圆周运动中的突变问题

圆周运动的临界与突变问题同步练习（答题时间： 30 分钟）1. 质量为 m 的小球由轻绳 a 和 b 系于一轻质木架上的A点和 C 点，如图所示。

当轻杆绕轴 BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳 a 在竖直方向、绳 b 在水平方向。

当小球运动在图示位置时，绳 b 被烧断的同时杆也停止转动，则（）A.小球仍在水平面内做匀速圆周运动B.在绳被烧断瞬间， a 绳中张力突然增大C.若角速度ω较小，小球在垂直于平面 ABC 的竖直平面内摆动D. 若角速度ω较大，小球可以在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动2.如图所示，用细绳一端系着的质量为 M＝0.6 kg的物体 A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为 m＝0.3 kg的小球 B，A 的重心到 O 点的距离为0.2 m.，若A与转盘间的最大静摩擦力为F f＝ 2 N ，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。

（取g＝10 m/s2）3.如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动，现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m.，设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。

求：（ 1）物块做平抛运动的初速度大小v0；（ 2）物块与转台间的动摩擦因数μ。

4.如图所示，质量为 m 的木块，用一轻绳拴着，置于很大的水平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管，与质量也为 m 的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍（μ＝0.2），当转盘以角速度ω＝ 4 rad/s 匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少？（g 取10 m/s2）5. 物体做圆周运动时所需的向心力 F 需由物体运动情况决定，合力提供的向心力 F 供由物体受力情况决定，若某时刻 F 需＝F 供，则物体能做圆周运动；若 F 需> F 供，物体将做离心运动；若 F 需< F 供，物体将做近心运动，现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O 点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球（可视为质点），将小球提至O 点正上方的 A 点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。

第五讲：圆周运动临界问题物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝m v2 r，静摩擦力的方向一定指向圆心．(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．例、如图所示，质量相等的A、B物体置于粗糙的圆盘上，圆盘的摩擦因数为μ，A、B通过轻绳相连，随圆盘一起做圆周运动且转动的角速度ω由0逐渐增大，A的转动半径为r，B的转动半径为2r，重力加速度为g，分析：①A、B滑动的临界角速度大小；①此时若A、B间轻绳被拉断，分析A、B的运动情况.【解析】①方法一：整体法：2μmg=mrω2+m·2r·ω2方法二：等效质点法：质心在AB的中点处【例题】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑最大静摩擦力提供向心力：2μmg =2m·32r·ω2，故临界角速度：ω=μg 3r. ①绳断瞬间：A 的向心力小于最大静摩擦力，故仍做圆周运动；B 的向心力大于最大静摩擦力，B 做离心运动.2．与弹力有关的临界极值问题(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．例、如图所示，用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T ，重力加速度为g ，分析：F T 随ω2变化的图像.【解析】情况一：a ≤g tan θ，小球与锥面接触，对小球受力分析，将向心加速度分解到沿绳方向和垂直绳方向.则有：T =m g cos θ+ml sin 2θω2，N =mg sin θ－12ml sin2θω2情况二：a >g tan θ，小球离开锥面，绳力T =mlω2 故T 与ω2的函数图像如图所示.【例题】一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O 的上方h 处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m 的小球B ，绳长AB ＝l >h ，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g )( )A.12πg hB.πghC.12πg l针对训练题型1：摩擦力有关的临界问题1．如图，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g 取10m/s2）（多选）2．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）A．当ω＜时，绳子没有弹力B．当ω＞时，A、B仍相对于转盘静止C．ω在＜ω＜范围内时，B所受摩擦力大小不变D．ω在0＜ω＜范围内增大时，A所受摩擦力大小先不变后增大（多选）3．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（）A．此时绳子张力为3μmgB．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外C．此时圆盘的角速度为D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动4．如图所示，表面粗糙的水平圆盘上叠放着质量相等的两物块A、B，两物块到圆心O的距离r＝0.2m，圆盘绕圆心旋转的角速度ω缓慢增加，两物块相对圆盘静止可看成质点．已知物块A与B间的动摩擦因数μ1＝0.2，物块B与圆盘间的动摩擦因数μ2＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（）A．根据f＝μF N可知，B对A的摩擦力大小始终等于圆盘对B的摩擦力大小B．圆盘对B的摩擦力大小始终等于B对A的摩擦力大小的2倍C．圆盘旋转的角速度最大值ωmax＝rad/sD．如果增加物体A、B的质量，圆盘旋转的角速度最大值增大（多选）5．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。

绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析【内容摘要】：三种模型弹力产生的机理不同，不同物理场景下力和运动情况的分析，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为"拐点"突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件。

