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第7讲分式方程考点1 分式方程及解法分式方程的概念分母里含有①的方程叫做分式方程.分式方程的解法解分式方程的基本思路是将分式方程转化为②方程，具体步骤是：(1)去分母，在方程的两边都乘以③，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果④，则整式方程的解是原式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.考点2 分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤跟一次方程(组)的应用题不一样的是：要检验⑤，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否⑥ .分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解.命题点1 分式方程的解法例1 (·呼和浩特)解方程：23 2x x +-212x x-=0.【思路点拨】先确定最简公分母x(x+2)(x-2)，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，最后要检验.【解答】方法归纳：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，并检验该整式方程的解是不是原分式方程的解.1.(·原创)把分式方程24x+=1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)2.(·台州)将分式方程1-21xx-=31x-去分母，得到正确的整式方程是( )A.1-2x＝3B.x-1-2x＝3C.1+2x＝3D.x-1+2x＝33.(·重庆B卷)分式方程41x+=3x的解是( )A.x＝1B.x＝-1C.x＝3D.x＝-34.(·连云港)解方程：22x-+3=12xx--.命题点2 分式方程的应用例2 (·襄阳)甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km，一列动车与一列特快列车分别从A、B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h.当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站.求动车和特快列车的平均速度各是多少？【思路点拨】设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的平均速度为(x+54)km/h，依题意有等量关系：动车行驶360 km所用时间＝特快列车行驶(360-135)km所用时间.列方程求解即可.【解答】方法归纳：列分式方程解应用题的关键是分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，从而得到等量关系式，进而引进未知数，列出方程解决问题.利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案.1.(·莱芜)已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地.若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地.设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是( )A. 40x=5012x-B.4012x-=50xC. 40x=5012x+D.4012x+=50x2.(·大连)某超市购进A、B两种糖果，A种糖果用了480元，B种糖果用了1 260元，A、B两种糖果的重量比是1∶3，A种糖果每千克的进价比B种糖果每千克的进价多2元.A、B 两种糖果各购进多少千克?3.(·东营)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.根据市政建设的需要，须在40天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程.经调查知道：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成.甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天?1.(·山西)解分式方程21x -+ 21x x+-=3时，去分母后变形为( ) A.2+(x+2)=3(x-1) B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)2.(·孝感)分式方程1x x -=233x -的解为( ) A.x=-16 B.x=23C.x=13D.x=563.(·原创)邱老师和黄老师住在同一个小区，离学校 3 000米，某天早晨，邱老师和黄老师分别于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知黄老师骑车的速度是邱老师的1.2倍，则邱老师骑车的速度是( )A.80米/分B.100米/分C.120米/分D.200米/分4.(·无锡)方程22x +=1x的解是 . 5.(·广安)解方程42x x --1=32x-，则方程的解是 . 6.(·巴中)若分式方程1x x -- 1m x -=2无解，则m 的值是 . 7.(·盘锦)小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍.设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为 .8.解分式方程：(1)(·盐城)31x -＝21x +；(2)(·聊城) 22xx+-+2164x-=-1.9.(·东营模拟)如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是-3和1-x2-x，且点A、B 到原点的距离相等，求x的值.10.(·娄底)娄底到长沙的距离约为180千米，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达，已知小轿车的速度是大货车的速度的1.5倍.(1)求小轿车和大货车的速度各是多少？(列方程解答)(2)当小刘出发时，小张离长沙还有多远？11.(·徐州)几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票.下面是两个小伙伴的对话：根据对话中的信息，请你求出小伙伴们的人数.12.(·威海）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元.已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？13.(·自贡)学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成.现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成？(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？14.(·荆门)已知：点P(1-2a ，a-2)关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程 1x x a+-＝2的解是( ) A.5 B.1 C.3 D.不能确定15.(·枣庄)对于非零的两个实数a ，b ，规定a b ⊕=1b -1a ，若()221x ⊕-=1，则x 的值为( ) A.56 B.54 C.32 D.-16 16.(·达州)某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8 000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17 600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元.