应用。

二、抛物型方程的基本概念抛物型方程是指具有二阶时间导数和二阶空间导数的偏微分方程。

一般形式为：∂u−Δu=f∂t其中，u为未知函数，t为时间变量，Δ为Laplace算子，f为给定的函数。

抛物型方程的一个重要特点是初始条件和边界条件对解的影响非常大。

合适的初始条件和边界条件能够唯一确定方程的解。

三、Galerkin有限元方法Galerkin有限元方法是一种利用函数空间进行近似的数值计算方法。

它基于以下思想：将问题的解表示为函数空间中的一个函数，通过求解一组代数方程组来近似求解原始方程。

1. 函数空间的选择在应用Galerkin有限元方法求解抛物型方程时，需要选择合适的函数空间。

常用的函数空间有有限维函数空间和无限维函数空间。

具体的选择需要根据问题的特点和计算的要求来确定。

2. 弱形式的推导对于抛物型方程，我们可以将其转化为弱形式。

弱形式是通过将方程两边乘以一个测试函数，并进行积分得到的。

这样可以减小对解的要求，并使得问题更容易求解。

3. 数值离散和代数方程的建立接下来，需要对时间和空间进行离散。

通常使用网格来进行离散，将时间和空间分割为有限个小区域。

然后，通过选择适当的基函数，在每个小区域上近似原方程的解。

最终得到一组代数方程组。

求解代数方程组是Galerkin有限元方法的最后一步。

可以使用常用的数值方法，如迭代法、直接法等，来求解代数方程组。

根据计算要求和问题特点，选择合适的求解方法。

四、应用案例以一维热传导方程为例，展示Galerkin有限元方法在求解抛物型方程中的应用。

热传导方程是一个典型的抛物型方程，描述了物体内部的温度分布随时间变化的规律。

二阶非线性双曲型方程的近似解法

二阶非线性双曲型方程的近似解法

二阶非线性双曲型方程的近似解法二阶非线性双曲型方程是一类形式为$$u_{tt}-c^2u_{xx}+f(u,u_t,u_x)=0$$的偏微分方程，其中$c$为常数，$f(u,u_t,u_x)$为非线性项。

这类方程通常出现在波动方程、振动方程、输运方程等领域，解析解往往比较难以获得。

因此，我们需要求取它的数值解。

求解二阶非线性双曲型方程的近似解可以利用有限差分法、有限元法或者其他数值方法。

以下我们分别介绍这些方法。

1.有限差分法：有限差分法是一种基于差分逼近的数值求解方法。

它将求解区域离散化为一系列节点，然后利用近似的差分格式替代偏微分方程中的导数项，最终得到一个代数方程组。

常用的有限差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。

通过构建差分格式的方程组，可以通过迭代求解来获得方程的数值解。

2.有限元法：有限元法是一种在连续域上建立有限维函数空间的数值求解方法。

它将求解区域进行网格划分，并在每个网格单元内用一个局部插值函数来近似原方程，然后将整个区域的问题转化为一个代数方程组。

通过求解方程组，可以得到方程的数值解。

有限元法具有较高的适用性和精确度，并且可以处理复杂的几何结构。

3.其他数值方法：除了有限差分法和有限元法之外，还可以利用其他数值方法进行近似解的求取。

例如，谱方法基于将原方程展开为一组函数的级数，然后通过调节级数中的系数使得方程在一些选定的离散点满足。

神经网络方法则通过训练神经网络来逼近方程解。

这些方法在特定问题和特定条件下可能会有更好的效果。

总之，二阶非线性双曲型方程的数值求解可使用有限差分法、有限元法或其他数值方法。

具体选择哪种方法需要根据问题的特点和求解精度的要求来决定。

我们可以根据具体问题的需求进行合适的选择，并使用相应的技术工具来实现近似解的求取。

计算机图形学第五章曲线与曲面

计算机图形学第五章曲线与曲面

2015/9/25
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第五章：曲线与曲面
2015/9/25
21
第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
2015/9/25
23
第五章：曲线与曲面
双三次参数曲面的代数形式
双三次参数曲面片: 由两个三次参数变量(u, w)定义的曲面片，最常用。
其代数形式、矩阵表示分别是:
最简单的参数曲线，P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 端点为P1、P2
圆
第一象限内的单位圆弧的非参数方程表示为：
y 1 x2
其参数形式可表示为：
0 x 1
1 t2 x (t ) , 2 1 t
y (t )
2t 1 t 2
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推导略
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第五章：曲线与曲面

参数曲面的定义
一张矩形域上的参数曲面片
一张矩形域上由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的
单值函数表示式为：x=x(u, w), y=y(u, w), z=z(u, w) u,w€[0,1] u,w为参 数。并可记为：p(u, w)=[x(u, w), y(u, w), z(u, w)]
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第五章：曲线与曲面

