51扩散定律及应用
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4.5《质量守恒定律》公开课教案页数:4
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分子扩散基本定律课件
。
探索分子扩散与其他物理过程的相互作用
除了热力学过程外，分子扩散还可能与其他物理过程相互作用。例如，流场、电场、磁 场等都可能对分子扩散产生影响。因此，我们需要进一步探索这些相互作用，并研究如
何利用这些相互作用来调控分子扩散行为。
THANK YOU
在化学反应中的应用
化学反应速率
分子扩散影响化学反应的 速率，因为反应物需要扩 散到彼此接触的区域才能 发生反应。
反应选择性
在某些反应中，分子扩散 可以影响反应的选择性， 导致主要产物和副产物的 生成比例发生变化。
反应机理
分子扩散可以影响化学反 应的机理，例如通过影响 中间体的扩散行为来改变 反应路径。
由于分子热运动而引起的 物质分子的迁移现象。
扩散通量
单位时间内通过单位面积 的扩散物质的质量或物质 的量。
分子的宏观表 现，是物质分子无规则运动的必然结 果。
扩散现象是物质分子之间相互作用的 结果，是物质分子的浓度梯度所引起 的。
扩散现象是物质分子自发的、不消耗 能量的过程，是物质分子自然流动的 结果。
温度控制器
用于控制实验温度，保持恒温 条件。
数据采集和处理系统
用于记录和计算实验数据。
实验结果分析
01
02
03
04
数据处理
对实验数据进行整理、分析和 处理，提取出扩散系数等关键
参数。
结果分析
比较不同实验条件下的扩散系 数，分析影响扩散的因素，如 温度、物质性质、浓度等。
误差分析
对实验结果进行误差分析，评 估实验方法的可靠性和精度。
详细描述
Fick第一定律指出，在稳定状态下，扩散通量与浓度梯度成正比，扩散通量等 于扩散系数乘以浓度梯度。这个定律适用于描述气体、液体和固体的分子扩散 过程。
探索分子扩散与其他物理过程的相互作用
除了热力学过程外，分子扩散还可能与其他物理过程相互作用。例如，流场、电场、磁 场等都可能对分子扩散产生影响。因此，我们需要进一步探索这些相互作用，并研究如
何利用这些相互作用来调控分子扩散行为。
THANK YOU
在化学反应中的应用
化学反应速率
分子扩散影响化学反应的 速率，因为反应物需要扩 散到彼此接触的区域才能 发生反应。
反应选择性
在某些反应中，分子扩散 可以影响反应的选择性， 导致主要产物和副产物的 生成比例发生变化。
反应机理
分子扩散可以影响化学反 应的机理，例如通过影响 中间体的扩散行为来改变 反应路径。
由于分子热运动而引起的 物质分子的迁移现象。
扩散通量
单位时间内通过单位面积 的扩散物质的质量或物质 的量。
分子的宏观表 现，是物质分子无规则运动的必然结 果。
扩散现象是物质分子之间相互作用的 结果，是物质分子的浓度梯度所引起 的。
扩散现象是物质分子自发的、不消耗 能量的过程，是物质分子自然流动的 结果。
温度控制器
用于控制实验温度，保持恒温 条件。
数据采集和处理系统
用于记录和计算实验数据。
实验结果分析
01
02
03
04
数据处理
对实验数据进行整理、分析和 处理，提取出扩散系数等关键
参数。
结果分析
比较不同实验条件下的扩散系 数，分析影响扩散的因素，如 温度、物质性质、浓度等。
误差分析
对实验结果进行误差分析，评 估实验方法的可靠性和精度。
详细描述
Fick第一定律指出，在稳定状态下，扩散通量与浓度梯度成正比，扩散通量等 于扩散系数乘以浓度梯度。这个定律适用于描述气体、液体和固体的分子扩散 过程。
菲克扩散定律的热力学理论及其应用
菲克扩散定律的热力学理论及其应用1.菲克定律菲克定律是固体物理学中关于扩散宏观理论的基础，具体如下[1]：设扩散沿X方向进行，单位时间内通过垂直于X 方向的单位面积扩散的量决定于物质浓度n 的梯度，即式中，物质浓度n可以取为单位体积内的摩尔数，(J为相应的扩散通量)，(1)式及(2)式分别称为菲克第一定律和菲克第二定律，其中第一定律只适用于稳定扩散。
(1)式和(2)式很容易推广到三维形式。
菲克定律中的D叫扩散系数，并且D>0，它一般与物质的温度、浓度等因素有关。
