第1课时 数系的扩充

《数系的扩充和复数的概念》教案及说明教学目标：1.了解数系的扩充，并能够理解自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数之间的关系。

2.掌握复数的定义、运算规则和表示方法。

3.能够应用复数解决实际问题。

教学重点：1.数系的扩充和复数的定义。

2.复数的运算规则和表示方法。

教学难点：1.理解数系的扩充对于数学的意义。

2.掌握复数的运算规则和应用技巧。

教学内容：一、数系的扩充1.自然数：正整数，用于计数。

2.整数：包括正整数、负整数和0。

3.有理数：可表示为两个整数之比的数。

4.无理数：不可表示为两个整数之比的数。

5.实数：包括有理数和无理数。

6. 复数：形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位。

二、复数的定义和表示1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2.复数的表示：复数可以用平面直角坐标系中的点表示，a为横坐标，b为纵坐标。

3.复数的运算：复数的加减乘除法规则同实数运算，注意i的平方为-1三、复数的应用1.解方程：复数可以解决一些实数无解的方程。

2.代数表达式：复数可以简化代数表达式，并且在求根过程中十分有用。

3.物理问题：在电路、波动等问题中，复数有着广泛的应用。

教学步骤：一、引入复数的概念2.解释为什么需要引入复数。

3.引导学生构建复数概念。

二、复数的定义和表示1.讲解复数的定义和表示方法。

2.给出几个例子，让学生练习表示复数。

3.带领学生画出复数在平面直角坐标系中的位置。

三、复数的运算1.讲解复数的加减乘除法规则。

2.演示如何计算复数的运算。

3.给出一些练习题，让学生巩固运算技巧。

四、复数的应用1.解方程：举例说明复数如何解决一些实数无解的方程。

2.代数表达式：展示复数简化代数表达式的过程。

3.物理问题：讲解复数在物理问题中的应用实例。

五、综合练习和实践1.设计一些综合性的练习题，包括复数的定义、表示和运算。

2.提供一些实际问题，让学生尝试用复数解决。

高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教案【一】教学准备教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法教学重难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念教学过程(一)问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》(二)回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。

大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。

现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。

(三)类比，引入新数，将实数集扩充1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢?2、历史重现：3、探究复数的一般形式：(四)新的数集——复数集1.复数的定义(略)2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。

(五)复数的分类(六)复数相等的充要条件复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。

课后小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题2、那么，复数究竟是什么东西呢?能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢?别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。

2
6
2
2
2
2.设i是虚数单位，若复数 = 3 + 2 + (2 − 3)i的实部与虚部互为相反数，
则实数 =( A )
A.5
B.−5
C.3
D.−3
【解析】 因为复数 = 3 + 2 + (2 − 3)i的实部与虚部互为相反数，所
以3 + 2 = −(2 − 3)，解得 = 5.
Hale Waihona Puke 1 = 2 ⇔ = 且 = .
D.−3
8.[2024安徽安庆名校联考]若i − 2i2 = + 2i,, ∈ ，则复数 + i等
于( B
A.−2 + i
)
B.4 + 2i
C.1 − 2i
D.1 + 2i
【解析】 由i2 = −1,得i − 2i2 = 2 + i,则2 + i = + 2i,根据复数相等
所以 = 5时，复数为实数.
（2）为纯虚数;
【解析】
2 −−6
当
+3
= 0且 + 3 ≠ 0且2 − 2 − 15 ≠ 0时，复数为纯
虚数,
解得 = 3或 = −2,
所以 = 3或 = −2时，复数为纯虚数.
（3）为虚数.
【解析】 当 + 3 ≠ 0且2 − 2 − 15 ≠ 0时，复数为虚数,解得
第七章 复数
第一节 复数的概念
课时1 数系的扩充和复数的概念
过基础 教材必备知识精练
知识点1 数系的扩充和复数的概念
1.复数 =
1
A.−
2
【解析】
1

