§4-7 二倍角的正弦、余弦、正切公式

教与学过程设计第一课时二倍角的正弦、余弦、正切（一）（一）复习引入复习两角和的正弦、余弦、正切公式（黑板写下），引导学生得出两角差的正弦、余弦、正切公式。

这一过程充分体现了化归的数学思想：将未知化归为已知。

利用这种数学思想，请同学们推导cos2α，sin2α，tan2α，引导学生只需将两角和公式中的α用β代就行了。

（二）新课 1．倍角公式的推导 请同学们将自己推导的结果填在课本P42的框中；利用sin 2α+cos 2α=1，我们还可以把公式C 2α变形为： cos2α=2cos 2α-1或cos2α=1-2sin 2α倍角公式的用处就在于用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

这三组公式中对于角α有无限制？对于公式T 2α要注意，tan2α要有意义，也就是2α≠2ππ+k ，即α≠42ππ+k ；tanα有意义，则α≠2ππ+k ；1-tan 2α≠0，即tan α≠±1，也就是α≠4ππ+k ，可归结为α≠42ππ+k 。

综合起来就是α≠42ππ+k 且α≠2ππ+k ，但当α≠2ππ+k 时，tan α虽然不存在，但tan2α是存在的。

这是该如何求tan2α的值？（利用诱导公式） 2．倍角公式的简单运用例1已知),2(,135sin ππαα∈=，求ααα2tan ,2cos ,2sin 的值。

处理：（1）师生共解； （2）将条件),2(ππα∈去掉，让学生再求。

例2化简或求值：（1）αα3cos 3sin ，4cos4sin4θθ，40tan140tan 22-，ββ2sin2cos 22-；（2）15cos 105cos 2，15sin 951852-，15tan 115tan 2-，12cos24cos24sinπππ处理：师生讨论，教师板演。

目的：熟悉二倍角公式的变形运用（逆用）。

学生练习1：P44练习1，2，3，43．倍角公式与诱导公式、两角和差公式综合运用例3 求证θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+。

两倍角的正弦余弦正切公式正弦、余弦和正切是三角函数中最基本的函数之一，它们在数学和物理中有着广泛的应用。

而两倍角的正弦、余弦和正切公式则是在解决复杂问题时经常用到的重要工具。

本文将详细介绍两倍角的正弦、余弦和正切公式及其应用。

一、两倍角的正弦公式在解决一些三角函数的复杂问题时，经常会遇到求两倍角正弦值的情况。

根据两倍角的正弦公式，我们可以用已知的角的正弦值来求解两倍角的正弦值。

两倍角的正弦公式如下：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为已知角的角度。

例如，已知角θ的正弦值为0.6，我们可以利用两倍角的正弦公式求解sin(2θ)。

根据公式，sin(2θ) = 2sinθcosθ，代入已知值，则有sin(2θ) = 2 × 0.6 × cosθ。

二、两倍角的余弦公式与两倍角的正弦公式类似，两倍角的余弦公式也是求解复杂问题中常用的工具。

根据两倍角的余弦公式，我们可以用已知角的余弦值来求解两倍角的余弦值。

两倍角的余弦公式如下：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ同样，θ为已知角的角度。

例如，已知角θ的余弦值为0.8，我们可以利用两倍角的余弦公式求解cos(2θ)。

根据公式，cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ，代入已知值，则有cos(2θ) = 0.8^2 - (1 - 0.8^2)。

三、两倍角的正切公式两倍角的正切公式在解决复杂问题时也非常有用。

根据两倍角的正切公式，我们可以用已知角的正切值来求解两倍角的正切值。

两倍角的正切公式如下：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)同样，θ为已知角的角度。

例如，已知角θ的正切值为1.5，我们可以利用两倍角的正切公式求解tan(2θ)。

根据公式，tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)，代入已知值，则有tan(2θ) = (2 × 1.5) / (1 - 1.5^2)。

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切公式
二、教学目标：
1.熟练掌握并能熟练运用二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能根据二倍角的正弦、余弦、正切公式进行解题。

