不同借贷利率下的投资组合的有效前沿

现代投资组合理论与实践投资组合理论是指通过选择和配置不同资产以降低风险的理论框架。

现代投资组合理论与实践将统计方法和市场经验结合起来，以支持投资者在多样化投资组合中做出明智的决策。

它的核心思想是通过不同资产之间的相互关联性来实现最佳风险-回报平衡。

在现代投资组合理论中，一个关键概念是有效前沿。

有效前沿是指所有可能投资组合中具有最高预期回报，且给定风险水平下最低方差的一条线。

有效前沿揭示了投资者可以在不同风险水平下获得的最佳组合权重。

这种权衡关系使得投资者能够选择根据自己的风险偏好制定最适合自己的投资策略。

现代投资组合理论还引入了资本市场线的概念。

资本市场线是有效前沿上切线与无风险资产组合所构成的线条。

这条线条显示了最佳投资组合，其中投资者可以与无风险资产进行资金的分配。

该理论假设投资者可以无限制地借贷和借款，并且投资者在无风险率的情况下追求最大化效用。

为了计算有效前沿和资本市场线，必须依靠各种统计工具和数据。

常用的数据包括资产的历史回报率、风险度量和相关系数。

可以使用这些数据来计算资产的预期回报率、方差和协方差矩阵。

通过利用这些数据和计算工具，投资者可以构建一个包含多个资产的投资组合，以最小化风险并最大化回报。

实践中，现代投资组合理论广泛应用于资产管理和风险管理领域。

它为投资者提供了一种可靠的方法来评估和选择投资组合，同时也为资产管理公司提供了一种优化资产配置的工具。

投资者可以利用现代投资组合理论来进行资产配置，从而在投资组合的构建过程中获得更好的风险-回报平衡。

然而，现代投资组合理论也存在一些限制。

该理论基于历史数据，并假设资产的未来表现将与过去相似。

然而，金融市场的波动性和不确定性使得过去的数据不能完全预测未来的表现。

该理论忽视了市场的非理性行为和心理因素对资产价格的影响。

市场情绪和投资者行为可能引发市场的不确定性，从而使资产价格脱离预期的价值。

总的来说，现代投资组合理论与实践是一个重要的投资工具，它将统计方法和市场经验结合起来，为投资者提供了一种科学的方法来管理风险并获取回报。

确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换行动所产生的结果已知。

它排除了任何随机事件发生的可能性。

风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。

即对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识。

但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。

不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。

即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种状态发生的概率不清楚。

自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境因素。

自然状态的特征：自然状态集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一种状态发生）自然状态的信念（belief）：个体会对每一种状态的出现赋予一个主观的判断，即某一特定状态s出现的概率P（s）满足：0≤p（s）≤1，这里的概率p（s）就是一个主观概率，也成为个体对自然的信念。

不同个体可能会对自然状态持有不同的信念，但我们通常假定所有的个体的信念相同，这样特定状态出现的概率就是唯一的。

数学期望最大化原则：数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。

这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确定情形下的推广。

期望效用原则：指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。

而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。

穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一样的。

即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是递减的。

效用函数的表述和定义：不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。

因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（Lottery）或未定商品（contingent commodity。

股票投资中投资组合理论的应用分析投资组合理论主要包括以下几个方面的内容：1. 有效前沿（Efficient frontier）有效前沿是指投资组合在风险和收益之间达到最优平衡的曲线。

投资者可以通过选择不同的投资组合，以达到最佳收益和风险平衡的目标。

有效前沿可以帮助投资者优化投资组合并最大化回报。

2. 互不相关性（Diversification）互不相关性是指选择不同领域、不同行业、不同地理区域、不同市场的股票组成投资组合。

通过选择互不相关的资产，可以降低整个投资组合的系统性风险和波动性。

投资组合中包含的股票不应是同一种类的，应通过审慎选择使得投资组合中每只股票的贡献值可以得到充分利用。

3. 个股风险与系统风险（Systematic Risk vs. Idiosyncratic Risk）在投资中，股票的风险主要存在这两方面。

企业自身的风险，称之为独特风险，这类风险可以通过资产的均衡分散减少，使投资者获得更好的收益；由经济环境变化等不可预计的因素所导致的风险，所有股票都会有，称之为系统性风险，因此必须透过组合，通过分散投资降低它的影响。

