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第一篇 线性代数 第一章

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线性代数-章节知识点及习题

线性代数-章节知识点及习题

第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。

练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。

练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。

练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。

练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。

=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。

==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。

线性代数课件 第一章

线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组

线代第一章(1)

线代第一章(1)


j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j a2 j anj
1 2
n
其中
j1 j 2 j n

表示对所有n元排列取和。
注： (1) 当n=1时，一阶行列式 a a 此处 a 不是a的绝对值， 例如行列式 1 1
(2) 定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的 可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些 乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列， 然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一 项的符号。
i 为行标， j 为列标。
注： (1) 三阶行列式 算出来也是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则(在黑板上演示) 例：
2
0
1
1 4 1 1 8 3
2 (4) 3 0 (1) (1) 11 8 1 (4) (1) 0 1 3 2 (1) 8 24 8 4 16 4
二（三）阶行列式
排列与逆序 n 阶行列式的定义

行列式概念的形成（定义）
四. 行列式的性质 五. 行列式按一行（列）展开 六. Cramer 法则

行列式的基本性质及计算方法

利用行列式求解线性方程组
本章主要讨论以上三个问题。
首先来看行列式概念的形成 问题的提出：
求解二、三元线性方程组

一. 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43

第1章线性代数

第1章线性代数

第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222

a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1

D1 D
，


x2

D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式

线性代数第一章

线性代数第一章

第一章 行列式(determinant)
一、二阶、三阶行列式的定义
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列） 的数表
a11 a12
a 21 a 22
表 达 式 a11a 22 a12 a 21称 为 数 表 所 确 定 的 二 阶 行列式，并记作 a11 a 21 a12 a 22
该式称为数表所确定的三阶行列式.
a13
三阶行列式的计算：
对角线法则 a11 a12
a21 a31 a22 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 行标按照从小 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 . 到大排列 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
线性代数的第个问题是关于解线性方程组 的问题。 历史上线性方程组理论的发展促成了作为工 具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内 容已成为我们线性代数教材的主要部分。 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是 一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常 有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家 关孝和发明的。
逆序 0 1 0 3 1 于是排列 32514 的逆序数为 讨论其奇偶性
t
t 01 0 31 5 .
t
i 1
n
i
标准排列：无逆序的排列。如：1234是4级 标准排列
对换：在一个排列中，对调了两个数码， 其他数码不变，这种变换称为一个对换。 对23154 施以（1，4）对换得到23451。 两个结论： 1）对一个排列，经过一个对换，奇偶性 改变。

第一章线性代数

第一章线性代数

2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)

线代第一章

如：31245 就是一个 5 级排列。 例1 写出所有的 3 级排列： 123 132 213 231 312 321
上一页 下一页
可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
上一页 下一页
第一节 二阶与三阶行列式


一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
上一页 下一页
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.

线性代数讲义(第一章)



an1 an2 ann
解 展开式的一般项为 (-1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann

1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1
1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
1
1 b2
1 b
1
1 c2
1 c
1
1 d2
1 d
0.
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1

b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2

a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
为便于记忆，引入记号
a D 11
a21
a 12
a a11 22 a a 12 21
三阶行列式的计算: 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

第一篇 线性代数 第一章


a12 a1n a22 a2 n 0 ann
a 11 32 Dn a11 (1) an2
a n 3 a nn
a11 Dn1 a11a22 Dn2 a11a22 ann
叫上三角行列式。
习题1.1
1．计算下列行列式：
（1） 2 1
1 1 2 1
（2）
2 x 3 y 12 0 3x 7 y 5 0
x2 4 9 2 1 3 0 1
4．解下列方程
（1） 1
x2 0
1 x2 0
0 。 1 x2
0
（2） x
1
5．写出下列行列式中元素
1 3 2 4 0 8 3 0 1 0 4 1 2 1 0 1
a12
到 a 21 用虚线连接，称该虚线为副对角线。于是二阶行列式的
值便是主对角线上两个元素之积减去副对角线上两个元素之积所得
的差，其计算规律遵循如图1-1所示的对角线法则。
a11
a12
a21 a22
图1-1
(1-1-2)右端的式子又称为二阶行列式的展开式。当所有的 aij 都是数时，行列式的值是一个具提的数值，若其中有字母出现，则 行列式的值是一个代数式。通常用字母Ｄ表示行列式。 利用二阶 行列式的概念，方程组(1-1-1)中 x , x 的分子也可以用二阶行列式表 示， b1 a12 a11 b1
(1-1-1)
用消元法消去 x2 ，得到
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 b2a12
同理消去 x1 ，得到 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 a21b1 当 a11a22 a12a21 0时，方程组(1-1-1)的解为

