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⾦融经济学基础第三章中⽂⽂字版第三章资产组合前沿边界的数学分析3.1 在第⼆章我们证明了当风险资产A ⼆阶随机占优于风险资产B 时，风险资产A 的期望收益率必然等于风险资产B 的风险收益率，⽅差则⼩于B 的⽅差。
当存在两个以上的资产并且可以⽆限制地构造投资组合时，如果存在⼀个资产的投资组合⼆阶随机占优于所有与其期望收益率相同的投资组合，则这个占优的投资组合的⽅差必然最⼩。
这⼀结果是我们论述在不同的期望收益率⽔平下具有最⼩⽅差的投资组合的动机之⼀。
3.2 资产选择的均值-⽅差模型⾃从马科维茨(Markowitz,1952)发展以来，已经被⼴泛地应⽤在⾦融领域。
个体效⽤函数的单调性和严格凹性意味着投资者对预期收益的偏好和对⽅差的厌恶。
不过，对任意的分布和效⽤函数，期望效⽤并不能仅仅由预期收益和⽅差决定。
然⽽，资产选择的均值-⽅差模型仍然流⾏是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。
除3.1节指出的⼀个动机之外，还存在两个技术上的动机，简要回顾如下。
3.3 个体的效⽤函数可以在期望财富附近泰勒展开，///231()([])([])([])([])([]),2u w u E w u E w w E w u E w w E w R =+-+-+ 其中()331([])([])([])!n n n R u E wE w w E w n ==-∑ ()n u 表⽰u 的n 阶导数。
假设这个泰勒级数收敛，并且取期望和求和的过程是可以互换的，则个体期望效⽤可以表⽰为//231[[]]([])([])()[],(3.3.1)2!E u w u E w u E w w E R σ=++ （3.3.1）其中()331[]([])()!n n n E R u E w m w n ==∑ （3.3.2） ()n m w表⽰的w 的n 阶中⼼矩。
关系式（3.3.1）指出了⼀个对期望财富偏好和对分差厌恶的个体，其效⽤函数是递增并严格凹的。
第三章 资产组合前沿边界的数学分析3.1 在第二章我们证明了当风险资产A 二阶随机占优于风险资产B 时，风险资产A 的期望收益率必然等于风险资产B 的风险收益率，方差则小于B 的方差。
当存在两个以上的资产并且可以无限制地构造投资组合时，如果存在一个资产的投资组合二阶随机占优于所有与其期望收益率相同的投资组合，则这个占优的投资组合的方差必然最小。
这一结果是我们论述在不同的期望收益率水平下具有最小方差的投资组合的动机之一。
3.2 资产选择的均值-方差模型自从马科维茨(Markowitz,1952)发展以来，已经被广泛地应用在金融领域。
个体效用函数的单调性和严格凹性意味着投资者对预期收益的偏好和对方差的厌恶。
不过，对任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期收益和方差决定。
然而，资产选择的均值-方差模型仍然流行是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。
除3.1节指出的一个动机之外，还存在两个技术上的动机，简要回顾如下。
3.3 个体的效用函数可以在期望财富附近泰勒展开，///231()([])([])([])([])([]),2u w u E w u E w w E w u E w w E w R =+-+-+ 其中()331([])([])([])!n n n R u E w E w w E w n ==-∑()n u 表示u 的n 阶导数。
假设这个泰勒级数收敛，并且取期望和求和的过程是可以互换的，则个体期望效用可以表示为//231[[]]([])([])()[],(3.3.1)2!E u w u E w u E w w E R σ=++ （3.3.1） 其中 ()331[]([])()!n n n E R u E w m w n ==∑ （3.3.2） ()n m w 表示的w 的n 阶中心矩。
关系式（3.3.1）指出了一个对期望财富偏好和对分差厌恶的个体，其效用函数是递增并严格凹的。
除了期望与方差，关系式（3.3.2）还含有高阶矩的项，它说明了对于任意的分布和偏好，期望效用不能仅仅由财富的期望值和方差确定。
