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材料力学第十三章 能 量 法

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材料力学第十三章 能量法

材料力学第十三章 能量法

1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x

材料力学 能量法

材料力学 能量法
FN1 = F sinα ( 拉) , FN2 = F tanα ( 压 )
1
2 l
方法一
∆=
F l F l ∆l1 = N1 1 , ∆l2 = N2 EA EA
α
A′
A
1 ∆l1 ∆l2 Fl cos2 α + + = sinα tanα EAsin2 α cosα
F 12l1 F 22l F2l 1 V = N cos2 α + + N = ε 2EA 2EA 2EAsin2 α cosα F∆ W= 2 Fl 1 ∆= cos2 α + EAsin2 α cosα
A
外力功： 外力功： 载荷在其相应位移 上所作之功。 上所作之功。
F
∆ A
A′
广义力： 力偶， 广义力： 力，力偶，一对大小 相等、 相等、方向相反的力 或转向相反的力偶等。 或转向相反的力偶等。
∆
A′
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。
δ dδ δ ∆ f df F
线弹性体： 线弹性体：
f = kδ
∆
F = k∆
f
1 2 1 W = ∫0 kδ dδ = k∆ = F∆ 2 2
Page 6 δ
第十三章
能量法
二、克拉比隆定理： 克拉比隆定理： 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F 已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1, F2 ,.. 及其相应广 义位移, 义位移, 求外力功
第十三章
能量法
第 13 章 能量法
§13-1 1313§13-2 13§13-3 13§13-4 13§13-5 外力功与应变能的一般表达式 互等定理 卡氏定理 变形体虚功原理 单位载荷法

材料力学第十三章 能 量 法

材料力学第十三章 能 量 法

Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i

材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法

材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法

13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2

材料力学之能量法

材料力学之能量法
A
l/2
F C 1
l/2
B
l/2 1 1 Fl 3 W Fδ1 F F 2 2 48 EI C A 2) 力偶由零增至最后值 Me Mel B 截面的转角为 θ 3 EI 1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 M eθ M e 2 2 3 EI
l/2 Me B
由 V =W 得
( FRsin ) 2 πF 2 R3 Rd 2 EI 8EI
Δ BV
πFR 4 EI
3
A
O
例: 简支梁, 两种载荷按同样比例加载, 计算其变形能。 梁中点的挠度为 梁右端的转角为
Fl 3 M el 2 δ1 48EI 16 EI Fl 2 M el δ2 θ 16 EI 3EI
Fb 2 Fa 2 ( x1 ) ( x2 ) a b l dx1 l dx2 0 0 2 EI 2 EI
2
B
x1 a l C x2
b
F 2b2 a3 F 2a 2 b3 F 2a 2b 2 2 2 2 EIl 3 2 EIl 3 6 EIl
1 W F vC 2
由 V =W 得
(( ))
1
q A
RA
F=qa B
C
x
A x 1/2a
B
C x
x
2a
a
2a
a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 C 处加一单位力偶 ） 2 qa qx x AB: M ( x) x (0 x 2a) M ( x) 2 2 2a BC: M ( x) qa x (0 x a) M ( x) 1 a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx (qax)(1)d x] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI （

材料力学 第十三章能量方法

材料力学 第十三章能量方法

杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。 在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外 力做的功统一写成
V
W

1 2
F
式中 F——广义力；
δ——与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。
6
§13-1 杆件应变能的计算
例题13-1
求图示悬臂梁的应变能V 和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为EI。
拉压
dV

FN2 x 2EAx
dx
V l 2FEN2Axxdx
扭转
T 2x dV 2GIP x dx
弯曲
M 2x dV 2EIx dx
T 2x
V l 2GIP xdx
M 2x
V l 2EIxdx
5
§13-1 杆件应变能的计算
10
应变能不能叠加:
简单说明
A：F1单独作用 B：F2单独作用
1 V1 2 F1l1
V 2

1 2
F2l2
F2
F1
F2
F1
E：同时加F1、 F2
C：先加F1，再加F2
常力F1在 Δl2上作功
V

1 2
F1l1

1 2
F2l2
F1l2
F1

F12l 2EA

F2 2l 2EA
15
F112 F2 21
上式表明第一组力F1在第二组力引起的位移δ12上所做的 功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移δ21上所做的功。 这就是功的互等定理 在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得