位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
参数表示的三维曲线
有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数x=x(t)，
y=y(t)，z=z(t)，0≤t≤1
位置矢量
图5.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；其

样条插值

样条插值
数值分析
作业
• 教材第146页习题：20、22、25、26
数值分析
数值分析
三次样条插值
数值分析
余下的n+3个条件的确定：
（1）n+1个插值节点条件，即s3(xk)=f(xk)=yk; （2）两个边界条件！
数值分析
三次样条插值的边界
数值分析
构造三次样条插值函数S ( x )的基本方法
(1)三弯矩插值法
（2）三转角方 （3）基于B样条的三次样条插值函数
数值分析
f (1.25) ≈ S (1.25) = S1 (1.25) = 1.0336,Q 1.25 ∈[1.2,1.4].
数值分析
数值分析
B（皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier））样条
数值分析
样条函数插值
定义：记
k ⎧ x , x≥0 k x+ = ⎨ ⎩ 0, x < 0
k x+ (k = 1, 2,L ) 称为 k 次半截单项式，并规定
• • • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 分段低次插值 样条插值
数值分析
样条插值
• 分段低次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光 滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。 • “样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计：给出 外形曲线上的一组离散点(样点),(xi , yi),i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在 其它地方自由弯曲,这种样条所表示的曲线,称为样条曲线(函 数). • 这样，整个曲线不仅通过样点，并且在整个区间上其一阶 导数，二阶导数是连续的。

