2019云南省中考数学一轮复习《第7讲：分式方程》课件

重难点 · 突破
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第一部分 教材同步复习
4
2．用分式方程解实际问题的一般类型 工作总量 (1)工程问题：①工作总量＝工作效率×工作时间，工作效率＝ ，工作 工作时间 工作总量 时间＝ ；②完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1. 工作效率 商品利润 (2)销售问题： ①商品利润＝商品售价－商品成本价； ②商品利润率＝ 商品成本价 商品销售额 ×100%；③商品销量＝ ；④商品的销售利润＝(销售价－成本价)×销售 销售价 量．
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第一部分 教材同步复习
8
【解答】
设甲平均每分钟打 x 个字，则乙平均每分钟打(x＋20)个字，
135 180 根据题意，得 x ＝ ，解得 x＝60， x＋20 检验：当 x＝60 时，x≠0 且 x＋20≠0，所以 x＝60 是原分式方程的解． 答：甲平均每分钟打 60 个字．
72 000 240 000 根据题意，得 ＋ x ＝120，解得 x＝2 400， 1.5x 检验：当 x＝2 400 时，1.5x≠0，所以 x＝2 400 是原方程的解， 当 x＝2 400 时，1.5x＝3 600. 答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为 3 600 元/台和 2 400 元/台．
第一部分 教材同步复习
0
第 7讲
分式方程
知识要点 ·归纳
知识点一 分式方程及其解法
未知数 的方程叫做分式方程． 1．分式方程：分母中含有①__________
2．解分式方程 (1)基本思路：分式方程――→整式方程
去分母
中考新突破 · 数学(云南)
知识要点 · 归纳
云南5 年真题 · 精选
重难点 · 突破

x 1 k 3 已知关于x的分式方程 -2= 无解,请求出k的值. 2x 5 2x 5
易错警示 本题容易出现的错误是混淆分式方程的增根与错解,实际上,分式
方程的增根是由分式方程本身所决定的,而不是解方程时出现了错误,并且分
式方程的增根往往是我们解决某些问题的突破口.
解析 因为该分式方程无解,所以解方程所得的解为增根.
该题型主要考查分式方程的解法,主要内容包括:解分式方程,利用分式方程 的根求方程中的字母参数,对分式方程进行验根,利用分式方程的增根求方程 中的字母参数等. 典例1 (2018沧州模拟)解下列分式方程:
x2 3 (1) - =1; x3 x3 6x x2 (2)x-3+ =0. x3
2 间的 ,求建成后的城际铁路在A,B两地的运行时间. 5
答案
设城际铁路现行速度是x km/h.
114 120 2 由题意得 × = , x 5 x 110
解这个方程,得x=80. 经检验,x=80是原分式方程的根,且符合题意.
120 2 × =0.6. 80 5
答:建成后的城际铁路在A,B两地的运行时间是0.6 h.
4 m ∵关于x的方程 - =1的根是2, x 2x
∴x=2满足原方程.
m 把x=2代入原方程,得2- =1, 4
解得m=4. 当m=4时,(m-4)2-2m+8=(4-4)2-2×4+8=0.
题型二
考查分式方程的应用
该题型主要考查分式方程的应用,主要内容包括:根据实际问题列分式方程, 列分式方程解决实际问题等,常与一元一次方程、二元一次方程组、函数等 知识相结合进行综合考查. 典例2 (2017唐山滦南五模)为加快城市群的建设与发展,在A,B两个城市间 新建一条城际铁路,建成后,铁路运行里程由现在的120 km缩短至114 km,城 际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110 km,运行时间仅是现行时

第8课时┃ 分式方程
考点2 分式方程的解法
1.方程两边都乘以各个分母的_最__简__公__分__母___，约
去分母，化成整式方程；
解分式方 程的一般
步骤
2.解这个整式方程； 3.检验：把求得的未知数的取值代入最简公分 母，看是否等于0，使最简公分母为0的根是原 方程的增根，增根必须舍去.
注意：解分式方程可能产生增根，所以解分式
经检验，x＝3 是原方程的解．
第8课时┃ 分式方程
解分式方程，通常是把分式方程两边同乘以各分母的最简 公分母，化为整式方程；解分式方程要验根．
解分式方程时易出现的错误： (1)漏乘没有分母的项； (2)没有验根； (3)去分母时，没有注意符号的变化．
第8课时┃ 分式方程
三 、 分式方程的应用 命题角度： 1．利用分式方程解决生活实际问题； 2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
第8课时┃ 分式方程
当堂检测
1．解分式方程x－1 2＋x2－x 4＝5 时，方程两边同乘以的
最简公分母是
(C )
A．x＋2
B．x－2
C．(x＋2)(x－2) D．(x＋2)(x－2)2
解 析 由于 x2－4＝(x＋2)(x－2)，因此该分式方 程各分母的最简公分母是(x＋2)(x－2)，应选 C.
6.答 写出答案(包括单位).
第8课时┃ 分式方程
考点训练
一 、 分式方程解的问题 命题角度： 1．分式方程的概念； 2．分式方程的增根：使分式方程的分母等于零的根．
第8课时┃ 分式方程
例 1 [中考真题] 若关于 x 的方程xx－－15＝10－m 2x无解，则 m＝_____－__8_．
解析
由于关于x的方程