1 2
Fy

材料力学 第十三章能量方法

材料力学 第十三章能量方法

l
l
l
25
例13-4 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力
M ( x ) xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x) PA x
③变形
fA
U PA
L

2

M ( x ) M ( x ) EI PA
dx
L


0
Px EI
U U ( P1 , P2 ,..., Pn )
给Pn 以增量 dPn ，则：应变能增量：
结构的应变能： U1 U U dPn
P n
U Pn
d Pn
n
Pn
2.先给物体加力 dPn ，则应变能
1 2 ( d Pn ) ( d n )
再给物体加P1、 P2、•••、Pn 个力，则：
F l
2 3
6 EI
由于应变能V 等于外载荷所做的功W。即V =W
F l
2 3

1 2
6 EI
Fy A
由该式得自由端的挠度
yA
Fl
3
3EI
由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求 位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。
7
例13-2 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P 的作用，求A点的垂直位移。
12
二、组合变形杆件应变能的普遍表达式:
在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分 量作用，为计算杆件的应变能，可取dx微段来研究。
M x
FN x
dx
M x
T x

材料力学第13章 能 量 法

材料力学第13章 能 量 法

基本变形下的外力功及杆件的变形能的计算 变形 类型 外力功 应变能(内力 为常力） 应变能(内力 为变力） 拉压 扭转 弯曲
1 Pl 2
1 T 2
1 M e 2
F l 2 EA FN ( x) l 2 EA dx
2
2 N
T 2l 2GI P T 2 ( x) l 2GI P dx
2
M l 2 EI
?
解：
Fi i W 2 i 1
n
PwA M A 2 2 P 2l 3 M 2l FMl 2 6 EI 2 EI 2 EI
3 Pl P wA 3EI
2 Ml M wA 2 EI
P A
Pl 2 EI
2
M A
Ml EI
例2: 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作 q 用，如图所示。试求梁内的应变能 。
W dW F d
0 0
F F1
1
1
O
d
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
P a2 RB (3l a ) 2 2 l
§13－3
1.卡氏定理
卡氏定理
设图中材料为线性弹性体，求与广义力Fi对应 的广义位移Δi 。
1 2 3 n
B
1 2 3 n
根据克拉贝隆定理，由于应变能只与最后荷 载有关，而与加载顺序无关。外力功与应变 能为：
Fi i V W 2 i 1

材料力学(能量法)

材料力学(能量法)

弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。

材料力学第13章1-能量法-变形能计算

材料力学第13章1-能量法-变形能计算

DB EA sin 2
16
13-3 应变能的普遍表达式
❖基础知识
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性齐 次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方向的 位移与该点的广义力成正比。
应变能只取决于受力变形的最终状态，因此可采用便于计算 的方式计算应变能。
对于双向弯曲弯矩沿形心主轴分解dxeidxeidxei换成若杆件及杆系的变形是以弯曲变形为主的因轴力和剪力远小于弯矩对变形的影响故在计算这类杆件的变形时通常不计轴力和剪力的影响
1
本节重点—你准备好了吗？
• 1、简单变形的变形能计算； • 2、功能原理解决简单题目； • 3、互等定理的理解及应用。
第十三章 能量法
解： M( x) F x
F
Vε
M 2 (x) dx
l 2EI
A
l (Fx)2 dx F 2l3
0 2EI
6EI
W
1F 2
wB
由Vε=W 得
wB
Fl 3 3EI
B x l
11
例题2 试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面
的挠度.
解：
A
Vε
M 2( x)dx l 2EI
a 0
(
工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以求结 构任一指定点的任意方向的位移，且求解过程简单。
能量法的特点
1．解题简单、适用性广； 2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性
问题；（只讨论线弹性问题） 3．可求解静定与超静定问题；
3、线弹性体（线弹性结构）
（1）材料服从胡克定律。 （2）变形微小，各力的作用互不影响。