在实际的股票投资中，应用投资组合理论可以帮助投资者降低风险、最大化收益，具体如下：1. 投资者可以通过分配资金到不同的公司和行业，提高整个投资组合的多样性，降低风险。

这可以通过选择来自不同行业、不同规模的公司的股票来实现。

2. 投资者应该通过合理的配置资产权重，构建一个最佳的投资组合，以获得最大的投资回报率。

同时，投资者应该充分考虑整体风险水平，并避免过度投资某个股票，以降低投资组合的波动性。

3. 投资者可以通过定期监管和重新平衡投资组合的持仓，以确保它们保持与市场的同步性。

如果某些股票的数量过于大或过小，则应重新平衡股票，以确保整个投资组合的风险和收益水平达到最佳。

综上所述，投资组合理论是股票投资中不可或缺的一部分，它可以通过选取不同的股票，分散投资风险，优化投资组合，以达到最佳的收益和风险控制。

有效前沿曲线公式
有效前沿曲线（Efficient Frontier）是投资组合理论中的一个重要概念，它描述了在给定的风险水平下，投资者可以期望获得的最大回报。

这条曲线是在均值-方差框架下，通过优化投资组合中各个资产的权重来得到的。

在投资组合理论中，通常假设投资者是理性的，并且希望在给定的风险水平下最大化预期收益，或者在给定的预期收益水平下最小化风险。

有效前沿曲线就是在这样的假设下得到的，它表示了所有可能的投资组合中，风险和预期收益之间的最优权衡关系。

有效前沿曲线的公式通常是通过优化问题来得到的，而不是一个简单的数学表达式。

优化问题的一般形式可以表示为：最大化：预期收益率- 风险厌恶系数* 风险（方差或标准差）
或者
最小化：风险（方差或标准差）
约束条件：预期收益率>= 某个目标值
其中，预期收益率和风险可以用投资组合中各个资产的预期收益率、方差和协方差来计算。

风险厌恶系数是一个反映投资者对风险厌恶程度的参数，它的取值越大，表示投资者对风险的厌恶程度越高。

通过解这个优化问题，可以得到在给定的风险水平下，预期收益最大的投资组合，以及在给定的预期收益水平下，风险最小的投资组合。

这些投资组合构成了有效前沿曲线上的点。

需要注意的是，有效前沿曲线是在一定的假设条件下得到的，实际应用中可能受到多种因素的影响，如交易成本、市场不完全性、投资者偏好等。

因此，在实际应用中，需要根据具体情况进行调整和改进。

投资组合中的可行集与有效边界问题研究王晓乐（工学院经济与管理学院，213002）摘要：本文从从马科维茨的投资组合理论思想出发，在已有结论基础之上，利用均值方差模型分别研究了风险资产组合和引入无风险资产后各自有效边界的确定和解析表达式，随之引入CAPM模型着重分析了资本市场中，投资者如何确定投资组合来均衡收益与风险之间的关系。

文末就CAPM的有效性问题和股票收益与风险的关系这两个延伸问题进行了简单的探讨。

关键词：投资可行集有效边界CAPM模型一、引言（一）课题研究的背景面对五花八门的投资对象，大家都明白“鸡蛋不要都放在同一个篮子里”的简单道理，那么“鸡蛋”应该放在几个“篮子”里，这些“篮子”各有什么特点？在资本市场中，马科维茨的投资组合选择理论和在此基础上发展形成的CAPM模型，历来是投资者面对风险和收益决策投资组合的重要理论依据。

投资者在资本市场中，如何平衡风险与收益之间的关系，如何有效决策资产组合，这些都是关键问题。

（二）课题研究的价值投资有效组合，使资产风险合理分散化，通过充分利用数学知识，借助计量经济学的帮助，分析投资理论中的风险类型和收益模型，推导在各种风险资产组合中的可行集和有效边界，风险最小的情况下，使得投资组合获得最大利益，从而更好地服务于现代证券市场。

二、已有相关研究观点评介关于资产定价的原理和模型的研究，国不乏众多学者。

工业大学经济管理学院的邓英东教授（2004）在他的文章中评述：Markowitz的证券组合选择理论，在今天已经成为现代金融经济学的基石，人们在处理证券组合的收益-风险分析时，Markowitz理论始终是一种基本工具。

[1]东华大学理学院的静、胡良剑教授认为：金融决策的核心问题就是权衡证券收益与风险的问题。

[2]在论述有关CAPM模型的作用时，中国人民大学金融专业博士生导师吴晓求教授在他的文章里写道：CAPM给出了一个非常简单的结论，只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。

