6秩亏自由网平差S的求法与基准

§8-2 秩亏自由网平差2学时在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。

如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。

当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。

在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l xB V （8-2-1）式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。

在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11=-⨯⨯⨯t t tt bb W xN （8-2-2）由于其系数阵的秩为t B R PB B R N R Tbb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即W N xbb 1ˆ-= （8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l xB V （8-2-4）式中d t u +=d 为必要的起算数据个数。

尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即u t B R <=)(其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。

组成法方程0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN（8-2-5）式中PlB W PB B N T u T uu ==⨯⨯1，，且u t B R PB B R N R T<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：t u d -=（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。

即有：⎪⎩⎪⎨⎧=测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。

也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。

秩亏自由网平差及其通解赵超英;黄观文【摘要】通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解,研究了秩亏自由网基准转换的实质.结果表明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解,在实际应用中确定合适的基准是关键.以西安地区GPS沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动的基准才具有物理意义.【期刊名称】《地球科学与环境学报》【年(卷),期】2010(032)002【总页数】3页(P215-217)【关键词】秩亏;自由网平差;基准条件;坐标系;通解【作者】赵超英;黄观文【作者单位】长安大学,地质工程与测绘学院,陕西,西安,710054;长安大学,地质工程与测绘学院,陕西,西安,710054【正文语种】中文【中图分类】P228.4自Messl提出自由网平差以来[1],其理论研究和应用研究均得到较大的发展,中国学者自20世纪80年代开始对其进行了系统研究[2-3]。

后来Xu相继提出了非线性秩亏自由网平差的通解及其应用[4-6],推出不同坐标系以及不同基准下的通解。

笔者在介绍秩亏自由网平差通解的基础上,分析了如何将传统自由网平差扩展为各种坐标系、各种基准下的通解。

这有助于理解秩亏自由网平差的实质,并在实际应用中通过确定合理的基准从而获取具有物理意义的解。

_对于非线性大地控制网,观测方程满足式中:E(·)为数学期望;D(·)为方差;σ0为单位权中误差;F(·)、f(·)为非线性函数;X为初始(任意)坐标系t维待定坐标向量;L为n维观测值向量;Δ为观测值所含的偶然误差;P为观测值的权。

通常,选定初始坐标系S0下的一组初始坐标X0,对观测方程进行线性化得式中:A为n×t维设计矩阵,其秩R(A)=r<t,r为自由度,d=t-r为秩亏数;l为常数项;ΔX为初始坐标系S0下的坐标改正数。

观测值改正数V的误差方程为采用最小二乘准则可得基于初始坐标系S0下参数的通解式中:N为ATPA;M为任意非零向量;I为单位阵; N-为N的广义逆。

秩亏网平差若干计算方法1.概述在测量平差中，控制网中除了必要起算数据外还有多余起算数据的是附合网，仅有必要起算数据的是自由网，这两种控制网在间接平差时误差方程系数矩阵都是满秩的，由此得到的法方程系数阵也是满秩的，即法方程有唯一解。

这是经典平差的范畴。

自由网中有一种具有特殊用途的控制网，就是秩亏自由网，这种自由网没有起始数据参与平差并且以待定点的坐标为待定参数。

此时的误差方程的系数阵是列亏阵，由此所得的法方程系数阵也是秩亏阵。

一般设网中全部的待定坐标个数为，必要观测数为，全部观测数为，为阶矩阵，相应的法方程系数阵是阶矩阵，，秩亏数都为，所以法方程有无穷组解。

这里产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以就是网中必要的起算数据个数。

对于水准网，必要起算数据是一个点的高程，故；对于测角网，必要起算数据是两个点的坐标，故；对于测边网或是边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一条边的方位，故。

2.秩亏网平差模型以间接平差为例，令个坐标参数的平差值为，观测向量为，则秩亏网的误差方程为：（1）式中，，，，随机模型是：（2）根据最小二乘原理，在下，可组成发方程如下：（3）若是按照直接解法用如下的方程组来解求的解：（a）容易得到，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但有无穷多组的解，无法求得唯一的，因为参数必须在一定的坐标基准下才能唯一确定。