线性代数第一章


a1n aM2n , amn
称为m行n 列矩阵, 简称m n 矩阵. 其中aij称为矩阵
的第i行第 j 列元素, 也称为矩阵的(i, j)元.
矩阵常用大写英文字母表示，如 A, B,C,L . 有时记作 [aij ], Amn，或[aij ]mn .
a11 a12 L
A
a21 M
a22 M
65 3 2
6 0
r2 2r1
r3 r1 r3 4r1
0 0
1 1
2 2
0 0
3 3
2 2
4 7 6 14 5 12
0 1 2 2 1 4
1 2 1 3 1 2
1 2 1 0 5 7
r3 r2
r3 r2
0
1
2 0 3 2 12r3 0 1
20
3
2
r3 r4 0 0 0 2 4 6 r13r3 0 0 0 1 2 3
L
am1 am2 L
a1n aM2n aij amn
当P = R时 , 矩阵A称为实矩阵； 当P = C时 , 矩阵A称为复矩阵.
特殊矩阵
(1)零矩阵：元素全为零的矩阵，记作 Osn , 或O .
(2)行向量(矩阵)：只有一行的矩阵. (3)列向量(矩阵)：只有一列的矩阵.
同型矩阵：行数、列数均相等的两个矩 阵.
转置矩阵
定义1.2.3 将一个m n矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
a1n
a2
n
M
amn
的行依次变列(或列依次变行)所得到的n m 矩阵
a11 a21 L
a12
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D a21 a22 a23 a31 a32 a33
中，把元素
i aij (i 1,2,3; j 1,2,3) 所在的第 行和第 j 列划去后，剩下的元素保持原来相对位置
不变而构成的二阶行列式称为元素 aij 的余子式，记作 M ij 。
例如在三阶行列式 D 中，元素 a11 的余子式是在D 中划去第一行和第一列后所
列元素换成常数项所得到的行列式。
【例1】 计算下列行列式
（1） 3 4 16
（2） x 2 4 x6
解 (1） 3 4 = 3 6 1 4 14
16
（2） x2 4 = x2 6 x 4 6x2 4x
x6
【例2】
求解二元线性方程组
4xx11

2x2 3x2
0
an1 an2
ann
解 由n 阶行列式定义，依次将行列式按第一行展开，得到
a22 0 0
Dn

a11 (1)11
a32
a33

0
an2 an3 ann
把行列式
a11 a12 a1n
0 Dn
a22

a2n
0 0 ann
a11Dn1 a11a22 Dn2 a11a22 ann
2. n 阶行列式 定义3 把符号
a11 a12 a1n
D a21
a22

a2n
称为 n
阶行列式，由
n2
个数
an1 an2 ann
aij (i, j 1, 2, , n) 排成n 行 n 列，其中 aij表示位于 n阶行列式 。第 i 行、
第 j 列的元素。n列式阶行代表的是一个算式，具体为当 n 1时，
叫上三角行列式。
习题1.11．计算下列行列式： Nhomakorabea（1） 2 1 1
1
2 1
（2） x 1
x3
2
（3） 3
1 2 （4）
41
3 2
6 3
4 1
1 x2 x 1
162
6 1 5
2．证明： 1 a a2
1 b b2 (a b)(b c)(c a)
1 c c2
3．解线性方程组： (1)3xx1 124xx2 231 （2）23xx37yy15200
阶行列式。例如上面的 n 阶行列式 D 中，元素 a11 的代数余子式为
a22 a23 a2n
A11
(1)11 M11

a32
a33
a3n
an2 an3 ann
0210
【例4】计算四阶行列式 1 3 0 2 D4 4 7 1 0
3 2 4 1
解 由定义3将行列 D4 0 A11 2 A12 1 A13 0 A14
4．解下列方程
x2 1
（1） 1 x 2
。0 1 0
x2 4 9
（2） x 2 3 0
0 0 x2
11 1
5．写出下列行列式中元素 a的32 余子式及代数余子式，并计算该行列式的值。
1 3 2 4 0830 1 0 4 1 2 1 0 1
6．设 Ai1(i 1, 2,3, 4)是行列式
a12
a21 a31
a23 a33

