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2020年高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．设集合A＝{x|3x﹣1＜m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是（）A．2＜m＜5B．2≤m＜5C．2＜m≤5D．2≤m≤52．下面关于复数z＝﹣1+i（其中i为虚数单位）的结论正确的是（）A．对应的点在第一象限B．|z|＜|z+1|C．z的虚部为i D．3．如图所示，给出了样本容量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则（）A．r1＝r2B．r1＜r2C．r1＞r2D．无法判定4．已知数列{a n}为等差数列，且a3＝4，a5＝8，则该数列的前10项之和S10＝（）A．80B．90C．100D．1105．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β6．设x1，x2，x3均为实数，且，则（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x2＜x1＜x37．已知向量与的夹角为120°，且，，若且，则实数λ的值为（）A．B．C．D．8．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A（﹣4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x﹣y+2＝0，则顶点C的坐标可以是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）9．我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设（a＞b＞0）为“优美椭圆”，F，A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（）A．60°B．75°C．90°D．120°10．若函数f（x）sin（2x+θ）+cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（，0）对称，则函数f（x）在[，]上的最小值是（）A．﹣1B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝2，，，．有以下结论：①三棱锥P﹣ABC的表面积为；②三棱锥P﹣ABC的内切球的半径；③点P到平面ABC的距离为．其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③12．抛物线y2＝8x的焦点F是双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点，A（m，n）（n＞0）为抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|＝8，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设x，y满足约束条件，则目标函数z＝﹣2x+y的取值范围为．14．若曲线与函数f（x）＝ae x在公共点处有相同的切线，则实数a的值为．15．已知数列{a n}的前n项之和为S n，对任意的n∈N*，都有3S n＝a n+16．若，则数列{a n}的通项公式a5＝；数列{b n}的最大项为．16．定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣x2，有以下4个结论：①2是y＝f（x）的一个周期；②f（1）＝0；③函数y＝f（x ﹣1）是奇函数；④若函数y＝f（x+1）在（1，2）上递增．则这4个结论中正确的是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（sin B+sin C）2＝sin2A+sin B sin C．（1）求A；（2）若b+c＝6，△ABC的面积为，求a．18．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示：（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y关于x的的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数r，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．19．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝120°，AC与BD相交于点O，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝3BF＝3，平面BDEF⊥平面ABCD．（1）证明：平面AEF⊥平面AFC；（2）求三棱锥E﹣AFD的体积．20．已知函数．（1）当a＜0时，求f（x）的最小值；（2）若对存在x0∈R，使得，求实数a的取值范围．21．已知椭圆的离心率．直线x＝t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．（1）求椭圆E的方程；（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．若过点P（5，﹣3），倾斜角为α，且的直线交曲线C于P1、P2两点．（1）求|PP1|•|PP2|的值；（2）求P1P2的中点M的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．对∀a∈R，|a+1|+|a﹣1|的最小值为M．（1）若三个正数x，y，z满足x+y+z＝M，证明：；（2）若三个正数x，y，z满足x+y+z＝M，且恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|3x﹣1＜m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是（）A．2＜m＜5B．2≤m＜5C．2＜m≤5D．2≤m≤5【分析】直接根据元素和集合之间的关系求解即可．解：因为集合A＝{x|3x﹣1＜m}，若1∈A且2∉A，∴3×1﹣1＜m且3×2﹣1≥m；解得2＜m≤5；故选：C．2．下面关于复数z＝﹣1+i（其中i为虚数单位）的结论正确的是（）A．对应的点在第一象限B．|z|＜|z+1|C．z的虚部为i D．【分析】由已知求得判断A；求解两复数的模判断B；由虚部的概念判断C；由0判断D．解：∵z＝﹣1+i，∴，则对应的点在第三象限，故A错误；|z|，|z+1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；0，故D正确．故选：D．3．如图所示，给出了样本容量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则（）A．r1＝r2B．r1＜r2C．r1＞r2D．无法判定【分析】根据A、B两组样本数据的散点图分布特征，即可得出r1、r2的大小关系．解：根据A、B两组样本数据的散点图知，A组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为r1应最接近1，B组数据分散在一条直线附近，也成正相关，∴相关系数为r2满足r2＜r1，即r1＞r2．故选：C．4．已知数列{a n}为等差数列，且a3＝4，a5＝8，则该数列的前10项之和S10＝（）A．80B．90C．100D．110【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a3＝4，a5＝8，可得a1+2d＝4，a1+4d＝8，联立解得：a1，d，再利用求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝4，a5＝8，∴a1+2d＝4，a1+4d＝8，联立解得：a1＝0，d＝2，则该数列的前10项之和S10＝02＝90．故选：B．5．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β【分析】根据空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断选项中的命题是否正确即可．解：对于A，若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β，所以A错误；对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线，所以B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，所以C正确；对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交，也可能平行，所以D错误．故选：C．6．设x1，x2，x3均为实数，且，则（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x2＜x1＜x3【分析】画出函数y＝（）x，y＝lnx，y＝ln（x+1），y＝lgx，3个函数的函数图象，利用函数图象的交点的大小即可判断x1，x2，x3的大小关系，是中档题．解：画出函数y＝（）x，y＝lnx，y＝ln（x+1），y＝lgx，3个函数的函数图象，如图所示：，由图象可知：x2＜x1＜x3，故选：D．7．已知向量与的夹角为120°，且，，若且，则实数λ的值为（）A．B．C．D．【分析】运用向量数量积的定义，可得•3，再由向量垂直的条件：向量的数量积为0，以及向量平方即为模的平方，解方程即可得到所求值．解：向量与的夹角为120°，且，，可得•3×2×cos120°＝﹣3，若且，则•（λ）•（）2﹣λ2+（λ﹣1）•＝4﹣9λ﹣3（λ﹣1）＝0，解得λ．故选：C．8．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A（﹣4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x﹣y+2＝0，则顶点C的坐标可以是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）【分析】由已知求出AB的垂直平分线方程，由欧拉线联立求得外心坐标，得到圆的方程，设C（x，y），则三角形ABC的重心（）在欧拉线上，整理后与圆的方程联立求解C的坐标．解：∵A（﹣4，0），B（0，4），∴AB的垂直平分线方程为x+y＝0，又外心在欧拉线x﹣y+2＝0上，联立，解得三角形ABC的外心G（﹣1，1），又r＝|GA|，∴△ABC外接圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝10．设C（x，y），则三角形ABC的重心（）在欧拉线上，即．整理得x﹣y﹣2＝0．联立，解得或．∴顶点C的坐标可以是（0，﹣2）．故选：D．9．我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设（a＞b＞0）为“优美椭圆”，F，A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（）A．60°B．75°C．90°D．120°【分析】由可得验证|FA|2＝|FB|2+|AB|2成立所以所以∠FBA 等于90°．解：∵，∴在椭圆中有b2+c2＝a2，|FA|＝a+c，|FB|＝a，|AB|，∴|FA|2＝（a+c）2＝a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2＝2a2+b2＝3a2﹣c2，∴|FA|2＝|FB|2+|AB|2，所以∠FBA等于90°．故选：C．10．若函数f（x）sin（2x+θ）+cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（，0）对称，则函数f（x）在[，]上的最小值是（）A．﹣1B．C．D．【分析】利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在[，]上的最小值．