由菲克定律可得下述结论；D>0，扩散沿着浓度减少的方向进行，扩散的结果将物质的浓度分布趋于均匀；稳定扩散时，J=0，表明均匀物质系统内浓度均匀分布时，没有净扩散流。
菲克定律可用来成功地解释常见的各种扩散现象，成为人们研究一般扩散现象的经典公式。
然而，自然界的扩散现象并不总是符合菲克定律。
在金属合金的沉淀中，存在着一种叫“亚稳分畴分解”(Spiondal decomposition)机制[2]，在这一沉淀机制里，合金组元的扩散由低浓度向高浓度方向进行，这种通过扩散不是消除浓度差异，而是增大浓度差异，使组元分化的扩散叫“逆扩散”。
U.Dehlinger 及R.Becker 首先描述了这一现象，关于“逆扩散”的例子还可见文献[2]。
“逆扩散”显然违背菲克定律，为了解释“逆扩散”，有必要寻求新的理论。
2.扩散的热力学理论据热力学理论，在定温、定压下，多元系各相达到平衡时，其中每一组在各相中的化学势都相等。
即对于第i组元来讲，其化学势μi均匀分布是其平衡的必要条件，而μi的梯度将导致相应的扩散通量J i。
现考虑定温、定压下多元素中i组元原子的扩散，1摩尔i组元原子在化学势μi的势场中所受的力应为(3)式所示，因受力原子的平均速率正比于F i[3]，即(4)式所示：比例系数B i表示单位力作用下i组元原子的平均速率，叫迁移率。
注意(4)式与牛顿第二定律不同，这是由于在原子尺寸范围内，运动着的原子由于和其他原子碰撞，运动方向不断改变的缘故。
第5章《材料科学》 扩散讲解
§5.1.1 扩散定律
第一定律推导：
如右图所示，设有一金属棒，沿x轴方向存在着浓度梯度，并设： (1)有两个垂直于X轴方向的单位面积的原子平面l和2，其面间距离 为dx。 (2)当温度和浓度恒定时，每一扩散原子的平均跃迁领率为f。 (3)C1和C2分别代表平面l和平面2的扩散原子体积浓度．
由假设可知：
§5.1.2 扩散定律的应用
② 扩散的抛物线规律：由式（3.11）和（3.12）看出，如果要求距 焊接面为x处的浓度达到C，则所需要的扩散时间可由下式计算
x K Dt
（3.13）
式中，K是与晶体结构有关的常数。此关系式表明，原子的扩散距离与时间呈 抛物线关系，许多扩散型相变的生长过程也满足这种关系。
c
x
Cp:平均成分；A0：振幅Cmax- Cp；λ:晶粒间距的一半。 例：对于均匀化退火，若要求晶粒中心成分偏析振幅降低 到1/100,则：
[C(λ／2,t)- Cp]/( Cmax- Cp)=exp(-π2Dt/λ2)=1/100。 （4）高斯解(薄膜解） Cx=(M/√πDT)exp(-x2/4Dt) 适用条件：限定扩散源、衰减薄膜源（扩散物质总量M不变；t=0,c=0) 例：半导体Si中P的掺杂。
令
1 1 1 1 dC f (n1 n2 ) f (C1 C2 )dx (C2 C1)dx f (dx)2 2 2 2 2 dx dC 1 2 J D ( ) D f (dx) 并代入上式，有： dx 2 J
同时可写出y、z方向的菲克第一定律表达式。
§5.1.1 扩散定律
2
A1 A2
解出积分常数
A1
C1 C 2
, A2
材科-第五章-扩散共69页文档
反应扩散：由之导致形成一种新相的扩散。
3 固态扩散的条件
（1）温度足够高；
（2）时间足够长；
基
（3）扩散原子能固溶；
本 概
（4）具有驱动力：化学位梯度。
念
第 五
第一节 扩散定律及其应用
章
1 菲克第一定律
（1）第一定律描述：单位时间内通过垂直于扩 散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量J） 与该截面处的浓度梯度成正比。
律 (2)扩散过程中空位浓度保持不变；
及 (3)扩散驱动力为浓度梯度
其
应
用
J* ( D D ) ci D ~ ci
i
x 2 1 1 2
x
D1、D2:偏扩散系数或本征扩散系数
~
D ：互扩散系数
~
D = Di的情况: (1)自扩散；(2)稀固溶体
第 五
第一节 扩散定律及其应用
(1) 扩散速率取决于 外界条件 C/ x 扩散体系的性质 D
(2) D是一个很重要的参数: 单位浓度梯度、单位截面、单 位时间通过的流量。
D取决于 传送的质点本身的性质： 半径、电荷、极化性 能等
三维表达式：
J＝ iJx
jJy
kJz
D(iC j CkC) x y z
（2）Kirkendall实验
l
在Cu－30%Zn的合金两边焊上纯铜， 并在焊缝处加入一些细的Mo丝作标
