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9秩亏自由网平差作业

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《工程测量学》习题集部分参考答案

《工程测量学》习题集部分参考答案

37、（A、B、C、D、E）
38、（A、B、C）
39、（A、B、C、D）
40、（A、B、D）
13、（A、B、C）
14、（ B、C、E ） 15、（ B、C、D、E ）
16、（ A、B、C ）
17、（ B、C、E ） 18、（ A、C、D、E ）
19、（ A、E ） 22、（ A、C、D ） 25、（ B、C、D ） 28、（ A ）（ E ）（ H ）
20、（ A、C、D、E ） 21、（ A、B、C、E、F ）
二、判断题
1、（ √ ） 2、（ √ ） 6、（ ╳ ） 7、（ ╳ ） 11、（ √ ） 12、（ ╳ ） 16、（ ╳ ） 17、（ ╳ ） 21、（ ╳ ） 22、（ √ ） 26、（ ╳ ） 27、（ √ ） 31、（ ╳ ） 32、（ √ ） 36、（ ╳ ） 37、（ √ ） 41、（ ╳ ） 42、（ √ ） 46、（ ╳ ） 47、（ ╳ ） 51、（ √ ） 52、（ ╳ ）
23、（ B、D ）
24、（ A、C ）
26、（ A、 B、C、H ） 27、（ D、E、F、G ）
29、（ B ）（ D ）（ A ）（ E ）
30、（D、F、G、H）
31、（A、B、D、E） 32、（C、D、F）
33、（A、D、E、F、G）
34、（A、C、D、E、G、H） 35、（A、C、D）
36、（A、B、C、E、F）
3、（ A ） 8、（ D ） 13、（ C ） 18、（ C ） 23、（ C ） 28、（ C ） 33、（ C ） 38、（ D ）
4、（ B ） 9、（ C ） 14、（ A ） 19、（ A ） 24、（ D ） 29、（ B ） 34、（ C ） 39、（ A ）

秩亏网平差

秩亏网平差

h2
C
原因：网中没有已知高 程点。
秩亏网平差的概念
2、平差基准
测量控制网以点的坐标（及高程）为未知参数进行参数平 差时，网中必须具有必要的起算数据。例如，水平控制网必须 有一个已知点的坐标，一条已知边长和一个已知方位角；水准 网必须有一个已知点的高程。有时，网中还会有多余的起算数 据。测量平差中，将仅含必要起算数据的控制网称为 经典自由 网，将含有多余起算数据的控制网称为附合网。当控制网中存 在必要起算数据或多余起算数据时，观测方程的系数矩阵才可 能列满秩，起算数据不足时，就产生数亏。
B BT ( BBT )1
当 C 为满秩方阵时，
(GA) GA
T
C C C 1
对于参数平差模型（等精度） ：
( AG)T AG
G 称为 A 的广义逆。
可以只满足一个或几个方程，共有 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 种不同的广 义逆。
ˆ L V AX ˆ ( AT A)1 AT L A L X
B
h1
A
h3
h2
C
ˆ 1 l1 v1 1 1 0 x v 1 0 1 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3 0 l1 1 1 0 x1 h1 l 1 0 1 x 0 h 2 2 2 0 l 0 1 1 x 3 3 h3
（D-4）
R( A) u n ， s n u
相容方程组的通解：
是满足（A-1）和（A-3）的最小范 Am
X X Gα

秩亏自由网平差及其通解

秩亏自由网平差及其通解

秩亏自由网平差及其通解赵超英;黄观文【摘要】通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解,研究了秩亏自由网基准转换的实质.结果表明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解,在实际应用中确定合适的基准是关键.以西安地区GPS沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动的基准才具有物理意义.【期刊名称】《地球科学与环境学报》【年(卷),期】2010(032)002【总页数】3页(P215-217)【关键词】秩亏;自由网平差;基准条件;坐标系;通解【作者】赵超英;黄观文【作者单位】长安大学,地质工程与测绘学院,陕西,西安,710054;长安大学,地质工程与测绘学院,陕西,西安,710054【正文语种】中文【中图分类】P228.4自Messl提出自由网平差以来[1],其理论研究和应用研究均得到较大的发展,中国学者自20世纪80年代开始对其进行了系统研究[2-3]。