解：∵函数f（x）sin（2x+θ）+cos（2x+θ）＝2sin（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（，0）对称，∴2θkπ，k∈Z，即θ＝kπ，∴θ，f（x）＝2sin（2x）＝﹣2sin2x，在[，]上，2x∈[，]，故当2x时，函数f（x）取得最小值为，故选：B．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝2，，，．有以下结论：①三棱锥P﹣ABC的表面积为；②三棱锥P﹣ABC的内切球的半径；③点P到平面ABC的距离为．其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】①取AB的中点D，连接PD、CD，根据已知线段的长度，逐一计算四个面的面积，相加即可得解；②采用分割法，将三棱锥P﹣ABC分割成以四个面为底面，内切球的半径为高的四个三棱锥，于是V Sr，从而求得内切球的半径；③利用面面垂直的判定定理可证平面ABC⊥平面PCD，于是点P到平面ABC的距离即为点P到CD的距离，再利用三角形的等面积法即可得解．解：如图所示，取AB的中点D，连接PD、CD，则AB⊥CD，AB⊥PD，∵PA＝PB＝2，CA＝CB，AB＝2，PC，∴三棱锥P﹣ABC的表面积为，即①正确；∵，∴，即②正确；∵AB⊥CD，AB⊥PD，CD、PD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PCD，∴点P到平面ABC的距离即为点P到CD的距离，由三角形等面积法可知，在Rt△PCD中，点P到CD的距离为，即③正确．故选：D．12．抛物线y2＝8x的焦点F是双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点，A（m，n）（n＞0）为抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|＝8，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，以及双曲线的渐近线方程，由抛物线的定义可得A的坐标，由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线bx﹣ay＝0平行，由两直线平行的条件和离心率公式可得所求值．解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），即双曲线的右焦点为（2，0），双曲线1的渐近线方程分别为bx﹣ay＝0，bx+ay＝0，抛物线的准线方程为x＝﹣2，由A（m，n）（n＞0）为抛物线上一点，可得m＞0，且|AF|＝m+2＝8，解得m＝6，n＝4，即A（6，4），由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线bx﹣ay＝0平行，可得k AF，则双曲线的离心率为e2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设x，y满足约束条件，则目标函数z＝﹣2x+y的取值范围为[﹣1，2]．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．解：x，y满足约束条件的可行域如图：作直线﹣2x+y＝0的平行线，当目标函数经过可行域的A（0，2）时，目标函数z＝﹣2x+y取得最大值2，目标函数经过B（1，1）时，目标函数取得最小值：﹣1．目标函数z＝﹣2x+y的取值范围为[﹣1，2]．故答案为：[﹣1，2]．14．若曲线与函数f（x）＝ae x在公共点处有相同的切线，则实数a的值为．【分析】设公共点横坐标为x，然后利用“函数值相等、切点处的导数相等”，列出关于x，a的方程组求解即可．解：由已知得，f′（x）＝ae x．再设两曲线的公共点为（x，y），则，解得．故答案为：．15．已知数列{a n}的前n项之和为S n，对任意的n∈N*，都有3S n＝a n+16．若，则数列{a n}的通项公式a5＝；数列{b n}的最大项为64．【分析】利用3S n＝a n+16．利用n﹣1代换表达式的n，两式相减，可得数列{a n}是以8为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式和各项乘积的大小可得结论．解：∵3S n＝a n+16，∴n≥2时，3S n﹣1＝a n﹣1+16，两式相减可得，2a n＝﹣a n﹣1，n＝1时，a1＝8，∴数列{a n}是以8为首项，为公比的等比数列，∴a5＝8×（）4，a1＝8，a2＝﹣4，a3＝2，a4＝﹣1，n＞4时，|a n|＜1，，所以b4最大，最大值为64．故答案为：；64．16．定义在R上的偶函数y＝f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣x2，有以下4个结论：①2是y＝f（x）的一个周期；②f（1）＝0；③函数y＝f（x ﹣1）是奇函数；④若函数y＝f（x+1）在（1，2）上递增．则这4个结论中正确的是②③④．【分析】由f（x+2）＝﹣f（x）可知，f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），因此4是函数y ＝f（x）的一个周期，结合函数是偶函数，又可得y＝f（x）关于点（1，0）对称，于是作出函数的大致图象，根据图象可逐一判断每个选项的正误．解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴4是函数y＝f（x）的一个周期，∵y＝f（x）是偶函数，∴f（x+2）＝﹣f（x）＝﹣f（﹣x），∴函数y＝f（x）关于点（1，0）对称，由于当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣x2，于是可作出如下的函数图象，由图可知，①错误，②③④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（sin B+sin C）2＝sin2A+sin B sin C．（1）求A；（2）若b+c＝6，△ABC的面积为，求a．【分析】（1）利用正弦定理，将给的条件角化边，然后利用余弦定理求出A；（2）利用面积公式求出bc，然后套用余弦定理求出a的值．解：（1）∵（sin B+sin C）2＝sin2A+sin B sin C．由正弦定理得（b+c）2＝a2+bc，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴，∴．（2）∵，∴bc＝8，结合b+c＝6，（b+c）2＝a2+bc，∴a2＝28．∴．18．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示：（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y关于x的的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数r，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r，由r＞0.75可得可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）求出与的值，得到线性回归方程，取x＝12求得y值得答案．解：（1），．（﹣3）×（﹣2）+（﹣1）×（﹣1）+0×0+1×1+3×2＝14，，．∵r0.75．∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2），5﹣0.7×5＝1.5．∴．当x＝12时，．∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．19．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝120°，AC与BD相交于点O，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝3BF＝3，平面BDEF⊥平面ABCD．（1）证明：平面AEF⊥平面AFC；（2）求三棱锥E﹣AFD的体积．【分析】（1）连接OE，OF，由已知可得AC⊥BD，再由已知结合平面与平面垂直的性质可得AC⊥平面BDEF，得到AC⊥EF．求解三角形证明EF⊥OF，由线面垂直的判定可得EF⊥平面AFC，从而得到平面AEF⊥平面AFC；（2）由DE∥BF，得BF∥平面ADE，然后利用等体积法求解三棱锥E﹣AFD的体积．【解答】（1）证明：连接OE，OF，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，则AC⊥EF．∵四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝3BF＝3，OA＝OB＝1，∴OE，OF，EF＝2，则OE2＝OF2+EF2，得EF⊥OF，∵AC、OF⊂平面AFC，且AC∩OF＝O，∴EF⊥平面AFC，∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面AFC；（2）解：∵DE∥BF，∴BF∥平面ADE，∴V E﹣AFD＝V F﹣ADE＝V B﹣ADE＝V E﹣ABD．20．已知函数．（1）当a＜0时，求f（x）的最小值；（2）若对存在x0∈一、选择题，使得，求实数a的取值范围．【分析】（1）f′（x），由a＜0，可得x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（0，1）时，f′（x）＜0．即可得出单调性．（2）对a分类讨论：若a＝0，则f（x）＝0，容易判断出结论．若a＞0，k可得f（）1．若a＜0，由（1）可知：函数f（x）的最小值为f（1），只要，解得a范围即可得出．解：（1）f′（x），∵a＜0，∴x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（0，1）时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∴x＝1时，函数f（x）取得极小值即最小值f（1）．（2）对a分类讨论：若a＝0，则f（x）＝0，不存在x0∈R，使得成立．若a＞0，则f（）1，满足题意．若a＜0，由（1）可知：函数f（x）的最小值为f（1），∴，解得a．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，）∪（0，+∞）．21．已知椭圆的离心率．直线x＝t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．（1）求椭圆E的方程；（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）由椭圆的离心率，知．由此能求出椭圆E的方程．（2）依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．由得．所以圆C的半径为．由圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d＝t，知，所以弦长，由此能求出ABC的面积的最大值．【解答】（1）解：∵椭圆的离心率，∴．解得a＝2．∴椭圆E的方程为．（2）解：依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．由得．∴圆C的半径为．∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d＝t，∴，即．∴弦长．∴△ABC的面积．当且仅当，即时，等号成立．∴△ABC的面积的最大值为．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．若过点P（5，﹣3），倾斜角为α，且的直线交曲线C于P1、P2两点．（1）求|PP1|•|PP2|的值；（2）求P1P2的中点M的坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．转换为直角坐标方程为x2+y2＝8y，点P（5，﹣3），倾斜角为α，且，则直线的参数方程为（t为参数），把直线的参数方程代入圆的方程为，所以|PP1|•|PP2|＝|t1t2|＝58．（2）由（1）知：，所以，代入得到M（）．[选修4-5：不等式选讲]23．对∀a∈R，|a+1|+|a﹣1|的最小值为M．（1）若三个正数x，y，z满足x+y+z＝M，证明：；（2）若三个正数x，y，z满足x+y+z＝M，且恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得M＝2，再由基本不等式和累加法，即可得证；（2）运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得所求范围．解：（1）证明：由∀a∈R，|a+1|+|a﹣1|≥|a+1﹣a+1|＝2，当且仅当﹣1≤a≤1时取得等号，可得x+y+z＝2，又x，y，z＞0，y≥22x，同理可得z≥2y，x≥2z，三式相加可得，x+y+z＝2，当且仅当x＝y＝z时，取得等号，则；（2）恒成立，等价为[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z+m）2]min，由（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z+m）2]≥（x﹣2+y﹣1+z+m）2＝（m﹣1）2，当且仅当x﹣2＝y﹣1＝z+m可取得等号．则（m﹣1）2，即|m﹣1|≥1，解得m≥2或m≤0，即m的取值范围是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．。