记。
Cu
Cu-Zn
测定标记之间的距离 在785℃下保温 Cu
一天(24hr)后再测量
Cu
Cu-Zn
Cu 标记之间的距离缩短了0.0015cm
Cu
Cu-Zn
56天后
Cu
扩散原理及技术介绍
11
1.3 晶体中的扩散
晶体中原子的扩散涉及到具体的扩散机制以及晶体结构，因此需要对公式 X 2 = 6Dt 做一些修正。
以面心立方晶格的空位机制为例。如右图 所示，晶格中的空位A可能跃迁的有12个方向 矢量，这12个方向矢量是等价的，其跃迁的几 率相等。
对于某特定的跃迁矢量，必定有另一个方 向相反大小相等的跃迁矢量，所以有：
则有，在左面，流量 J x dydz 是流 入，在右面流量 J x+dx dydz 则是流出。
( ) ( ) 净流入量= J x −J x+dx dydz = − J x+dx − J x dydz
又 J = −D ∂C ，所以上式为： ∂X
= − ∂J dxdydz dx
净流入量=
−
∂J dx
dxdydz=
12
12
∑ ∑ sis j = s2 cosθij = 0
j =1
j =1
12
所以，在空位扩散机制和面心立方格子中，下式中第二项为零。
n
n−1 n
∑ ∑ ∑ X
2 i
=
( s1
+
s2
+
+ sn )2 =
s2j + 2
s j sk
j =1
j=1 k = j+1
即 考虑到
n
∑ ( ) X
2 i
=
s1 + s2 +
在晶格中原子每次跃迁的距离就是该方向上的原子间距a。一个原子经过多次 跃迁才出现一个净位移，如下图所示。但单位时间内原子跃迁的次数愈多造成较大 净位移的可能性愈大，或者说回到原来位置的可能性愈小。 所以可以认为单位时间内的净位移愈大，表征布朗运动愈 强烈。这种净位移的大小与浓度梯度的存在与否无关。没 有浓度梯度时原子的布朗运动照样存在，只是不出现定向 扩散流。
1.3 晶体中的扩散
晶体中原子的扩散涉及到具体的扩散机制以及晶体结构，因此需要对公式 X 2 = 6Dt 做一些修正。
以面心立方晶格的空位机制为例。如右图 所示，晶格中的空位A可能跃迁的有12个方向 矢量，这12个方向矢量是等价的，其跃迁的几 率相等。
对于某特定的跃迁矢量，必定有另一个方 向相反大小相等的跃迁矢量，所以有：
则有，在左面，流量 J x dydz 是流 入，在右面流量 J x+dx dydz 则是流出。
( ) ( ) 净流入量= J x −J x+dx dydz = − J x+dx − J x dydz
又 J = −D ∂C ，所以上式为： ∂X
= − ∂J dxdydz dx
净流入量=
−
∂J dx
dxdydz=
12
12
∑ ∑ sis j = s2 cosθij = 0
j =1
j =1
12
所以，在空位扩散机制和面心立方格子中，下式中第二项为零。
n
n−1 n
∑ ∑ ∑ X
2 i
=
( s1
+
s2
+
+ sn )2 =
s2j + 2
s j sk
j =1
j=1 k = j+1
即 考虑到
n
∑ ( ) X
2 i
=
s1 + s2 +
在晶格中原子每次跃迁的距离就是该方向上的原子间距a。一个原子经过多次 跃迁才出现一个净位移，如下图所示。但单位时间内原子跃迁的次数愈多造成较大 净位移的可能性愈大，或者说回到原来位置的可能性愈小。 所以可以认为单位时间内的净位移愈大，表征布朗运动愈 强烈。这种净位移的大小与浓度梯度的存在与否无关。没 有浓度梯度时原子的布朗运动照样存在，只是不出现定向 扩散流。
扩散定律及应用
2、无限长棒中的扩散模型
实际意义？
将溶质含量不同的两种材料焊接在一起，因为浓度不同，在焊接 处扩散进行后，溶质浓度随时间会发生相应的变化。
3、扩散方程的误差函数解
4、半无限长棒扩散方程的误差函数解
解为：
定义函数：
误差函数性质 一维半无限长棒中扩 散方程误差函数解：
高斯误差函数
高斯误差函数
三、铸锭的均匀化处理
均匀化退火时溶质浓 度分布示意图如下：
铸锭枝晶偏析及均匀化 退火时的溶质浓度分布变化
设溶质浓度沿x方向为正弦曲线分布， 周期为2π, 则曲线上任一点(x)的初始 浓度C可表示为：
扩散过程的初始条件为
由扩散第二方程，可求得其正弦解为
上式表明，均匀化扩散过程中正弦曲线峰值的衰减情况。若用 表示枝晶偏析峰值衰减的程度