为了得到的唯一解，增加个坐标基准约束条件，即：(4)在限制条件下，得到法方程如下：（5）由此可以根据下面的方程组解得的唯一解：（b）由上述方程组（b），可以得到：（）(7)（）（）3.矩阵分解应用于秩亏网平差3.1 奇异值分解用于秩亏网平差可以看出，上面提到的这种计算秩亏网平差的方式很复杂，现在我们不妨把秩亏自由网平差看成在满足最小二乘和最小范数的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，也就是通过对如下的方程组来解求的唯一解：(c)这是个复杂的方程组，如果按照正常求解的方法是很困难的，下面我们把矩阵的奇异值分解融合进来。

秩亏自由网平差的研究刘 阳（江苏师范大学，城建学部，江苏 徐州 ）摘要：秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题,因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bbN B PB 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 从而得到未知参数的唯一确定解.本文主要利用MATLAB 从传统的测量平差的观点出发, 来计算例题，分析，和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了附加矩阵S 的形式了确定的方式，讨论了秩亏自由网平差之解与传统自由网平差之解的关系, 给出了详细的解答过程，并且比较了俩种方法的各自的优缺点,给出总结。

关键词：秩亏自由网；平差；间接平差Research Rank Defect Free NetworkAdjustmentLiuyang(School of Urban construction and design, Jiangsu Normal University, 221116)Abstract:Rank Defect Free Network control network because of not enough initial data,That lack of adjustment problems benchmark.Therefore, when carried out by indirect adjustment adjustment, the coefficient matrix B error equation does not meet the requirements of full rank.Corresponding normal equation coefficient matrix is rank deficient matrix.In order to find a unique set of unknown parameters to determine the solution, in addition to following the least squares criterion, the need to add a new benchmark constraints, resulting in a unique solution to determine the unknown parameters.The main advantage of MATLAB article from the traditional viewpoint of Surveying Adjustment,Analysis of the nature of the calculation examples, and discusses the loss of rank free net adjustment of the solution,Additional discussion of the form of the S matrix determined, discusses the relationship between solutions of rank defect free network adjustment of the solution with the traditional free network adjustment, the process gives a detailed answer, and compare the two methods of their advantages and disadvantages.Gives summary.Key words: Rank-defect free net adjustment; adjustment; condition comparison引言在现代测量数据处理过程中，秩亏自由网平差在近几十年得到了广泛应用，是重要的数据处理方法之一，特别是在变形监测、最优化设计中，秩亏自由网平差都展现出其优势。

自由网参考基准变换方法的探讨姚海敏;赵一晗【摘要】秩亏自由网平差模型秩亏,法方程存在无穷多组解.为了解决这一问题,引入了基准(参考系)来固定网形.选择不同的基准,则会得到不同的基准解.如何建立不同基准下解之间的关系成为一个重要的问题.列出了三种参考基准变换方法,并给出了必要的推导证明.最后,通过实例对三种方法进行了评价.【期刊名称】《铁道勘察》【年(卷),期】2006(032)006【总页数】4页(P12-15)【关键词】基准;变换;斜投影;自由网【作者】姚海敏;赵一晗【作者单位】上海航道局,上海,200090;中国地质大学(北京),北京,100000;同济大学测量与国土信息工程系,上海,200092【正文语种】中文【中图分类】U2在自由网平差中，通常需要把某一基准下的解变换到另一基准下，所以必须对参考基准的变换方法进行研究。

本文首先列出了三种参考基准变换方法(基于微分相似变换的参考基准变换，基于斜投影理论的参考基准变换，基于基准解的参考基准变换)的基本原理，并给出了相应的推导证明。

最后，根据实际算例分析了三种方法各自的特点。

1 基于微分相似变换的参考基准变换(以下简称“方法1”)1.1 微分相似变换原理设将参数X1相似变换至X2，(设X2满足基准方程DTX2=0) 若只考虑网形旋转，设旋转矩阵为R，则得X2=RX1(1)其中R=R1R2R3(三维空间)，令R的充分近似值则有X2=R0X1+δRX1(2)(3)而且当旋转角α1、α2、α3很小时，可取所以，同理，于是(2)式为X2-X1=δRX1(4)另外，不难求出δR1、δR2、δR3，将其代入(3)得所以，对于第i点坐标，表达式为将网形旋转后再平移，设三个坐标轴平移量分别为δx、δy、δz。

再考虑比例尺缩放δλ，设网中共有n个点，则得到微分相似变换公式X2-X1=Gt(6)式中t=[δx,δy,δz,δα1,δα2,δα3,δλ]TG=(内部约束阵)1.2 基准变换公式由于DTX2=0，所以(6)式变化为DTX2=DTX1+DTGt=0。

