厦门大学本科课程教学大纲

厦门大学本科课程教学大纲课程名称微分几何

课程代码

英文

类别代号

MATH

授课对象数学与应用数学专业适用年级2017级

课程类型专业课程课程课型理论课

总学分总学时授课讨论实验/上机实践其他

3 6

4 64

先修课程数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程

一、课程简介

本课程是面向数学系本科生开设的几何类课程之一。经典微分几何的研究对象是三维空间中的曲线和曲面，现代微分几何的研究对象是微分流形。本课程介绍经典的微分几何，主要内容包括：曲线的局部理论、曲面的局部理论、标架与曲面论基本定理、曲面的内蕴几何学。同时，本课程将介绍一些整体微分几何的内容，如平面曲线的旋转指标定理、曲面的整体Gauss-Bonnet公式等。

二、培养目标

理解和掌握经典微分几何，即三维欧氏空间中曲线和曲面的微分几何的基本概念与基本方法。培养学生的几何直观和图形想象能力，从具体到抽象的能力，同时使学生初步接触到现代微分几何的基本思想和基本方法，为进一步学习微分流形，黎曼几何，以及其他数学课程提供坚实的基础。

三、教学方法

课堂讲授、课后作业，教学和练习相结合；以板书为主，多媒体教学为辅。

四、主要内容及学时安排

章（或节）主要内容学时安排

第一章欧氏空间1.微分几何的历史简介

2.向量空间

3.欧氏空间

2

第二章曲线的局部理论第六章平面曲线的整体

性质1.曲线的概念

2.空间曲线

4.曲线基本定理

5.平面曲线的整体性质

6. 习题课

8

第三章曲面的局部理论1. 曲面的概念

2. 曲面的第一基本形式

3. 曲面的第二基本形式

4. 法曲率与Weingarten变

换

5. 主曲率与Gauss曲率

6. 曲面的一些例子

7. 习题课

12

第四章标架与曲面论的

基本定理1. 活动标架

2. 自然标架的运动方程

3. 曲面的结构方程、曲面的

存在唯一性定理

4. 正交活动标架

5. 曲面的结构方程（外微分

法）

6. 习题课

12

第五章曲面的内蕴几何1. 曲面的等距变换

2. 曲面的协变微分

3. 测地曲率与测地线

4. 测地坐标系

5 曲面上的Gauss-Bonnet

公式

6. 习题课

14

第七章曲面的若干整体

性质

第八章其他话题和复习1. 整体Gauss-Bonnet公式

2.常平均曲率曲面的刚性

3.极小曲面简介

16

合计64

五、考核方式与要求

总评成绩的登记方式是百分制，总评成绩由平时作业、期中成绩、期末成绩（笔试）三项，分别按30%、30%、40%组成。

六、选用教材彭家贵, 陈卿编著《微分几何》高等教育出版社，2002.

七、参考书目与文献

主要参考书： Wilhelm Klingenberg著; A Course in Differential Geometry. Springer. 1978.

辅助参考书：Montiel and Ros著Curves and Surfaces, 2nd edition, American Mathematical Society. 2009.

两本书的电子版会上传在course网站的教学资源

板块。

八、课程网站等支持条件

九、其它信息

大纲制定者：杨波大纲审定者：钟春平大纲制定时间：2019年7月16日