1 2C C 1dCC C 1d(D d dC )
For points in C-x curve, t = const
1 21tC C 1xdCtC C 1d(Dd dC x)
2 1 tC C 1x d C D d d C x C D d d C x C 1 D d d C x C
概述
扩散现象： ➢ 在房间的某处打开一瓶香水，慢慢在其他地方可以闻到香味. ➢ 在清水中滴入一滴墨水，在静止的状态下可以看到它慢慢的扩散。 ➢ 在固体材料中也存在扩散，并且它是固体中物质传输的唯一方式。 ➢ 扩散与材料生产和使用中的物理过程有密切关系，例如：凝固、偏
析、均匀化退火、冷变形后的回复和再结晶、固态相变、化学热处 理、烧结、氧化、蠕变等等。
➢（2）根据扩散方向
下坡扩散：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩散。 上坡扩散：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩散。
5 第五章 材料中的扩散
Ⅱ 壁厚为d的管的扩散
内壁半径为r1，外壁半径为r2。管长为L。 扩散物质从管内向管外扩散，稳定后，内壁浓度为C1， 外壁浓度为C2，显然扩散是轴对称，浓度仅和r有关。 由扩散第一定律，有：
c 2c 因为 0且 D 2 0 t x 2c 2c 则 D（ 2 ＋ 2 ) 0 x y c c c c c 且 (D ) (D ) 0 t x x y y 化为简单式为 2C＝0 d dc 化为柱坐标，则： （r ) 0 dr dr
根据以上情况，有初始条件为：t＝0，x<0，则C=C2 x>0，则C=C1 边界条件： t≥0，x＝－∞，则C=C2 x＝+∞，则C=C1
x , 将C＝f（x，t）换为C＝f（）单变量函数关系。 2 Dt c dc dc x dc 根据拉氏变换： ( ) t d t d 4t Dt 2t d 令＝
2. 扩散第二定律 ☻描 述
绝大多数扩散过程是非稳态扩散，在第一章图中，棒 中各处浓度梯度随扩散时间不断发生变化，因此，这种情 况下第一定律就不能应用了。
第二定律就是针对浓度梯度随时间变化的情况的。
☻ 推导过程
dx J1 J2
见左图，阴影部分的微小体积。 J1和J2分别为流入小体积和从小体积 中流出的扩散物质通量。两平面面积 均为A。
柱坐标方程的通解为 C=A+Blnr 当r、c分别为r1、c1及r2、c2时 c1＝A+Blnr1 c2 =A+Blnr2 c -c c -c 其中A＝c1－ 2 1 lnr1 B= 2 1 ln( r2 r ) ln( r2 r ) 1 1 r2 )+c ln( r ) c ln( 1 2 （c -c ） r r1 c=c1 + 2 1 ln( r r )= 1 ln( r2 r ) ln( r2 r ) 1 1 dc 1（c2 -c1） 管壁各处的浓度梯度为： = dt r ln( r2 ) r1 1（c2 -c1） 因为J＝D r ln( r2 ) r1 则扩散t时刻后，单位长度管子扩散的物质总量为： （c -c ） M＝2πrtJ=2πtD 2 1 ln( r2 r ) 1 实验测出M后（通过收集气体中C的减少量），可计算D。
第五章 材料中的扩散(1)---扩散定律
（4）影响扩散的因素
3
概述
1 扩散的现象与本质 （1）扩散：热激活的原子通过自身的热振动克 服束缚而迁移它处的过程。 （2）本质：原子无序跃迁的统计结果。（不是 原子的定向移动）。
4
概述
2 扩散的分类
（1）根据有无浓度变化 自扩散：原子经由自己元素的晶体点阵而迁移的扩散。(如纯 金属或固溶体的晶粒长大-无浓度变化。) 互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩散。 （有浓度变化） （2）根据扩散方向 下坡扩散：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩散。 上坡扩散：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩散。 （3）根据是否出现新相 原子扩散：没有新相出现。 反应扩散：当固溶体中溶质浓度超过溶解度极限，析出新相。
第五章 材料中的扩散