第二十三页，共26页。
3．(2014·襄阳)甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km.一列动 车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度 比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好(qiàhǎo)到达距离 A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
第二十六页，共26页。
第五页，共26页。
4．(2013·湘西)吉首城区某中学组织(zǔzhī)学生到距学校 20 km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵 绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽 车前往，结果他们同时到达(两条道路路程相同)，已知汽 车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．
第十八页，共26页。
分式方程的实际(shíjì)应用
1．(2014·扬州)某漆器厂接到制作480件漆器的订单 (dìnɡ dān)，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作 的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任 务．原来每天制作多少件？
第十九页，共26页。
【解析(jiě xī)】设原来每天制作x件，根据等量关系
设特快列车的平均速度为 x km/h，则动车的速度为 (x＋54)km/h，由题意得x3＋6504＝360－x 135，解得 x＝90，经检 验，x＝90 是这个分式方程的解，∴x＋54＝144，则特快列车的 平均速度为 90 km/h，动车的平均速度为 144 km/h
第二十四页，共26页。
4．某车间加工1200个零件(línɡ jiàn)后，采用了新工艺，工效是 原来的1.5倍，这样加工同样多的零件(línɡ jiàn)就少用10 小 时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件(línɡ jiàn)？

（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找共享单车共用了5 min，他能否在演唱会开始前 赶到奥体中心？请说明理由.
解：（2）不能.理由如下：小张跑步到家所需时间为2 520÷210＝12（min），小张骑车所用时间为12－4＝8（min），小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12＋8＋5＝25（min）.∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心.
答：甲每小时做零件45个，乙每小时做零件60个.
A.1＋3＝3x（1－x）
B.1＋3（x－1）＝－3x
C.x－1＋3＝－3x
D.1＋3（x－1）＝3x
B
巩固训练
A.x＝－2
B.x＝2
C.x＝－4
D.x＝4
3.（2023·遵义模拟）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5 t货物，且大货车运输75 t货物所用车辆数与小货车运输50 t货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x t货物，则所列方程正确的是（ B ）
【思路引导】设小琪步行的速度为b km/h，则小文骑车的速度为4b km/h，利用时间＝路程÷速度，结合“小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆”列方程求解.
【自主解答】
答：小琪步行的速度为3 km/h.
【夺分宝典】
【对点训练】
1.某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？
【自主解答】
解得a＝100.经检验，a＝100是原方程的解，且符合题意.
答：足球的单价为100元.
（3）小琪和小文相约到体育馆锻炼，小琪和小文家分别距体育馆3 km，6 km，小文骑车的速度是小琪步行速度的4倍，若小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆，求小琪步行的速度.

0时，分式方程无实根。
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
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分式方程ppt课件
目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)

复习讲义
要点梳理 典题精析 备考练习
4
第7讲 分式方程 典题精析
第7讲 分式方程
复习讲义
考点一 分式方程的解法
名师指导 1.正确找到最简公分母是解分式方程的第一步，找到最简 公分母之前，要把各分母中能因式分解的先因式分解，然后在方程两边
同时乘最简公分母（最简公分母要乘方程的每一项，不要漏乘），把分 式方程转化为整式方程求解.
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第7讲 分式方程
复习讲义
要点梳理 典题精析 备考练习
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第7讲 分式方程
考点专练
A
复习讲义
要点梳理 典题精析 备考练习
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第7讲 分式方程
复习讲义
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要点梳理 典题精析 备考练习
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第7讲 分式方程
复习讲义
8.（2022·贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买一些绳子和实
心球.已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且用84元购买
复习讲义
考点二 根据分式方程解的情况求未知系数的值或取值范围
名师指导 根据分式方程的解的情况求未知系数取值范围的方法： （1）解分式方程，根据解的取值范围获得未知系数的不等式，求出未 知系数的取值范围； （2）确定最简公分母为0时，未知系数的值； （3）得出最简公分母不为0时，满足题目条件的未知系数的取值范围.
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第7讲 分式方程
备考练习
要点梳理 典题精析 备考练习
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第7讲 分式方程
备考练习
要点梳理 典题精析 备考练习
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第7讲 分式方程
备考练习
要点梳理 典题精析 备考练习
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第7讲 分式方程
提分练
D