2020年高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．设集合A＝{x|3x﹣1＜m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是（）A．2＜m＜5B．2≤m＜5C．2＜m≤5D．2≤m≤52．下面关于复数z＝﹣1+i（其中i为虚数单位）的结论正确的是（）A．对应的点在第一象限B．|z|＜|z+1|C．z的虚部为i D．3．如图所示，给出了样本容量均为7的A，B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则（）A．r1＝r2B．r1＜r2C．r1＞r2D．无法判定4．已知数列{a n}为等差数列，且a3＝4，a5＝8，则该数列的前10项之和S10＝（）A．80B．90C．100D．1105．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β6．设x1，x2，x3均为实数，且，则（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x2＜x1＜x37．已知向量与的夹角为120°，且，，若且，则实数λ的值为（）A．B．C．D．8．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A（﹣4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x﹣y+2＝0，则顶点C的坐标可以是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）9．我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设（a＞b＞0）为“优美椭圆”，F，A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（）A．60°B．75°C．90°D．120°10．若函数f（x）sin（2x+θ）+cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（，0）对称，则函数f（x）在[，]上的最小值是（）A．﹣1B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝2，，，．有以下结论：①三棱锥P﹣ABC的表面积为；②三棱锥P﹣ABC的内切球的半径；③点P到平面ABC的距离为．其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③12．抛物线y2＝8x的焦点F是双曲线1（a＞0，b＞0）的一个焦点，A（m，n）（n＞0）为抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|＝8，则该双曲。
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陕西省榆林市普通高中
2020届高三毕业班下学期高考模拟第三次测试
文科综合试题参考答案
2020年5月1—5 ADCBD
6—10 CADCB
11—15 CDCAA
16—20 BBDAC
21—25 BCDDA
26—30 BADCC
31—35 BBCCC
36.（24分）（1）气候因素（热量、降水、光照等差异）；（1分）土壤因素（或水文、地形）等自然因素；（1分）社会经济发展水平、农业生产结构（或市场、劳动力、科学技术）等人文因素差异。
（2分）
（2）位于温带季风气候区,夏季水热组合条件好；日照时间长；昼夜温差大,利于有机质积累；冬季寒冷,病虫害少。
（或者温和气温和适当的降水,利于有机质的积累,土壤肥沃；春季的积雪消融,利于增加土壤水分等）（6分）
（3）贵州地形崎岖,不利于大规模经营,生产成本高；贵州辣椒的品牌效应使辣椒价格高；以及交通、保鲜、检疫、仓储、物流等基础设施不断完善,各地的货源竞争范围扩大；“老干妈”为了降低生产成本,所以不再使用贵州辣椒。
（8分）
（4）加快土地流转,调整农业结构,适当扩大辣椒生产规模,利于机械化经营,降低生产成本；建设生产科研基地,引进或培育优质辣椒品种；延长辣椒加工产业链,提高产品附加值；发展与辣椒相关的旅游、文化等产业,实现经营多元化。
（6分）
37.（22分）（1）南回归线穿过澳大利亚中部,受副热带高气压带和信风带控制,盛行下沉气流；且由于大分水岭山脉的阻挡,东南信风带来的暖湿气流无法达到；西部地区还受寒流减湿的影响,降水稀少。
（6分）
1。
陕西省榆林市2020届高考数学三模试卷2 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,m ，m 2−3m +2}，且2∈A ，则实数m 为( )A. 2B. 0或3C. 3D. 0，2，3均可 2. 已知i 是虚数单位，则复数i−1i+1在复平而上所对应的点的坐标为( )A. (0,1)B. (−1,0)C. (1,0)D. (0,−1)3. 如图，给出了样本容量均为7的A ，B 两组样本数据的散点图，已知A 中两个变量的线性相关系数为r 1，B 中两个变量的线性相关系数为r 2，则( )A. r 1=r 2B. r 1<r 2C. r 1>r 2D. 无法判定 4. 若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1=2a 5−1，则S 17=( )A. −17B. −172C. 172D. 17 5. 下列命题中是真命题的是( )A. 垂直于同一条直线的两个平面互相平行B. 与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行C. 平行于同一个平面的两条直线互相平行D. 两条直线能确定一个平面6. 若函数f (x )=|lgx |−(13)x+a 有2个零点，则实数a 的取值范围是( ) A. (13,+∞)B. (−∞,13)C. (1,+∞)D. (−∞,1) 7. 已知平面向量a ⃗ =(0,−1)，b ⃗ =(2,2)，|λa ⃗ +b ⃗ |=2，则λ的值为( ) A. 1+√2B. √2−1C. 2D. 1 8. 若一直线过M(0,−1)且被圆(x −1)2+(y −2)2=25截得的弦AB 长为8，则这条直线的方程是( ) A. 3x +4y +4=0B. 3x +4y +4=0或y +1=0C. 3x −4y −4=0D. 3x −4y −4=0或y +1=09. 若函数f(x)=√3cos(2x +α)−sin(2x +α)的图象关于直线x =0对称，则α=( )A. α=kπ−π3 (k ∈Z)B. α=kπ−π6 (k ∈Z)C. α=kπ+π3(k ∈Z)D. α=kπ+π6 (k ∈Z) 10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点是抛物线y 2=4x 的焦点，l 是C 的一条渐近线且与圆(x −1)2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，若|AB|=b ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2√55B. 3√55C. √2D. 2√10511. a,b,c,d 四位同学关于高中数学知识竞赛获奖情况有下列对话：a 说：“如果我中奖了，那么b 也中奖了。
2020届陕西省榆林市高三下学期3月线上高考模拟测试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}|22,A x x x =-<≤∈Z ，{}2|2log 1B x x =<，则A B =I （ ） A ．()0,2 B ．(]2,2-C ．{}1D ．{}1,0,1,2-【答案】C【解析】利用对数函数的单调性求出集合{}{2|2log 10B x x x x =<=<<，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】由{}|22,A x x x =-<≤∈Z ，{}{2|2log 10B x x x x =<=<<，则A B =I {}1. 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的交运算、对数函数的单调性解不等式，属于基础题.2．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r （O 为坐标原点），设OZ r =u u u r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．16【答案】D【解析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可. 【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫===+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 488366i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()2288316z =-+=.故选：D 【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D【解析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可. 【详解】对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分， 故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确； 对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=，乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确；对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误； 故选：D 【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.4．已知4cos 5α=-，3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．2【答案】B【解析】将表达式1tan21tan 2αα+-中的正切化为正、余弦，由4cos 5α=-，求出3sin 5α=-，即可得出结论. 【详解】 由4cos 5α=-，3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴可得3sin 5α=-，21tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα+++====----， 1tan221tan2αα-=-+∴. 