th W F. Foundations of Materials Science and Engineering. McGRAW.HILL.3/E
1
第五章 材料中的扩散
2
主要内容
（1）扩散的宏观规律：扩散定律及其应用 （2）扩散微观机理：原子的迁移方式 （3）扩散驱动力
20
4. 扩散定律的应用 （2）扩散第二定律的应用 限定源扩散（扩散物质总量M不变) 衰减薄膜源 表达式：
c( x, t)
x2 exp 4 Dt Dt M
高斯解(薄膜解） 例：半导体Si中P的掺杂（预沉积和再分布）。 预沉积的扩散符合恒定源扩散；再分布的沉积符 合限定源扩散。
8
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扩散定律
第二节 扩散机理和扩散系数
讨论：
在以上各种扩散中 1、易位扩散所需的活化能最大； 2、由于处于晶格位置的粒子势能最低，在间隙位置 和空位处势能较高，故空位扩散所需活化能最小。
因而空位扩散是最常见的扩散机理其次是间隙扩 散和准间隙扩散。
冶金学院硅酸盐教研室
第二节 扩散机理和扩散系数
三、扩散活化能
质点在晶体由于相互间较强的结 合力被束缚在结点位置，只有当 质点获得足以跳越能垒G的能量 时，才能使扩散得以进行，G称 为扩散活化能。
D=A r2/6 · 0· γ exp(-△Gm/RT)
比较两式可以看出，它们均具有相同的形式。 冶金学院硅酸盐教研室
第二节 扩散机理和扩散系数
为方便起见，习惯上将各种晶体结构中空位或间隙扩散 系数统一于如下表达式：
Q D D0 exp( ) RT
其中Do称为频率因子，Q称为扩散活化能。 显然：空位扩散活化能是由空位形成能和空位迁移能两 部分组成；而间隙扩散活化能只包括间隙质点的迁移能， 无形成能。 冶金学院硅酸盐教研室
第十章 扩散与固相反应
主讲人:
冶金学院硅酸盐教研室
概述
一、扩散的基本概念
当物质内有浓度梯度、应力梯度、化学梯度 和其它梯度存在的条件下，由于热运动而导 致原子（分子）的定向迁移，从宏观上表现 出物质的定向输送，这个输送过程称为扩散。 扩散是一种传质过程。
冶金学院硅酸盐教研室
概述
二、从不同的角度对扩散进行分类
冶金学院硅酸盐教研室
第一节
宏观动力学方程
菲克第一定律是质点扩散定量描述的 基本方程。它适于稳定扩散（浓度分 布不随时间变化），同时又是不稳定 扩散（质点浓度分布随时间变化）动 力学方程建立的基础。
什么东西是扩散原理的应用
什么东西是扩散原理的应用第一部分：扩散原理概述•扩散原理是指物质在高浓度区域向低浓度区域自发传播的过程。
在自然界和人造系统中，扩散现象普遍存在，并且在许多领域中得到广泛应用。
•扩散原理是由于粒子之间的热运动使得高浓度区域的粒子向低浓度区域运动，以达到平衡状态。
•扩散现象可以在气体、液体和固体中发生，但发生的速率和方式有所不同。
第二部分：扩散原理的应用领域1.生物学领域–细胞膜的运输过程是通过扩散实现的，例如氧气和二氧化碳的交换。
–在生物体内，许多物质的运输依赖于扩散，例如荷尔蒙、营养物质等。
2.化学工业–在化学反应中，扩散可以促进反应物与溶液中的其他物质之间的交互作用，从而增强反应效率。
–在燃烧过程中，气体中的氧气通过扩散与燃料接触，从而支持燃烧反应。
3.材料科学–将外加剂通过扩散添加到材料中，可以改变材料的性质。
–通过控制扩散速率，可以实现不同区域的材料组分均匀分布。
4.环境工程–大气中的污染物通过扩散与大气进行交换，影响大气质量。
–土壤和地下水中的污染物也可以通过扩散进行迁移。
5.物理学领域–在凝聚态物理学中，扩散是实现原子和分子之间相互交换的重要机制。
–扩散在电子器件中也起着关键作用，例如半导体中的离子扩散。
第三部分：扩散原理的应用举例1.工业制造中的扩散–在半导体制造过程中，通过控制扩散过程，可以形成不同特性的区域，用于制造集成电路中的PN结和电阻器等。
–在金属加工过程中，通过控制热处理中的扩散，可以改变材料的晶格结构和性质。
2.医学应用中的扩散–扩散在医学诊断中有重要应用，例如通过血液或尿液中物质的扩散速率来判断身体的健康状况。
–药物递送系统中利用扩散原理，将药物通过皮肤、黏膜等渗透到人体内部，实现治疗目的。
3.环境监测中的扩散–通过监测大气中有限物质的扩散范围和速率，可以判断大气污染的程度和来源。
–在地下水污染调查中，利用污染物的扩散特性，可以确定污染源和迁移路径。