第六节 B样条曲面 北京化工大学(1)标准版文档

第六节 B样条曲面 北京化工大学(1)标准版文档
Ni,p t i
i0
nபைடு நூலகம்
则上面的曲线可表示为：CtRi,ptPi i0
有许多技术可用于创作地形，它们模拟或再现自然
的或想象的大地表面。也有许多技术用于变形这些地 形，而这些技术使用数学函数。生成一个地形的最简 单的技术是使用一个带XY分量的二维平面。若希望的 形状像一个自然地形，则使用这些技术中的任何一个 都是合适的；若设法创作一个更迷人的地形，则基本 产生地形的另一项技术是 平面可用数学函数变形。
第七节、NURBS方法
尽管B样条方法在表示与设计自由型曲线曲面形状
时显示了强大的威力，然而在表示与设计二次曲线曲 与平面构成的初等)如：圆弧、椭圆弧、双曲线等(面 曲面时却遇到了麻烦，因为B样条曲线、曲面及其特 例的贝塞尔曲线、曲面都不能精确地表示除抛物面以 外的二次曲线曲面，而只能给出近似的表示，使本来 简单的问题复杂化，还带来了设计误差。人们为了解 决这个问题，对B样条方法进行了改造，在保留其描 述自由型形状长处的同时，扩充其统一表示二次曲线 与曲面的能力。这种新型的方法称为非均匀有理B样 NURBS)技术。，条(Non-Uniform Rational B-spline 目前NURBS已被国际标准化组织定义为工业产品形状 表示的国际标准方法。
一条P次NURBS曲线定义为：
n
Ni,p t iPi
i0
为P 相次定Cp Bt义上样，：的条)构基NN成函为,一tP数定(控u，义) 制在多节边a点形t矢(为量b 控制应顶的点T 权其重，中 第若则则也则 尽等次产尽等次 若若这构其尽等次 则则人这也构也 若产也 若产目第则目尽等次构生这则则也产也七希上上有上管)曲生管)曲希设种造中管)曲上上们种有造有设生有希生前七上前管)曲造成种上上有生有与与与与节 望 面 面 许 面B线 地 B线望 法 新 地 B线面 面 为 新 许 地 许法 地 许望 地 N节 面 NB线 地 一 新 面 面 许 地 许平平平平样样样样UU为、的的的多的 曲形曲 的创型形曲 的的了型多形多 创形多 的形、的曲形个型的的多形多面面面面RR条条条条控N形曲曲技曲 面的面 形作的的面 曲曲解技的技 作的技 形的N曲面的地的曲曲技的技BB构构构构方 方 方 方UUSS制状线线术线 ，另， 状一方这， 线线决方术这术 一另术 状另线，这形方线线术另术成成成成RR已已法法法法顶像可可用可 一像个法种可可这法用种用 个一用 像一可而种的法可可用一用而而 而BB的的的的被被在在在在SS点一表表于表 项一更称技表表个称于技于 更项于 一项表只技最称表表于项于只只 只初初初初方国方国表表表表(个示示变示 技个迷为术示示问为变术变 迷技变 个技示能术简为示示变技变能能 能构等等等等法际法际示示示示自为为形为 术自人非对为为题非形对形 人术形 自术为给对单非为为形术形给给 给成曲曲曲曲标标与与与与然这是然的均数均这数这的是这然是：出数的均：：这是这：：： ：：，出出出一面面面面准准设设设设地些构地地匀据匀些据些 地构些 地构近据技匀些构些对近近 近控时时时时i化化计计计计形地造形形有非有地非地 形造地 形造似非术有地造地B似似 似制却却却却组组自自自自样形一理常理形常形 一形 ，一的常是理形一形，，，，的的 的多遇遇遇遇织织由由由由条个敏敏个， 则个表敏使，个，则，则则BB，， 则B表表 表边到到到到定定型型型型样方样样三感感三而 使三示感用而三而使而使基而而 基示示 示形了了了了义义曲曲曲曲条法条条维维这 用维，，一这维这用这，， 用本，， 这，这 本i)麻麻麻麻，为为线线线线(进((n网网些 这网使而个些网些这些使使 这平而使 些而些 平NNN0烦烦烦烦工工曲曲曲曲行ooo格格技 些格本且带技格技些技些面技技 面本本 且本 且nnn，，，，为业业面面面面了R---术 技，来对术，术技术技可术术 可，，X来来 对来 对UUU因因因因相产产Y形形形形改iinnn使 术它简产使它使术 使 术 用 使 使用它它简 简产 简产,i,分为为为为应piii品品p状状状状造fffooo用 中是单生用是用中用中数用用 数是是单单 生单 生量BBBB的t形形rrr时时时时，mmm数 的以的地数以数的数的学数数 学样以样样以样的的 地的 地的权状状显显显显在RRR学 任定问形学定学任学任函学学 函条定条条定条问问 形问 形二重表表aaa示示示示保函 何义题的函义函何函何数函函 数曲义曲曲义曲题题 的题 的ttt维i，iii示示n了了了了留ooo数 一一复精数一数一数一变数数 变线一线线一线复复 精复 精Nnnn平的的强强强强其aaa。 个个杂确。个。个个形形。、个、、。。 个、杂杂 确杂 确i面lll,国国大大大大描pBBB都想化模想都都曲想曲。曲。想曲化化 模化 模T 为。际际---的的的的述ssst是象，型象是是面，象面， 面， 象面型型定ppp 标标威威威威自lll合的还也的合合及还的及还 及还 的及也也义iiinnn准准力力力力 由ieee适或带非或适适其带或其带 其带 或其非非在a ，，， 方方，型，，，的实来常实的的特来实特来 特来 实特常常节,NNN法法然形然然然 ；际了有际例了际例了 例了 际例；；有有点pUUU。。 而状而而而RRR的设效的的设的的设 的设 的的效效矢1, BBB在长在在在a地计。地贝计地贝计 贝计 地贝。。量SSS表处表表表,)))形误形塞误形塞误 塞误 形塞u技技技示的示示示p 的差的尔差的尔差 尔差 的尔上术术术与同与与与1 二。二曲二曲曲二曲。。 。的。。。,设时设设设 维维线维线线维线计计计计，轮轮轮轮、、、、,二二二二扩廓廓廓廓曲曲曲曲u次次次次充m 为为为为面面面面 曲曲曲曲其基 基基基都都都都p线线线线统础础础础不不不不1曲曲曲曲一,的的的的能能能能b 面面面面表。。精精精精。。, 示((((p确确确确如如如如二1 地地地地：：：：,次b表表表表圆圆圆圆 曲示示示示弧弧弧弧线除除除除、、、、i 与抛抛抛抛椭椭椭椭曲物物物物圆圆圆圆面面面面面弧弧弧弧的以以以以、、、、能外外外外双双双双力的的的的曲曲曲曲。二二二二线线线线

B样条曲线

B样条曲线

不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
Q21 Q22
Q31 Q32
Q03 Q13 Q23 Q33
u
Q30 Q20
Q10 Q00
Q01
w
Q31
Q11Q21
Q32 Q22 Q33
Q02 Q12Q13Q23
Q03
由曲线拓展为Bézier曲面
给定空间16个位置点bij，可以确定 一张三次Bezier曲面片。
rij
u
首先生成四条v向的三次Bezier曲线：
P3 P1
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲

Pn
0
Pn1
P0m J0,m (v)
P1m


J1,m
(v)



Pnm


J
m,m
(v)

