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测绘数据处理-自由网平差

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自由网平差

自由网平差


求导
ˆ T P 2 K T N 0 得到 K N 1P X ˆ 2X 1 X1 11 11 X 1 1 ˆ1 x
ˆ T P 2K T N 0 得到 X ˆ Q N K 2X 2 X2 12 2 X 2 21 X 2
于是
1 ˆ ˆ X 2 QX 2 N 21 N11 PX1 X 1
V BT ( BBT ) 1W
BR BT ( BBT ) 1
右逆
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
关于广义逆 2、广义逆（generalized Inverse)
设A是m×n矩阵，秩R（A）＝r<=min(m,n), 如果G满足如下方程，
AGA A
定义为A的广义逆，G为n×m矩阵，并记为 A 一般不唯一。
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
一、自由网平差概述
4、秩亏网平差方法分类（根据约束条件）
加权最小二乘最小范数解
V T PV min ˆTP X ˆ min X
X
最小二乘最小范数解
逆稳平差
V T PV min ˆTX ˆ min X
ˆ X ˆ 1 X ˆ X 2 V T PV min ˆ TX ˆ min X 2 2
关于向量范数（Norm of Vector) ——范数是比长度更广泛的概念
设
X ( x1, x2 xn )
1-范数
X xi
i 1
n
X
p
( xi )1/ p
i 1
n
p
p-范数
X

( x x x )
2 1 2 2
自由网平差结果的相互转换

自由网平差结果的相互转换

3
x2
h1
h2
解：
1 1 0 ˆ1 x v 0 1 0 ˆ2 x 0 1 6
2 1 N 1 2
6 v 0
x1
h3
x3
ˆ1 1 2 x ˆc x ˆ2 3 1 x

QP ( N Px GGT Px ) I QP N I QP Px GGT Px
同时右乘G
又


令
0 G QP PxG QP PxG G
QP N I GG Px
T
NG=0、GTPxG=I
ˆ p ( I GG Px ) x ˆc x
T

TP c I GGT Px
同一、数据可以采用：
经典最小二乘平差、普通秩亏网平差、加权秩亏网平差、拟稳平差 不同平差基准下的数据处理 避免因基准不同，对同一网进行多次平差
坐标转换 不同基准下平差解的相互转换
一
经典平差结果转换至秩亏网平差结果
加权秩亏网平差结果
1. 经典平差
经典平差：
ˆc L V Ax T ˆc 0 GC x T V PV min
tr (Qx ˆ2 ) min
结论： 1、最小范数条件与最小方差条件一致 2、所得参数为最优无偏解
注意： 1、对于线性问题，近似值可以任意给定！ 2、近似值提供了基准信息 思考： 1、对于非线性问题，近似值如何给定？为什么？ 2、以上三种结果的关系是什么？
主要内容
秩亏自由网平差的性质 秩亏自由网结果的相互转换 秩亏自由网平差的应用举例
T
tr ((Px Qx ˆ PL )
第二章2自由网平差基准

第二章2自由网平差基准


（4‘）
平差前和平差后重心点至各点的边长平方和相等。
经典自由网平差
基准：一个点坐标，一条边方位，一边长，平差前后保持不变，
秩亏网平差中，以（1’）——（4‘）式代替，其中（1’）（2‘）式为网的平移， （3’） 式定向，（4）式边长缩放，
根据重心坐标,为了计算方便，当近似值取定后。可先进行重心化—— 就是把坐标原点移至重心点处。
2. 二维测角网
假设所有点的纵横坐标为未知数，给定网中两个点的坐标为 固定（已知）坐标或一个点的纵横坐标、一条边方位角、一条边的边 长为固定值（已知）。
——这些固定数据构成网的平差基准。
设
GCT Xˆ 0
为基准方程
①当1、2两点已知（固定）坐标，则：

Xˆ 1 Yˆ1 Xˆ 2



0
V3 1
1 1 0
110XXXˆˆˆ132


0 0 6
（2）
X3 X30 设 X3X30Xˆ3
Xˆ3 0
称为基准条件方程
GCT 0 0 1 ，GCTXˆ 0 ，其中 X ˆX ˆ1 X ˆ2 X ˆ3 13

(Yi2Xi2) Si2
H

i1
i1
标准化后G：
1

m
0
0 1
1 m 0
0
....