目录目录 ............................................................... 1 1 引言 (1)1.1 研究进程 ................................................... 1 1.2 选题目的 ................................................... 2 1.3 本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段 ................. 2 2 秩亏自由网平差 .................................................. 3 2.1 问题的提出 ................................................. 3 2.2 秩亏自由网平差原理 ......................................... 5 2.3 S 的具体形式 ............................................... 7 3 平差方法分析及比较 . (8)3.1 重心基准的秩亏自由网平差 ................................... 8 3.2 拟稳平差 (9)3.3 最小范数准则ˆˆmin T p p x Px................................... 10 3.4 秩亏自由网的广义逆解法 .................................... 11 3.5 分析与比较 ................................................ 13 4 实例分析 ....................................................... 15 结 论 ............................................................ 21 致 谢 ............................................................ 22 参 考 文 献 . (23)1 引言1.1 研究进程近几十年来，测量平差与误差理论得到了很大的发展，除了经典测量平差方法（条件平差法、间接平差法、附有参数的条件平差法、附有限制条件的条件平差法），产生了一些新的测量模型，后者常称为近代测量平差方法.测量平差中的秩亏问题，引起了国内外许多学者的重视，纷纷发表文章从各个不同的角度加以论述.从大多数论文来分析，其中大部分谈论这类问题的求解方法.产生这种现象的原因，一方面是由于秩亏问题较古典平差问题新鲜，另一方面由于解决这类问题存在着各种各样的途径与方法.为了使秩亏问题更好的用于监测的目的，我国测量学者周江文教授于1980年提出一种拟稳平差方法.这种方法的特点，首先通过分析，确定网中相对稳定的未知量，对整个网做自由网平差的同时，是这些稳定未知量拟合于他们的稳定值.这种方法，既区别于传统固定若干未知量作强制符合，使监测网造成不必要的变形；又区别于自由网平差，因后者未知量没有稳定的基准.这种平差方法既不歪曲观测，又有相对稳定的基准，在相对稳定点事先获得较合理、精度较高的近视值得情况下，能够解答出准度较高的待估参数值.我国大地测量学家刘大杰教授在《在论亏秩自由网平差》从传统的测量平差观点出发论述和分析亏秩自由网平差之解的性质着重讨论了：1、按“附加条件法”讨论亏秩自由网平差问题，其结果与“假观测值法”相同，但前者较后者更为恰当.2、亏秩平差之解具有方差最小性，也具有无偏性.3、亏秩平差之解与参考系的关系.于正林教授在《自由网平差中若干问题的讨论》一文中着重讨论了秩亏网平差、拟稳平差、和加权秩亏网平差结果之间的相互转换，以及各种自由网平差所求得的参数估计值的统计性质等问题.中国矿业大学环境与测绘学院，针对自由网秩亏问题，提出一种名为双重条件平差的方法，该方法简洁易懂，且法方程的系数不会出现秩亏问题，对秩亏自由网平差有一定的参考价值.总之，在国内学术界对秩亏自由网平差的研究很多，通过各种途径和方法来探讨和研究.1.2 选题目的“测量平差”是测绘学中一个重要的基础理论和应用学科.近四十年来，随着测绘科技和相关学科的迅速发展，该学科在理论上有突出进展．其研究范围也由线性模型的经典平差向相关平差、滤波推估、秩亏平差、动态平差等方向扩展，从单纯地研究随机误差理论扩展至包括系统误差和粗差的全误差系统.而秩亏自由网平差在变形监测、GPS 网平差等有着重要的应用.1.3 本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段1.3.1 本文研究的问题秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题 因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bb N B PB 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 等价于最小范数准则, 从而得到未知参数的唯一确定解. 