故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、半角公式，需熟记公式，属于基础题.5．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u ur u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．12-B ．-2C ．12D ．2【答案】A【解析】设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD kBC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，1,222k kλμ∴=--=，12λμ∴+=-.故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.6．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】如图，连接OM ，Q 椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线， ∴OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=， 12c a c ∴=-， 解得椭圆E 的离心率13c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.7．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是A ．336B ．510C ．1326D ．3603 【答案】B【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.【考点】1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用. 8．已知函数()()()sin 1xf x x m x =+-为奇函数，则m =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由函数()()()sin 1xf x x m x =+-为奇函数，可得()()f x f x -=-，代入整理可得m . 【详解】 函数()()()sin 1xf x x m x =+-为奇函数，可得()()f x f x -=-，()()()()()sin sin 11x xx m x x m x -∴=--++-，整理可得()10m x -=，1m ∴=.故选：B 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值、需掌握函数奇偶性定义，属于基础题. 9．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4 B ．8C ．9D ．27【答案】D【解析】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，则323233AD AM AD ===， 226PM PA AM ∴=-=，134312P ABC V -∴=⨯⨯=， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ，则1443P ABC O ABC V V --==⨯，解得：r =； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ， 则MN PM R =-或R PM -，AN R =， 在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：222AM MN AN +=，22133R R ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得R =， 3Rr∴=， 3327V R v r∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题. 10．已知函数()πsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π3cos 33g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到()g x 的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向左平移π6个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移π3个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍C ．向左平移π3个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍D ．向右平移π6个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍【答案】A【解析】根据同角的正弦函数图像向左平移四分之一个周期可得同角的余弦函数图像，结合纵向伸缩变换的法则，可得答案. 【详解】将()πsin 33f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位长度，可得πcos 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再保持横坐标不变把各点的纵坐标伸长到原来的3倍. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的图像平移伸缩变换，需掌握函数的伸缩变换原则，属于基础题. 11．在空间内，设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（ ）A ．αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥B ．//l α，//l β，m αβ=I ，则//l mC ．l αβ=I ，m βγ=I ，n γα=I ，若//l m ，则//l nD ．αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥或//αβ 【答案】D【解析】根据题目给出了不同线和不同的几个面，根据给出的几个条件，分析时从一个条件入手，逐个整合其他条件，看是否符合所学定理，或是得出与定理、公理、定义不符的结论，从而判断命题的真假. 【详解】对于A ，αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，如图，在平面γ内取点O ，过O 在γ内分别作,OA OB 垂直于α与γ的交线和β与γ的交线， 则由面面垂直的性质得,OA OB αβ⊥⊥，得,OA l OB l ⊥⊥，l γ∴⊥，故A 正确；对于B ，//l αQ ，过l 作一平面γ交α于n ，则//l n ，//l βQ ，//n β∴，所以n//m ，所以//l m ，故B 正确；对于C ，l αβ=Q I ，l β∴⊂， 又//l γQ ，,l n αγα⊂⋂=， 则//l n ，故C 正确；对于D ，垂直于同一平面的两个平面可以相交不垂直，所以D 不正确； 故选：D 【点睛】本题考查了空间中直线与平面垂直、平行的判定定理、面面垂直的判定定理，属于基础题.12．已知3y ax =+与函数()2ln 5f x x =+相切，则不等式组()010x ay x a y -≥⎧⎪⎨++≥⎪⎩确定的平面区域在2224x y +=内的面积为（ ） A ．12π B ．6πC ．3πD ．2π【答案】C【解析】设切点为()00,x y ，可得()0000002325f x ax y ax y lnx ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪=+⎩'⎪⎪，解方程可得2a =，然后作出不等式组在2224x y +=内的区域，再利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】由3y ax =+与函数()2ln 5f x x =+相切，设切点为()00,x y ，则()0000002325f x a x y ax y lnx ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪=+⎩'⎪⎪，解得2a =，所以不等式组为2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，则不等式组确定的平面区域在2224x y +=内的面积为阴影部分，由题意可得1tan 2α=，11tan 33β⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-，所以4παβ+=， 所以阴影部分的面积为：2112432424S R πππ=⨯⨯=⨯⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了导数的几何意义、不等式表示的平面区域、两角和的正切公式以及扇形的面积公式，综合性比较强，属于中档题.二、填空题13．9个相同的口罩分发给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少2个，则甲获得的口罩不少于乙获得的口罩的概率为________. 【答案】35【解析】将口罩分配的基本事件个数利用列举法求出，从而可得甲获得的口罩不少于乙获得的口罩的基本事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】把9个相同的口罩分发给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少2个， 可以有的分法是： 甲2个，乙2个，丙5个. 甲2个，乙3个，丙4个. 甲2个，乙4个，丙3个. 甲2个，乙5个，丙2个. 甲3个，乙2个，丙4个.甲3个，乙3个，丙3个. 甲3个，乙4个，丙2个. 甲4个，乙2个，丙3个. 甲4个，乙3个，丙2个. 甲5个，乙2个，丙2个. 一共有10种分法，其中获得的口罩不少于乙获得的口罩的基本事件个数为6种，所以63105P ==. 故答案为：35【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算公式、解题的关键是列举出基本事件个数，属于基础题.14．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b A c =，则B ∠=________. 【答案】150︒【解析】利用正弦定理边化角可得2sin cos 0A B A =，从而可得cos B =，进而求解. 【详解】由2cos 2b A c =，由正弦定理可得2sin cos 2sin B A C A =+，即()2sin cos 2sin B A A B A =++，整理可得2sin cos 0A B A +=，又因为sin 0A ≠，所以cos 2B =-， 因为0180B <<o ， 所以150B =o ， 故答案为：150︒ 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.15．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的顶点到渐近线的距离为2b ，2的最小值________. 【答案】2【解析】根据双曲线的方程求出其中一条渐近线by x a=，顶点(),0a ，再利用点到直线的距离公式可得2c a =，222==利用基本不等式即可求解. 【详解】由双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >，可得一条渐近线by x a=，一个顶点(),0a ，2ab bc==，解得2c a =，22222===+≥，当且仅当3a =时，取等号， 2的最小值为2.故答案为：2 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.16．若奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x ∈R 都有()g 221xg x ⎡⎤-+=⎣⎦，当[]0,1x ∈时，()()f x g x =，则()2log 12f =________.【答案】13-【解析】根据()()2f x f x +=-可得函数()f x 以4为周期的函数，令()g 22x x k -+=，可求()21x g x =-，从而可得()()21x f x g x ==-，()()22log 122log 3f f =--代入解析式即可求解.【详解】令()g 22xx k -+=，则()g 22xx k =+-，由()g 221xg x ⎡⎤-+=⎣⎦，则()1g k =，所以()g 221kk k =+-=，解得1k =，所以()21xg x =-，由[]0,1x ∈时，()()f x g x =， 所以[]0,1x ∈时，()21xf x =-；由()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 以4为周期的函数，()()()()22222log 12log 3log 4log 32log 32f f f f =+=+=-，又函数()f x 为奇函数，所以()()22log 3221log 122log 3213f f -⎡⎤=--=--=-⎣⎦. 故答案为：13- 【点睛】本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 为公差为d 的等差数列，0d >，44a =，且1a ，3a ，9a 依次成等比数列，2n an b =.（1）求数列{}n b 的前n 项和n S ； （2）若12nn n n b c S S +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T .【答案】（1）122n n S +=-（2）211222n +-- 【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差1d =，从而求出22n a n n b ==，再利用等比数列的前n 项和公式即可求解.（2）由（1）求出n c ，再利用裂项求和法即可求解. 【详解】（1）44a =，且1a ，3a ，9a 依次成等比数列，2319a a a ∴=，即：()()()244345d d d -=-+，0d >Q ，1d ∴=，n a n ∴=，22n a n n b ∴==，()12122212n n n S +-∴==--；（2）111111211n n n n n n n n n n n n n b b S S c S S S S S S S S ++++++-====-⋅⋅⋅Q ，212231111111111111222n n n n n S S S S S S S S S +++∴=-+-++-=-=--L . 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.18．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD =1，5AB =，5sin 5ABD ∠=.（1）证明：PA BD ⊥； （2）求D 到平面ABP 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）在ABD ∆中，利用正弦定理得出90ADB ∠=︒，可得BD AD ⊥，利用线面垂直的性质定理可得PD BD ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAD ，进而得证.（2）根据D ABP P ABD V V --=即可求解. 【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sinAB ADADB ABD=∠∠，sin 1AB ABDADB AD⋅∠∴∠==，90ADB ∴∠=︒，BD AD ∴⊥，PD ⊥Q 平面ABCD ，PD BD ∴⊥ BD ∴⊥平面PAD ，PA BD ∴⊥；（2）1PD AD ==Q ，5AB =2BD ∴=，5PB ∴=2PA =1ABD S ∆∴=，32ABP S ∆=， 设D 到平面ABP 的距离为h ，则D ABP P ABD V V --=， 即：1133ABP ABD S h S PD ∆∆⨯⨯=⨯⨯， 23ABD ABP S PD h S ∆∆⨯∴==，故D 到平面ABP 的距离为23.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、等体法求点到面的距离以及三棱锥的体积公式，属于基础题.19．已知动圆过定点()0,1F ，且与直线l ：1y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）过F 作斜率为()0k k ≠的直线m 与C 交于两点A ，B ，过A ，B 分别作C 的切线，两切线交点为P ，证明：点P 始终在直线l 上且PF AB ⊥. 【答案】（1）24x y =（2）证明见解析 【解析】（1）利用抛物线的定义即可求解.（2）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数求出切线,PA PB 方程，将切线方程联立，求出交点1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，直线m 方程为：1y kx =+，将直线与抛物线联立，利用韦达定理求出()2,1P k -，进而可证出结论. 【详解】（1）Q 动圆过定点()0,1F ，且与直线l ：1y =-相切，∴动圆圆心到定点()0,1F 和定直线1y =-的距离相等， ∴动圆圆心的轨迹C 是以()0,1F 为焦点的抛物线， ∴轨迹C 的方程为：24x y =，（2）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 24x y =Q ，2xy '∴=， ∴直线PA 的方程为：()211142x x y x x -=-，即21142y x x x =-①，同理，直线PB 的方程为：22242y x x x =-②， 由①②可得：1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 直线m 方程为：1y kx =+，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得：2440x kx --=，()2,1P k ∴-，11PF k k k k∴⨯=-⨯=-，∴点P 始终在直线l 上且PF AB ⊥.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义求动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系中的定点、定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.20．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID —19），简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.为了预测在未釆取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t 的值依次1，2，…，10）建立模型yc dt =+$和 1.5t y a b =+⋅$. （1）根据散点图判断，yc dt =+$与 1.5t y a b =+⋅$哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题： 时间1月25日 1月26日 1月27日 1月28日 1月29日 累计确诊人数的真实数据 19752744451559747111（ⅰ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？ （ⅱ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？附：对于一组数据（()11,u v ，()22,u v ，……，(),n n u v ，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，µµv u αβ=-.参考数据：其中 1.5it i ω=，101110i i ωω==∑.【答案】（1） 1.5t y a b =+⋅$适宜（2）10201.5t y ∴=+⋅$（3）（ⅰ）回归方程可靠（ⅱ）防护措施有效【解析】（1）根据散点图即可判断出结果.（2）设 1.5t ω=，则ya b ω=+$，求出b $，再由回归方程过样本中心点求出$a ，即可求出回归方程.（3）（ⅰ）利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；（ⅱ）当15t =时，10150y=$，与真实值作比较即可判断有效. 【详解】（1）根据散点图可知：1.5t ya b =+⋅$适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型； （2）设 1.5tω=，则ya b ω=+$，()()()1010111010222111010iii ii i iii i y y y yb ωωωωωωωω====---==--∑∑∑∑$21547001019390207401019-⨯⨯==-⨯， 390201910ay b ω=-=-⨯=$$， 10201.5t y∴=+⋅$； （3）（ⅰ）11t=时，2010y=$，201019750.11975-<，当12t =时，3010y =$，301027440.12744-<，当13t =时，4510y=$，451045150.14515-<，所以（2）的回归方程可靠：（ⅱ）当15t =时，10150y=$， 10150远大于7111，所以防护措施有效. 【点睛】本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型分析数据，属于基础题. 21．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中0a >. （1）若()0f x ≤，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）1a =（2）1a =时，()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点.【解析】（1）利用导数求出函数的单调区间，进而求出函数的最大值1f a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据()10f =即可求解.（2）由（1）可知：ln 10x x -+≤，1x =时取等号，可得1a =时，()f x 有一个零点；当1a >时，10f a ⎛⎫>⎪⎝⎭，()10f =，10n f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，此时()f x 有两个零点；当01a <<时，判断出10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()10f =，210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而确定零点个数.