1
...
GT


Y1
m X1
Y2
m
X2
...
m m m m

X
1
m
Y1 X 2 mm
Y2
...
测绘数据处理自由网平差

测绘数据处理自由网平差

(1-7-1） 系数矩阵B最大线性无关的行（列）向量的个数，及B矩阵
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
2020/7/9
2
在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
2020/7/9 11
此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
2020/7/9
5
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
2020/7/9
9
（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
测绘数据处理-变形监测分析

测绘数据处理-变形监测分析


（5-6-5） 当一个点的两个坐标差均满足式（5-6-4）时，才能认为是稳定 点，或者应认为该点存在位移。
2019年10月15日星期二
3
例8： 设有水准网如图所示。第一期观测数据为 第二期的观测数据为。
试用限差法判断点位的稳定性。 解：先进行第一期观测自由网平差。
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取
不成立 不成立
成立 因此，点3是稳定点，而点1和点2是移动点。
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2.平均间隙法
平均间隙法是检验网点整体稳定性的一种方法。设任意两 期坐标 和 ，其逆矩阵为 和 ，计算网内各点两期坐标 差（即间隙或位移量）
（5-6-6）
（5-6-7）
相应权阵为
（5-6-8）
(注：为矩阵的伪逆，且
；反之，应认为不稳定。 例 ： 对某大坝水平位移监测网进行了两期观测，其平差结果 见下表。请用变形误差椭圆法对所有点作点位位移显著性判断
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点号 水平位移 坐标权逆阵
/mm
坐标权逆阵
极限椭圆元素（t=2）
E
F
1
0.0 +0.2 0.046 0.012 0.041 0.094 0.042 0.072 0.80 0.50 37°58＇
，则认为位移是
显著的。对于一个点来说，仅X、Y坐标的检验都认为不显著时，
才能认为是稳定的。
为了证实两期观测精度相同，往往在作检验前，先作F检验以
判断两期精度是否相同。
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例:同上。试用检验法作单点稳定性检验。
于是
统计量F为
取a=0.05，查得
，显然
测绘数据处理-自由网平差

测绘数据处理-自由网平差

2019/2/15
4
d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外 ，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
第七行划去，剩下的6三行u列的阵即为三维测边网平差时的附
加阵。 很明显，上述的附加阵G均未标准化，即只是满足了BG=0， 但尚未满足的条件。
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17
阵标准化
1、用原始阵 2、设 和 阵，求出相应的阵 ； 相应 中第i行主对角元素为gii，把原始阵
的第i行数据均乘以
即可得到标准化阵的相应数据；
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2
在最小二乘准则下，得其法方程为 (1-7-3) 其中N= PB,W= 。此时，系数阵N为满秩方阵，即 (1-7-4) 当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知 参数的个数为u,误差方程为 (1-7-5) 组成的法方程为
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det(N)
,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
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点号
P1 P2 P3 P4
/m
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（1）计算网的重心点坐标
（2）计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值
点号
P1 P2 P3
/km
P4
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测绘数据处理自由网平差

测绘数据处理自由网平差


28
(3)原始 阵确定。
（4）求解 （5）标准化阵确定
把原始阵中的第一行、第二行、第三行、第四行分别乘以
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六、拟稳平差
拟稳平差是在最小二乘和最小范数（局部解向量的范数
最小）
的条件下，求定位置参数的最佳估值。也可
叙述为：拟稳平差是相容法方程
，
（1-7-40）
在最小范数条件下的解。可见，它是加权秩亏网平差取
2019年9月10日星期二
4
d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外
，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
点号
/km
4
3
2
1
(3)原始阵 确定。 由于是测角网，根据式(1-7-23),即可得到测边网原始阵 （按角度平差 ）
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（4）求解
（5）标准化阵确定 把原始阵中的第一行、第二行、第三行分别乘以 ，即可求得标准化阵为
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五、秩亏自由网平差
秩亏网是在最小二乘和最小范数的条件下求定未知参数的最
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
秩亏自由网平差