一类有理逼近参数样条


Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａ ａ ａ ｔ ｉ ｓ ｌ ｅ ｃ ｒ ｅ ｗｉ ｈ ｐ ａ ｔ ｒ ｉ ｐ ｏ ｕ ｅ ｎ ａ ｈ ｐ ｒ ｏ ｉ ａ ａ ｏ ｏ ｄ，ｗｈ ｃ ａ ｐｐ ｏ ｃ ｔ ｏ ｒ ｌｐ ｌ ｇ ｎ， ｓ ｒｃ ｐ ｒ ｍｅ ｒｃ ｐ ｉ ｕ ｖ ｔ ａ ｓ ａ ｅｆ ｃ ｏ ｓ ｒ ｄ ｃ ｄ ｏ ｙ ｅ ｂ ｌ ｐ ｒ ｂ ｌ ｉ ｎ ｈ ｃ ｉｈ ｃ ｎ ａ ｒ ａ ｈ ｉｓｃ ｎｔｏ ｏ ｙ ｏ
ａ ｄ ｐ ｓｅ ｓ ｓｆ ｅ ｍ ｅｒｃ ｌ ｒ ｐ ｒｉｓ ｎ ｏ ｓ ｓｅ ｉ ｇ ｏ ｔｉａ ｏ ｅ ｔｅ．Ｔｈｓｓ ｌ ｅｃ ｎｂ ｎｅｗｉｈｄ ｇ ｅ ｅ ｕｃｉｎ ａ ｄ ｅｅ ａｉｎ ｎｅ ｐ ｉ ｐｉ ａ ｅｄｏ ｔ ｅ ｒｅｒｄ ｔｏ ｎ ｌｖ ｔｏ ．Ｗ ｅａ ａｙ ｉ ｈ ｒ ｐ ｒｉｓｏ ｗｏｅ ｄ ｎ ｎ ｌｓｓｔ ｅｐ ｏ ｅ ｔｅ ｆｔ ｎ
Ｃｌｓ ｍｂｅ ＴＰ３ 】 ａ ｓＮｕ ｒ ９
１ 引 言
在 计算 机辅 助几 何 设 计 中 ， 般 有 两 种 定 义 曲 线 曲面 一 的 方 法 ， 们 分 别 是 参 数 化 方 法 和 隐式 方 法 ｌ 。后 者 尽 它 １ 管 具有 更 多 的 自由度 、 好 的直 观 表 示 及 更 好 的 几 何 运 算 更 性 质 ， 是 由于 计 算 量 太 大 ，因此 ，目前 在 几 何 曲线 的设 但 计 中 ， 数 化 方 法 已 成 为 一 种 不 可 替 代 的 几 何 方 法 。 因 参 此 ， 多 隐式 方 法 ，主 要 是 代 数 方 法 ，最 终 其 应 用 还 是 转 大 化为参数方法表示 。 同时 ，在对 模 型重 构 中 ， 制 点 和 剖 分 情 形 中 有 理 样 控 条 的大 量 应 用 ， 有 很 好 的 逼 近 、 于 实 施 和 带 有 形 状 因 具 易 子 通 过 人 机 交 互 来 调 整 曲 线 。 特 点 ，为 曲线 的 构 造 提 等 供 了很 大 的方 便 。在 计 算 机 图 形 学 中 ，比较 多 的 热 点 聚 集

一种简单的二次B样条曲线拟合算法_高剑光

实际自由曲线拟合绘制过程中也常采用3次b样条皋函数进行拟合运算为了使得曲线比用折线来代替要绘制的曲线看上去更光滑应尽可能多地进行曲线上位置点的拟合计算这样绘制一条b样条曲线就需要反复多次计算各坐标分鼍的3次多项式其计算量也相当大绘制拟合速度极慢难以满足实际需要
Microcomputer Applications Vol. 26, No.9, 2010
成所需要的目标曲线。（如图 4 所示）做出了给定平面上 4 个点 P1 ,P2, P3, P4，拟合出依次经过这些点的二次 B 样条曲 线；
D1(D1 + D2 ) / 2D2
P2 T1
T2 P3
图 2 A、B、C 三点控制的曲线段
曲线段由 A,B,C 3 点控制，将它简记为
P(t)=(A,B,C)
Y C
gA
F
gB
A
α >0
B
X
ω −θ
β <0
O2 ω = β −α
θ
1 双圆弧拟合算法
按平面曲线给定一列有序型值点（节点），每相邻节点 之间有两条相切圆弧构成，两圆弧通过一个节点，且节点处 的切线斜率与曲线在节点处的斜率相等，叫做曲线的双圆弧 拟合如图1所示。双圆弧拟合有6个参数需要确定：两节点 Pi，Pi+1；两节点Pi，Pi+1处的切线斜率；双圆弧的切点T； 双圆弧切点处的公切线斜率。前4个参数可由曲线的参数方 程按给定参数值求得。双圆弧拟合方法主要根据后两个参数 的求法不同而不同，但不难证明两圆弧相切点位置结论：相 切点位置有无穷多个；相切点的轨迹是一个圆弧——轨迹 弧。
商品 C1 , C2 , C3 的记录如表 1 (选客户 U1 作为参照 ) : 即 经过 Web 使用挖掘数据预处理后 ,得到数据集 S10 ={s1， s2，⋯，s 10}：s1=(0, 0, 0) s2=(5, 3, 5) s3=(7, 5, 4) s4= (5, 4, 5)