商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完.在这两笔生意中，商家共盈利多少元？17.(·娄底)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？参考答案考点解读①未知数②整式③最简公分母④不为0 ⑤两⑥符合题意各个击破例1方程两边同乘x(x+2)(x-2),去分母，得3(x-2)-(x+2)=0，去括号，得3x-6-x-2=0，移项，得3x-x=6+2，合并，得2x=8，系数化为1，得x=4.检验，当x=4时，x(x+2)(x-2)=48≠0，∴x=4是原方程的解.题组训练 1.D 2.B 3.C4.2+3(x-2)=x-1，2+3x-6=x-1，2x=3，x=32.经检验，x=32是原方程的解.例2 设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的平均速度为(x+54)km/h，根据题意，得36054 x+=360135x-.解得x=90.经检验，x=90是这个分式方程的解，且符合题意.x+54=144.答：动车和特快列车的平均速度分别为144 km/h和90 km/h.题组训练 1.B2.设A种糖果购进x千克，则B种糖果购进3x千克，根据题意，得480 x -12603x=2.解得x＝30.经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意.3x＝90.答：A种糖果购进30千克，B种糖果购进90千克.3.设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需2x天.由题意得1x +12x =110.解得x=15. 经检验，x=15是原方程的解.∴2x=30.答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天. 整合集训1.D2.B3.B4.x=25.x=-536.-17.5x -52x =168.(1)分式两边同乘(x+1)(x-1),去分母，得3(x+1)＝2(x-1).解得x ＝-5.检验，当x ＝-5时，(x+1)(x-1)=24≠0.∴原分式方程的解是x ＝-5.(2)分式两边同乘(x+2)(x-2)去分母，得-(2+x)2+16=-(x 2-4)，解得x=2.经检验，当x=2时，x 2-4=0.∴原方程无解.9.依题意可得12x x --=3，解得x=52. 经检验，x=52是原方程的解. ∴x 的值为52. 10.(1)设大货车的速度为x 千米/时，小轿车的速度为1.5x 千米/时，则180x -1801.5x=1.解得x=60. 经检验，x=60是方程的解，且符合题意.1.5x=90.答：大货车的速度为60千米/时，小轿车的速度为90千米/时.(2)180-60=120(千米).答：当小刘出发时，小张离长沙还有120千米.11.设共有x 个小伙伴，依题意，得3602x -×0.6=36072x-.解得x=8. 经检验，x=8是原方程的解，且符合题意.答：共有8个小伙伴.12.设乙种粽子的单价为x 元，则()00300120x ++400x=260.解得x=2.5. 经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意. ∴()00300120x +=100, 400x =160.答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子分别购买了100个、160个.13.(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x 分钟完成，则 (140+1x )×20+20x=1.解得x=80. 经检验得x=80是原分式方程的解，且符合题意.答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟完成.(2)设李老师要工作m 分钟，则40m +3080≥1.解得x ≥25. 答：李老师至少要工作25分钟.14.C 15.A16.设第一批进货的单价为x 元，则第二批进货的单价为(x+8)元，由题意，得 2×8 000x =17 6008x .解得x=80. 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意.则第一次进货100件，第二次进货的单价为88元，第二次进货200件.总盈利为：(100-80)×100+(100-88)×(200-10)+10×(100×0.8-88)=4 200(元).答：在这两笔生意中，商家共盈利4 200元.17.(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运x 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x 趟，依题意，得12x +122x=1.解得x=18. 经检验x=18是原方程的解，且符合题意.2x=36.答：甲车单独运完此堆垃圾需18趟，乙车需36趟.(2)设甲车每趟需运费a 元，则乙车每趟需运费(a-200)元，依题意，得12a+12(a-200)=4 800.解得a=300.a-200=100.∴单独租用甲车的费用=300×18=5 400(元)，单独租用乙车的费用=100×36=3 600(元).∵5 400＞3 600，∴单独租用乙车合算.。
一元一次方程及二元一次方程（组）一．知识概念1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.这里需要注意的是一元一次方程.必为整式方程2．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是已知数，且a ≠0）.3．一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… （检验方程的解）.4．等式的基本性质（等式的基本性质是解方程的依据），在使用时要注意使性质成立的条件 ．5二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。
方程，一般形式是 ax+by=c(a ≠0,b ≠0)。
6.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
7.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
8.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
9消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
10.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
11.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