【详解】 （1）()1axf x x-'=Q （0a >，0x >）， ∴当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，()max 1f x f a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，()0f x ≤Q ，()10f =，11a∴=，1a =；（2）由（1）可知：ln 10x x -+≤，1x =时取等号，()max 1lna a 10f x f a ⎛⎫∴==-+-≥ ⎪⎝⎭，1a =时取等号，①1a =时，()f x 有一个零点；②1a >时，()10,1a ∈，1ln 10f a a a ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭， ()10f =，10n n af e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，此时()f x 有两个零点；③01a <<时，11a >，1ln 10f x a a ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，()10f =，2112ln f x a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，令()()12ln 1x x x x x ϕ=--+>，()()2210x x xϕ-'∴=>，ϕ∴在()0,1上递增，()()10x ϕϕ<=，2112lna 0f a a a ⎛⎫∴=--+< ⎪⎝⎭，此时()f x 有两个零点；综上：1a =时，()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点. 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式、利用导数求函数的零点个数，考查了分类讨论的思想，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知1C ：2220x y y +-=，2C 6y +=，3C ：()00kx y k -=>.（1）求1C 与2C 的极坐标方程（2）若1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B ，OA OB λ=，求λ的最大值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为2sin ρθ=；2C 的极坐标方程为：cos sin 6θρθ+=（2）12【解析】（1）根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可转化.（2）由3C ：()00kx y k -=>，可得θα=，代入1C 与2C 的极坐标方程求出,OA OB ，从而可得OAOB λ==再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.【详解】（1）1C Q ：2220x y y +-=，22sin ρρθ∴=， 1C ∴的极坐标方程为2sin ρθ=2C Q6y +=，cos sin 6θρθ+=，2C ∴cos sin 6θρθ+=，（2）3C Q ：()00kx y k -=>，则θα=（α为锐角），2sin OA α∴=，OB =OA OB λ∴==π2sin 12cos 2116662ααα⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==≤，当π3α=时取等号. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.23．已知函数()24f x x x =+-，设()f x 的最小值为m .（1）求m 的值；（2）是否存在实数a ，b ，使得22a b +=，12m a b +=？并说明理由. 【答案】（1）4（2）不存在；详见解析【解析】（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m .（2）由()122852b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++==++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式即可求出. 【详解】 （1）()43,0244,0434,4x x f x x x x x x x -≤⎧⎪=+-=+<<⎨⎪-≥⎩()04m f ∴==；（2）()122852b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 若a ，b 同号，8529b a a b ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，不成立； 或a ，b 异号，8525b a a b ⎛⎫=++<⎪⎝⎭，不成立； 故不存在实数a ，b ，使得22a b +=，12m a b+=. 【点睛】 本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.。
榆林市2020~2021年度高三第三次模拟考试数学试卷（文科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}260M x x x =+-≤，{}11N x x =-<<，则M C N =（ ）A. []3,1-B. []1,2-C. [][]3,11,2--D. ∅2.()412i1i -+=-（ ）A.12i4- B.12i4+ C.12i4-- D.12i4-+ 3. 从某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01，02，…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（ ）（注：表为随机数表的第1行与第2行） A. 24B. 36C. 46D. 474. 已知平面向量()1,2a =，(,22b t =-，(3,2a b +=-，则3a b +=（ ）A. B. C. D. 5. 函数1ln ()x f x x+=的图象大致为（ ）A. B.C. D.6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知1a =，b =6A π=，则c =（ ）A. 1或2B. 1C. 1D. 27. 函数2()ln f x x a x b =-+的图象在点()()1,1f 处的切线方程是2y x =+，则a b +=（ ） A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知函数1()ln sin 21x f x a x x -=+++，且()5f m =，则()f m -=（ ） A. -5B. -3C. -1D. 39. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，M 为1BB 的中点，点N 在棱1CC 上，13CN NC =，则异面直线1A N 与CM 所成角的正切值为（ ）A.12 B.C. 13D.10. 已知函数()()2sin2sin2cos21f x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为π B. ()f x 的最大值为2 C. ()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D. ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有4个零点 11. 阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥.已知在阳马P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，3PD =，且阳马P ABCD -的体积为9，则阳马P ABCD -外接球表面积的最小值是（ ）A.2B. C. 27πD.12. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，()0,6P ，O 为坐标原点，则四边形OPAB 面积最小时直线AB 的方程是（ ） A. 3440x y +-= B. 4340x y +-= C. 4540x y +-=D. 5440x y +-=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 设x ，y 满足约束条件111x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最大值是__________.14. 某产品的零售价x （元）与每天的销售量y （个）统计如下表：据上表可得回归直线方程为 6.4y x a =-+，则a =__________.15. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积12=（弦×矢＋矢2）.公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离.如图，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为83π，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为__________.16. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP ，则该双曲线的离心率为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知123a a a +=，2531a a -=，214b a a =，2536b b +=. （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .18. 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：（1）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19. 如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是1BB 的中点，点F 在棱AB 上，且2AF FB =，设直线1BD ，DE 相交于点G .（1）证明：//GF 平面11AA D D .（2）求点B 到平面GEF 的距离. 20. 已知函数()ln f x x =.（1）点P 为()f x 图象上一点，求点P 到直线60x ey -+=的距离的最小值； （2）若关于x 的不等式()21()12f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的焦距为8，且点12M ⎫-⎪⎪⎝⎭在C 上. （1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OM 平分，求AOB △（O 为坐标原点）面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，直线l 的倾斜角为α，且过点()0,2P -，以直角坐标系的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点M ，N ，求PM PN +的最大值. 23. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()()f x x a a R =+∈.（1）若()21f x x ≥-的解集为[]0,2，求a 的值；（2）若对任意的x R ∈，不等式2()24f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围.榆林市2020~2021年度高三第三次模拟考试数学试卷参考答案（文科）1. C 因为{}32M x x =-≤≤，所以[][]3,11,2M C N =--.2. A4212i 12i 12i(1i)(2i)4-+-+-==--.3. C 抽样编号依次为43，36，47，46，第4个是46.4. A 因为(3,2a b +=-，所以13t +=，解得2t =，(35,2a b +=，所以325a b +=+=5. D 因为1ln ()x f x x+=的定义域为{}0x x ≠，()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除B ，C 选项.又当10x e<<时，()0f x <，所以选项D 正确.6. A 由正弦定理，得sin sin a b A B =，即112=，所以sin B =.因为()0,B π∈，所以3B π=或23B π=.