【关键词】：临界、突变绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在解决力和运动，尤其在曲线运动问题中经常出现，由于较多涉及带电粒子在复合场中的运动，关于临界和突变问题成为失分较大的考点，因此历年成为频繁出现的热点。

而问题的症结是：不太清楚这三种模型弹力产生的机理；不清晰物理过程的分析，尤其是由一种状态突变到另一种物理状态时，数学上称为"拐点"突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件，故而成为学习中的一个障碍。

结合复习实际，总结如下：一、产生的机理：１、形变的分类和弹力产生的机理：物体在外力作用下的形变可分为：拉伸、压缩形变、剪切形变、扭转和弯曲形变，但从根本上讲，形变分为：拉伸压缩和剪切形变．拉伸压缩形变的程度用线应变描述；剪切形变是指用平行截面间相对滑动的位移与截面垂直距离之比来描述称为剪切形变；弯曲形变：以中性层为界，越近上缘发生压缩形变的程度增加，靠近下沿拉伸越甚，即上下边沿贡献最大，中性层无贡献，实际应用中典型的就是钢筋混凝土梁，下部钢筋多利用其抗拉能力，上部利用混凝土抗压能力，工业中的工字钢．空心钢管等构件既安全又节省材料；扭转形变实质上是由剪切形变组成，内外层剪切应变不同，因此应力也不同。

靠外层应力较大，抵抗扭转形变的作用主要由外层承担，靠近中心轴线的材料几乎不大起作用，工业中的空心柱体就是典型的应用。

２、区别：细绳只能发生拉伸形变，即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力，但弹力的产生依赖于细绳受到的外力和自身的运动状态。

由一种状态突变到另一种状态时，受力和运动状态将发生突变，将此点称为“拐点”；弹簧能发生拉伸和压缩形变，能提供向里和向外的弹力，弹力的产生是由于外力作用下而引起的形变，形变不发生变化，弹力不变；轻杆：拉伸、压缩、剪切形变、弯曲、扭转形变均能发生，既能产生沿轴向方向上的弹力，又能产生沿截面方向上的弹力，取决于外力作用的情况。

圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。

在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。

以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。

当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。

在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。

在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。

根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。

需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。

此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。

受力分析中的“突变”问题例析在受力分析中常常遇到物体受力情况突然发生变化的情况，如绳子（或弹簧）突然断开或支持物突然撤去等，这在物理解题时常称之为“突变问题”。

遇到这类问题关键是分析清楚物体受力条件改变前后的差异，以及条件发生“突变”瞬间，哪些量能突然发生变化，哪些量不能瞬间完成改变，从而确定物体在受力情况发生突变瞬间各力的变化情况。

例1、如图1-1所示，图中细线均不可伸长，物体均处于平衡状态，如果突然把两水平细线剪断，求剪断瞬间小球A 、B 加速度看样？解析：本例的（a ）（b ）两图中A 、B 两球的运动状态、受力形式均相同，不同之处在于（a ）图中OA 段为一细线，而（b ）图中OB 段为一弹簧。

①在剪断细线前小球受力情况如图1-2所示，此时有B A B A T T F F ==,②在剪断水平细线瞬间，B A T T ,突变为零，两球所受力的情况会发生相应的变化：对（a ）图而言，小球所受的重力不会发生变化，OA 段细线上的拉力A F 在A T 突变为零的瞬间也会发生相应的变化，大小与重力沿细线方向上的分力相平衡θcos 1'G G F A ==，小球所受到的合力为小球所受重力沿与细线方向垂直方向上的分力θsin 2G G F ==合（如图1-3-a 所示）；对（b ）来说，弹簧的形变在剪断细线瞬间来不及发生改变，所以弹簧上的弹力在水平细线断开瞬间不发生变化，因此小球在细线断开瞬间所受力G F B ,都未发生变化，故小球所受的合力大小与细线断开前的B T 大小相等，方向沿B T 的反方向（如图1-3-b 所示）。

从以上分析可以看出，（a ）（b ）两图中由于连接小球的线与弹簧物理性质上的差异，在水平线剪断瞬间，A 球所受的拉力能瞬间发生突变，而B 球所受弹簧的拉力在突变瞬间不能发生变化，从面使两球在剪断细线的瞬间受力情况出现差异。

例2、如图2-1所示，物体A 、B 以轻质弹簧相连，静止于木板上，试求撤去木板的瞬间，A 、B 的瞬时速度（已知A 、B 的质量分别为B a m m ,） 解析：撤去木板前，A 、B 及弹簧构成的系统处于平衡状态，对整体而言，有：N B A F g m m =+)(（N F 为木板对系统向上的弹力）对A 物体有：A A F g m =（A F 是弹簧对物体A 的向上的支持力）对B 物体有：B B N F g m F +=（B F 为弹簧对物体B 向下的压力）其中B A F F =当撤去木板瞬间，弹簧的弹力不能发生突变（弹簧形变不能在瞬间发生改变），所以它对A 的支持力和对B 的向下的压力不变。