第三章 套利与资产定价3.1 一般性市场结构3.1.1 复合证券前面介绍的Arrow-Debreu 证券只在一种情形有正的支付，但现实中的大多数证券的支付分布都要复杂一些，它们在多种情形下都有正的支付。
如无风险债券在所有状态下都有相同的正支付，股票在多种状态都有正支付。
由于从理论上我们都可以用状态或有证券的某种组合复制出这些证券的支付分布，故通常又称这些现实中的证券为“复合证券”（composite seurity ）。
事实上，证券n 的支付向量.,1,,,;;;;n n w n n X x x x Ω⎡⎤=⎣⎦ ，则证券市场结构由下面的支付矩阵X 给出：1,11,1,,1,,,1,,n N w w n w N n N x x x x x x X x x x ΩΩΩ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.1.2 冗余证券不同证券的支付向量之间有可能出现线性相关的情况。
此时，某些证券的支付向量可表成其它一些证券的支付向量的线性组合。
此时，支付矩阵X 非满秩。
记j X 是剔除了证券j 后的支付矩阵，即j X 111,,,;;j j N x x x x -+⎡⎤=⎣⎦ ，则由原来的N 只证券的组合生成的任意支付也可由剔除了证券j 以后的1N -只证券来生成。
下面说明这一点。
令θ为由所有的N 只证券生成的一个组合，j θ是剔除了j 后的1N -只证券的组合。
设j x 是其它x 的线性组合。
故存在j θ*使得j j x X =j θ*设由任意θ所生成的支付： j x X X θ==j θ j jj x X θ+=(j θj j θθ+*) 这就证明了上述结论。
由于不需要证券j 时，我们也可生成相同的证券，故称证券j 为“冗余证券”（redundant security ）。
在帮助参与者进行资源配置的时候，冗余证券并没有额外的价值。
没有它们的参与，证券市场仍有同样的功能。
故在下述分析中，我们将其忽略。
即是说，由于它们总是能够达到相同的配置，故在此意义上，X 与j x 是两个等价的市场结构。
金融经济学中的组合数学问题第1章绪论1.1 选题背景和意义在金融分析中，投资方案的确定以及怎样找出好的投资组合以降低投资风险等，都涉及到组合优化模型。
例如在股票中，有些炒股的人应用组合数学模型，得到一个实用性的结论：每周四下午二点后买入优选的股票后，于每周五收盘前抛出。
再优选一只股票，于下周一开盘后10 点半买入，到下周三抛出。
这样操作得到的收益是天天进出收益的四倍以上。
这说明天天进出，是零和游戏中收益最不佳的。
而对于中线操作者而言，一旦选不好股票，其所承担的风险也较大。
所以上述应用组合数学模型得到的操作方法是最佳的。
从而揭示了组合数学在现实应用中的意义。
1.2 前人的研究成果美国经济学家、金融学家、诺贝尔奖获得者马科维茨于1952 年在《金融杂志》上发表了题为《证券组合选择》的论文，把证券组合风险和收益之间的替代关系数量化，提出了均衡分析的理论与方法，建立了现代证券组合理论的基本框架。
这一理论的重要意义在于它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。
马科维茨曾经在其诺贝尔经济学奖授奖演讲词中说道：“我寻求投资者们——至少有充分计算资源的投资者们事实上能遵循的一组规则。
所以，我认为在计算上可行的一个近似方法优于一个不能计算的精确方法。
我相信肯尼斯·阿罗的不确定经济学著作与我的著作的分歧之点是他寻求一个精确的一般解，我寻求一个能实施的好近似法。
我相信两条研究路线都有价值。
”现代资产组合理论主要研究如何度量不同的投资风险，组合投资收益与风险之间的关系，以及如何选择资产以最大化组合收益等。
Samuelson 和E.Fama分别于1969 年和1970 年研究了离散时间的投资消费问题。
在投资者具有不变弹性效用函数的假设下，Samuelson得到投资组合选择与投资者的财富水平及消费选择无关。
Merton 在连续时间下提出了最优投资消费问题，该问题假设投资者拥有两种可供选择的资产——风险资产和无风险资产，投资者通过构造由这两种资产组成的证券组合使自己的财富增加，并通过消费这些财富使自己的效用最大化。