当3B π=时，2C π=，则2224c a b =+=，即2c =；当23B π=时，6C A π==，即1c a ==. 7. B 因为'()2af x x x =-，所以'(1)21(1)13f a f b =-=⎧⎨=+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，则3a b +=. 8. C 由题意可得1()lnsin 251m f m a m m -=++=+，从而1ln sin 31m a m m -+=+，则1()lnsin()21m f m a m m ---=+-+-+1ln sin 23211m a m m -⎛⎫=-++=-+=- ⎪+⎝⎭.9. D 如图，在1AA 上取点D ，使得13A D =，连接CD ，MD .因为13A D CN ==，1//A D CN ，所以四边形1A DCN 是平行四边形，1//A N DC ，则DCM ∠为异面直线1A N 与CM 所成的角或补角.因为CD MD ==MC =设MC 的中点为E ，连接DE ，则DE MC ⊥，2DE =，所以tan23DCM ∠==.10. C 因为()2sin 2(sin 2cos 2)144f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，所以242T ππ==，A ，B 错误；当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，54,4412x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，C 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，74,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以404x π-=或44x ππ-=，()f x 只有2个零点，D 错误.11. C 由题意可得阳马P ABCD -的体积为193AB BC PD AB BC ⋅⋅=⋅=设阳马P ABCD -外接球的半径为R ，则222222492927R AB BC PD AB BC AB BC =++=++≥⋅+=（当且仅当AB BC =时，等号成立），故阳马P ABCD -外接球的表面积为2427R ππ≥. 12. B 设()11,A x y ，()22,B x y ，且11,0x y >，易知()1,0F . 设直线AB ：1x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，所以124y y =-，214y y -=. 11211322OPAB OPA OFA OBF S S S S x y y =++=+-△△△()21111312042y y y y =++>. 令1y t =，2312()(0)42f t t t t t =++>，则2312'()22f t t t=+-，易知()'f t 是()0,+∞上的增函数，且()'10f =，所以()f t 在()0,1上为减函数，()1,+∞上为增函数.所以当11y t ==时，四边形OPAB 的面积有最小值，此时1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭，()4,4B -，直线AB 的方程是4340x y +-=.13. 5 画出可行域（图略）知，当直线3z x y =+经过点()2,1时，z 取得最大值5.14. 77 由题意可得67897.54x +++==，40312421294y +++==，则 6.47.529a -⨯+=，解得77a =.15. 1623π- 设圆弧AB 所对圆心角的弧度为α，由题可知843πα⨯=，解得23πα=.故扇形AOB 的面积为18164233ππ⨯⨯=，三角形AOB的面积为22sin 1243π⨯=⨯为163π-. 作OD AB ⊥分别交AB ，AB 于点D ，C，易得AB =2OD =，所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为()212222⨯+=，则所求差值为16162)233ππ⎛--=-⎝.16.不妨设渐近线的方程为by x a=-，因为2//MF OP ，O 为12F F 的中点，所以P 为1MF 的中点.将直线OM ，1MF 的方程联立()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以22,22a c ab P c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则()2222222144a c a a c c +-=，解得ca=17. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 因为123a a a +=，2531a a -=，所以1112221a d a d a d +=+⎧⎨-=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =.因为214b a a =，2536b b +=，所以24b =，532b =，联立方程组得141432b q b q =⎧⎨=⎩，解得122q b =⎧⎨=⎩，故2n n b =.（2）设n n n c a b =，由（1）可知，2n n c n =⋅. 所以231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，①23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯.②由①-②得，212222n n n T n +-=+++-⋅，即()1212212n n n T n +--=-⋅-，所以1(1)22n n T n +=-+.18. 解：（1）由题中数据可得22200(100302050)10011.11112080150509K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯. 因为11.11110.828>，所以有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，其中男性车主有1006410050⨯=+人，记为a ，b ，c ，d ；女性车主有506210050⨯=+人，记为E ，F . 从这6位车主中随机抽取2位车主的情况有ab ，ac ，ad ，aE ，aF ，bc ，bd ，bE ，bF ，cd ，cE ，cF ，dE ，dF ，EF ，共15种；其中符合条件的情况有aE ，aF ，bE ，bF ，cE ，cF ，dE ，dF ，EF ，共9种. 故所求概率93155P ==. 19.（1）证明：如图，连接1AD ，因为1//BE DD ，所以1BGE DGD △△， 所以1112BG BE D G DD ==，从而113BG BD =. 又由条件知13BF AB =，所以1BG BFBD BA=， 所以1//GF AD .因为GF ⊄平面11AA D D ，1AD ⊂平面11AA D D ， 所以//GF 平面11AA D D .（2）解：设G 到平面BEF 的距离为1h ，由111113h BG A D BD ==，得12h =. 又12332BEF S =⨯⨯=△，所以三棱锥G BEF -的体积13223G BEF V -=⨯⨯=.设B 到平面GEF 的距离为2h ，在GEF △中，11333GE DE ===，113GF AD ==EF =所以cos EFG ∠==sin EFG ∠=12EFG S =⨯=△由B GEF G BEF V V --=，得2123=，解得2h =B 到平面GEF. 20. 解：（1）由已知得1'()f x x=，欲使点P 到直线60x ey -+=的距离最小， 则需曲线()y f x =在点P 处的切线平行直线60x ey -+=. 设()00,P x y ，则()0011'f x x e==，得0x e =，从而01y =，即(),1P e ， 所以点P 到直线60x ey -+==. （2）因为()21()12f x x a ≤+-恒成立，所以22ln 1x x a -+≤. 令2()2ln 1h x x x =-+，则22(1)(1)'()2x x h x x x x--+=-=.当()0,1x ∈时，'()0h x >,()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减. 所以()max ()10a h x h ≥==， 故实数a 的取值范围为[)0,+∞.21. 解：（1）依题意可知2222275114428a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得22204a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为221204x y +=. （2）易得直线OM的方程为y x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,R x y 为AB的中点，其中00y x =.因为A ，B 在椭圆上， 所以2211222212041204x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则01212121202412052AB x y y x x k x x y y y -+==-⨯=-⨯=-+. 可设直线l的方程为y m =+，联立221204y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得22165200x m ++-=， 则()22300645200m m ∆=-->，解得88m -<<，则12x x +=21252016m x x -=.AB ==4=， 原点到直线l的距离2md ==， 则AOB △的面积112224m S d AB =⋅=⨯⨯=， 当且仅当232m =，即m =±AOB △的面积有最大值，且最大值为22. 解：（1）将222x y ρ=+和sin y ρθ=代入24cos ρρθ=，得224x y x +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.（2）由直线l 与曲线C 交于不同的两点M ，N ，得090α︒<<︒，把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入曲线C 的直角坐标方程，得24(cos sin )40t t αα-++=， 则[]24(cos sin )1632sin cos 0αααα∆=+-=>.设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则124(sin cos )t t αα+=+，因为090α︒<<︒，所以124(sin cos )0t t αα+=+>，1240t t =>，所以10t >，20t >，所以()124(sin cos )45PM PN t t ααα=+=+=++︒，所以当且仅当45α=︒时，PM PN +的最大值为23. 解：（1）()21f x x ≥-即21x a x +≥-，平方整理得()223(24)10x a x a -++-≤， 易知0，2是方程()223(24)10x a x a -++-=的两根， 所以2242310a a +⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得1a =.（2）()()()223f x x a x a x a a +-≥+--=，当()()20x a x a +-≤时等号成立. 因为对任意的x R ∈，2()24f x x a a a +-≥-恒成立，所以234a a a ≥-. 当0a ≥时，234a a a ≥-，解得07a ≤≤；当0a <时，234a a a -≥-，此时满足条件的a 不存在.综上可得，实数a 的取值范围是[]0,7.。