三、教学内容：
1.让学生复习三角函数的基本概念；
2.教师引出二倍角的正弦、余弦、正切公式；
3.学生互动完成正弦、余弦、正切公式的填空题；
4.教师提出例题让学生探讨，学生用探讨的结果解答课堂的问题。

四、教学方法：
1.以复习之引出之的方法，系统地讲解和示范；
2.以案例分析的方法，让学生掌握二倍角公式的用法；
3.以大量实例让学生练习，加深理解；
4.以小组合作的方法，让学生互相帮助。

五、教学步骤：
1.教师复习三角函数；
2.提出正弦、余弦、正切公式；
3.学生填空完成公式；
4.教师让学生分析例题；
5.分析完例题之后，教师引出关于二倍角的知识；
6.学生分组，针对教师提出的问题，使用二倍角公式进行讨论；
7.教师让学生提出教学反思。

二倍角的正弦、余弦、正切(一) ●教学目标(一)知识目标1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：(1)sin2α＝2sin αcos α (α为任意角)(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α (α为任意角)＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α(3)tan2α＝),24,2(tan 1tan 22Z ∈++≠-k k k ππππααα(二)能力目标1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.(三)德育目标1.引导学生发现数学规律；2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；3.培养学生的创新意识.●教学重点1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用.●教学难点理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.●教学方法让学生推导倍角公式，从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，从而加深对倍角公式的理解，同时培养逻辑推理能力.(启发诱导式)●教具准备投影片二张第一张（§4.7.1 A ）：二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α(α为任意角)cos2α＝cos 2α－sin 2α(α为任意角)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+≠+≠∈-=242tan 1tan 22tan 2ππαππααααk k k Z 利用sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可变形为：cos2α＝2cos 2α－1或cos2α＝1－2sin 2α第二张（§4.7.1 B ）：练习题：1.已知cos α＝ｍ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.2.化简cos （θ＋15°）＋cos （θ－15°）－θ2cos 23 ●教学过程Ⅰ.课题导入师：前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推. 生：先回忆和角公式sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β当α＝β时，sin （α＋β）＝sin2α＝2sin αcos α即：sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β当α＝β时cos （α＋β）＝cos2α＝cos 2α－sin 2α即：cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1tan tan -+ 当α＝β时 tan2α＝αα2tan 1tan 2- (打出投影片§4.7.1 A ，让学生对照).Ⅱ.讲授新课师：同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或：cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式Ｓ2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠2π＋ｋπ及α≠4π＋2πk （ｋ∈Ｚ）时才成立，否则不成立(因为当α＝2π＋ｋπ，ｋ∈Ｚ时，tan α的值不存在；当α＝4π＋2πk ，ｋ∈Ｚ时tan2α的值不存在). 当α＝2π＋ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2（2π＋ｋπ）＝tan （π＋2ｋπ）＝tan π＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：16sin 2233sin =≠=ππ；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝ｋπ（ｋ∈Ｚ)时，sin2α＝2sin α＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cos αtan2α≠2tan α(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为 2α的2倍，将α作为2α的2倍，将2α作为4α的2倍，将3α作为23α的2倍等等. 下面，来看一些例子：［例1］已知sin α＝135，α∈（2π，π），求sin2α，cos2α，tan2α的值. 解：∵sin α＝135，α∈（2π，π） ∴cos α＝－.1312)135(1sin 122-=--=-α ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×169120)1312(135-=-⨯， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×169119)135(2=， tan2α＝.1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα (打出投影片§4.7.1 B ，师生共同完成).师：1.题中cos α＝ｍ，由此虽不能确定sin α的值，但由于已知α所在象限，所以也可确定其符号，从而求解.生：解：∵cos α＝ｍ，α在第二象限.∴sin α＝221cos 1m -=-α∴sin2α＝2sin αcos α＝221m -·ｍ＝2ｍ21m -cos2α＝2cos 2α－1＝2ｍ2－1tan2α＝12122cos 2sin 22--=m m m αα 或由tan α＝m m 21cos sin -=ααtan2α＝1212tan 1tan 2222--=-m m m αα 师：2.分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.生：解：cos （θ＋15°）＋cos （θ－15°）－23cos2θ ＝θθθ2cos 232)]15(2cos[12)15(2cos[1-︒-++︒++ =1＋21［cos （2θ＋30°）＋cos （2θ－30°）］－23cos2θ =1＋21［cos2θcos30°–sin2θsin30°+cos2θcos30°+sin2θsin30°］－23cos2θ ＝1＋21×2cos2θcos30°－23cos2θ ＝1＋23cos2θ－23cos2θ＝1 评述：二倍角公式的等价变形：22cos 1cos ,22cos 1sin 22αααα+=-=，可以进行“升（降）幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.Ⅲ.课堂练习生：(板演练习)课本P 44 1、3、4.解： 1.(1)2sin67°30′cos67°30′＝sin135°＝22 (2)cos 28π－sin 28π＝cos 4π＝23 (3)2cos 212π－1＝cos 6π＝23 (4)1－2sin 275°＝cos150°＝－23 (5)︒-︒5.22tan 15.22tan 22＝tan45°＝1 (6)sin15°cos15°＝21sin30°＝41 (7)1－2sin 2750°＝cos1500°＝cos （4×360°＋60°）＝cos60°＝21 (8)3300tan 150tan 1150tan 22-=︒=︒-︒ 3.解：∵sin α＝0.8 α∈（0，2π） ∴cos α＝0.6∴sin2α＝2sin αcos α＝0.96cos2α＝1－2sin 2α＝－0.284.解：∵tan α＝21 ∴tan2α＝34tan 1tan 22=-ααⅣ.课时小结要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.Ⅴ.课后作业(一)课本P 47习题4.7 1、 2.(二)1.预习课本P 43例2、例32.预习提纲如何灵活应用二倍角公式进行化简、求值、证明? ●板书设计 课题 二倍角公式及推导 例题●备课资料1.若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( ) A.sin2α B.cos 2α C.－sin 2α Ｄ.－cos 2α 解：∵cos2α＝2cos 2α－1cos α＝2cos 22α－1∴ααα22cos 2121)1cos 2(212121212cos 21212121+=-++=++ 又∵270°＜α＜360° 135°＜2α＜180° ∴原式＝2cos 2cos )12cos 2(2121cos 212122αααα-==-+=+ 答案：Ｄ2.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40° sin70°＝cos20°∴原式＝21cos80°cos40°cos20°＝21×︒︒︒︒︒20sin 20sin 20cos 40cos 80cos︒⨯⨯︒︒⨯=︒⨯︒︒︒⨯=20sin 212180sin 80cos 2120sin 2140sin 40cos 80cos 21 16120sin 212121160sin 21=︒⨯⨯⨯︒= 3.求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos4θ＝8（cos2θ）2＝8(22cos1θ+)2＝2（cos22θ＋2cos2θ＋1）＝2（44cos1θ+）＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3●教学后记。