本文主要从传统的测量平差的观点出发, 来分析和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了亏秩平差之解与传统自由网平差之解的关系, 与广义逆矩阵的关系, 不变量的条件, 以及几种算法.1.3.2 研究途径 （1）文献查阅通过阅读 测量学、测量平差与误差理论 、广义测量平差 等专业书籍.了解与掌握误差理论与平差的基本知识和方法.在期刊网上检索相关文献，了解前人相关研究成果，对做好本次研究有重大的指导作用. （2）请教导师对于论文所涉及的知识，所存在的疑惑，通过咨询指导老师，老师的悉心解答对文章具有重要的指导意义. (3) 采集数据通过网上搜集数据，为文章后面的实例提供了有力的依据，使文章结构更加清晰明了.2 秩亏自由网平差2.1 问题的提出在经典间接平差中，必须有足够的起算数据.当控制网中仅含必要的起算数据，通常称为自由网.用经典方法平差这种网，俗称经典自由网平差.当控制网除必要的起算数据，还有多余的起算数据的网称为附合网，在间接平差时，不论是自由网还是附合网，当所选的参数不存在函数关系时，误差方程系数矩阵B 总是列满秩的，即R(B)=t （t 为必要观测）.由此得到的法方程系数阵的秩t B R PB B R N R T bb ===)()()( 法方程具有唯一解.下图水准网中,假定3P 的高程已知为3H ，待定点1P 、2P 的高程平差值为0111ˆˆX X x =+，0222ˆˆX X x =+.各段路线长度为S ，高差为等权观测，误差方程 32312131ˆVxl B ⨯⨯⨯⨯=- （2-1） 的显式为1112223310ˆ11ˆ01v l x v l x v l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦法方程及其显式为ˆT T B BxB l = (2-2) 1122ˆ21ˆ12xw x w -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦在误差方程系数阵B 中，存在一个二阶行列式不等于零，如10111=-，故B 的秩R （B ）=2，即B 为列满秩阵.由此法方程系数的秩R(N)=R(B)=2，所以法方程有唯一解为1ˆ()T T xB B B l -= (2-3)这就是经典自由网平差情况.水准网图上述间接平差函数模型还可以用下面方式组成：先设3P 点的平差值0333ˆˆX X x =+，参与列误差方程，然后另033ˆX X =，将3ˆ0x =作为参数的条件方程，于是其函数模型为33313131ˆVxl B ⨯⨯⨯⨯=- (2-4)13310ˆT C x⨯⨯= (2-5) 式中[]001T C =,其显式为111222333ˆ101ˆ110ˆ011v xl v x l v x l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123ˆˆ0010ˆxx x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（即3ˆ0x =） 将（2-5）代入（2-4）式即得，可见俩种模型等价，平差结果相同. 在这种情况下，误差方程（2.1-4）的行列式等于零，即1011100011--=- 其中有二阶行列式不等于零，故R(B)=2，数2为网中必要观测数，B 为秩亏阵，其列亏数d=3-2=1，表示缺少一个起始高程，因此给定条件式（2-5），转化成附有限制条件的间接平差问题，可求其唯一解.没有起算数据的并以待定点坐标为待定参数的控制网，也是自由网.是一种特殊用途的控制网.一般网中待定坐标个数为u ，必要观测为t ，全部观测为n ，则B 为n ×u 阶矩阵，其秩R(B)=t ＜u ，列亏数d=u-t ，相应的法方程系数阵N 也是秩亏阵，R(N)=t ＜u ，秩亏数也为d=u-t.这种网称为秩亏自由网.产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以d 就是网中必要起算数据的个数，对于水准网，必要的起算数据是一个点的高程，故d=1.对于测角网，必要的起算数据是俩个点的坐标，故d=4.对于测边网或边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一个方位，故d=3.秩亏自由网的法方程系数阵N 奇异，即0N =,故N 的凯利逆1N -不存在，法方程有无穷解.如何合理的求解这类平差问题，就是本文要讨论的秩亏自由网平差问题.2.2 秩亏自由网平差原理秩亏自由网平差的误差方程为111ˆn u n u n V B xl ⨯⨯⨯⨯=- (2-6) 式中u 为网中全部坐标参数的个数，系数矩阵的秩rk （B ）=t<u,秩亏数d=u-t ，按最小二乘原理min T V PV =，P 为非奇异，所得法方程为ˆNxW = (2-7) W=T B Pl ，rk （N ）=rk （T B PB ）=t<u ，N 奇异，法方程具有无穷多组解. 在一个不设基准的平差问题即秩亏自由网中，若设其未知参数的个数为u ，必要观测为t<u ，则其基准个数应为d=u-t ，所以上述的秩亏数就是秩亏自由网中的基准秩亏数.为了在秩亏自由网中求得未知参数的唯一解，需对网中u 个参数给定d 个基准约束条件.例如，二位测角网，令其俩个点的坐标为已知，并取已知坐标的近似值，或固定一个点的坐标，一条边长和方位角.就可以给出诸如（2-8）式的基准约束条件.