路程 ③行程问题：时间＝程度.
(2)解分式方程的实际应用问题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设出适当的未知数(直接设未知数或者间接设未知数)； ③找：找出各量之间的等量关系； ④列：根据等量关系，列出分式方程； ⑤解：解这个分式方程； ⑥验：a.检验求出的解是否使原分式方程有意义，b.检验是否满足题意； ⑦答：写出答案． 审清题意是前提，找等量关系是关键，列出方程是重点．
命题点 1 分式方程的解法
1．(2014·鞍山 4 题 3 分)分式方程23x＝x－1 1的解为( C ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 2．(2015·营口 6 题 3 分)若关于 x 的分式方程x－2 3＋x3＋－mx ＝2 有增根，则 m 的值是( A ) A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0 或 m＝3 3．(2014·锦州 12 题 3 分)方程4－1 x－3x－＋4x＝1 的解是_x_＝__0_.
求出的整式方程的根，但使分式方程分母为 0，也可能是去分母后的整式
方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程
的分母为 0 的根．
4．分式方程的实际应用 (1)分式方程的实际应用的常见类型及关系： ①工程问题：工作效率＝工工作作时量间；
工作量 工作时间＝工作效率； ②销售问题：售价＝标价×折扣；
1．分式方程定义：分母中含有__未__知__数___的方程叫做分式方程． 2．分式方程解法：分式方程去―转―分化→母整___式____方___程___ 解――方→程求出解代入最―检―简验→公分母得出分式 方程的解． 3．分式方程的增根：使最简公分母为__0__的根． 注意：分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是
【方法指导】1.解分式方程的关键是找分式方程的最简公分母，将分 式方程转化为整式方程进行求解． 2．对于含有常数项的分式方程在解题过程中注意：①给方程两边同乘 以最简公分母，不要给常数项漏乘；②分式方程中一项的分母与最简 公分母的系数互为相反数时，要记着对应分子的符号是否发生变化． 3．分式方程的检验和整式方程不同，整式方程的检验是为了检查计算 的正确性，不是必须进行的；而解分式方程在去分母的过程中，容易 产生增根，所以检验是必不可少的，有的学生容易漏掉这一环节，就 会出现错误．

(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人；
解：设该厂当前参加生产的工人有x人.
根据题意，得
16 8(x 10)
15 ， 10x
解得x＝30.
经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意.
答：该厂当前参加生产的工人有30人.
解：每人每小时完成的工作量为15÷10÷30＝0.05(万剂).设还需要生产y天
A3. 7 1
x x6
3
Cx.
x
7
6
1
B. 3 10 1
x x6
D.
3 10 1 x x6
13.若关于x的方程 2 x mx 无解，则m的值为( B )
x 1 1 x
A.－1 C.1
B.－1或1
D.－1或－
5
3
14.(2020·枣庄)对于实数a，b，定义一种新运算“
这里等式右边是实数运算.例如，1
第二章 方程(组)与不等式(组)
第7讲 分式方程及其应用
1.(2021·哈尔滨)方程 1 2 的解为( A )
2 x 3x 1
A.x＝5
B.x＝3
C.x＝1
D.x＝2
2.解分式方程 2 3 6
x 1 x 1 x2 1
分以下四步，其中错误的一步是(
D
)
A.方程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)
的平均速度为x km/h.
根据题意，得 240
x
270 1.5x
1，
解得x＝60.
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＝90.
答：甲校师生所乘大巴车的平均速度为60 km/h，乙校师生所乘大巴车的平
均速度为90 km/h.

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三、解答题 9．(2018·无锡)解方程：x－1 2 ＝12－－xx －3.
解：两边都乘以 x－2，得 1＝x－1－3(x－2). 解得 x＝2. 检验：当 x＝2 时，x－2＝0. 所以 x＝2 是分式方程的增根，则原分式方程无解．
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10．(2020·陕西)解分式方程：x－x 2 －x－3 2 ＝1.
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12．(2018·贺州)解分式方程：x2－4 1 ＋1＝xx－＋11 .
解：去分母，得 4＋x2－1＝x2－2x＋1. 解得 x＝－1. 经检验，x＝－1 是增根，分式方程无解．
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13．(2019·湘西)列方程解应用题：某列车平均提速 80 km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶 300 km，提速后比提速前多行驶 200 km，求该列车提 速前的平均速度．
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解：(1)设甲公司有 x 人，则乙公司有(x＋30)人．
依题意，得100x000 ×76 ＝1x4＋0 03000 ， 解得 x＝150. 经检验，x＝150 是原分式方程的解，且符合题意． ∴x＋30＝180. 答：甲公司有 150 人，乙公司有 180 人．
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(2)设购买 A 种防疫物资 m 箱，购买 B 种防疫物资 n 箱． 依题意，得 15 000m＋12 000n＝100 000＋140 000，
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解：设该列车提速前的平均速度为 x km/h，则提速 后的平均速度为(x＋80)km/h. 依题意，得3x00 ＝30x0＋＋82000 ，解得 x＝120. 经检验，x＝120 是原分式方程的解，且符合题意． 答：该列车提速前的平均速度为 120 km/h.