3．1．3 二倍角的正弦,余弦,正切公式三维目标:1. 通过让学生探索发现并推导二倍角公式,了解它们之间,以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对而倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2. 通过二倍角的正弦,余弦,正切公式的应用,会进行简单的求值,化简,恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值,化简,恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题,解决问题的能力. 重点难点:教学重点: 二倍角公式推导及应用.教学难点: 如何灵活应用和,差,倍角公式进行三角式化简,求值,证明恒等式. 课时安排:1课时 教学过程: 一 复习引入1.和角,差角的三角函数公式c o s ()c o s c o s s i n s i n c o s ()c o s c o s s i n s i n s i n ()s i n c o s c o s s i n s i n ()s i n c o s c o s s i nt a n t a n t a n ()1t a n t a n t a n t a n t a n ()1t a nt a nαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=--=++=+-=-++=---=+2.你能用多少种不同方法求cos15的值? 方法一: cos15cos(4530)=-方法二: cos15cos(6045)=-上述两种方法都是用特殊角来表达非特殊角,我们也注意到302151515=⨯=+,也就是意味着15角的三角函数与它的二倍角30的三角函数之间存在联系,这就是我们这节课的主要内容:二倍角的正弦,余弦和正切公式. 二 探究新知在和角的正弦,余弦,正切公式中取αβ=,得cos 2cos()ααα=+22cos cos sin sin cos sin αααααα=-=- sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=2tan tan 2tan tan 2tan()1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--引例:求cos15 的值方法三: 22cos 30cos(215)cos 15sin 15=⨯=- 而22cos 15sin 151+=22c o s 151c o s 30∴-=解得62cos154+=由上述cos15 求法,你能得到什么结论?22cos 22cos 1cos 212sin αααα=-=-例1. 已知5sin 2,1342ππαα=<<,求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值分析:已知条件给出了2α的正弦值,由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.解: 42ππα<< 22παπ∴<<又5sin 213α=22512cos 21sin 21()1313αα∴=--=--=-512120s i n 42s i n 2c o s 22()1313169ααα∴==⨯⨯-=-225119cos 412sin 212()13169αα=-=-⨯=s i n 4120169120t a n 4()c o s 4169119119ααα==-⨯=-评析:二倍角的”二倍”是描述两个数量之间关系的, 2α是α的二倍, 4α是2α的二倍,2α是4α的二倍.这里蕴含着换元思想.练习:求下列各式的值(1)sin 15cos1522(2)cossin88ππ-2tan 22.5(3)1tan 22.5-2(4)2c o s 22.51-例2 已知3(,),sin(),4245x x πππ∈-=-求cos 2x 的值解法一: 3sin()45x π-=-32cos sin 5x x ∴-=-将上式平方得 72sin cos 25x x =232(cos sin )12sin cos 25x x x x ∴+=+=又(,),42x ππ∈所以42cos sin 5x x +=423224c o s 2(c o s s i n)(c o s s i n)()5525x x x x x ∴=+-=⨯-=- 评析:由解法一可得下列变形公式:2c o s 2(c o s s i n)(c o s s i n )(c o s s i n )1s i n 2αααααααα=+-±=±解法二: (,)42x ππ∈ (,0)44x ππ∴-∈-3s i n ()45x π-=- 4c o s ()45x π∴-=c o s 2s i n (2)s i n [2()]24xx x ππ∴=-=- 2s i n ()c o s ()44xx ππ=--34242()5525=⨯-⨯=- 评析: 解法二运用诱导公式找到已知角4x π-和未知角2x 之间的联系.练习:已知5sin cos(450540),225ααα-=-<<求(1)sin α (2)t a n 2α三 课堂小结1. 熟记二倍角的正弦,余弦和正切公式以及它们的变形形式.2. 灵活运用公式解题要注意分析三角函数名称,角的关系.一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,强化数学思想方法之目的. 四 作业习题3.1A 组第11,15,17,18题。