就可以唯一解出在此基准条件下的参数估值，这就是经典自由网平一般，为了获得位置参数的唯一解，给定加权的基准约束条件为1ˆT x d u u u u S P x⨯⨯⨯=0 (2-8) 式中rk （S ）=d ，而且rk T B S ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=u (2-9)BS=0 (2-10) 左乘T B P ，既得NS=0 （2-11）T S 行满秩表示（2.2-3）式中d 个方程互不相关，d 个条件与误差方程相互独立，由（2.2-5）式知，S 是矩阵N 的d 个零特征值所对应的d 个互不相关的特征向量所构成的矩阵，可由N 的特征值方程求出. x P 称为基准权，x P 不同取值反应了所取基准约束不同，亦即x P 对应了所选的基准数.按最小二乘原理，另函数ˆ2()min T T T x V PV K S P x ϕ=+= （2-12） 得法方程为ˆˆˆ0x Tx Nx P xK W S P x+== (2-13)将上式的第一式左乘T S ，顾及（2-10）和（2-11）式的 T x S P SK=0 因二次型T x S P S 不能为零，故必有K=0于是（2-12）式为T V PV ϕ==min可见，秩亏自由网平差的最小二乘原则与位置的基准约束无关，亦即T V PV 是一个不变量，平差所得得改正数V 不因所选取的基准约束不同而异，这是一个重要将（2-13）式中的第二式左成x P S 后与第一式相加顾及K=0，可得ˆ()T x x N P SS P x W += (2-14) 由（2.2-4）式知系数矩阵满秩，令1()T p x x Q N P SS P -=+ (2-15) 则参数估计为ˆp p xQ W = (2-16) 按协因数传播律，ˆx的协因数为 ˆx p p p Q Q NQ = (2-17)顾及()T x x N P SS P + p Q =E (2-18) 上式也可写成ˆx p Q =p Q -p Q T x x P SS P p Q (2-19)在实际计算中，也可将S 标准化为G,使满足T xG PG E = (2-20) 用S 右乘（2-18）式，考虑NS=0得p Q x P S=S 1()T x S S P S - (2-21)将（2-21）式代入（2-19）式，顾及（2-20）式可得ˆTxp pQ Q GG =- (2-22) 单位权方差估计为20()T V PVn R B σ=- (2-23)2.3 S 的具体形式由（2-11）式确定的S ，具体形式可取为： 一维的水准网，秩亏数 d=1()1111T mS ⨯=⋅⋅⋅ (2-24)三维GPS 网，秩亏数 d=3()3333331TmS E E E ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅ (2-25)二维测边网，秩亏数d=332000000112210101001011Tmmm SY X Y X Y X ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅⋅⋅⎣⎦(2-26) 二维测角网秩亏数 d=4000000421122000000112210101001011Tmmm mm SY X Y X Y X X Y X Y X Y ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥=⎢⎥--⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦(2-27) 以上均假设控制点总网点数为m.3 平差方法分析及比较3.1 重心基准的秩亏自由网平差采用重心基准，基准权设为单位阵，x P =E ，一般称为普通秩亏自由网平差 平差的模型为ˆˆ0min T T V Bxl S x V PV =-⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⎩⎭(3-1) 由（2-15）（2-16）（2-19）（2-22）式得模型的参数估计为1ˆ()T r r xQ W N SS W -==+ (3-2) ˆTxr r r r Q Q Q SS Q =- (3-3)下面以水准为例，说明重心基准的由来.对于水准网基准约束ˆ0T S x=的具体形式为 12ˆˆˆ0m xx x ++⋅⋅⋅+= 平差后各点高程的平差值为00111111ˆˆ()m m m i i i i i i i X X X xX X m m m =====+==∑∑∑ (3-4) 即平差后各高程点的平均值X 等于平差前各个高程近似值的平均值，水准网的重心高程不变.这也说明秩亏自由网平差基准取决于所取坐标近似值系统.3.2 拟稳平差以拟稳基准的秩亏自由网平差称为拟稳平差. 将网中参数分为俩类，设 ()12111T TT uu u x x x ⨯⨯⨯=其基准权为1122u u x u u OO P O E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦式中12u u u +=，2u >d.