计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条

2013-2014学年第二学期硕士研究生课程《NURBS曲线曲面基础》大作业一．课程大作业内容：请同学们结合所学的《NURBS曲线曲面基础》和《数值分析》等课程知识，研读施法中编著的《计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条》一书，写一篇3--5万字左右的《计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条》研读报告。

报告要把握全局，重点研究曲线曲面的基本理论和贝齐尔—B样条—NURBS方法；要着重论述它们的由来、基本思路或解决问题的途径、基本概念、基本性质、数学模型及其计算算法。

报告还要对本学科的发展进行综述和展望。

二．交卷日期：2014年6月20日前三．交卷形式：同时提高纸质文档和与纸质文档相同版本的电子文档。

四．文档格式：要求文档具有长安大学研究生大作业首页、试题页、中英文摘要、目录和具体章节内容，可参考长安大学硕士学位研究生论文撰写规范的相关要求。

目录摘要 (8)ABSTRACT (9)第一章绪论 (10)1．CAGD的发展史研读 (10)2.CAGD研究问题描述 (12)3.计算机对形状处理的要求 (12)第二章曲线和曲面的基本理论 (13)2.1 CAGD中矢量、点与直线 (13)2.2 曲线与曲面的参数表示 (15)2.2.1 曲线曲面参数表示的基础知识 (15)2.2.2 显式、隐式和参数表示 (16)2.2.3位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 (18)2.3 曲线论知识点 (18)2.4 曲面论 (25)第三章 NURBS曲线 (33)3.1曲线应用概述 (33)3.2参数有理曲线 (34)3.2.1参数有理曲线的定义 (34)3.2.2参数有理曲线的性质 (36)3.3 权因子的几何意义 (36)3.4二次曲线的NURBS表示 (39)3.4.1二次曲线的隐式方程 (39)3.4.2 二次曲线的有理Bézier表示 (40)3.4.3 圆的NURBS表示 (43)3.4.4 有理Bézier曲线的参数变换 (46)3.4.5 有理二次Bézier曲线的确定 (48)第四章曲线的几何处理技术 (50)4.1曲线求交 (51)4.1.1两直线段相交 (51)4.1.2直线段与曲线段相交 (51)4.1.3曲线与曲线相交 (52)4.1.4 Bézier曲线的离散求交算法 (53)4.2 曲线的等距线 (55)4.3曲线的过渡 (55)第五章参数多项式插值与逼近 (57)5.1插值与逼近的问题引入 (57)5.2参数差值方法简述 (58)5.2.1 对数据点实行参数化 (58)5.2.2其它方法概述 (58)第六章参数样条曲线曲面 (60)6.1参数样条曲线曲面基础知识 (60)6.2参数双三次样条曲面 (61)6.2.1曲面设计技术概述 (61)6.2.2曲面模型 (62)6.2.3曲面造型的要求 (64)6.2.4高维曲面 (64)6.2.5 曲面表示形式的选取 (65)6.2.6曲面造型方法及显示 (65)6.3双三次样条函数 (66)6.3.1双三次样条函数的定义 (66)6.3.2 双三次插值样条函数的确定 (67)6.3.2.1双三次样条函数的表示 (68)6.3.2.2 边界条件 (68)6.3.2.3存在唯一性定理 (69)6.2.3.4三次插值样条函数的求解 (69)6.4参数双三次样条曲面 (72)6.4.1曲面数据点的参数化 (73)6.4.2参数双三次样条曲面方程 (75)6.4.3未知偏导矢的求解 (75)6.4.4计算插值曲面 (76)6.5 FERGUSON样条曲面 (76)6.6COONS双三次样条曲面 (77)第七章BÉZIER曲面 (78)7.1BÉZIER曲面的定义及性质 (78)7.2低次BÉZIER曲面 (79)7.2.1双一次Bézier曲面 (79)7.2.2双二次Bézier曲面 (80)7.2.3双三次Bézier曲面 (80)7.3DE CASTELJAU算法 (81)7.4BÉZIER曲面的分割 (83)7.5BÉZIER曲面的升阶 (84)7.6BÉZIER曲面的偏导矢与法矢 (85)7.7非参数BÉZIER曲面 (86)7.8BÉZIER曲面的矩阵表示 (87)C连续性 (88)7.9BÉZIER曲面片的r7.10BÉZIER曲面片的几何连续性 (91)7.10.1 1G连续性条件 (91)7.10.2 2G连续性条件 (92)7.10.3 参数曲面的r G连续性 (94)7.11具有n面角点的BÉZIER曲面片的1G拼接 (95)第八章几何连续性 (100)8.1参数连续性分析 (100)G连续性条件 (102)8.228.3NU三次样条曲线 (102)8.4参数曲线几何连续性定义 (104)8.5几何连续的组合BÉZIER曲线 (109)8.5.1Bézier曲线2G连续的几何关系 (109)8.5.22G组合三次Bézier曲线的构造 (111)8.5.31G二次Beta样条曲线 (118)8.5.42G三次Beta样条曲线 (119)8.6有理参数曲线的连续性 (120)8.6.1有理参数连续性条件 (121)8.6.2有理几何连续性条件 (122)8.6.3Frenet标架连续性 (122)8.6.4有理Frenet标架连续性约束 (124)8.7几何连续的有理参数样条曲线 (124)8.7.1曲率连续的有理二次样条曲线 (125)8.7.2曲率连续的有理三次样条曲线 (128)8.7.2.1几何连续性条件 (128)8.7.2.2曲率连续的有理三次样条曲线的构造 (129)第九章 B样条曲线曲面Ⅰ (130)9.1 B样条曲线方程 (130)9.2 B样条曲线与贝齐尔曲线差别 (131)9.3 B样条曲线分类 (131)第十章 B样条曲线曲面Ⅱ (132)10.1 K次B样条曲线 (132)10.2确定问题新控制顶点方法 (133)10.3用B样条曲线对数据点整体逼近 (134)第十一章有理B样条曲线曲面 (134)11.1有理B样条曲线曲面（一） (134)11.1.1基本概念 (134)11.1.2 NURBS方法的优缺点; (135)11.1.3三种等价的NURBS曲线方程 (136)11.1.4权因子 (137)11.1.5二次曲线 (137)11.1.6 反求曲线参数与权因子 (138)11.2 有理B样条曲线曲面（二） (139)11.2.1 NURBS圆弧 (139)11.2.2 有理三次贝齐尔曲线 (140)11.2.3有理三次贝齐尔曲线方程 (141)11.3 有理B样条曲线曲面（三） (143)11.3.1有理曲线连续性 (143)11.3.2齐次曲线 (144)11.3.3标准型有理二次贝齐尔曲线 (144)11.3.4整体有理插值 (146)11.3.5局部有理二次、三次插值步骤 (146)11.3.6 NURBS曲线形状修改方法 (147)11.4 有理B样条曲线曲面(四) (148)11.4.1 k*l次NURBS曲面等价表示 (148)11.4.2有理双变量基函数 (149)11.4.3曲面权因子 (149)11.4.4 常用曲面的NURBS表示 (150)11.4.5相关算法 (151)第十二章孔斯曲面 (153)第十三章三边贝齐尔曲面片 (153)第十四章个人感悟与总结 (155)致谢 (157)摘要计算机辅助设计(CAD)系统的根本任务就是为产品的设计和开发建立起一个信息模型，曲线曲面的精确描述以及灵活操作能力是评定计算机辅助设计(CAD)系统功能强大与否的重要因素。