后来Xu相继提出了非线性秩亏自由网平差的通解及其应用[4-6],推出不同坐标系以及不同基准下的通解。

笔者在介绍秩亏自由网平差通解的基础上,分析了如何将传统自由网平差扩展为各种坐标系、各种基准下的通解。

这有助于理解秩亏自由网平差的实质,并在实际应用中通过确定合理的基准从而获取具有物理意义的解。

_对于非线性大地控制网,观测方程满足式中:E(·)为数学期望;D(·)为方差;σ0为单位权中误差;F(·)、f(·)为非线性函数;X为初始(任意)坐标系t维待定坐标向量;L为n维观测值向量;Δ为观测值所含的偶然误差;P为观测值的权。

通常,选定初始坐标系S0下的一组初始坐标X0,对观测方程进行线性化得式中:A为n×t维设计矩阵,其秩R(A)=r<t,r为自由度,d=t-r为秩亏数;l为常数项;ΔX为初始坐标系S0下的坐标改正数。

观测值改正数V的误差方程为采用最小二乘准则可得基于初始坐标系S0下参数的通解式中:N为ATPA;M为任意非零向量;I为单位阵; N-为N的广义逆。

秩亏自由网平差在轨道监测中的应用

秩亏自由网平差在轨道监测中的应用

月９ ， 设 二 等 沉 降 监 测 网 ， 日 布 以对 ＃ １ 斗轮 为０ １ｒｍ， 弱点高 程 中误差 为 土０ １ ．７ ａ 最 ．ｍｍ，
对 以Ｐ ５ 机 轨 道 进 行 监测 。 文 主 要 介 绍 ＃ ｌ 本 斗轮 机 符 合 技 术 设 计 要 求 。 于 监 测 网 ， ０ 为 来 提 高 平 差 成 果 对 观 测 粗 差 的 抵 抗 能 力 。 工作基准点， 采用 三 固定 原 则 ， 固 定仪 器 即 轨道 监测的实施及分析监 测结果 。 ． 选用 等价 权 函数 【 ： １ 设备 、 固定 观 测 人 员 、 固定 作 业 程 序 ， 尽 以
６ ｌ １
１ ． ６１ ４
７ ｌ １
１１４ ６ ．
８ １ ｌ
ｌ ． ６１ ４
４． ５ ９ ０．４ ２ ｌ ． ３ ７ ２． ５ ６ ０． ０ ５ ０．４７ ０ １ ８ １ ７ ８ ３ ２ ０４ ９２ ８ ８ ８ ９ ３ ０ ５ ．９ ８ ．８ ９
量 减 少 误 差 来 源 。 检 核 ， 测 网 ８ 沉 降 经 监 次 监测 的最 大环 闭合差 为一 ． ｍｍ ， 准测 量 ３４ 水 外业观测是合格 的 。
Ｐ ｕ
ｐ ｏ
／≤ ｃ １
南 ］ ［ ２
０ ｃ ／
４ ，
２ 监测 网数据处理与质量评价
外 业 检 核 合 格 后 ， 合 ＃ｌ 轮 机 轨 道 结 斗
式中： 【 Ｓ １ … １， ｒ ｌ Ｊ Ｕ为 水 准 网 网
点数 。
已运 行 ２ 年 ， 能 存 在 沉 降 现象 。 确 保 电 等 级 的 要 求 。 ０ 为 已知 点 ， 用 最 ｔ ． ３ 可 为 以Ｐ ５ 采 ｂＺ
由于 抗 差 估 计 方法 计 算 的估 值具 有一 定 的抗 差 性 和 可 靠 性 ， 此 采用 抗 差 估 计 ， 因