基准约束式为（2-8），令()12TTTd ud u d u SSS⨯⨯⨯=则拟稳平差的基准约束条件为22ˆ0TS x= (3-5) 顾及上述关系式，由（2-16），（2-14）式得1ˆ()T s sS x QW N S S W -==+ (3-6)()20T TT S x S S P S == (3-7)由（2-21）式得122()TS S Q S S S S -= (3-8)采用2S 标准化矩阵2G ,即2T G 2G =E ，将上式（2-19）式的ˆs T x S Q Q GG =- （3-9）拟稳平差是全部网点分为俩个部分1X 2X ，2X 是拟稳点的坐标参数，基准约束条件（3-5）仅包含参数2X .所以拟稳基准拟稳点组的重心基准平差. 当所取的2u d =时，拟稳平差就转化为经典自由网平差.3.3 最小范数准则ˆˆmin T p p x Px =通过基准变换推导出ˆp x=ˆx +SD ，从理论上证明了最小范数准则 ˆˆmin Tp p x Px = 与基准约束条件ˆ0T x S P x =等价.即上述的秩亏自由网平差模型（3-10）与（3-11）等价，俩者平差结果相同.说明基准条件与基准要求等价. 在加权范数最小的条件下，即在ˆˆmin T p p x Px = 的条件下，未知数的解为ˆˆP p p x x Q W Q W == 它的协因数阵为ˆP Tx p p pQ Q NQ Q GG ==- 式中1()T p xx Q N PGG P -=+ x P 为表示未知参数稳定程度的权矩阵.对与G 阵满足（2-9）（2-10）（2-11）式的条件.3.4 秩亏自由网的广义逆解法秩亏自由网平差按附加基准约束模型（3-10）进行平差.称为附加条件法.广义逆解法则采用与（3-10）的等价模型（3-11）来计算. 由（3-11）的前俩式，x 的最小二乘可由以下法方程得出Nx=W (3-12) 此解不唯一，因为N 为奇异阵.考虑参数约束要求ˆˆmin Tp p xPx =由（3-12）式可以解的参数加权最小范数的唯一解为ˆxmp P x N W = (3-13) 式中x m P N 是法方程系数阵N 的加权最小范数逆，xmP N 不唯一，但其解唯一. 根据加权最小范数逆的定义：对于相容方程NX=W ，1/21111()T x X p X ⨯= ，则同时满足,()T x xNGN N GN P PGN == (3-14) 的G 称为N 的加权最小范数逆，为xm P N . 在附加条件法参数解（2-16）式中的1()T p x x Q N P SS P -=+是N 的加权最小范数逆，这里就不证明了.加权最小范数逆不唯一，有多种选择，但必须满足（3-14）中的俩个条件. 当x P 正定是，在平差中常用的一种选择是11()x mTT P x x N P N NP N ---= (3-15)特别的当x P 为单位阵时()xm T T P N N NN -= (3-16) 下面对最小范数逆解的唯一性给出证明：设有俩个最小范数逆为1m N -和2m N -，相应的最小范数解为 11,m X N W-= 22m X N W -= 因为最小范数逆满足下列俩个方程：m NN N N -=()T m m N N N N --=所以()T T T m m N NN N N NN --==1T T m N NN N -=,2T T m N NN N -=上述俩式相减的12()T m m N N NN O ---= 俩边右乘以12()T m m N N ---得到1212()()T T m m m m N N NN N N O ------=上式是个二次型，要成立的话，必须有：12()m m N N N O ---=俩边同时右乘以任意解向量Y ,得12()m m N N NY O ---=又因为NY W =,故有：12()m m N N W O ---= 12m m N W N W O ---=所以：12m m N W N W --=可见，最小范数解不因最小范数逆不同而异，最小范数逆的解唯一.3.5 分析与比较秩亏自由网平差按附加基准约束模型（3-10）进行平差.称为附加条件法，对于重心基准平差，以水准网为例，平差后各高程点的平均值X 等于平差前各个高程近似值的平均值，水准网的重心高程不变.这也说明秩亏自由网平差基准取决于所取坐标近似值系统.在拟稳平差中，基准权1122u u x u u O O P O E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦（其中u1+u2=u ，u2>d.），当u2=d 时，就转换成为了经典自由网平差，也就是说经典自由网平差是拟稳平差的一种特例.最小范数准则ˆˆmin T p p x Px =与基准约束条件ˆ0Tx S Px =俩者等价，即俩种秩亏自由网平差模型等价.此外最小范数准则还与ˆˆ()min xx x tr Q P =等价（方差最小性）.下面证明：ˆˆˆˆ()(())T TE x Px E tr x Px=ˆˆˆ(())(())T T x x E tr xxP tr E xx P ==及 ˆˆˆˆˆ()()()()T D xE xx E x E x =- 可得 2ˆˆ0ˆˆˆˆ()()(()())T T xx x x E x Px tr Q P tr E x P E x σ=+上式右边为常量，上述等价性得证.当x P =E 时，则有ˆˆ()xx tr Q min =当x P =220u u diag E ⎛⎫⎪⎝⎭时，则有22ˆˆ()min x x tr Q =.重心基准的参数估计具有最小迹的性质，而拟稳平差仅拟稳点坐标参数估计具有最小迹.