1.解方程
x x2 1
x2 1 3x
4 3
时,设
y
x x2 1
,则原
方程化为关于y 的整式方程是: 3y²-4y+1=0 .
2.已知方程a 2
b2
20 a2 b2
8,则a2
b2
10
3.用换元法解方程：x2
3x
20 x2 3x
8
考点4:列分式方程解应用题
1.(202X•临沂)某校为了丰富学生的校园生活,
则m= -1 .
注意:分式方程有增根和无解的区分！
考点2:根为正(负)数问题 1则.若a的关取于值x的范围分式为方a＜程-21xx且1aa≠-21的.解为正数,
变式:(202X•凉山州)关于x的方程
=﹣1
的解是正负数数,则a的取值范围是a＞-1且a≠-1/2 .
a＜-1
考点3:用换元法解分式方程
(3)验根:其方法是代入最简公分母中看分 母是不是为__0__.
4.增根(使最简公分母为0的根)
分式方程化为整式方程后,解整式方程产生的 根,有时会使分式方程中的分母为0,因此解分
式方程要__验__根___.
应用:分式方程
3
6 x 1
xm x 1
产生增根,则增根
是 1 ,此时m= 5 .
2.(2014•巴中)若分式方程 ﹣ =2有增根,
1.分式方程
1 x 1
x
2 1
1去分母得到的整式方
程为_x__+_1_=__2_(_x_-_1_)_-_(x__+_1_)_(_x_-_1_)______.
变去分式母:(2后0变2X形·山2东-(x)解+2分)=式3方(x程-1x)2.1

()
A．1
B．0
C．2
D．－2
解析 方程两边同乘以x－1，得x－2(x－1)＝m，
解得x＝2－m，
∵关于 x 的分式方程x－x 1－2＝x－m 1无解， ∴x＝2－m＝1，解得：m＝1.
答案 A
课前必读 知识梳理 对接中考 易错防范
步步高中考总复习Βιβλιοθήκη 对接点四：一元一次方程和分式方程的应用 常考角度：1.能利用列方程解应用题的七个步骤解决应用 题； 2．掌握实际问题中的一些等量关系．
步步高中考总复习
第七讲 一元一次方程及分式方程
课前必读 知识梳理 对接中考 易错防范
步步高中考总复习
考纲要求
1.了解方程、一元一次方程及分式方程的概念； a
2.理解方程解的概念；
b
3.了解解分式方程产生增根的原因；
b
4.会解一元一次方程；
c
5.会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的 c
分式不超过两个)；
[正解] A
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易错点2：忽略隐含条件 辨识：解分式方程时，“分母不为零”这个隐含条件往往 被忽略． 【例题 2】 (2012·兰州)关于 x 的分式方程x－m 1＋1－3 x＝1 的
解为正数，则 m 的取值范围是________．
课前必读 知识梳理 对接中考 易错防范
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易错点1：解法错误 辨识：解法错误主要有： (1)去分母时漏乘； (2)去括号时，括号前是“－”号时，括号内的项忘记变号； (3)移项忘记变号； (4)解分式方程忘记检验．
课前必读 知识梳理 对接中考 易错防范

◆课堂练兵
◆知识清单
◆考点突破
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投资8 000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了
20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4 000元．根据题意，求
出原计划每间直播教室的建设费用是
A．1 600元
B．1 800元
C．2 000元
D．2 400元
( C )
中考真题
命题点4 分式方程的应用
【例2】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划
(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？
(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需
费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至
少安排乙工程队施工多少天？
（1）解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路1.5米，
小题练习
命题点1 判断分式方程
1

+1
2
【例1】下列方程：① + 1 = ；②
2
3
+
−1
1−
− 3 = 0；③


（, 为已知数），其中分式方程有（B ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【对点训练1】下列关于的方程，是分式方程的是（D）

A．
2
−3=

5
1
B．
2
−
1

3
=5

C．
的百分之几出售
较大量=较小量+多余量
总量=倍数×一份量
由题可知
弄清和、差、倍、分关系
和差倍分问题
路程=速度×时间
追及问题