秩亏自由网平差的解法

秩亏自由网平差的解法
秩亏G-M模型：
R( A) r t
增加虚拟观测：
ˆ l AX 2 2 1 D ( l ) Q P 0 0
（1）
d t r
P 非奇异对称矩阵
ˆ l B X
d ,t
PI
T 即当 BB I
R( B ) d
（2）
① R( B ) d T ② AB 0
h3 15.817 m
x2 h1 x1 h3 x3 h2
各线路距离S相等，试求平差后各点高程及协因数。 解： 取各点近似高程为：
0 0 0 0 x10 H 10 0 m , x2 H2 12.345 m , x3 H3 15.817 m
PI
1. 列误差方程式
ˆ l V AX
( N i I )S i NSi 0 ( i 1,d )
因N 具有秩亏d=t-r，故N的特征值中必有d个为零，对应 零特征值必存在d个线性无关的特征向量，由此构成矩阵
ud
S ( S 1 S 2 S d )
BT S
R( S ) d
AS 0
（1）再确定
l
T ˆ ˆ X r X r min

Q N Q ( AT PA BT B) I Q A PA I Q B B 右乘 B
T T
T，顾及
ABT O
B T Q B T BBT O
Q B T B T ( BBT ) 1
Q B T B T ( BBT ) 1
左乘 AQ
伪观测法
AQ Q B T AQ B T ( BBT ) 1 ABT ( BBT ) 1 ( BBT ) 1 O
时满足该条件。 相当于

4第四讲 用附有限制条件的参数平差法求解秩亏自由网

4第四讲 用附有限制条件的参数平差法求解秩亏自由网

（15） ）
前三个条件同测边网，现分析第四个条件式： 前三个条件同测边网，现分析第四个条件式： 网中重心点至任一点的距离的平差值为
ˆ ˆ ˆ ） Si2 = ( X i0 + δ X i − X 0 ) 2 + (Yi 0 + δ Yi − Y 项得： 展开上式并取至一次项得：
ＱXˆ = ( N + Gm G ) N ( N + Gm G )
T −1 m T −1 m
（5） ）
三、各种网形的 Gm 阵及秩亏自由网平差基准的意义 1.水准网 1.水准网
T Gm = (1 1 L 1)
（6） ） （7） ）
t
故由 知
t i =1
1×t
T ˆ ˆ Gm δ X = ∑ δ X i = 0 i =1 t
m
设网中的重心坐标为 又设
1 m 0 1 m 0 X 0 = ∑ X i , Y 0 = ∑ Yi m i =1 m i =1
（12） ） （13） ）
ˆ (Yi 0 + δ Yi ) − Y 0 −1 ˆ = tg −1 α i = tg 0 ˆ )− X0 (X + δ X
i i
ˆ Yi − Y 0 ˆ − X0 Xi
因此，在测角秩亏自由网平差中， 因此，在测角秩亏自由网平差中，和经典平差一 一个点的重心坐标， 样，也有自己的起始数据——一个点的重心坐标，一个 也有自己的起始数据 一个点的重心坐标 重心点至所有点的向径方位角的加权平均数和一个重心 点至所有点的向径长度的加权平均数。 点至所有点的向径长度的加权平均数。
作业： 作业： （1）用附有限制条件的参数平差法求解上次作业的水 ） 准网。 准网。
0 改为15.817m求解该网。 求解该网。 （2）将 X 3 改为 ） 求解该网

平差实验报告及完整matlab程序

x0=[-0.004;86.806;14.846;25.706;31.216;42.626];
%------------------从文本框输入数据-------------------------------
%m=get(findobj('tag','edit1'),'string');
%l1=str2num(m);
七、MATLAB程序代码
1、经典自由网平差
[f,p1]=uigetfile('*.txt','选择高差文件')
fnal=strcat(p1,f);fpath=p1;
fm=fopen(fnal,'r');
while (~feof(fm))
l1=fscanf(fm,'%f',inf);
end
[f,p1]=uigetfile('*.txt','选择距离文件')
（3-2）
其中
(3-3)
(3-4)
得出
（3-5）
求得参数 的最佳估值为
参数 的协因数阵为
六、综合分析
从结果中我们可以看出，三种平差方法所得高差的改正数是相同的，所得参数 的最佳估值是不同的。
经典自由网平差适用于起算数据充足的情况，而秩亏自由网平差适用于起算数据不足，需要加一个基准条件才能进行平差计算。拟稳平差则是选择一些相对稳定的点进行平差，是那些不稳定的点不参与平差。根据实际情况我们选择适宜的平差方法。
%s=str2num(n);
%s=s';
%------------------从文本框输入数据--------------------------------------------