材料力学第13章 能量法

材料力学第13章 能量法
C
F1
b
F2
P21
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
第十三章
能量法
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
外力作功为
F1a EA
2 1
A
B
a
1 F a W1 F1δB1 2 2 EA
（b）再在C上加 F2 C截面的位移为 C 2 F2 作功为
A
B
a
F1
C
b
F2
（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别. （2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次 序无关.
P25
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
例题5 以弯曲变形为例证明 应变能Vε只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关. 解: 梁中点的挠度为:
A
第十三章
能量法
3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
F1
1
A
2
i
i
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
1 Vε ( F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 ) 2
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
安徽工业大学机械工程学院
P17
材料力学
第十三章
能量法
三、变形能的应用
1.计算变形能
2.利用功能原理计算变形 例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度. 解： M ( x ) F x
F
A C x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx x1 l 2 EI a Fb 2 Fa 2 l ( x ) ( x ) 1 2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3 Fa 2b 2 1 wC W F wC 由Vε=W 得 3 EIl 2

材料力学第十三章__能量方法

材料力学第十三章__能量方法

解：由节点B的静力平衡 条件求得各杆内力:
NAB5 4P , NBC4 3P
构架的变形能等于 AB和 BC两杆变形能之和:
UUAB UBC N 2A 2ElB AA B N 2B 2ElC BA C
U 1.9P2l 2EA
1.9P2l UWPB
2EA
2
B

1.9Pl EA
的中点挠度 f 5q l 4
。求梁在中点
384 E I
集中力P作用下 (见图)，梁的挠曲线与梁变
形前的轴线所围成的面积 。


q P 5ql4 5Pl4
384E I
384E I
例：长为 l、直径为d的圆杆受一对横向压力
P作用，求此杆长度的伸长量。已知E和μ。
解：由位移互等定 ，理 ①知 杆的伸长量 ②杆直径的减小量
i

U C Pi
性弹性杆件或杆系在 外力Pi作用点处与Pi相 应的位移δi
在线弹性杆件或杆系U=UC
卡氏第二定理 i

U Pi
线弹性杆件或杆系的应变能U对
于作用在该杆件或杆系上的某一
外力之变化率就等于该力作用点
沿作用线方向的位移。
(1)
轴向拉伸和压缩
i

l
N(x)N(x)dx EA P
M2(x) dx
l 2EI(x)
QS Z
bI Z
矩形：
s
6 5
U

l
s Q 2 dx
2 GA
圆形： 薄壁管：
s s

10 9 2 .0
U弯

l
22
1 (Px)2dxP2l3

材料力学：ch13 能量法

材料力学：ch13 能量法

第十三章 能量法13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。

已知板件厚度为δ，长度为l ，左、右端的截面宽度分别为b 1与b 2，材料的弹性模量为E ，试用能量法计算板件的轴向变形。

题13-2图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为x x b E F x x EA F V lld )(2d )(202N02N⎰⎰==δε (a)由图可知，截面x 的宽度为x lb b b x b 121)(-+= 代入式（a ）,并考虑到,于是得F F =N 121221212 0 ln )(2d 21b b b b E δlF x x l b b b δF E V lε-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰设板的轴向变形为∆l ，则根据能量守恒定律可知，12122ln )(22Δb b b b E δlF l F -= 由此得1212ln )(Δb b b b E δFll -=13-4图示结构，承受铅垂载荷F 作用。

已知杆BC 与DG 为刚性杆，杆1与2为弹性杆，且各横截面的拉压刚度均为EA ，试用能量法计算节点D 的铅垂位移。

题13-4图解： 1. 轴力计算未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一静定问题。

设杆1与杆2均受拉，则刚性杆BC 与DG 的受力如图b 所示。

由平衡方程 02 ,0N2N1=⋅+⋅=∑a F a F M B022 ,0N2N1=⋅-⋅-⋅=∑a F a F a F M G 得34N1F F =， 32N2FF -= 2. 铅垂位移计算 结构的应变能为EA l F EA l F EA l F EA l F V ε9103234222222222N 21N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= 设节点D 的铅垂位移∆Dy 与载荷F 同向，因此，载荷F 所作的功为2DyF ΔW =根据能量守恒定律，于是有EA l F F ΔDy 91022= 由此得节点D 的铅垂位移为()↓=920EAFlΔDy 13-5 图a 所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F 作用。