秩亏自由网平差


ˆ N BT Pl ( E N N )M 中挑选一个解，使得 从X
X min
所以，平差问题成为：
即求误差方程的最小 二乘、最小范数解。 最小二乘指改正数， 最小范数指参数。亦 即求长度最短的最小 二乘解。 武汉大学测绘学院 孙海燕
V T PV min ˆ l V BX ˆTX ˆ min X
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
例：如图水准网，1）设 H 3 已知，则误差方程为
0 v1 1 l1 ˆ1 v 1 1 x l2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
法方程系数阵
rank( B) R( B) u t 2
2 1 B B 1 2
T T T 1
rank( BT B) t u 2
1 2 1 | B B | 3, ( B B) 3 1 2
ˆ ( BT B) 1 BT l x
（5） 若矩阵 P 正定，则
A( AT PA) AT PA A
（6） G 为 AT A 的广义逆，则 G T 也是 AT A的广义逆。 3、广义逆 A 的计算 若

rank ( A) r (n, m)
，设
1 A O 11 A m.n O O
A11 r .r A n.m A21 n r .r
4、不同基准下平差的各种量有什么变化
5、基准如何变换
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
第二节 广义逆与线性方程组的解
m,n n ,1
线性方程组
Axb
m,1
a1
自 由 网 平 差

自 由 网 平 差

自由网平差班级：测绘0911 学号：姓名：日期：一、实验分析（1）实验的目的1.熟悉广义逆的概念和计算当观测值之间不存在着函数相关，是满秩的，以间接平差为例，在求解NX=BTPl的时候，N=BTPB，其秩R(N)=R(BTPB)=R(B)=t，N为非奇异的，存在凯利逆，所以法方程存在唯一的解，称为经典自由网平差，而当网中不设起始数据或不存在必要的起始数据，而且又设网点坐标为待平差参数，误差方程系数阵列亏，这样的平差称为秩亏自由网平差，而这里就引入了广义逆的概念，广义逆是对任何矩阵定义的一种逆矩阵，设A为n*m阵，秩R(A)=γ<=min（m，n），满足方程AGA=A，的G定义为A的广义逆，G为m*n阵，记为A-不唯一，称为A-型广义逆。

（仅当A为m=n阶非奇异方阵时，A-1=A-,唯一）2.了解秩亏自由网平差的原理和方法秩亏自由网平差的原理:误差方程式为V=BX-l，权阵P为D=σ02Q=σ02P-1平差原则：V T PV=min，X T X=min法方程及其解为 NX=B T Pl X=N M-B T Pl=N(NN)-B T Pl因N+也满足最小范数逆的两个条件，故N+∈Nm-,其解也可以用N+表达，即有X=N+B T Pl=N(NN)-N(NN)-NB T Pl,单位权方差估值仍为σ02=V T PV/f=V T PV/(n-R(B))X的协因数阵为 Q XX=Nm-B T PQPB(Nm-)T=N(NN)-N(NN)-N=N+ 或者Q XX=N+ B T PQPBN+=N+NN+=N+ 法方程系数阵N的伪逆N+就是参数估值X的协因数阵。

由误差方程式，顾及Q XV=Q-BQ XX B T=Q-BN+B T秩亏自由网平差的方法:第一步：求得误差方程：V=BX-l第二步：组成法方程:NX=B T Pl第三步：计算N(NN)-和Nm-=N(NN)-第四步：计算X=Nm-B T l第五步：平差结果的计算第六步：X的协因数计算Q XX=N+3.掌握如何使用自由网拟稳平差解决变形监测数据处理在监测自由网中，假定有一部分对于另一部分点是相对稳定的。