高中物理圆周运动易错题成因及解决方法圆周运动是高中物理学中重要的知识点，但是学生在学习这一知识点时经常会遇到困难，以致考试中出现很多易错的题目。

本文旨在讨论高中物理圆周运动易错题的成因及解决方法。

首先，高中物理圆周运动易错题的成因是学生对理论知识缺乏系统性研究。

高中物理圆周运动是由简单的描述到复杂的应用步骤组成，学生在学习过程中往往忽略了若干细节，从而导致圆周运动的理论基础不扎实，考试中出现一些易错的题目。

此外，高中物理圆周运动的内容涉及到多个物理概念和技术，如惯性、斥力、动量守恒定律等，学生在学习圆周运动过程中，由于理解难度较大，容易在详细的知识点上出现一些错误，从而导致考试中可能出现一些易错的题目。

其次，解决高中物理圆周运动易错题的方法有多种。

首先，教师可以选择形象化、系统化的教学方式，通过清晰的图片和表格等方式，让学生深入理解圆周运动的基本概念和相关定律，从而加强学生的理解能力，增强学生知识的积累，更好地掌握圆周运动的相关内容。

其次，可以增加实验教学，在实验中让学生更深刻地感受到重力、惯性和动量之间的内在关系，以便更完整地理解圆周运动的含义和原理，从而提高学生的学习效率和考试成绩。

此外，课堂上可以鼓励学生多参加讨论，让学生通过研讨交流圆周运动的相关知识，加深对理论的理解，更好地掌握和掌握圆周运动的基本概念和本质。

最后，教师应该提高考试设计水平。

考试如果只以一些理论描述作为考题，容易让学生受到枯燥乏味的影响，甚至会降低考试成绩。

因此，教师应该尽量创新考试方式，如改编真实的现象、生活情景等，深入理解物理知识的本质，从而提高学生应用圆周运动的能力，给学生带来良好的考试及学习体验。

以上是本文介绍的高中物理圆周运动易错题成因及解决方法，最终要达到一个目标：提高学生学习圆周运动的能力，从而更好地应对考试题目。

仅有知识的储备是不够的，更重要的是学习过程中培养学生的解题思路，从而帮助他们解决问题，取得更好的考试成绩。

力学中常见的“突变”问题一、由静到动引起的“突变”例1 如图1所示，把一个质量为m的物体放在一块粗糙的木板上，将木板一端缓缓抬起，板和水平面的夹角α由零逐渐增大，试分析物体所受摩擦力 f和倾角α之间的函数关系，并用f－α图表示出来。

图1分析①当木板处于水平时，α＝0°，物体受摩擦力f=0。

②当α由零逐渐增大，物体有下滑的趋势但仍可静止（相对），此时，受到沿斜面向上的静摩擦力，其大小为f=mgsinα，且f随α增大而增大。

③当mgsinα＞（最大静摩擦力）时，物体将会滑动，静摩擦力“突变”为滑动摩擦力μmgcosα。

设此时α＝。

④当α＞时，物体将沿木板加速下滑，f=μmgcosα，且随α增大而减小。

⑤当α＝90°时，木板竖直，N=O，摩擦力f=0。

具体情况见图2（注意由“突变”形成的“落差”）。

图2二、由动到静引起的“突变”例2 如图3所示，把一个质量为m的物体用水平力F压在竖直墙面上，F由零逐渐变大，图4中能表示出物体所受摩擦力f和压力F之间的函数关系是：图3分析①当F=0时，N=0，所以f=0。

物体开始加速下滑。

②随着F逐渐变大，根据f=μN=μF可知： f随F的变大而成正比地变大。

但物体仍为加速运动，只不过加速度越来越小。

图4③当f＞mg时，物体开始做减速运动，且加速度越来越大。

④当物体的速度减为零时，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力。

根据平衡条件，静摩擦力大小恒等于mg。

且以后并不随F的变化而变化。

故应选择：D。

（在该图中，由于“突变”留下的“尖峰”清晰可见。

）图5三、由半径变化引起的“突变”例3 如图5所示，轻绳一端系小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点有一颗钉子，将悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，则A.小球的瞬时速度突然变大。

B.小球的加速度突然变大。

C.小球的角速度突然变大。

D.悬线所受的拉力突然变大。

分析当悬线碰到钉子时，运动的小球正过最低点的瞬间，小球的速度大小不变。