材料力学第十三章 能量法

材料力学第十三章 能量法

1 W F wC 2
由Vε=W 得
Fa 2b 2 wC 3 EIl
例题
试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截
B
面的垂直位移. 已知EI为常量.
解： M ( ) FRsin
F
R
θ
M ( ) Vε Rd l 2 EI π ( FRsin )2 πF 2 R 3 2 Rd A 0 2 EI 8 EI 1 W F y 2 πFR 3 由Vε=W 得 y 4 EI
1 1 1 1 W P1 1 P2 2 P3 3 Pn n 2 2 2 2
All forces are applied slowly from zero to the final value. All deformations are within the proportional limit. Conclusion: (1) U is not related to the order in which the forces are applied. (2) U = W
q
A B
F=qa
C x A x B x 2a a
C
1
x
FRA
2a
a
1/2a
（2）求C 截面的转角（在C处加一单位力偶）
qa qx 2 x AB: M ( x) x M ( x) 2 2 2a BC: M ( x ) qa x M ( x) 1 2 2 a qa a 1 qx x C [ ( x )( )dx ( qax )(1)dx ] 0 EI 0 2 2 2a 5qa 3 6 EI （ ）
例题 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠 度和转角.

材料力学能量法知识点总结

材料力学能量法知识点总结

材料力学能量法知识点总结材料力学是工程力学的重要分支之一，研究材料在受力作用下的变形与破坏行为。

能量法是材料力学的基础理论之一，通过利用能量守恒原理，分析和求解材料的力学问题，具有重要的理论和实践价值。

本文将对材料力学能量法的基本概念、原理和应用进行总结。

1. 弹性势能与弹性应变能材料在受力作用下产生的变形能够存储为弹性势能，其中最常用的势能是弹性应变能。

弹性应变能是由于材料的弹性变形而储存的能量，可表示为弹性应变能密度。

2. 弹性势能的计算方法弹性应变能的计算方法主要有两种：一是通过力学平衡方程和材料力学性质的函数关系进行积分计算；二是通过应力-应变关系和应变能密度公式进行计算。

3. 弹性势能的应用弹性势能的应用涉及材料的变形、破裂、接头设计等问题。

通过计算弹性势能可以判断材料是否会发生破裂，并可用于材料的优化设计。

4. 塑性势能与塑性应变能材料在塑性变形时会产生塑性势能，塑性势能是由于材料的塑性变形而储存的能量。

塑性应变能可表示为塑性应变能密度。

5. 塑性势能的计算方法塑性势能的计算方法适用于材料的非弹性变形过程，常用的方法有等效应力法和Mises准则。

通过计算塑性势能可以估计材料在受力作用下的变形程度和破坏形式。

6. 塑性势能的应用塑性势能的应用主要涉及材料的变形、强度分析和塑性成形工艺等问题。

通过计算塑性势能可以评估材料的强度和变形能力，并可用于材料的成形优化。

7. 总势能与变分原理材料受到多种因素的叠加作用时，总势能是各种势能的代数和。

变分原理是能量法的基本原理之一，通过对总势能进行变分，得到材料力学问题的基本方程。

8. 总势能的应用总势能的应用主要涉及材料的稳定性分析和振动问题。

通过计算总势能可以判断材料的稳定性，预测振动频率和振动模式。

9. 耗散能与损伤模型材料在受力作用下会发生能量损耗，产生耗散能。

通过建立耗散能与应变的关系，可以描述材料的损伤行为，并建立损伤模型进行应力-应变分析。

材料力学第13章(能量方法)

材料力学第13章(能量方法)
M 2 ( x) [ M ( x ) M ( x )]2 M 2 ( x) dx L 2 EI dx L 2 EI dx 1 f A L 2 EI
M ( x)M ( x) 1 f A dx L EI
M ( x)M ( x) fA dx L EI
莫尔定理或莫尔积分 (单位载荷法)
先加单位力，再加原载荷：
外力作功：W1 W W 1 f A 应变能：
图b F0 =1
A
q(x) 图c
fA
[ M ( x ) M ( x )]2 V 1 L dx 2 EI
W1 Vε1
[ M ( x ) M ( x )]2 W W 1 f A L dx 2 EI
和转角。 q
A
1
x
l
B
A
B
x l
解： （1)垂直位移
qx 2 M ( x) 2
M ( x)M ( x) dB dx L EI
M ( x) x
1 l qx2 ql 4 0( 2 )( x )dx 8 EI ( EI
)
q
A
1
x
l
B
A
l
x
B
（2)转角
qx 2 M ( x) 2
[例2] 已知：梁的抗弯刚度EI，用莫尔积分法求B点的垂直
位移和转角。
q
A
1
B
A B
l
l
FNi FNi l i T ( x )T ( x ) dx L GI P E i Ai
M ( x)M ( x) L EI dx
M ( x)M ( x) dB dx L EI
[例3] 已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移