a13
a21 a31
a22 a32
（1-1-4）
由此可见，三阶行列式等于它第一行每个元素分别与一个二阶行列式的乘积的代数和（也
称按第一行展开）。为了进一步了解这三个二阶行列式与原来三阶行列式的关系，我们引
入余子式和代数余子式的概念。 a11 a12 a13
在三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
图1－2
a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21 a13a22a31 a12a21a33 a11a32a23
行列式值的实质就是不同行、不同 列的元素乘积的代数和。
【例3】用对角线法则计算行列式 2 1 2
a11 a21 an1 DT a12 a22 an2

a1n a2n ann
DT 称为 D 的转置行列式。
行列式有如下性质：
性质1 行列式与它的转置行列式的值相等，即 D DT 。
例如二阶行列式 D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
DT a11 a12
D a11 a11 当n 2时，将行列式按第一行展开得
n
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j （1-1-6）
n 对于 阶行列式元素 aij 的代j1数余子式 Aij 的定义与三阶行列式元素的 代数余子式的定义相同。n 阶行列式元素 aij 的代数余子式 Aij 是n 1
a11a22 a12a21
将第1列与第2列互换得
a12 a22
a11 a21
a12a21 a11a22
(a11a22
a12a21) D
通常情况下，我们用 ri 表示行列式的第 i 行，用 c j 表示行列式的第 j
A11 A21 A31 A41
12 3 4 12 3 0 12 0 0
1 0 0 0 中元素 ai1 的代数余子式，计算
1.2 行列式的性质与计算
1.2.1 行列式的性质
设 阶n行列式
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
将 D 的行换为同序号的列（即将第i 行换成第 i 列）后，得到新行列式
式（1-1-4）可以写成 D a11 A11 a12 A12 a13 A13 由式（1-1-5）可以看出，三阶行列式
的值等于第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和。式（1-1-5）称为三阶行 列式按第一行展开的展开式。我们已经定义了二阶、三阶行列式，又用二阶行列 式定义了三阶行列式。按照这一规律，我们可用三阶行列式定义四阶行列式。依 此类推，在已定义了阶行列式后，便可定义阶行列式。
b2a12 a12a21
,
x2

a11b2 a11a22
a21b1 a12a21
分母是由方程组中未知数的四个系数确定的，
为了便于理解和记忆，引入二阶行列式的定义
。
定义1 把符号
a11 a12
a21 a22
称为二阶行列式，由四个数排成两行两列（横排称行，竖排 称列），它表示算式 a11a22 a12a21
a12 , a22
a11b2
a21b1

a11 a21
b1 b2
若记
D a11 a21
a12 , a22
D1

b1 b2
a12 , a22
D2

a11 a21
b1 b2
拿末，方程组(1-1-1)的解可表示为

x1

D1 D


x2

D2 D
因为 D 是由方程组(1-1-1)中未知量的四个系数确定的二阶行列式， 故称 D 为方程组 (1-1-1)的系数行列式。而 D1, D2 分别是 D的第1、2
这样一个算式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a32a23
(1-1-3)右端的式子称为三阶行列式的展开式。
(1-1-3)
由（1-1-3）式可见，三阶行列式共含6项，每项均为选自不同行、不同列的三个 元素的乘积再冠以正负号，其计算规律遵循如图1－2所示的对角线法则：图中每 条实线（共三条）所连接的三个数的乘积前面加正号，每条虚线（共三条）所连 接的三个数的乘积前面加负号，这六项的和就是三阶行列式的值。
由式（1-1-2）和式（1-1-3）可以得出
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21 a13a22a31 a12a21a33 a11a32a23

a11
a22 a32
a23 a33
与二阶行列式类似，引入三阶行列式定义。
a11 a12 a13
定义2 把符号
a21 a22 a23 称为三阶行列
a31 a32 a33
式。它由 3 3 32
个元素
aij (i 1,2,3; j 1,2,3) 排成三行三列，它代表的是
a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21 a13a22a31 a12a21a33 a11a32a23
3 2

0 0
解
将方程组化为标准型
4xx11
2x2 3x2

3 2
由于 1 2
32
1
D
4
11 0, 3
D1 2
13, 3
D2
4
3 10
2
因此方程组的解为

x1

D1 D

13 11


x2

D2
10
1.1.2 三阶行列式
式按第一行展开
1 0 2
1 3 2
0 2 (1)12 4 1 0 1 (1)13 4 7 0 0
3 4 1
3 2 1
50 21 71
通过上面例题看出，行列式第一行的零元素越多，按第一行展开时