自由网平差

自由网平差

原点纬度
L0
=
113
中央子午线
N0
=
0.0000
北向加常数
E0
=
500000.0000
东向加常数
回到顶部
2三维无约束平差
2.1平差参数
基准
WGS-84
迭代次数
2
参考因子
1.00
χ平方检验(α=95%)
通过
自由度
27
2.2基线向量及改正数
基线
起点->终点.时段
DX/改正数
(m)
DY/改正数
(m)
DZ/改正数
DY04->HG67.328K
0.4721
0.0277
0.2793
DY04->HG67.328L
0.1347
0.4665
0.3476
DY04->HG67.328M
0.3580
0.7991
0.3396
EY02->G021.331K
0.0693
0.0920
0.1366
EY02->HG67.328K
0.4309
-0.0003
0.0024
0.0007
-0.0003
1: 394858
DY04->HG67.328K
-1964.3727
-700.9887
-188.7706
2094.2253
0.0032
0.0038
0.0003
-0.0033
-0.0034
1: 647896
DY04->HG67.328L
-1964.3727
-700.9887
-188.7706
第8章自由网平差

第8章自由网平差


2、秩亏自由网平差 如果不设起始已知高程， 设网中全部待定点为参数， 则误差方程为：
ˆ1 l1 v1 1 0 1 x v 1 1 0 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3
自由网： 当控制网中仅没有必要的起算数据时，通常称为自由网。 附合网： 当控制网中除必要起算数据时外，还有多余的起算数据 的网，称为附合网。 自由网平差方法分为： 经典自由网平差和秩亏自由网平差两种。
一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测网等， 一般为自由网。
1、经典自由网平差
例：
选定x3的高程为已知，则可列出误差方程为：
v1 1 0 l1 ˆ1 v 1 1 x l 2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
法方程：
ˆ1 l1 l2 2 1 x 0 1 2 x ˆ2 l2 l3
ˆ X 1 t11 B2 f ˆ n1 nt1 X 2 t2 1
2、拟稳平差附加基准条件
ˆ 0 GT Px X 0 0 t1t1 T T 其中：Px , G G1 0 I du dt1 t t 2 2 则基准约束条件变为： ˆ 0 GT X
系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异， 方程有唯一解：
ˆ1 2 1 l1 l2 x x ˆ2 1 2 l2 l3
经典平差法的条件：
是在控制网中必需设定（或已有）足够的坐标起算数据；
如果“设定”的坐标起算数据等于必要起始数据，则称为经 典自由网平差。

论秩亏自由网平差的性质及稳健基准的意义

论秩亏自由网平差的性质及稳健基准的意义
泰勒-普克网平差的性质及稳健基准的意义
一、泰勒-普克网平差的性质
1、平差基础
泰勒-普克网平差是一种在某一程度上把差距变成零的基础计算手段，其核心
目标是让差距最小化。

就其本质而言，泰勒-普克网平差也是一种多变量数学优化
技术，是一种最优化技术，所获得平差结果使残差最小化并能确定被估量参数的最优值。

2、平差技术特点
泰勒-普克网平差技术的特点有：它仅考虑坐标计算，因此它的计算简单可靠；由于其利用了既定的数学规律，它的计算结果是固定的；另外，它只需要坐标测量观测点以及观测张角即可得到正确的平差曲线坐标数据，降低了计算错误的可能性。

二、稳健基准的意义
1、基准点确定泰勒-普克网系统构建完成后，必须确定基准点，这些基准点的
确定有利于经线的稳定性，其能够将准确的坐标视图和参考坐标视图实现统一，保证经线的准确度。

2、精度分析稳健基准的设置能够更好地保证平差精度，并可以充分发挥最大
可接受误差的作用，因此能够更好地提高经线测量准确性。

3、丰富经线系统基准点确定后，能够为拓展测量着许多有用的信息，增强经
线系统的完整性和稳定性，以保证经线系统的精度和准确度。

综上所述，泰勒-普克网平差作为一项多变量数学优化技术，它能够有效地让
多个观测结果变为零的一种差距，其特点是只考虑坐标计算，实现数学优化后获得
平差结果，能够将准确的坐标视图和参考坐标视图实现统一。