南京工业大学材料力学、材料力学能量方法及应用

南京工业大学材料力学、材料力学能量方法及应用
则任意时刻第i个力作用位置沿 F i 方向的位移为
i t C i 1 F 1 t C i 2 F 2 t C i F n t n C i 1 F 1 C i 2 F 2 C i F n n i
给β一个增量d β ，外力做元功为
d W F 1 1 d F 2 2 d F n n d
对线弹性结构，应用应变能的概念，可以导出功的互等定理和位 移的互等定理，在结构分析中有重要的作用。
一、功的互等定理
先作用第一组力F11 、 F12 、 F1n
引起各力作用位置沿力方向的位移分别为
Δ 1、 1Δ 1、 2 、 Δ 1 n
一、杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
V W
1 2
P
l
1 2
P
Pl EA
P2l FN2l 2EA 2EA
FN或A变化时
V
l
FN2 (x) 2 EA( x)
dx
P
l l
P
2、扭转
m
m
V W 1 m 1mml m2l T2l
2
2 GIp 2GIp 2GIp
当T=T(x)或截面变化
A=A(x)时，可取微段：
EA
F-----广义力 Δ-----广义位移
FFN 轴力
扭转： Tl
GPI
弯曲： Ml
EzI
FT 扭矩
FM 弯矩
二、应变能的普遍表达式
对于多个载荷共同作用时，应变能的计算公式仍可用外
V U
1 2
n i 1
F i i
多个载荷共同作用时，结构的应变能等于各载荷在相 应位移（载荷作用点处沿载荷作用方向的位移）上所作功
V l2 F E N 2((x x A ))dxl2 M E 2((x xI))dxl2 T G 2(P x ()x I)dx