9秩亏自由网平差作业

（2）以间接平差为例，说明秩亏自由网平差 的函数模型及其特点？
（3）试述近代测量数据处理理论的主要进展， 并简述每个进展的主要特点及其应用？
第三章 秩亏自由网平差
（1）测量平差原理知识回顾 a) 如何选择平差模型 b) 如何建立数学模型 c) 如何定权 d) 如何进行参数估计 e) 如何评定精度
练习4.有三角网如图所示，已知A,B两点坐标及观测值如下：
xyAA
0.00k 0.00k
m m
xyBB
0.00k 1.00k
m m
x
P
角度观测值：
L1 L2
60 59
00 59
'05 '58
'' ''
L
3
60
00
'00
''
2
边长观测值： S1 999.99m
S2 1000.01m
3
S1
（2）何为矩阵的广义逆、伪逆、最小范数逆 和最小二乘逆？掌握一种广义逆的求法。 以间接平差的法方程系数阵为例，列举广 义逆、伪逆、最小范数逆和最小二乘逆的 表达式。
（3）自由网中秩亏数什么？包括哪些内容？ 分别是如何确定的？
（4）经典参数平差与秩亏自由网平差的区别 与联系是什么？
（5）何为普通秩亏自由网平差、加权秩亏自 由网平差和拟稳平差，三者的关系是什么？
（6）何为内可靠性和外可靠性？
（7）平差因子的表达式是什么？平差因子有 什么性质？
（8）粗差与残差之间有什么关系？
（9）数据探测法的原理与步骤是什么？
（10）何为选权迭代法？ （11）抗差最小二乘原理与步骤是什么？ （12）列举几种常用的选权迭代法。

秩亏自由网平差


ˆ N BT Pl ( E N N )M 中挑选一个解，使得 从X
X min
所以，平差问题成为：
即求误差方程的最小 二乘、最小范数解。 最小二乘指改正数， 最小范数指参数。亦 即求长度最短的最小 二乘解。 武汉大学测绘学院 孙海燕
V T PV min ˆ l V BX ˆTX ˆ min X
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
例：如图水准网，1）设 H 3 已知，则误差方程为
0 v1 1 l1 ˆ1 v 1 1 x l2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
法方程系数阵
rank( B) R( B) u t 2
2 1 B B 1 2
T T T 1
rank( BT B) t u 2
1 2 1 | B B | 3, ( B B) 3 1 2
ˆ ( BT B) 1 BT l x
（5） 若矩阵 P 正定，则
A( AT PA) AT PA A
（6） G 为 AT A 的广义逆，则 G T 也是 AT A的广义逆。 3、广义逆 A 的计算 若

rank ( A) r (n, m)
，设
1 A O 11 A m.n O O
A11 r .r A n.m A21 n r .r
4、不同基准下平差的各种量有什么变化
5、基准如何变换
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
第二节 广义逆与线性方程组的解
m,n n ,1
线性方程组
Axb
m,1
a1