利率的变化对投资策略的影响利率是经济活动中的一个重要指标，它直接关系到投资者的投资决策和策略。

随着经济的变化，央行会调整利率，以促使经济的发展或调整经济周期。

因此，投资者需要密切关注利率的变化，并相应调整自己的投资策略。

利率主要分为两类：市场利率和借贷利率。

市场利率是指市场上各类投资品的收益率，如国债收益率、股票收益率等。

借贷利率则是指银行对借贷资金收取的利息。

这两类利率的变化都会对投资者的决策产生重要影响。

首先，市场利率的变化对投资策略的影响主要体现在不同投资品的相对收益率上。

当利率上升时，投资品的收益率也往往会上升，这会使得投资者更倾向于购买市场上的高收益品种。

例如，当国债收益率上升时，相对于国债而言，股票等风险较高的投资品的收益率可能更高，这会吸引投资者将资金从国债转移到股票市场。

反之，当利率下降时，债券市场的收益率通常会上升，从而使得债券成为较为吸引人的投资选择。

因此，市场利率的变化对投资者选择投资品种和配置资产的决策起到重要影响。

其次，借贷利率的变化对于投资者的策略也有深远的影响。

当借贷利率上升时，借贷成本增加，投资者在进行杠杆投资时需要支付更多的利息支出。

这会使得投资者在进行投资决策时更加谨慎，可能会减少借贷资金的使用，降低投资风险。

另一方面，借贷利率上升也可能使得借款人的偿债能力下降，从而增加了债务违约的风险。

这可能导致市场信心的下降，进而影响股票市场的表现。

因此，在借贷利率上升的背景下，投资者需要更加审慎地选择和管理其投资组合，以降低风险。

然而，利率变化并不一定对所有的投资策略产生相同的影响。

根据不同的投资风格和偏好，投资者可以利用利率变化来制定不同的策略。

例如，短线投资者可能更加关注市场利率的波动，利用利率的短期变化进行投机操作。

长线投资者则更注重经济周期和利率的长期趋势，以寻找长期投资机会。

此外，投资者还可以通过利率衍生品等工具来进行利率套利，从利率变化中获得更多的收益。

除了利率变化对投资者的直接影响，还需要考虑其他与利率相关的因素。

存在无风险借贷机会时投资的有效边界由公式（2）可得RP F x σσ-=1，将之代入公式（1），整理后可得：PRFR F P r r E r r E σσ-+=)()( （3）这就是由无风险资产和风险证券组合构成的组合的机会集方程。

由公式（3）可以看出，当存在无风险借贷机会时，投资组合的期望收益率与其所涉及的风险（标准差）之间存在的关系变成了线性关系。

图1 存在无风险借贷机会时投资的有效边界图1中，曲线RM 表示仅仅由风险证券构成的组合的有效边界，R 是它上面的任意一个风险证券组合。

由无风险资产和风险证券组合R 的组合构成的机会集是由Fr 点出发连接F r 和R 的一条射线R r F。

在射线R r F 上的点Fr 表示投资者将所有资金都投资于无风险资产，所得的收益率为F r ，风险为零；在线段R r F中间的点，表示将一部分资金投资于无风险资产，余下部分投资于风险证券组合R 所构成的组合，是一种“贷出性投资组合”，其收益率大于F r 而小于)(R r E ，风险大于零而小于Rσ，越靠近Fr 的点，无风险证券的投资比重越大，而越靠近R 的点，无风险证券的投资比重越小。

点R 表示将所有资金都投资于风险证券组合R ，所获的期望收益率为)(R r E ，风险为Rσ；射线R r F上R 点右侧延伸线所代表的组合是卖空无风险资产，并将卖空所得与自有资金一起投资于风险证券组合R ，是一种“借入性投资组合”，其期望收益率大于)(R r E ，风险也大于Rσ。

然而，投资于R 点所代表的风险证券组合并非是最佳的，投资者更希望将无风险资产与别的风险证券组合相结合。

射线Mr F由F r 点出发与风险证券有效边界相切，切点M 称为切点投资组合。

除点F r 外，在收益率给定时，射线Mr F是所有由无风险资产和风险证券组合构成的投资机会集中风险最小的；在风险给定时，射线Mr F 是所有由无风险资产和风险证券组合构成的投资机会集中收益率最大的。