同时，稳健基准的设置有利于经线系统的稳定性，可以充分发挥最大可接受误差的作用，确定有助于拓展测量的同时，也能够更好地提高经线测量的准确性。

测量平差程序设计

测量平差程序设计测量平差程序设计是测绘工程中非常重要的一个环节，可以有效地提高测量结果的精度和可靠性。

本文将从测量平差的基本原理、常用的测量平差方法以及测量平差程序的设计流程等方面展开讨论。

一、测量平差的基本原理测量平差是指通过对测量观测数据进行处理，消除和减小误差，使其符合测量精度要求的一种数学方法。

其基本原理是根据观测数据中存在的误差特性，利用最小二乘法进行误差分析和数据处理，得到更加可靠、准确的测量结果。

二、常用的测量平差方法1. 闭合式平差方法：闭合式平差方法适用于具有测量闭合环路的情况，通过测量闭合环路的各个边长和角度，利用最小二乘法求解未知点的坐标。

2. 自由网平差方法：自由网平差方法适用于具有三角网或多边形网的情况，通过测量各个定点的坐标和边长，利用三角形相似性原理以及最小二乘法进行数据处理，求解未知点的坐标。

3. 条件方程平差方法：条件方程平差方法适用于具有各种观测条件约束的情况，通过设置条件方程，将约束条件引入计算中，通过最小二乘法求解未知点的坐标。

三、测量平差程序设计流程测量平差程序设计的核心是根据具体的测量任务和要求，设计合适的程序以实现数据处理和结果计算。

以下是测量平差程序设计的基本流程：1. 数据输入：将测量观测数据输入到程序中，包括测点坐标、角度观测值、边长观测值等。

2. 参数设置：根据具体的测量方法和要求，设置相关的参数，如平差方法、最小二乘法的迭代次数、收敛标准等。

3. 数据预处理：对输入数据进行预处理，包括数据格式的转换、异常值的检测和剔除、数据的排序等。

4. 平差计算：根据所选的平差方法，利用最小二乘法进行测量平差计算，求解未知点的坐标。

5. 结果输出：将计算得到的平差结果输出，包括各个点的坐标、闭合差、误差限等。

6. 结果分析：对平差结果进行分析和评价，检查是否满足测量任务的精度要求，如果不满足，可修改参数和重新运行程序。

7. 结果展示：根据需要，将平差结果以表格或图形的形式展示出来，便于查看和分析。

第二章1秩亏自由网平差与拟稳平差

满足最小二乘法则。
N
1
2 1 1 / 3 1 2
如不设其始高程，则X 1 H1 , X 2 H 2 , X 3 H 3 均为未知高程，
那么，误差方程：
0 1 X 1 L1 1 1 1 0 X 2 L2 0 1 1 X 3 L3
ˆ ˆ ˆ X T X 2K T ( NX AT Pl)
ˆ 对 X 求偏导数令其等于零，得：
ˆ 2 X T 2 K T N 0(极值点） ˆ X
ˆ X N T k (1) ˆ NX AT Pl(2)
所以
NN T K AT Pl
ˆ K ( NN T ) AT Pl, X r N T ( NN T ) AT Pl N ( NN ) AT Pl
水准网中通过观测高差无法确定高程有一个未知数需要有一个高程基准相对于海平面来说例100这时如果还考虑水准尺之间的尺度比这时尺度比为未知参数用高差也无法确定它那就需要一个尺度标准这时d测角网
二、 秩亏自由网平差
3.1 平差问题的基准与网的秩亏数 一、平差问题的基准： 例：
设：H=1.000m 为已知。
ˆ ( N m1 N m2 ) NX 0 ( N m1 N m2 ) AT Pl 0 N m1 AT Pl N m2 AT Pl
两边右乘
ˆ X