第四部分：扩散原理的未来发展•随着科学技术的不断进步，扩散原理的应用将越来越广泛。
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2 Dt CS C0
故 Dt ，若D一定，则 t
扩散方程的求解
• 菲克第二定律 ：
C C (D ) t x x
通常扩散系数D是成分的函数。但为了数学上处理的方便， 在很多情况下可以忽略成分对D的影响，近似认为D为常 数。则菲克第二定律可化为：
偏微分方程的求解：
y
exp( 2
高斯误 erf ( ) 2 exp( 2 )d 0 ) 差函数：
易知：
erf ( ) erf ( ) (奇函数) erf () 1
0
x
由表中可以 看出，高斯 误差函数收 敛的很快。 这主要是因 为exp(-2)函 数很快下降 到0。
C C C C 1 C ( ) ( ) 2 x x x x 2 Dt
2
1 C C 1 C 1 C ( ) 2 2 2 Dt x 2 Dt x 4 Dt
2 2
将上式待入扩散方程，可得：
C 1 2C D 2 2t 4Dt
z2
dz A2
（4）引入高斯误差函数
erf 2
0
e
z2
dz
得 C A1
2
erf A2
(5)由边界条件、初始条件确定A1、A2
C x0 CS ——表面碳势 边界条件：
初始条件： C t 0 C0 ——渗碳前试样碳浓
A1 2CS C0
渗入
渗碳气体
渗出
渗出
设筒半径为r，长度l
q q J tA 2r l t
渗碳气体
渗入
2r
带入扩散第一定律
dC q J D dr 2r l t
l
其中r、l、t、已知 q 可借测定脱碳气氛的增碳量得出
dC dC q D2 l t D2 l t dr r d ln r
2015-4-19 9
1. 扩散第一定律的应用
—— 求扩散系数 D
1）思路
dc J D dx
C 0 t
建立条件： 满足
—— 可以应用第一定律 求D
C 找出直接或间接的方法测定 J 和 x
（2）实例——测定碳在 -Fe 中的扩散系数
纯铁圆筒
—— 筒外为脱碳气氛、筒内为渗碳气体 —— 碳原子由桶内壁渗入，外壁渗出 —— 经过一段时间达到稳定（浓度梯度不再随时间 变化，即筒本身不再吸碳，积存率为零） ——符合扩散第一定律应用条件
2
(1)首先将方程两边为对t、x的微分化为对同一变量的微分
引入 z
x Dt
d C dC 第二定律化为常微分方程 2z 0 2 dz dz
（2）降阶
du 2 zu 0 一阶可分离变量常微分方程 dz
dC 引入 u 得 dz
（3）求解
u A1e
C A1 e
0
z
2
dC 再对 u dz 积分得
m ( J x A J xx A)t
J x J x x m xAt x
C C (D ) t x x
C J t x
假定扩散系数D不随物质浓度而变化，则：
c c D 2 t x
2
非稳态扩散：扩散浓度是时间和距离的函数
C( ) Aerf ( ) A2 1
固定t：可求散过程中，x位臵处的浓度随
① 无限长扩散偶的扩散问题
C2 0 C1
边界条件: t > 0,
x
x , C C1
边界条件用作为变量来表示, 则：
, C ( ) C1 , C ( ) C2
A1erf () A2 C1 A1 A2 C1
x , C C2 x C ( ) A1erf ( ) A2 ( = ) 2 Dt
C1 C2 C1 C2 A1 ; A2 2 2 A1erf () A2 C2 A1 A2 C2 C1 C2 C2 C1 C ( ) erf ( ) 2 2 C C C C x
符合适用条件的情况并不多，一般dc/dx要随t变化
2. 菲克第二定律 1）条件：
浓度分布与时间 t、x 均有关的情况
即：适用于非稳态扩散情况
2）公式：
C C D 2 t x
2
一维情况， 体积元 AΔx
Fick第二定律的推导 一维情况Δt时间内，体积元中扩散物质的积累量
2015-4-19 7
2）公式：
由高浓度指向低浓 度（与梯度方向相 反）
扩散通量：单位 时间，垂直于扩 散方向，通过单 位面积的物质量 C：扩散物质 浓度（单位体 积原子（质） 量） x：距扩散源 的距离
dc J D dx
扩 散 系 数
浓度 梯度
3）说明： D 、dc / dx 因此发展了菲克第二定律
J
① 变量代换法
C C D 2 t x
2
扩散方程