正弦余弦正切的二倍角公式
二倍角公式是用来计算正弦、余弦和正切的二倍角的公式。

在三角函
数中，二倍角指的是原角的角度加倍。

正弦、余弦和正切的二倍角公式有
以下三个：
1.正弦的二倍角公式：
sin(2θ) = 2sinθcosθ
正弦的二倍角公式表示了正弦函数的二倍角与原角之间的关系。

根据
这个公式，我们可以将正弦的二倍角的值表示为正弦与余弦的乘积的两倍。

这个公式可以用来计算正弦函数的值，特别是在需要计算较大角度的正弦
值时非常有用。

2.余弦的二倍角公式：
cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ
= 1 - 2sin^2θ
= 2cos^2θ - 1
余弦的二倍角公式表示了余弦函数的二倍角与原角之间的关系。

根据
这个公式，我们可以将余弦的二倍角的值表示为余弦与正弦的平方之差，
或者正弦的二倍角的平方之差与1的差。

这个公式可以用来计算余弦函数
的值。

3.正切的二倍角公式：
tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)
正切的二倍角公式表示了正切函数的二倍角与原角之间的关系。

根据这个公式，我们可以将正切的二倍角的值表示为原角的正切的两倍除以1减去原角正切的平方。

这个公式可以用来计算正切函数的值。

这些二倍角公式在解决三角函数相关问题时非常有用，尤其是在需要计算较大角度的三角函数值时。

它们为我们提供了一个简便的方法来计算正弦、余弦和正切的二倍角。