例：
ˆ ˆ ˆ X1 X 2 X
是最小范数解是唯一的。
取各点近似高程：
0 0 0 0 H10 X 10 0m, H 2 X 2 12.345m, H 3 X 3 15.823m
高程基准：
d 3 Cn2一维网），高程基准——位置基准，基准个数 d 0 d1 d 2 =2，当不考虑尺度比 d 0 1 。 三角网，测边网，测角网，导线网（二维网）
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2016年4月4日星期一
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（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘 的条件 （3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
下求定未知参数的最佳估值。 和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。 （4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即 (s>d) (1-7-7)
1、水准网
设有u个点，则 (1-7-22) 2、平面测角网 按角度平差，设有m个点，则 (1-7-23)
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3、平面测角网 按方向平差，设有m个点，则 （1-7-24）
4、三维测角网
（1-7-25）
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对于平面测边网、边角网和导线网，只要将式(1-7-23)或式 (1-7-24)中的第四行划去，剩下的三行u列的阵，即分别为按角 度平差时的附加阵。对于三维测边网，只要将式（1-7-25）的
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在最小二乘准则下，得其法方程为 (1-7-3) 其中N= PB,W= 。此时，系数阵N为满秩方阵，即 (1-7-4) 当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知 参数的个数为u,误差方程为 (1-7-5) 组成的法方程为
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det(N)
,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
第七行划去，剩下的6三行u列的阵即为三维测边网平差时的附
加阵。 很明显，上述的附加阵G均未标准化，即只是满足了BG=0， 但尚未满足的条件。
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阵标准化
1、用原始阵 2、设 和 阵，求出相应的阵 ； 相应 中第i行主对角元素为gii，把原始阵
的第i行数据均乘以
即可得到标准化阵的相应数据；
式中
，
因N为降秩方阵，无正常逆，所以
必须对法方程作适当变动。将式(1-7-12)中第二个方程左乘后再 加到第一个方程上去，即得变形后的法方程为 (1-7-13) 式中，
解法方程，得
(1-7-14)
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(1-7-15)
可以证明（证明略），当G满足条件BG=0时，连系数向量K必 等于零。故可简化为
式中， 是非拟稳点的未知参数， 是拟稳点的未知参数。这样
拟稳平差是在 值。
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和
求定未知参数的最佳估
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由上可知，三种秩亏自由网平差均遵循
的原则，对
于同一平差问题，它们将有相同的法方程，三种自由网平差的解
均能满足法方程式(1-7-6)，它它们都是这一相同法方程多组解
中的一个特解。它们之间的不同只是由于各自对解向量x所加的 限制条件不同引起的，即由于各自所加的最小范数条件不同，因 此得到了不同的解向量。 由于秩亏网平差与拟稳平差都是加权秩亏网平差的特殊情况，
等价于约束条件
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的限制条件方程为
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（1-7-27） 式中
BG=0 故秩亏网平差的函数模型为
（1-7-28）
（1-7-29）
此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。将式 （1-7-29）组成法方程，得 (1-7-30) 式中，
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因N为降秩方阵，无正常逆，所以必须对法方程作适当变动。将式(1-7-30) 中第二个方程左乘后再加到第一个方程上去，记得变形后的法方程为 (1-7-31) ，式中，
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d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外 ，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
与经典的自由网不同，秩亏自由网平差基准是通过对整个网
点的坐标或部分网点的坐标进行某种约束（条件）来定义的，这 种约束实际上是固定某个虚拟点的位置，固定某个虚拟方向、虚 拟距离等。