材料力学-13 能量法共36页文档

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RA
2a
a
1/2
2a
a
【解】
RA
qa 2
1 RA 2
（1）求截面的挠度（在 c 处加一单位力“1”）
AB:
M(x1)
q2ax1
qx12 2
M
(
x1
)
x1 2
河南理工大学力学系
材料力学
q
A
RA
2a
F=qa
B
CA
x2
a
1/2
第十三章 能量法
1
B
C
x2
2a
a
BC:
M(x1)q2ax1
qx12 2
M(
x1 )
§13-2 杆件变形能的计算
一、变形能的计算
拉压变形能 扭转变形能
V
FN2l 2EA
T 2l V 2GI p
河南理工大学力学系
材料力学
第十三章 能量法
弯曲变形能
Me
1. 纯弯曲
θ
Me
Me
Me
V W 1 2M eθ1 2M eM E el IM 2E e2lI
2. 横力弯曲
V
Me2(x)dx l 2EI(x)
河南理工大学力学系
材料力学
第十三章 能量法
例题13-2 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性 节点, ABC=90°在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚 度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp ，求 C 点竖向的位移。
F
A a
C Bb
河南理工大学力学系
材料力学
F
C
A
x1
x2 B b a
【解】在 C点加竖向单位力
V L 2EI dx
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单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
应变能：
Ve
D
FdD
0
D EA D 3 d D 0 l
1 4
EA
D4 l3
1 FD 4
二、余能
非线性弹性体
外力做功：
W D1 F d D 0
余功： Wc
F1 D d F
0
余能：
Vc Wc
l M 2(x) d x 0 2EI
l
0 s
FS2 (x) d x 2GA
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1
s e
e de e1
外力作功： W
D1 F d D
0
应变能：
Ve
W
D1 F d D
0
取单位长单元体 F s (11) D e 1
② 在线弹性范围内，应变能是广义力或广 义位移的二次函数，应变能的计算不能用叠加 原理。
验证
M
F
A
A DC
0.5 l
l
① F、M 同
B 时按比例由零逐 渐增加到最终值
DC
Fl 3 48 EI
Ml 2 16 EI
A
Fl 2 16 EI
Ml 3EI
应变能：
Vε
1 2
FDC
1 2
M A
1 ( F 2l3 M 2l MFl 2 ) EI 96 6 16
Fi
Ve Di
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Fi
Ve Di
Fi ：广义力
对应
Di ：广义位移
卡氏第一定理的适用范围： 一切受力状态下的弹性体
线性弹性体 非线性弹性体
广义位移 线位移 角位移
相对线位移
相对角位移
广义力 集中力 集中力偶 一对集中力
(等量、反向)
一对集中力偶
(等量、反向)
广义力的量纲与广义位移的量纲的乘积 为功的量纲
若广义力为分布力，则广义位移为 ？
例1：图示悬臂梁，长为 l，弯曲刚度为 EI，
在自由端作用一力偶矩 Me，若已知自由端的转角
，梁材料为线弹性，试求力偶矩 Me。
EI l
Me
P62 例3-7
EI l
Me
纯弯曲
x
横截面上只有弯矩 M
M＝Me
di
i 1
加载过程中力 和位移的瞬时值
Vε (D1, D2 , , Di , , Dn )
Vε Vε (D1, D2 , , Di , , Dn )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi
其它位移均保持不变
梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量 dW Fi d Di
dVe
Ve Di
d Di
dVe dW
第十三章 能 量 法
◆ 概述 ◆ 应变能·余能 ◆ 卡氏定理 ◆ 用能量法解超静定系统 ◆ 虚位移原理及单位力法
§3-1 概 述
利用功和能的概念求解可变形固体的位移、
变形和内力等的方法
能量法
能量法是固体力学的重要原理，它不仅可用 于分析构件或结构的位移与应力，还可用于分析 与变形有关的其它问题。
本章主要介绍用能量法计算杆或简单杆系的 位移或变形。
§3-2 应变能·余能
一、应变能
弹性体
F
F1
W
1 2
F1 Δ1
O D1 D
线性弹性体 (线弹性体)
A F
F1
B
D1
F1
W
D1 0
F1
d
D
O D1 D
非线性弹性体
在线弹性范围内
杆轴向 拉压
Vε
1 2
F
Δl
FN2l 2EA
Me
圆轴扭转
Vε
1 2
M
e
T 2l 2GIp
梁平面弯曲
VεM
l
M 2(x) d x 2EI
( F 2l3 96
M 2l ) 6
Vε
例1：完全相同的两根杆原位于水平位置，杆 长均为l，截面面积均为A，弹性模量均为E，且均 为线弹性的。在结点 B承受铅垂荷载 F，试求力 F 与结点B铅垂位移 D 间的关系及杆系的应变能。
l
l
D B
F
P57 例3-3
l
l
B
FN B
FN
C
D
D
F
B
2FN sin F 0
1
1 2
G
2 1
1 2G
12
线弹性体的应变能一般算式
各外力按同一比例
由零逐渐增加至最终值
Di 为外力Fi 作用点
沿Fi 作用方向的位移
1
1
1
Vε W 2 F1D1 2 F2D2 2 FnDn
1 2
n i 1
Fi D i
克拉贝依隆原理
Fi ：广义力 Di ：广义位移
注意
① 应变能的大小由各力的最终值决定，与 外力作用的先后次序无关。
F1 D d F
0
W Wc F1D1
线弹性体
Vc
Vε
Vc V vc dV
余能密度：
vc
s1 e ds
0
§3-3 卡氏定理
一、卡氏第一定理
梁：非线性弹性材料
外力：F1、F2 … Fn
设外力按比例同 时由零增加到最终值
位移：D1、D2 … Dn
梁的应变能： Ve W n
Di 0
fi
② 先加F，后加M
M
F
A
DCF
B
AM DCM
DCF
Fl 3 48 EI
DCM
Ml 2 16 EI
AM
Ml 3EI
应变能：
Vε
1 2
FDCF
(FDCM
1 2
M
AM
)
1
F 2l3 (
M
2l
MFl
2
)
EI 96 6 16
③ 先加M，后加F
A M AM F
B
AM
Ml 3EI
AF DCF
DCF
Fl 3 48 EI
FN
F
2 sin
F
变形后杆长为： l Dl (1 FN )l EA
在三角形BCD中：
Dl FNl EA
D (l Dl)2 l2 2lDl Dl2 2lDl l 2FN EA
小变形 sin tan D
l
F
EA
D
3
l
F
EA
D
3
C
l
力F 与变形 D 不是线性关系
l
l
D
DBLeabharlann F