三次代数曲面上的一类G^2连续自由参数样条

ｃ ｏｍ ｐｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｄ ｃ ｕｒ ｖ ｅ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｉ ｃ ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ； Ｇ ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ｉ ｔ ｙ ；ｂ ａ ｒ ｙ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ｉ ｃ ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ；ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ
关键词 ： 代数曲面 ； Ｇ ２ 连续 ； 重心坐标 ； 空 间 曲线
中图 分 类 号 ： ＴＰ ３ ９ １ 文献标志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ６ ７ ３ — ８ ０ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ ４ ０ ８ — ０ ４
Ａ ｆ ｒ ｅ ｅ ｐａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｓ ｐ ｌ ｉ ｎ ｅ ｗｉ ｔ ｈ Ｇ ｃ ｏ ｎｔ ｉ ｎ ｕ ｉ ｔ ｙ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｕ ｂ ｉ ｃ ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ
用计 算 机 表 示 曲线 和 曲 面 时 ， 既 可 用 代 数 表 达
式， 也 可采 用参 数 的形式 。由于参 数形 式具 有很 多优
１ 构 建 三 次 代 数 曲面
设Ｐ ， Ｐ。 ， Ｐ。 ， Ｐ ４∈ Ｒ。 为 ４个 空 间的 有序 数 据
点， 如 参数 化后 ， 当遇 到 多值 曲面 。因此 ， 曲线 与 曲面通
ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｅ Ｇｚ ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ｉ ｔ ｙ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ．Ｔｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｈ ｏ ｗｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｈ ａ ｓ ｆ ａ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｎ ｉ ｅ ｎ ｔ ａ ｄ ｖ ａ ｎ ｔ ａ ｇ ｅ ｓ ｉ ｎ ｄ ｒ ａ ｗｉ ｎ ｇ
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摘
要 ： 双曲抛物 ａ Ｙ， 在 仿射 坐标 系下 ， 过带逼近控制 因子的双参数化 方法 ， － 通 以及研 究其参数 间的函数 关 系构造 出一类 Ｇ连 ２
续样条 曲线。 当控制 多边形是平 形四边形 时， 条曲线段在逼近控 制因子大于某个数 时具有保形性质 。对这 类样 条曲线段 的逼 样 近 问题进行 了一定的理论 分析 。 关键词 ： 双参数４ ； Ｌ 逼近； 样条 曲线； 保形 Ｄ Ｉ１． ７￣ｉｎ１０—３１ ０１ ３ ５ 文章编号 ：０２８３ （０ １３－１５ ３ 文献标识码 ： 中图分类ｇ ：Ｐ ９ Ｏ ：０ ７８ ．ｓ． ２８３． １． ． ４ ３ ｓ ０ ２ ３０ １０－３ １２ １）３ ８－ ０ ０ Ａ ＇ ３１ Ｔ
ＣＨＥ ｕ ｎｕ ｎ． Ｅ Ｎ Ｊ ａ ｊ ａ Ｐ ＮＧ ｅ ｇｕＡｐ ｒ ￣ｍａ ｏ ｐｉｅ ｆ Ｇ－ｏ ｔ ｕｔ ｖ ｒ ｈ ｐ ｒ ｏ ｃ ｐ ｒ ｂ ｌｉ．ｏ ｕｅ ｇｎ ｅ－ Ｆ ｎ ｆ． ｐ ｏ ｉ ｆ ｎ ｓ ｌ ｓ ｏ ２ ｎｉ ｉ ｏ ｅ ｙ ｅｂ Ｈ ａａ ｏｏｄＣ ｍｐ ｔｒ Ｅｎ ｉｅｒ ｎ ｃ ｎ ｙ
曲线的形 状 ， 具有较 好 的预见性 。但 是缺 点是 曲线参数 的数
值没有明显的几何意义。 文献［ 研究了双曲抛物面上的一类Ｇ连续的参数样条曲 １ 】 ２