例1． （1）解方程.x x +--=21152156 （2）解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 解：例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．组方法1 方法2例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________． 例5．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x x 032=-+y x例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．【当堂检测】1．方程x -=52的解是___ ___．2．一种书包经两次降价10%，现在售价a 元，则原售价为_______元．3.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 4．若⎩⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==22y x ，⎩⎨⎧==c y x 3都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____． 5．解下列方程（组）：（1）()x x -=--3252； （2）....x x +=-0713715023；（3）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x ； （4）x x -+=-2114135；6．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？8．甲、乙两人同时解方程组8(1)5 (2)mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值．一元二次方程一.知识概念1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成a x 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．2．一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．3.一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法4．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为5．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．【例题精讲】例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？aac b b x 242-±-=例4．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0(1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；(2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．【当堂检测】一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x12=-+ ②01x 2=+ ③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ．4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．5．一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则bc a 4+的值为 ． 6．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ．二、选择题：8．对于任意的实数x,代数式x 2－5x ＋10的值是一个( )A.非负数B.正数C.整数D.不能确定的数9．已知(1-m 2-n 2)(m 2+n 2)=-6,则m 2+n 2的值是（ ）A.3B.3或-2C.2或-3D. 210．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0（D ）x 2＋2x －1＝011．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）A ．若x 2=4，则x=2B ．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1C ．方程x 2+2x+2=0实数根为0个D ．方程x 2-2x-1=0有两个相等的实数根12．若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x 2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是（ ） A.16 B.18 C.16或18 D.21三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x 2-4x-4=0(4)x 2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0方程的应用（一）【知识梳理】1. 方程（组）的应用；2. 列方程（组）解应用题的一般步骤；3. 实际问题中对根的检验非常重要．【注意点】分式方程的检验，实际意义的检验．【例题精讲】 例1. 足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ）A ．4场B ．5场C ．6场D ．13场例2. 某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x ，女生人数为y ，则下列方程组中，能正确计算出x 、y 的是（ ）A ．⎩⎨⎧x –y= 49y=2(x+1)B ．⎩⎨⎧x+y= 49y=2(x+1)C ．⎩⎨⎧x –y= 49y=2(x –1)D ．⎩⎨⎧x+y= 49y=2(x –1) 例3. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意得到的方程是（ ）1515115151..12121515115151..1212A B x x x x C D x x x x -=-=++-=-=-- 例4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，•但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺数为x 张，•信封个数分别为y 个，则可列方程组 ．100人．若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？【当堂检测】1. 某市处理污水，需要铺设一条长为1000m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务．设原计划每天铺设管道xm ，则可得方程 ．2. “鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题，•“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x 只，兔为y 只，所列方程组正确的是（ ）⎩⎨⎧=+=+100236.y x y x A 3636..2410022100x y x y B C x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩⎩⎨⎧=+=+1002436..y x y x D 3.为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B •型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）4. 2009年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30km远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15min 后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度．5. 某体育彩票经售商计划用45000•元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A 、B 、C 三种不同价格的彩费，进价分别是A •种彩票每张1.5元，B 种彩票每张2元，C 种彩票每张2.5元．