2020年陕西省榆林市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是( ) A ．25m <<B ．25m <„C ．25m <„D ．25m 剟2．下面关于复数1z i =-+（其中i 为虚数单位）的结论正确的是( ) A ．1z对应的点在第一象限 B ．|||1|z z <+ C ．z 的虚部为iD ．0z z +<3．如图所示，给出了样本容量均为7的A ，B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为1r ，B 组数据的相关系数为2r ，则( )A ．12r r =B ．12r r <C ．12r r >D ．无法判定4．已知数列{}n a 为等差数列，且34a =，58a =，则该数列的前10项之和10(S = ) A ．80B ．90C ．100D ．1105．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是( )A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若αγ⊥，αβ⊥，则//γβ6．设1x ，2x ，3x 均为实数，且312123,(1),x x x e lnx e ln x e lgx ---==+=，则( ) A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．231x x x <<D ．213x x x <<7．已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为120︒，且||3AB =u u u r ，||2AC =u u u r ，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r 且AP BC ⊥u u u r u u u r，则实数λ的值为( ) A ．37B ．73C ．712D ．1278．瑞士数学家欧拉()1765LeonharEuler 年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知ABC ∆的顶点(4,0)A -，(0,4)B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是( ) A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(2,0)-D ．(0,2)-9．设22221(0)x y a b a b+=>>为“优美椭圆”， F ，A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它短轴的一个端点，则ABF ∠等于()A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．120︒10．若函数())cos(2)(0)f x x x θθθπ=+++<<的图象关于(2π，0)对称，则函数()f x 在[4π-，]6π上的最小值是( ) A ．1- B．C ．12-D． 11．已知三棱锥P ABC -中，2PA PB ==，CA CB ==，AB =PC =．有以下结论：①三棱锥P ABC -的表面积为②三棱锥P ABC -的内切球的半径r =；③点P 到平面ABC．其中正确结论的序号为( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③12．抛物线28y x =的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，(A m ，)(0)n n >为抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为()ABC ．2D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设x ，y 满足约束条件212x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…„„，则目标函数2z x y =-+的取值范围为 ．14．若曲线y =()x f x ae =在公共点处有相同的切线，则实数a 的值为 ． 15．已知数列{}n a 的前n 项之和为n S ，对任意的*n N ∈，都有316n n S a =+．若*12,n n b a a a n N =⋯∈，则数列{}n a 的通项公式5a = ；数列{}n b 的最大项为 ．16．定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()1f x x =-，有以下4个结论：①2是()y f x =的一个周期；②f （1）0=；③函数(1)y f x =-是奇函数；④若函数(1)y f x =+在(1,2)上递增．则这4个结论中正确的是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足22(sin sin )sin sin sin B C A B C +=+． （1）求A ；（2）若6b c +=，ABC ∆的面积为23，求a ．18．（12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示：（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数并加以说明（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y 关于x 的的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数112222221111()()()()nni i i i i i nn nn i i i i i i i i x x y y x y nxyr x x y y x nx y ny ======∑--∑-==∑-∑-∑-∑-，回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxybx x x nx ====∑--∑-==∑-∑-，ˆˆay bx =-．19．（12分）如图，在几何体中，四边形ABCD 为菱形，2AB =，120ABC ∠=︒，AC 与BD相交于点O ，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，33DE BF ==，平面BDEF ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ； （2）求三棱锥E AFD -的体积．20．（12分）已知函数()xaxf x e =． （1）当0a <时，求()f x 的最小值； （2）若对存在0x R ∈，使得01()3f x e<-，求实数a 的取值范围． 21．（12分）已知椭圆222:1(3)3x y E a a +=>的离心率12e =．直线(0)x t t =>与曲线E 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求ABC ∆的面积的最大值．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=．若过点(5,3)P -，倾斜角为α，且3cos 5α=-的直线交曲线C 于1P 、2P 两点． （1）求12||||PP PP g 的值； （2）求12P P 的中点M 的坐标． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．对a R ∀∈，|1||1|a a ++-的最小值为M ．（1）若三个正数x ，y ，z 满足x y z M ++=，证明：2222x y z y z x++…；（2）若三个正数x ，y ，z 满足x y z M ++=，且2221(2)(1)()3x y z m -+-++…恒成立，求实数m 的取值范围．2020年陕西省榆林市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是( ) A ．25m <<B ．25m <„C ．25m <„D ．25m 剟解：因为集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，311m ∴⨯-<且321m ⨯-…；解得25m <„； 故选：C ．点评：本题主要考查描述法表示一个集合以及元素与集合的关系、不等式的解法，属于基础题目．2．下面关于复数1z i =-+（其中i 为虚数单位）的结论正确的是( ) A ．1z对应的点在第一象限 B ．|||1|z z <+ C ．z 的虚部为i D ．0z z +<解：1z i =-+Q ，∴111111(1)(1)22i i z i i i --===---+-+--， 则1z对应的点在第三象限，故A 错误；||z =|1|1z +=，故B 错误； z 的虚部为1，故C 错误；20z z +=-<，故D 正确．故选：D ．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．如图所示，给出了样本容量均为7的A ，B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为1r ，B 组数据的相关系数为2r ，则( )A ．12r r =B ．12r r <C ．12r r >D ．无法判定解：根据A 、B 两组样本数据的散点图知，A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关，∴相关系数为2r 满足21r r <，即12r r >． 故选：C ．点评：本题考查了散点图与相关系数的应用问题，是基础题．4．已知数列{}n a 为等差数列，且34a =，58a =，则该数列的前10项之和10(S = ) A ．80B ．90C ．100D ．110解：设等差数列{}n a 的公差为d ，34a =Q ，58a =，124a d ∴+=，148a d +=， 联立解得：10a =，2d =， 则该数列的前10项之和1010902902S ⨯=+⨯=． 故选：B ．点评：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是( )A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若αγ⊥，αβ⊥，则//γβ解：对于A ，若n αβ=I ，//m n ，则//m α，//m β，所以A 错误；对于B ，若//m α，//n α，则m 与n 可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线，所以B 错误；对于C ，若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理知//m n ，所以C 正确； 对于D ，若αγ⊥，αβ⊥，则γ与β可能相交，也可能平行，所以D 错误． 故选：C ．点评：本题考查了空间中的直线、平面之间的位置关系应用问题，是基础题． 6．设1x ，2x ，3x 均为实数，且312123,(1),x x x e lnx e ln x e lgx ---==+=，则( ) A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．231x x x <<D ．213x x x <<解：画出函数1()x y e=，y lnx =，(1)y ln x =+，y lgx =，3个函数的函数图象，如图所示：，由图象可知：213x x x <<， 故选：D ．点评：本题主要考查了指数函数与对数函数的图象，以及数形结合法的运用，是中档题． 7．已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为120︒，且||3AB =u u u r ，||2AC =u u u r ，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r 且AP BC ⊥u u u r u u u r，则实数λ的值为( )A ．37B ．73C ．712D ．127解：向量AB u u u r 与AC u u u r的夹角为120︒，且||3AB =u u u r ，||2AC =u u u r ，可得32cos1203AB AC =⨯⨯︒=-u u u r u u u rg ， 若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r 且AP BC ⊥u u u r u u u r ，。