3第二章 秩亏自由网平差原理综述


ˆ Qˆ 普通秩亏网平差： X r 、 Xr ˆ 、Q ˆ 普通拟稳平差： X XS S ˆ 、Q ˆ 经典自由网平差： X C XC
ˆ L 0 1 X V1 1 1 1 V 1 1 X ˆ L 0 2 2 2 ˆ L V3 0 1 1 X 3 3 1 0 1 1 0 A 1 1 0 =0 1 1 0 1 1
第一专题： 秩亏自由网平差
长安大学地测学院 赵超英 zhaochaoying@
主要内容
问题的引入 秩亏自由网平差的原理 广义逆的补充知识 秩亏自由网平差的解法 秩亏自由网平差解的性质
一、问题的引入
1、四个例子、两个概念
例1： 设有水准网，如图所示，假设 x3 为已知高程，
1、秩亏网最小二乘解： i）假定某些差数固定——设定基准
V AX L R ( A) t 0 , d 0 V T PV m in 得：
NX AT PL R( A) t 0 ˆ N 1 AT PL X
1
N
——正则逆（凯莱逆）
ii)不设基准 R( A) t 0 t , d d 0
三种自由网平差间的关系
加权包含了普通与拟稳秩亏网平差是一种普通形式。
当 Px I 时 ˆTP X ˆ X ˆ T X min X x
PX 2 当 Px
0 0 时，则 = PX I 0 I
T 0 0 X T T I X X T X min 0 I X
R( N ) t 0 t 秩亏 凯莱逆不存在： NN NN 广义逆 N 不唯一， X N AT PL ( I N N )M ，其中M是任意向量，解不 唯一。 注意： N N I
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（2）何为矩阵的广义逆、伪逆、最小范数逆 和最小二乘逆？掌握一种广义逆的求法。 以间接平差的法方程系数阵为例，列举广 义逆、伪逆、最小范数逆和最小二乘逆的 表达式。
（3）自由网中秩亏数什么？包括哪些内容？ 分别是如何确定的？
（4）经典参数平差与秩亏自由网平差的区别 与联系是什么？
（5）何为普通秩亏自由网平差、加权秩亏自 由网平差和拟稳平差，三者的关系是什么？
（6）何为内可靠性和外可靠性？
（7）平差因子的表达式是什么？平差因子有 什么性质？
（8）粗差与残差之间有什么关系？
（9）数据探测法的原理与步骤是什么？
（10）何为选权迭代法？ （11）抗差最小二乘原理与步骤是什么？ （12）列举几种常用的选权迭代法。
第四章 附加系统参数平差
（1）何为测量平差系统的模型误差，包括哪 些内容？
（2）附加系统参数平差的基本原理是什么？ 求解过程是什么？
（3）数理统计中四种常用的概率分布是什么？ 分别是如何定义的？
（4）对系统误差中附加参数的检验包括哪几 项？分别是如何进行的？
（5）对含有粗差的观测值一般如何建立数学 模型？对应的粗差处理方法是什么？
第1章 近代测量数据处理概论
（1）测量平差的数学模型中函数模型和随机 模型的含义分别是什么？
（2）以间接平差为例，说明秩亏自由网平差 的函数模型及其特点？
（3）试述近代测量数据处理理论的主要进展， 并简述每个进展的主要特点及其应用？
第三章 秩亏自由网平差
（1）测量平差原理知识回顾 a) 如何选择平差模型 b) 如何建立数学模型 c) 如何定权 d) 如何进行参数估计 e) 如何评定精度
练习4.有三角网如图所示，已知A,B两点坐标及观测值如下：
xyAA
0.00k 0.00k
m m
xyBB
0.00k 1.00k
m m
x
P
角度观测值：
L1 L2
60 59
00 59
'05 '58
'' ''
L
3
60
00
'00
''
2
边长观测值： S1 999.99m
S2 1000.01m
3
S1
2 2
1
TA 2 TN2N 11 11 A 1 T1 2
2
1 1
12 1
2
M m M (M ) M 1 2 3 3 3 3 2 0 90 0 1 3 1 10 0
1 1 1
MmT16
3 6 1 1