课题：数系的扩充授课教师：吴晶教材：苏教版选修1-2第三章第一节【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结.教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台.【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业创设情境：用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路-------笛卡尔.名人名言引入，投影出为数系扩充作出贡献的一些数学家的照片和名字.让学生把自己所了解的一些数学家作简要介绍，教师适时总结：他们都是科学巨匠，他们都曾为人类文明的进步做出过巨大贡献，同时，他们也为数的概念的发展做出过巨大贡献.回忆学过的数的类型.建构数学：数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如边长为1km 的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数.数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要.矛盾是事物发展的根本动力.看以下几个方程：1x 2x1201x 22=+===+x规定：（1）i 2=-1 虚数单位：i（2）实数可以与i 进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.找到了方程012=+x 的解.试一试：依据规定，写出实数3与i 进行四则运算后得到的数.设计意图：适当了解一些与数系扩充有关的数学伟人和数学史，激发学生学习兴趣，引入新课.设计意图：认识到数系扩充的必要性. 发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性.复数),(i R ∈+=b a b a z ，复数集：C 实部：a 虚部： b 复数),(i R ∈+b a b a ⎩⎨⎧=≠=)0)(0()0(时是纯虚数虚数实数a b b .练习 用文氏图表示N 、Z 、Q 、R 、C 的关系N →Z →Q →R →C ,这就是近代数学在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而得到的数系的一般扩充过程.知识运用： 例1 写出复数6i,i 25,i ,πsin i ,0,i 322+-的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.例2 实数m 是什么值时，复数)1()1(-+-=m m m z i 是 (1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数? （4）6+2i? 解：(1) 当m-1=0即m=1时，复数z 是实数.(2) 当m-1≠0即m ≠1时，复数z 是虚数.(3) 当m （m-1）=0 且m-1≠0即m=0时，复数z 是纯虚数. (4) 如何解决，请同学们讨论后给出解决方案.两复数相等的充要条件),,,(.,i i R ∈⎩⎨⎧==⇔+=+d c b a d b c a d c b a .例3 已知)2()(y x y x -++i=)3()52(y x x ++-i .求实数y x ,的值. 解：根据两复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧+=--=+yx y x x y x 32522，解得⎩⎨⎧-==23y x .评述：把复数问题转化为实数问题. 试一试：仿照例3自编题目，并求解.复数相等的内涵：复数b a +i ),(R ∈b a 可用有序实数对),(b a 表示. 练习：1、说出下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数.).,(i )(,π,i ),31(i ,i 72223R ∈+-+b a b a2、实数m 是什么值时，复数)1()1(2-++=m m m z i 是(1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数?3、已知)()(y x y x -++i=42-i.求实数y x ,的值.归纳总结： 1、数系的扩充 2、复数的基本概念 3、复数相等的充要条件挑选好一个确定的研究对象，锲而不舍，你可能永远达不到终点，但是一路上准可以发现一些有趣的东西------克莱因.设计意图：巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息． 设计意图：学生发现自己的方案与课本中的结论完全一致，自信心大增且记忆更牢固.设计意图：及时巩固概念，让学生体会到互动式学习的快乐，理解转化的思想在解题中的应用，并为复数的几何意义的理解打好基础.巩固作业:1.搜集与本节课有关的数学史知识，感受知识的发生、发展.2.完成习题3.1 1-4.【板书设计】数系的扩充）规定：（1）（2),,,(i i )0)(0()0(),,(i R C R ∈⎩⎨⎧==⇔+=+⎩⎨⎧=≠=∈+=d c b a db ca d cb a a b b ba b a b a z 时是纯虚数虚数实数复数；虚部：实部：复数集：复数3例.23,3252⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧+=--=+y x y x y x x y x 解得条件，可得要解：由两复数相等的充教学设计说明一 确定教学目标的主要依据(1)依据教学大纲和教材内容的特点，确定第一个教学目标； (2)数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，有利于发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识，由此确定第二个教学目标；(3)数系扩充的过程体现了数学发生发展的客观需求和背景，学生将在学习过程中认识数学的应用价值.重点：数系扩充的过程和方法，复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 二 教学的过程设计说明 1 情境引入激发学生学习兴趣，引入新课.指出“矛盾是事物发展的根本动力”，以此为契机，自然顺畅地展开研究.设计了从N 到R 的三次扩充历程的回顾，在面对求解方程012=+x 的问题时，为解决矛盾创造一个新数，自然成了学生的一种心理预期，是学生提出了解决问题的想法.2 新课推进从简单而又深刻的问题出发，到引出虚数单位、复数的有关概念，再到复数相等的充要条件，构成了一条稳妥、科学的理论构建的知识线.3 例题讲解及练习掌握基本解题方法，巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息.精心设计了环环相扣、步步深入、层层渐进的练习题，既巩固了知识，又构成了思维训练问题链.知识线与问题链巧妙交叉、搭配组合，使学生的认知水平、理解能力、思维品质、解决问题的操作能力、数学思想的树立与意志品质的优化，均得到长足的发展提高.4 课堂小结与作业 对前面研究的问题，进行总结、反思、交流，使学生体会数学解决问题的方法，深入体会复数扩充的思想和应用价值.三 板书设计说明合理布局，重点突出.将主要概念一一呈现，与课件交相辉映.本节课将数系扩充的知识与复数知识有机地结合起来，通过教学，让学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学科学中的科学价值、人文价值，开阔视野，寻求数学科学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，提高自身的文化素养和创新意识.。