常微分方程 代数方程
偏微分方程
② 分离变量法
③ 积分变换法
• 变量代换法求解扩散方程 C D C 2 t x x 玻尔兹曼变换：
2
2 Dt
C C x C x C C 3/ 2 t t 2t 4t D 2t 2 Dt
d C dC 2 0 2 d d
2
常微分方程
• 变量代换法求解扩散方程
d 2C dC 2 0 2 d d dy dC 2 2 y 0 y A 设 y( ) 1 exp( ) d d dC 2 A1 exp( ) C A1 exp( 2 )d A2 0 d 2 广义积分： exp( )d 0 2
dC/d lnr可借测定不同 r 处的碳含量，作C-
lnr曲线，求其斜率得出。
此时仅有D为未知数。
2.扩散第二定律应用
—— 实际渗碳处理 —— 恒定源扩散
C 2C D 2 t x
C z C t 2t z 得 2C 2 1 C 2 4 Dt z 2 x
或 C ( x, t )
1 2
2
2
1
2
erf (
2 Dt
)
• 变量代换法求解扩散方程
至此，可得扩散方程的解为：
注意: 变量代换法求解扩散方程虽然简单，但它只适用于求解 x x 具有特殊的边界条件的扩散问题，如无限长，边界处成 C( ) A1erf ( ) A2 或： 2 Dt 2 Dt 分固定等。对于一般边界条件的扩散问题，需要用分离 变量法或积分变换法进行求解。这一点我们将在后面的 其中A 1、A2为待定常数，可通过边界条件和初始条件定出。 讲述中提到。 扩散方程解的应用：
A2 C0
（6）特解
说明：
x C x, t C0 C S C0 1 erf 2 Dt
对一般问题，高斯误差函数erf（）有表可查。
对渗碳问题：已知钢材含碳量C0、渗碳气体碳 势Cs，要求渗碳浓度C*一定时， CS C * 常数 由上式：有 erf
第八章 固体中的扩散
原子、分子 平衡位臵热振动 克服势垒 跃迁到新位臵 原子迁移 单个原子的运动 无规律 普遍存在 大量原子的迁移
能量起伏
有规律
外力作用有
定义：
由于热运动导致原子（分子）在介质中的迁移 现象
第一节 扩散定律
一、 扩散定律
1. 菲克第一定律 1）条件：
浓度分布与时间 t 无关，仅与位置 x 有关的情况 即：适用于稳态扩散情况
故 Dt ，若D一定，则 t
扩散方程的求解
• 菲克第二定律 ：
C C (D ) t x x
通常扩散系数D是成分的函数。但为了数学上处理的方便， 在很多情况下可以忽略成分对D的影响，近似认为D为常 数。则菲克第二定律可化为：
偏微分方程的求解：
y
exp( 2
高斯误 erf ( ) 2 exp( 2 )d 0 ) 差函数：
易知：
erf ( ) erf ( ) (奇函数) erf () 1
0
x
由表中可以 看出，高斯 误差函数收 敛的很快。 这主要是因 为exp(-2)函 数很快下降 到0。
C C C C 1 C ( ) ( ) 2 x x x x 2 Dt
2
1 C C 1 C 1 C ( ) 2 2 2 Dt x 2 Dt x 4 Dt
2 2
将上式待入扩散方程，可得：
C 1 2C D 2 2t 4Dt
z2
dz A2
（4）引入高斯误差函数
erf 2
0
e
z2
dz
得 C A1
2
erf A2
(5)由边界条件、初始条件确定A1、A2
C x0 CS ——表面碳势 边界条件：
初始条件： C t 0 C0 ——渗碳前试样碳浓
A1 2CS C0
渗入
渗碳气体
渗出
渗出
设筒半径为r，长度l
q q J tA 2r l t
渗碳气体
渗入
2r
带入扩散第一定律
dC q J D dr 2r l t
l
其中r、l、t、已知 q 可借测定脱碳气氛的增碳量得出
dC dC q D2 l t D2 l t dr r d ln r
2015-4-19 9
1. 扩散第一定律的应用
—— 求扩散系数 D
1）思路
dc J D dx
C 0 t
建立条件： 满足
—— 可以应用第一定律 求D
C 找出直接或间接的方法测定 J 和 x
（2）实例——测定碳在 -Fe 中的扩散系数
纯铁圆筒
—— 筒外为脱碳气氛、筒内为渗碳气体 —— 碳原子由桶内壁渗入，外壁渗出 —— 经过一段时间达到稳定（浓度梯度不再随时间 变化，即筒本身不再吸碳，积存率为零） ——符合扩散第一定律应用条件
2
(1)首先将方程两边为对t、x的微分化为对同一变量的微分