6 3 6
N 1 1 ( A 1 T N 1) 2 1 2 0 1 2
S2
1 A
2
y
B
设待定点P的坐标（ xP , yP ），为
未知数，试列出线性化后的误差 方程式。
练习1.有水准网如图所示，各路线的高差观测值及距离如下：
h1 0 .505 h 2 4 .010 h 3 2 .003 h 4 2 .501
S 1 4 km S 2 1 km S 3 2 km S 4 4 km
=237.483m，B、C、D为待
定点，设各路线等长。观
测高差
h15.83,5
h2 3.78,2h3 9.64,0
h4 7.38,4h5 2.2 7,0
试确定 B、C、D 三点高程
的平差值。
练习3．如图所示，已知A(0,0),B(0,2),C、D是待定 点,其近似坐标为(1.732,1)和(1.732,3)(单位:km)。
试用秩亏网平差方法求待定点 P1,P2,P3,P4的高程值。
h4
P4
h3
P1
h1
P2
h2
P3
练习2：如图所示水 准网，欲定A、B、 C、D间的高差，沿 箭头所示方向进行 水准观测，高差及 路线长度如下：
以A、B为非稳定点，C、D 为稳定点进行拟稳平差。
练习3：如有四个待定点的水准网，已知普 通秩亏网的平差结果为
3．解算未知参数
Xˆ
Xˆ2 Pl22 X ˆ1P l 0
ˆx1 0 ˆx 2 2 ˆx 3 2
4．计算观测值改正数
v1 1 1 00 0 2 v20 1 1262 v3 1 0 12 0 2
5．计算未知参数协因数阵
Qxˆxˆ TT
1
T T2 00源自01 61 6
0
16
1 6
（9）拟稳平差的三种解法
（10）自由网平差直接解法与拟稳平差解法 的本质区别
（11）自由网平差结果的相互转换关系及其 精度评定转换关系
练习1.设有矩阵
2 N 1
1 2
1 1
和
PX
1
2
1 1 2
4
已知 QX PX1 试求广义逆 (NQXNT)
练习2. 如图所示水准网中，
已知水准点A的高程为
（6）掌握秩亏自由网平差的三种常用解法： 最小范数解、伪观测法和附加条件法。 （注意三种解法是等价的）
（7）自由网平差基准的含义是什么？经典平 差基准的含义是什么？拟稳平差基准的含 义是什么？是如何确定的？试以水准网为 例说明三种基准的关系。
（8）测角网、边角网重心基准的含义是什么？
（9）秩亏自由网平差的性质有哪些？
B 0 C33000''0, 0B 0D 3000''0 , S0B 0C2.0km ,
SB 0 D 2.0km , 同精度观测了7个角度 L1,L2,.....L.7,, 其中 L 6 =59°59′56″。若按坐标平差法对该网进 行平差,试列出观测角 L 6 的
误差方程（设 215 0,
xˆ, yˆ 以分米为单位）。
X ˆ r 1 . 0 1 . 0 2 . 0 2 . 0 T
现采用经典参数平差，设网中第4点为已知 高程点，即 Xˆ4 0
试求该网按经典平差的结果。
（三）拟稳秩亏自由网平差求解实例
【例】如图所示的水准网，现测得 h11.2 34m5h23.47m8h31.8 51 m7
xˆ xˆ 各线路距离S相等，设第2、3点为稳定点，即
则有
1
A1
0
1
1
A2
1
0
0
1
1
Xˆ1 (ˆx1) ,
Xˆ 2
ˆx 2 ˆx3
PI u3 u1 1 u2 2 d1
2．计算以下矩阵
根据拟稳平差原理，可得：
2 1 1 N AT A1 2 1
1 1 2
2 1
MN N212 1N22N 11 N 111 N1 2 2 1 332 1 3 32 N 2 TM1 N220R1(M2)1
2 和 3 为稳定未知数，
试求平差后各点高程及精度。
x2
h1
x1
h3
解： 取各点近似高程为：
h2 x3
x 1 0 H 1 0 0 m ,x 2 0 H 2 0 1 .3 2 m 4 ,x3 05 H 3 01.8 51 m7PI
1．误差方程式
v1 1 1 0ˆx1 0 v2 0 1 1ˆx26 v3 1 0 1ˆx3 0