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§7.2一元二次不等式考纲解读分析解读不等式的解法是每年的必考内容,分析高考试题可以看出,解不等式会出现在三种题型中,特别是求函数定义域问题,其实质就是求解不等式(组).应特别注意以下三类问题:1.分式不等式常转化为整式不等式(组),利用一元二次不等式的解法或函数的单调性求解;2.以不等式恒成立为背景求字母的取值范围,一般是将字母分离出来转化为函数的最值问题来求解;3.有时与三角函数、解析几何、数列等知识结合起来,可以类比函数的单调性或转化为函数的单调性问题来求解.本节内容在高考中分值为5分左右,属容易题.五年高考考点一元二次不等式1.(2014大纲全国,3,5分)不等式组的解集为( )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}答案C2.(2013重庆,7,5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=( )A. B. C. D.答案A3.(2013江西,6,5分)下列选项中,使不等式x<<x2成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案A4.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)答案(-4,1)教师用书专用(5—6)5.(2013重庆,15,5分)设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为.答案∪6.(2013安徽,20,13分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.解析(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=,故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2},因此区间I=,区间长度为.(2)设d(a)=,则d'(a)=-,令d'(a)=0,得a=1.由于0<k<1,故当1-k≤a<1时,d'(a)>0,d(a)单调递增;当1<a≤1+k时,d'(a)<0,d(a)单调递减.因此当1-k≤a≤1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而-=--=---<1,故d(1-k)<d(1+k).因此当a=1-k时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值--.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一元二次不等式1.(2018天津西青模拟,7)已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是( )A.0≤k≤1B.0<k≤1C.k<0或k>1D.k≤0或k≥1答案A2.(2017天津和平模拟,2)若不等式ax2+bx+2<0的解集为-或,则-的值为( )A. B. C.- D.-答案A3.(2016安徽江淮十校第一次联考,1)已知全集为R,集合A={x|2x≥1},B={x|x2-3x+2≤0},则A∩∁R B=( )A.{x|x≤0}B.{x|1≤x≤2}C.{x|0≤x<1或x>2}D.{x|0≤x<1或x≥2}答案C4.(人教A必5,三,2,例1,变式)不等式-2x2+x+1>0的解集为.答案-B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:15分时间:10分钟)一、选择题(共5分)1.(2017浙江温州十校联考,6)已知函数f(x)=-则不等式f(x)≥x2的解集是( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]答案A二、填空题(每小题5分,共10分)2.(2018广东揭阳惠来一中期中,15)设f(x)=2x2+bx+c,已知不等式f(x)<0的解集是(1,5),若对任意x∈[1,3],不等式f(x)≤2+t有解,则实数t的范围是.答案[-10,+∞)3.(2017江苏南京一模,12)已知函数f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1),则实数c的值为. 答案-C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 一元二次不等式的解法1.(2018北京模拟,7)如果关于x的不等式x2<ax+b的解集是{x|1<x<3},那么b a等于( )A.-81B.81C.-64D.64答案B2.(2016河南洛阳期中模拟,4)不等式lg(x2-3x)<1的解集为( )A.(-2,5)B.(-5,2)C.(3,5)D.(-2,0)∪(3,5)答案D方法2 含参数的一元二次不等式问题3.(2018内蒙古海拉尔区一模,10)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是( )A.(4,5)B.(-3,-2)∪(4,5)C.(4,5]D.[-3,-2)∪(4,5]答案D4.(2017辽宁沈阳二中期中,10)若0≤x2-ax+a≤1有唯一解,则a的取值为( )A.0B.6C.1D.2答案D。
§7.2 一元二次不等式的解法考纲解读考点内容解读要求 高考示例常考题型 预测热度一元二次不等 式的解法①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图掌握 2014大纲全国,2; 2013陕西,9; 2013江苏,11选择题 ★★★分析解读 1.一元二次不等式的解法是高考热点.2.熟练掌握图象法求解一元二次不等式的方法、步骤.3.理解分式不等式转化为一元二次不等式(组)的等价过程.4.以函数为载体,一元二次不等式的解法为手段,求参数的取值范围也是高考热点,属于中低档题.五年高考考点 一元二次不等式的解法1.(2014大纲全国,2,5分)设集合M={x|x 2-3x-4<0},N={x|0≤x ≤5},则M ∩N=( ) A.(0,4] B.[0,4)C.[-1,0)D.(-1,0]答案 B2.(2013陕西,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( )A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]答案 C3.(2013江苏,11,5分)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时, f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 . 答案 (-5,0)∪(5,+∞)教师用书专用(4—5)4.(2013广东,9,5分)不等式x 2+x-2<0的解集为 .答案 {x|-2<x<1}5.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,f(x)=x 2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是 . 