引入 z
x Dt
d C dC 第二定律化为常微分方程 2z 0 2 dz dz
（2）降阶
du 2 zu 0 一阶可分离变量常微分方程 dz
dC 引入 u 得 dz
（3）求解
u A1e
C A1 e
0
z
2
dC 再对 u dz 积分得
m ( J x A J xx A)t
J x J x x m xAt x
C C (D ) t x x
C J t x
假定扩散系数D不随物质浓度而变化，则：
c c D 2 t x
2
非稳态扩散：扩散浓度是时间和距离的函数
C( ) Aerf ( ) A2 1
固定t：可求散过程中，x位臵处的浓度随
① 无限长扩散偶的扩散问题
C2 0 C1
边界条件: t > 0,
x
x , C C1
边界条件用作为变量来表示, 则：
, C ( ) C1 , C ( ) C2
A1erf () A2 C1 A1 A2 C1
x , C C2 x C ( ) A1erf ( ) A2 ( = ) 2 Dt
C1 C2 C1 C2 A1 ; A2 2 2 A1erf () A2 C2 A1 A2 C2 C1 C2 C2 C1 C ( ) erf ( ) 2 2 C C C C x
符合适用条件的情况并不多，一般dc/dx要随t变化
2. 菲克第二定律 1）条件：
浓度分布与时间 t、x 均有关的情况
即：适用于非稳态扩散情况
2）公式：
C C D 2 t x
2
一维情况， 体积元 AΔx
Fick第二定律的推导 一维情况Δt时间内，体积元中扩散物质的积累量
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2）公式：
由高浓度指向低浓 度（与梯度方向相 反）
扩散通量：单位 时间，垂直于扩 散方向，通过单 位面积的物质量 C：扩散物质 浓度（单位体 积原子（质） 量） x：距扩散源 的距离
dc J D dx
扩 散 系 数
浓度 梯度
3）说明： D 、dc / dx 因此发展了菲克第二定律
J
① 变量代换法
C C D 2 t x
2
扩散方程
常微分方程 代数方程
偏微分方程
② 分离变量法
③ 积分变换法
• 变量代换法求解扩散方程 C D C 2 t x x 玻尔兹曼变换：
2
2 Dt
C C x C x C C 3/ 2 t t 2t 4t D 2t 2 Dt
d C dC 2 0 2 d d
2
常微分方程
• 变量代换法求解扩散方程
d 2C dC 2 0 2 d d dy dC 2 2 y 0 y A 设 y( ) 1 exp( ) d d dC 2 A1 exp( ) C A1 exp( 2 )d A2 0 d 2 广义积分： exp( )d 0 2
dC/d lnr可借测定不同 r 处的碳含量，作C-
lnr曲线，求其斜率得出。
此时仅有D为未知数。
2.扩散第二定律应用
—— 实际渗碳处理 —— 恒定源扩散
C 2C D 2 t x
C z C t 2t z 得 2C 2 1 C 2 4 Dt z 2 x
或 C ( x, t )
1 2
2
2
1
2
erf (
2 Dt
)
• 变量代换法求解扩散方程
至此，可得扩散方程的解为：
注意: 变量代换法求解扩散方程虽然简单，但它只适用于求解 x x 具有特殊的边界条件的扩散问题，如无限长，边界处成 C( ) A1erf ( ) A2 或： 2 Dt 2 Dt 分固定等。对于一般边界条件的扩散问题，需要用分离 变量法或积分变换法进行求解。这一点我们将在后面的 其中A 1、A2为待定常数，可通过边界条件和初始条件定出。 讲述中提到。 扩散方程解的应用：
A2 C0
（6）特解
说明：
x C x, t C0 C S C0 1 erf 2 Dt
对一般问题，高斯误差函数erf（）有表可查。
对渗碳问题：已知钢材含碳量C0、渗碳气体碳 势Cs，要求渗碳浓度C*一定时， CS C * 常数 由上式：有 erf
第八章 固体中的扩散
原子、分子 平衡位臵热振动 克服势垒 跃迁到新位臵 原子迁移 单个原子的运动 无规律 普遍存在 大量原子的迁移
能量起伏
有规律
外力作用有
定义：
由于热运动导致原子（分子）在介质中的迁移 现象
第一节 扩散定律
一、 扩散定律
1. 菲克第一定律 1）条件：
浓度分布与时间 t 无关，仅与位置 x 有关的情况 即：适用于稳态扩散情况