专题7 分式方程的解法(必讲)(张乃贵)

专题7分式方程的解法
含有分式的方程叫做分式方程。

一、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程
例1解方程 2142122
4x x x x +-=+--． 分析：去分母，转化为整式方程．
解：原方程可化为： 14212(2)(2)2
x x x x x +-=++--
方程两边各项都乘以24x -：
2(2)42(2)4x x x x -+-+=-
即2364x x -=-， 整理得：2320x x -+=
解得：1x =或2x =．
检验：把1x =代入24x -，不等于0，所以1x =是原方程的解； 把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根．
所以，原方程的解是1x =．
说明：
(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．
(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．
2．用换元法化分式方程为一元二次方程
例2解方程 2
2
23()4011
x x x x --=-- 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设2
1
x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程2
1
x y x =-．
解：设2
1
x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-． (1)当4y =时，2
41
x x =-，去分母，得224(1)4402x x x x x =-⇒-+=⇒=；
(2)当1y =-时，22211101x x x x x x x =-⇒=-+⇒+-=⇒=-． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
所以，2x =，12
x -±=都是原方程的解． 说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y 的值，而没有求到原方程的解，即x 的值．
例3解方程 22228(2)3(1)1112x x x x x x
+-+=-+． 分析：注意观察方程特点，可以看到分式2221x x x +-与2212x x x
-+互为倒数．因此，可以设2221
x x y x +=-，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程． 解：设2221x x y x +=-，则22112x y
x x -=+ 原方程可化为：2338118113018
y y y y y y +=⇒-+=⇒==或． (1)当1y =时，22222112121
x x x x x x x +=⇒+=-⇒=--； (2)当38y =时，22222231816335163038
51x x x x x x x x x x +=⇒+=-⇒++=⇒=-=--或．
检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是12x =-，3x =-，15
x =-． 说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．
对于某些分式方程也可以采取特殊的方法去解决。

例4. 解方程：。

分析：在解分式方程的时候，要把分式方程变为整式方程。

原方程的两边都要乘最简公
分母，在找最简公分母的时候要先把分式方程变形。

解：去分母得，即。

解之得
检验：当时，最简公分母。

所以是原方程的解。

评注：在解这个分式方程时一定要注意，方程等号右边的常数3也必须乘最简公分母。

例5. 解方程：。

分析：本题中分式的分子、分母均较复杂，需要先把每个分母进行分解，找到最简公分母。

解：原方程可变形为：
即
两边同时乘
得
解得
检验：当时，
所以是原方程的解。

评注：解比较复杂的分式方程的时候，需要把分式方程的每个分母进行分解，然后找到这个分式方程的最简公分母。

例6 解方程：。

分析：此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答。

观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解。

解：移项，得：
方程两边通分，得：
即
方程的两边同乘，得：
评注：在解分母含有连续数字或具有特殊间隔规律数字的分式方程时，若直接去分母，运算量很大。

若先移项，然后将方程两边分别通分，则出现相同的分子，可以使解分式方程的过程大大简化。

总之，要看清分式方程的特点，采用灵活的方式把分式方程转化为整式方程，在求出整式方程的解之后不要忘记检验。

检验的方法有两种：一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验；另一种是把求得的未知数的值代入分式的最简公分母进行检验。

练一练：
1. 当x ＝______时，分式3x 与26x
-的值互为相反数． 2．仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．
3．x ＝______时，两分式
44-x 与1
3-x 的值相等． 4．当a ＝______时，关于x 的方程4
532=-+x a ax 的根是1． 5．若方程11
4112=---+x x x 有增根，则增根是______． 6．关于x 的方程11=+x a 的解是负数，则a 的取值范围为____________． 7. 解下列分式方程：
（1）
11322x x x -=---；（2）257233212x x x x x -=+-+--；（3）2210121
x x x x -+=-+-． 8. 甲、乙两地相距50km ，A 骑自行车，B 乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B 中途休息了0.5小时还比A 早到2小时，求自行车和汽车的速度．
9.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
答案
1. 【答案】18；
【解析】
3206x x
+=-，解得18x =. 2. 【答案】222a m m
+； 【解析】原计划能供应a m 天，现在能供应2a m +天，则少供应222a m m +天.
3. 【答案】－8；
【解析】
4341
x x =--，解得8x =-. 4.【答案】173-； 【解析】将1x =代入原方程，得85512a a +=-，解得173
a =-
. 5.【答案】1x =；
【解析】原方程化为：()22141x x +-=-，解得1x =，经检验1x =是增根. 6.【答案】1a <且a ≠0；
【解析】原方程化为1
10a x x a =+=-<，，解得1a <.x ≠-1，解得a ≠0. 7.【解析】
解：(1)方程的两边都乘2x -，得113(2)x x =---．
解这个整式方程，得x ＝2．
检验：当x ＝2时，x －2＝0，所以2是增根，所以原方程无解．
(2)方程两边同乘(2)(1)x x --约去分母，得572(2)3(1)x x x -=-+-． 整理，得5757x x -=-．这个式子为恒等式.
检验：当1x =，2x =时，(2)(1)0x x --=，
所以1x =和2x =是增根．
因此，原方程的解是1x ≠且2x ≠的任何实数．
(3)方程两边同乘(2)(1)(1)x x x ++-，
得(2)2(1)(1)(2)(1)0x x x x x x +-+-+++=． 解此方程，得45x =-
． 检验：把45x =-
代入(2)(1)(1)x x x ++- 得4442110555⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-+⨯--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以原方程的解是45x =-
． 8.【解析】
解：设自行车的速度为/xkm h ，汽车的速度为2.5/xkm h ，
由题意，
50500.522.5x x
=++， 解方程得：12550 6.25x =+
12x =
经检验，12x =是原方程的根，
2.530x =.所以自行车的速度为12/km h ，汽车的速度是30/km h . 答：自行车的速度为12/km h ，汽车的速度是30/km h .
9.解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为1x +， 则：10(1)2
81x x x ++-=+．
解方程得：3x =．
经检验：3x =是原方程的根．
所以个位上的数字为：1x +＝3＋1＝4．
所以这个两位数是：3×10＋4＝34．
答：这个两位数是34．
江苏省兴化中学 张乃贵。