线， 并讨论 了这类 曲线 的一些几 何性质 ： 如光顺 性 、 端点性 质
为 了在 计算机 上执行 方便 ， 把代数 的 曲面 转化为 参 一般 数形式来考虑 ， 所以对其参数化 ：
ｉｇ ａ ｄ Ａｐ ｌ ａｉｎ 。０ １ ４ （ ３ ：８ —８ ． ｎ ｎ ｐｉ ｔ ｓ２ １ 。７ ３ ）１ ５１ ７ ｃ ｏ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｏｖ ｒ ａ ｈ ｐ ｒ ｏｉ ａａ ｏｏｄ ａ ｔｐ ｆ ｓ ｌ ｅ ｆ －ｏ ｔ ｕｔ ａｌｂｅ ｃ ｎ ｔｕ ｔｄ ｃ ｎ ｅ ｉｎｌ ａ ｅ ｎ ａ ｎ Ｏ ｅ ｙ ｅｂ ｌ ｐ ｒｂ ｌｉ ． ｙ ｅ ｏ ｐｉ ｓ ｏ ｃ ｎｉ ｉ Ｃ ｌ ｏ ｓｒｃｅ ｏ ｖ ｎｅ ｔ ｂ ｓｄ ｏ ｆ ｅ Ｃ － ｃ ｎ ｎ ｙ ｙ ｉ
桂林电子科技大学 数学与计算科学学院 ， 广西 桂林 ５ １０ ４０４
Ｓ ｈ ｏ ｆ Ｍ ａｈ ｍａｉｓ ａ ｄ Ｃｏ ｕ ａｉｎ ｌＳ ｉｎ ｅ Ｇｕｌ ｉｅｓｔ ｆ Ｅ ｅｔｏ ｉ ｅ ｈ ｏｏ ｙ， ｉｎ， ａ ｇ ｉ５ ０ ４， ｉａ ｃ ｏ ｌｏ ｔｅ ｔ ｎ ｍｐ ｔｔｏ ａ ｃｅ ｃ ， ｉ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｌｃｒ ｎｃ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｇｕ ｌ Ｇｕ ｎ ｘ ４１ ０ Ｃｈｎ ｃ ｉ ｙ ｉ
－ ４ ３ ｄ ｚ
３一 １ 一 ４ ２一 ４
４ ＿
． Ｊ —４Ｙ一 ４ 一 ４为变换矩阵。 ， Ｙ Ｙ ２Ｙ ＝ｌ ３Ｙ ｌ
ห้องสมุดไป่ตู้
Ｌ—４ ２ ｚ ｚ ｚｚ 一 ３４ ｌ ｚ 一 Ｊ
易知在仿射坐标系下 的顶点 ， ， ， Ｐ 的坐标分别
为 （， ，）， ， ，）， ， ，）， ， ， ） １ ０ ０ （ １ ｏ （ ０ １ （ ０ ０ 。 ０ ０ ０
ｏ ｄｎ ｔ ｓ ｓｅ ，ｎ ｔｒ ｓ ｏ ｉ ａａ ｅ ｉａｉｎ ｅ ｕｐ ｅ ｔ ａ ｐ ｒ ｘｍａｉｎ ａ ｔｒ ａ ｄ ｓｕ ｙ ｇ ｏ ｆｍｉ ｏ ｕ ｃｉｎ ｒ ｉａｅ ｙ ｔｍ ｉ ｅｍ ｆ ｂ－ ｒｍ ｔ ｚ ｔ ｑ ｉｐ ｄ ｗｉ ｐ ｒ ｏ ｈ ｎ ａ ｐｏ ｉ ｔ ｆｃｏ ， ｎ ｔ ｄ ｉ ｎ ａ ａ ｌ ｆ ｆｎ ｔ ｓ ｏ ｎ ｙ ｏ ｂ ｔ ｅ ｅｅ ｔ ｏ ｐ ｒｍｅｅｓＷ ｈ ｎ ｏ ｔ ｌ ｏｙ ｏ ｉ ｐ ａｌｌｇ ａ ， ｄ ｈ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｎ ａｔｒ ｓ ｒａｅ ａ ｃｒａｎ ｅｗｅ ｎ ｔ ｓ ｈ ｗ ａａ ｔｒ． ｅ ｃ ｎｒ ｐ ｌｇ ｎ ｓ ｏ ａ ａ ｌ ｏ ｒｍ ａ ｔｅ ｐ ｒｘｍａｉ ｆｃｏ ｉ ｒ ｅ ｎ ｏ ｇ ｅ ｔｒ ｔ ｎ ｅｔｉ ｈ ｎ ｍｂ ｒ ｓ ｌ ｅ ｃ ｒ ｅ ｎ ｉ ａｅ ｏ ｈ ｐ ｅｅ ｔｏ ．ｈ ｐ ｒｘｍａｉｎ ｅ ｅ ｔｏ ｅ ｔｐ ｆｓ ｌ ｅ ｓ ｔｅ ｒｔ ａｌ ａｙ ｅ ． ｕ ｅ ，ｐ ｉ ｕｖ ｓ ｏ ｔ ｒ ｆｓ ａ ｅ ｒｔｎｉｎＴ ｅ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｆ ｃ ｆ ｔ ｙ ｅ ｏ ｐ ｉ ｓｉ ｏｅｉ ｌ ａ ｌｚ ｄ ｎ ｏ ｈ ｎ ｈ ｃ ｙ ｎ Ｋｅ ｒ ｓ ｂ－ ａａ ｅｆ ａｉｎ；ｐ ｒ ｘｍａｉｎ；ｐｉｅ ｃ ｒ ｅ ｓ ａ ｅ ｒｔｎｉｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉ ｒｍ ｔ ｚ ｔ ｐ ｉ ｏ ａｐｏ ｉ ｔ ｏ ｓ ｌ ｕ ｖ ；ｈ ｐ ｅｅ ｔ ｎ ｏ
Ｃ ｍ ｕ ｒ ｎ ｉ ｅ ｎ ｄ ｐ ｌａ ｏｓ ｏ ｐ ｔ ｇｎ ｒ ｇ ｎ Ａｐｉ ｔｎ 计算 机工程与应用 ｅＥ ｅ ｉ ａ ｃｉ
双 曲抛 物 面上 的一 类 Ｇ 连续逼近样 条 ２
陈娟娟， 彭丰富
Ｃ Ｅ ｕｎｕｎ Ｐ ＮＧ Ｆ ｎ ｆ Ｈ Ｎ Ｊａｊａ ，Ｅ ｅｇｕ
１ 引言 在计算机辅助几何设计（ Ａ Ｄ 和计算机图形学领域中 Ｃ Ｇ ） 有两种定义曲线曲面的方法 ， 分别是参数形式和代数形式。 般均采用参数化的形式 ， 比较成熟的理论有 Ｂ ｚ ｒ Ｂ ｅｉ 和 样条 ｅ 等 方式 。参数化 曲线的优点是 可通过 改变 控制点来局 部调整
一
圈ｌ Ｘ匡 Ｘ－－ ｚ ｌ ２ Ｌ －２ ４Ｚ Ｘ Ｌ一ｚ Ｉ ｚ Ｘ＋ ＿ 一３ 囡 ＿Ｘ，４ ｚ： 一 一一 １ ４４