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对三维网，这种约束将要求： .平差前后网点重心不变（即固定重心点坐标）； .平差前后控制网相对其重心不绕X、Y、Z轴旋转（即固定重心 与所有网点连线的平均方位角与天顶距）； .平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的 平均距离）。 对平面网，这种约束将要求： .平差前后网点重心坐标不变； .平差前后各网点与重心连心的平均方位角不变； .平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的 平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
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（二）精度评定公式（ 1、验后单位权方差
） (1-7-36)式来自，可以直接计算，也可用
计算得到
2、协因数阵
（1）未知参数的协因数阵为 (1-7-37) 当对G阵进行标准化后，由于 式(1-7-19)可进一步简化为 ，故 (1-7-38) (1-7-39)
（2）观测数据平差值的协因数阵为
2、协因数阵
（1）未知参数的协因数阵为 (1-7-19) 当对G阵进行标准化后，由于 式(1-7-19)可进一步简化为 ，故 (1-7-20) (1-7-21)
（2）观测数据平差值的协因数阵为
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（三）常见附加阵G 采用附加条件法进行秩亏自由网平差计算非常容易，但必须预先 构建附加阵G。下面是几种常见的附加阵G。
解法方程，得
(1-7-32) (1-7-33) 可以证明（证明略），当G满足条件BG=0时，连系数向量K必等于零。故可简 化为 (1-7-34) 将代入式(1-7-29)，可求得V，再根据 即可求得个未知参数 的平差值。需要说明的是，在实际计算时，附加阵G不仅要满足BG=0的条件， 还要满足条件 (1-7-35) 也即在实际计算前，尚需要把G阵进行标准化，满足式(1-7-35)所述条件。
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（三） 阵标准化
1、用原始阵 2、设 和 阵，求出相应的阵 ； 相应 中第i行主对角元素为gii，把原始阵
的第i行数据均乘以
即可得到标准化阵的相应数据；
3、原始阵中每一行数据均按（2）所述做同样变换，即可得 到标准化阵。 例：测角网如下图，全网4个待定点的坐标值列于下表.当采 用秩亏网测角平差时，求其标准化阵。
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式，即在平差问题的函数模型中加入d个未知参数的限制条件 方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。 等价于约束条件 的限制条件方程为 (1-7-9) 式中 BG=0 (1-7-10)
故加权秩亏网平差函数模型为 (1-7-11)
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此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得 (1-7-12)
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（一）平差计算公式 在式（1-7-40）第二式中，取 并设
（1-7-41） （1-7-42）
则
（1-7-43）
若令 （1-7-44） 则可得拟稳平差的函数模型为 （1-7-45） 此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。将式（1-7-45 ）组成法方程，得
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3、原始阵中每一行数据均按（2）所述做同样变换，即可得 到标准化阵。 例：有测边网如下图所示，各点的近似坐标列于下表。若又 已知待定点的先验权阵为
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试求加权秩亏网平差的标准化阵。 表1-7-1
点号 4 3 2 1
解：
计算秩亏网平差时的标准化阵，即计算满足BG=0和
计算网的加权重心点坐标。
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点号
P1 P2 P3 P4
/m
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（1）计算网的重心点坐标
（2）计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值
点号
P1 P2 P3
/km
P4
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(3)原始
阵确定。
（4）求解
（5）标准化阵确定
把原始阵中的第一行、第二行、第三行、第四行分别乘以
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（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。 四、加权秩亏自由网平差 （一）平差计算公式 加权秩亏网平差就是求相容法方程： (1-7-8) 的加权最小范数解。 附加条件法的基本思想是：由于网中没有起始数据，平差时多 选了d个未知参数。现在u个未知参数之间适当给定d个附加条件
测绘数据处理
测绘工程教研室 土地科学技术学院
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一、自由网平差概述
在控制网的经典间接平差中，必须具有足够的起算数据 。例如，在水准网的间接平差中，必须至少已知某一点的高程 ；在测角网的间接平差中，必须至少已知某一点的坐标、某一 条边的坐标方位角即某一条边的边长，等等。下面将讨论无起 算数据的平差方法，即自由网平差。 当网中有足够的起算数据时，经典间接平差的误差方程为 (1-7-1） 系数矩阵B最大线性无关的行（列）向量的个数，及B矩阵 的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
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