广义逆解与附加条件的解相同，下面证明附加条件参数解(2-15) 1()T p x x Q N P SS P -=+是N 的加权最小范数逆.先证明一个有用的等式，由 ()T x x N P SS P + p Q =E 俩边右乘S ，考虑NS=0，得T p x x Q P S S P S S = 由(3-14)式得()T T p p x x x x NQ N NQ N P SS P P SS P =+-()Tp x x N E Q P SS P =-1(())TTx x N E S S PS S P N -=-=1()(())TT Tp x x x x Q N P E S S P SS P P -=- 1(())T Tx x x P E S S P S S P -=-x p P Q N =故有 1()xT m p x x P Q N P SS P N -=+∈ 也说明采用模型（3-10）与模型（3-11）进行秩亏自由网平差结果是相同的，再次说明俩模型等价.总之，（1）无论用哪种方法所得到的改正数V 是一样的，单位权中误差不变.（2）用附加条件法讨论时便于分析和验证估值的最优性，而用广义逆矩阵方法容易导出为未知数的唯一解，并可以根据广义逆矩阵的方法得到适当的算法.（3）对于一定的参考系秩亏平差的解具有方差最小性（即ˆˆ()xx tr Q min =）.（4）对所得的ˆˆxx Q 可作为该网不受起算数据误差影响的内精度值，来衡量整个网的精度.（5）当所平差的秩亏自由网的G 阵已知时采用附加条件法较方便（测量上遇到的自由网，G 阵一般是已知的），当G 阵不知道时，则宜采用广义逆矩阵法.4 实例分析例1:图水准网，C B A 、、点全为待定点，同精度独立高差观测值为m h 345.121=，m h 478.32=，m h 817.153-=，平差时选取C B A 、、三个待定点的高程平差值为未知参数321ˆˆˆX X X 、、，并取近似值)823.25345.22100302010m X X X X （⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及其协因数阵.解：1．直接解法 误差方程为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=600ˆˆˆ101110011321x xx V 法方程为0606ˆˆˆ211121112321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------x xx由法方程易知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211211N ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1211121N ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=061W所以有⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-6336271)(11111T N N Q未知参数的改正数为)(202)(ˆ111111111m m W Q N W N N N xT T T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===-未知参数的平差值为)821.25345.22002.10ˆˆˆˆˆˆ321030201321m x x x X X X X X X （⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛未知参数的协因数阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==2111211129111111111ˆˆN Q N Q N Q T X X2．附加条件法解法一中已求得法方程为0ˆ=-W xN 的具体形式为： 0606ˆˆˆ211121112321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------x xx该水准网有3个待定点，所以附加阵为()11113=⨯TS⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯31313113TG则有TGG N N +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=11111111131211121112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=72227222731 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-522252225911N所以有)(20260652225222591ˆ1m m W N x⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-未知参数的的协因数阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-=-211121112911ˆˆT X X GG N Q结果与直接解法完全相同.