答案 (-7,3)三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点 一元二次不等式的解法1.(2018黑龙江大庆实验中学期中,5)对于任意实数x,不等式(a-2)x 2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]答案 D2.(2017河北八所重点中学一模,7)不等式2x 2-x-3>0的解集为( ) A.{x|−1<x <32} B.{x|x >32或x <−1} C.{x|−32<x <1}D.{x|x >1或x <−32}答案 B3.(2017广东汕头潮阳黄图盛中学第三次质检,9)设常数a ∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x ≥a-1},若A ∪B=R,则a 的取值范围为( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)答案 B4.(2017上海浦东新区期中联考,17)已知函数f(x)={x +2,x ≤0,-x +2,x >0,则不等式f(x)≥x 2的解集是( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]答案 A5.(2018全国名校第三次联考,13)不等式x 2-2ax-3a 2<0(a>0)的解集为 . 答案 {x|-a<x<3a}6.(2018豫北豫南名校精英联赛,13)不等式x 2-3|x|+2>0的解集是 . 答案 (-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)7.(2017重庆二诊,13)若关于x 的不等式(2a-b)x+(a+b)>0的解集为{x|x>-3},则b a= . 答案54B 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分 时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,8)不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x 2+bx+a>0的解集为( ) A.{x |x <−1或x >12}B.{x|−1<x <12}C.{x|-2<x<1}D.{x|x<-2或x>1}答案 A2.(2018黑龙江哈尔滨第六中学高三10月阶段考试,7)已知关于x 的一元二次不等式x 2-6x+a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的整数a 的值之和是( )A.13B.18C.21D.26答案 C3.(2017四川成都实验外国语学校二诊,8)已知0<a 1<a 2<a 3,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x 的取值范围是( ) A.(0,1a 3) B .(0,2a 3) C.(0,1a 1) D .(0,2a 1) 答案 B4.(2017湖北重点高中联合协作体期中,11)已知函数f(x)=x 3+sin x,x ∈(-1,1),则满足f(a 2-1)+f(a-1)>0的a 的取值范围是( ) A.(0,2) B.(1,√2)C.(1,2)D.(0,√2)答案 B5.(2016湖南衡阳八中一模,8)已知函数f(x)={-x 2+2x,x ≥0,x 2-2x,x <0,若关于x 的不等式[f(x)]2+af(x)-b 2<0恰有1个整数解,则实数a 的最大值是( ) A.2 B.3 C.5D.8答案 D二、填空题(共5分)6.(2017上海浦东新区期中联考,11)已知f(x)=log a (x+1),g(x)=log a (1-x),a>0且a ≠1,则使f(x)-g(x)>0成立的x 的集合是 . 答案 {x|-1<x<0}(0<a<1)或{x|0<x<1}(a>1)三、解答题(共15分)7.(2017中原名校豫南九校第四次质量考评,19)已知函数f(x)=a(x 2+1)+ln x. (1)当a ≥0时,解关于x 的不等式f(x)>2a;(2)若对任意a ∈(-4,-2)及x ∈[1,3],恒有ma-f(x)>a 2成立,求实数m 的取值范围. 解析 (1)f '(x)=2ax+1x =2ax 2+1x(x>0),当a ≥0时,恒有f '(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数, 又f(1)=2a,所以f(x)>2a 可化为f(x)>f(1),故x>1.所以原不等式的解集为{x|x>1}.(2)对任意a ∈(-4,-2)及x ∈[1,3],恒有ma-f(x)>a 2成立,等价于ma-a 2>f(x)max ,x ∈[1,3], 当a ∈(-4,-2)时,由f '(x)=2ax 2+1x≤0,得x ≥√-12a, 因为a ∈(-4,-2),所以√24<√-12a <12<1. 从而f(x)在[1,3]上是减函数,所以f(x)max =f(1)=2a,所以ma-a 2>2a,即m<a+2. 因为a ∈(-4,-2),所以-2<a+2<0, 所以实数m 的取值范围为m ≤-2.C 组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 一元二次不等式及分式不等式的解法1.(2017安徽江淮十校第三次联考,5)|x|(1-2x)>0的解集为( ) A.(-∞,0)∪(0,12) B.(-∞,12)C.(12,+∞) D.(0,12)答案 A2.(2018上海长宁、嘉定一模,2)不等式xx+1≤0的解集为 .答案 (-1,0]3.(2017江苏南京一模,12)已知函数f(x)=-x 2+ax+b(a,b ∈R)的值域为(-∞,0],若关于x 的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1),则实数c 的值为 . 答案 -214方法2 解含参数的一元二次不等式4.(2016福建福州校级期末,17)已知不等式ax 2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a,b 的值;(2)解不等式ax 2-(am+b)x+bm<0.解析 (1)根据题意,得方程ax 2-3x+2=0的两个根为1和b, ∴由根与系数的关系,得{1+b =3a,1×b =2a,解之得a=1,b=2.(2)由(1)知不等式ax 2-(am+b)x+bm<0即为不等式x 2-(m+2)x+2m<0, 因式分解,得(x-m)(x-2)<0,①当m=2时,原不等式的解集为⌀;②当m<2时,原不等式的解集为(m,2); ③当m>2时,原不等式的解集为(2,m).方法3 一元二次不等式恒成立问题的解题方法5.(2017四川成都七中二诊,11)已知函数f(x)=x 2-2ax+1对任意x ∈(0,2]恒有f(x)≥0成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[1,54] B.[-1,1] C.(-∞,1] D.(-∞,54]答案 C6.(2018江苏南京金陵中学高三上学期月考,12)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是. 答案1≤t≤54。