例2 如图的水准网中，观测高差﹑距离和各带定点高程近视值列于表1中分别进行下列自由网平差.如下图（1） 以6号点为固定点的经典自由网平差； （2） 以重心基准的自由网平差，P=E ；（3） 以1 2 5 6 四个点为拟稳基准的拟稳平差，Px=diag （1 1 0 0 1 1）.各种平差的参数估值分别记为ˆc x ˆr x ˆs x 及解向量的各范数值；参数估值的协因数及其迹列于下列图表中.观测数据与改正数 表-1未知参数的估值ˆx（mm ） 表-2 其中ˆx=（1 2 5 6 3 4 ） 1ˆx =（1 2 5 6） 2ˆx =（3 4）未知参数估值ˆx的协因数 表-3由上表所列的数值，可以清楚看到各种自由网平差所具有的特点. （1）各法所得得改正数V 相同，均具有min T V PV =. （2）普通秩亏自由网平差61ˆ0i i x ==∑，且有ˆˆm i n T x x =（ˆˆTx x =248.38）和tr(1ˆi x Q =)=min(ˆx Q =29.40).（3）拟稳平差满足1ˆ0ix=∑且有11ˆˆmin T x x =（1.01）和tr(ˆ1x Q )=min (tr ˆ1x Q )=20.47.（4）经典平差可以看做一种特殊的拟稳平差，满足6ˆ0x =和tr （ˆ6x Q ）=0.(5)总之，各种秩亏自由网平差均满足ˆ0i x i iP x =∑且有ˆˆmin T p p x Px =.结 论通过以上分析和实例验证，在经典间接平差中，必须有足够的起算数据，所选的待定参数之间不存在函数关系时，误差方程的系数阵总是列满秩的，且秩等于必要观测数，法方程系数是一个对称的满秩矩阵，即法方程有唯一解.而秩亏自由网没有起算数据参与的并以待定点参数的网，误差方程不是列满秩，其相应的法方程系数阵为奇异阵，要求出参数的解，一种从传统测量平差观点出发，利用假观测法或附加条件式来讨论，一种是从线性代数观点出发利用广义逆矩阵来讨论，俩种方法得到的结果是相同的，（1）无论用哪种方法所得到的改正数V 是一样的，单位权中误差不变. （2）用附加条件法讨论时便于分析和验证估值的最优性，而用广义逆矩阵方法容易导出为未知数的唯一解，并可以根据广义逆矩阵的方法得到适当的算法.（3）对于一定的参考系秩亏平差的解具有方差最小性（即ˆˆ()xx tr Q min ）.（4）对所得的ˆˆxx Q 可作为该网不受起算数据误差影响的内精度值，来衡量整个网的精度.（5）当所平差的秩亏自由网的G 阵已知时采用附加条件法较方便（测量上遇到的自由网，G 阵一般是已知的），当G 阵不知道时，则宜采用广义逆矩阵法.致谢首先，向我的指导老师魏东升老师以衷心的感谢！感谢魏东升老师的细心的指导，在论文的进行过程中，魏东升师做了大量的指导工作，对论文的结构及内容提出了许多的意见和建议.在论文定稿期间，魏东升老师还花了大量的时间做了仔细认真的审阅并提出了许多宝贵的意见.同时也感谢教研室龙江平等老师的细心解答与指导.其次，在论文实践期间，感谢同学在论文过程中给予的帮助！在此，向帮助我的老师、同学、表示深深的感谢，感谢他们对我的支持和帮助.谢谢.参考文献[1] 崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰.广义测量平差. 北京：测绘出版社，1982[2] 崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰,，于正林广义测量平差（第二版）北京：测绘出版社 1992[3]. 崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰,于正林广义测量平差（第二版）武汉：武汉大学出版社 2009.[4] 武汉大学测绘学院测量平差学科组，误差理论与测量平差基础，武汉：武汉大学出版社 2003[5] 刘大杰论亏秩自由网平差武汉大学测绘学院学报 1981[6] 于正林自由网平差中若干问题的讨论武汉测绘科技大学学报 1986[7] 张卡，张书毕秩亏自由网的双重条件平差徐州：中国矿业大学环境与测绘学院2004[8] 赵超英秩亏自由网平差及其通解长安大学：地球科学与环境学报2010[9] 王帅，高井祥秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性分析中国矿业大学：勘察科学与技术 2011[10] 鲁铁定，张立亭自由网平差的直接解算西安科技大学学报第24卷4期2004[11] 冯浩鉴论秩亏网平差测绘学报第13卷第4期国家测绘局1984[12] 谢建，朱建军约束秩亏自由网平差的一种新的算法测绘工程第18卷2期中南大学 2009[13] 王军最小范数在秩亏自由网平差中的应用科教前言2012第7期神华宁夏煤业集团有限责任公司银川 2012[14] 武汉测绘学院最小二乘法教研组. 最小二乘法北京中国工业出版社 1961[15] 李庆海概率论统计原理在测量中的应用北京：测绘出版社 1982[16] 高士纯测量平差基础习题集北京：北京测绘出版社 1983[17] 刘大杰于正林控制网测量平差北京：北京测绘出版社 1985[18] 陶本藻自由网平差变形分析武汉：武汉测绘科技大学出版社 1992[19] 黄维斌近代平差理论及应用北京：解放军出版社 1992[20]杨元喜抗差估计理论及其应用北京：八一出版社 1987[21]王维松线性模型的理论及其应用合肥：安徽教务出版社 1987.。