（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）若销售A 型彩票一张获手续费0.2元，B 型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？（3）若经销商准备用45000元同时购进A 、B 、C 三种彩票20扎，请你设计进票方案．方程的应用（二）【知识梳理】1.一元二次方程的应用；2. 列方程解应用题的一般步骤；3. 问题中方程的解要符合实际情况．【例题精讲】 例1. 一个两位数的十位数字与个位数字和是7，把这个两位数加上45后，•结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ）A ．16B ．25C ．34D ．61例2. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米例3. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）Ａ．225003600x = Ｂ．22500(1)3600x +=Ｃ．22500(1%)3600x += Ｄ．22500(1)2500(1)3600x x +++=例4. 某地出租车的收费标准是：起步价为7元，超过3千米以后，每增加1千米，•加收2.4元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，•设此人从甲地到乙地经过的路程为x 千米，那么x 的最大值是（ ）A ．11B ．8C ．7D ．5例5. 已知某工厂计划经过两年的时间，•把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台．例6. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000•元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？例7. 幼儿园有玩具若干份分给小朋友，如果每人分3件，那么还余59件．•如果每人分5件，那么最后一个人不少于3件但不足5件，试求这个幼儿园有多少件玩具，有多少个小朋友．【当堂检测】1. 某印刷厂1•月份印刷了书籍60•万册，•第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？2. 为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动．已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？3. A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q 以2 cm/s的速度向D移动.⑴ P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？⑵ P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？4. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．（1）乙班比甲班少付出多少元？分式与分式方程一.知识概念1.分式：形如A/B ，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式(fraction)。
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
中考数学复习一元一次方程及分式方程【基础演练】1．(2013·滨州)把方程12x＝1变形为x＝2，其依据是() A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质1解析把方程12x＝1变形为x＝2，其依据是等式的性质2.答案B2．(2013·泰安)某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为()A.2300x＋23001.3x＝33 B.2300x＋2300x＋1.3x＝33C.2300x＋4600x＋1.3x＝33 D.4600x＋2300x＋1.3x＝33解析设甲车间每天能加工x个，则乙车间每天能加工1.3x个，根据题意可得：2300 x＋2300x＋1.3x＝33.答案B3．(2013·丽水)分式方程1x－2＝0的解是________．解析方程两边同乘以x，得1－2x＝0，解得x＝12.检验：当x＝12时，x＝12≠0，所以，原方程的解为x ＝12.答案x ＝124．(2012·宁波)分式方程x －2x ＋4＝12的解是________．解析方程的两边同乘2(x ＋4)，得2(x －2)＝x ＋4，2x －4＝x ＋4，解得x ＝8.检验：把x ＝8代入x ＋4＝12≠0.故原方程的解为x ＝8.答案x ＝85．(2013·绍兴)分式方程2xx －1＝3的解是________．解析方程两边同乘以x －1，得2x ＝3(x －1)，解得x ＝3.检验：当x ＝3时，x －1＝3－1＝2≠0，所以，原方程的解为x ＝3.答案x ＝36．(2013·滨州)解方程：3x ＋52＝2x －13.解去分母得：3(3x ＋5)＝2(2x －1)，去括号得：9x ＋15＝4x －2，移项合并得：5x ＝－17，解得：x ＝－175.7．(2010·台州)解方程：3x ＝2x －1.解方程两边同乘以x (x －1)，得3(x －1)＝2x ，解得x ＝3.经检验：x ＝3是原方程的解，所以原方程的解是x ＝3.8．(2010·义乌市)解分式方程：2x2＋1x＋2＝2x.解方程的两边同乘x＋2，得2x2＋1＝2x2＋4x，∴4x＝1，∴x＝1 4 .经检验，x＝14是原方程的解．9．(2012·北京)列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．解设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x－4)毫克，由题意得：10002x－4＝550x，解得：x＝22.经检验：x＝22是所列方程的解．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．【能力提升】10．(2013·台湾)附表为服饰店贩卖的服饰与原价对照表．某日服饰店举办大拍卖，外套依原价打六折出售，衬衫和裤子依原价打八折出售，服饰共卖出200件，共得24000元．若外套卖出x件，则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式？()服饰原价(元)外套250衬衫125裤子125A．0.6×250x＋0.8×125(200＋x)＝24000B．0.6×250x＋0.8×125(200－x)＝24000C．0.8×125x＋0.6×250(200＋x)＝24000D．0.8×125x＋0.6×250(200－x)＝24000解析若外套卖出x 件，则衬衫和裤子卖出(200－x )件，由题意得：0．6×250x ＋0.8×125(200－x )＝24000，答案B11．(2012·山西)图1是边长为30cm 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm 3.解析长方体的高为x cm ，然后表示出其宽为30－4x ，根据题意得：30－4x ＝2x ，解得：x ＝5.故长方体的宽为10cm ，长为20cm 则长方体的体积为5×10×20＝1000cm 3.答案100012．(2012·攀枝花)若分式方程：2＋1－kx x －2＝12－x有增根，则k ＝________.解析∵2＋1－kx x －2＝12－x，去分母得：2(x －2)＋1－kx ＝－1，整理得：(2－k )x ＝2，当2－k ＝0时，此方程无解，不符合题意．∵分式方程2＋1－kx x －2＝12－x 有增根，∴x －2＝0，2－x ＝0，解得：x ＝2，把x ＝2代入(2－k )x ＝2得：k ＝1.答案113．(2010·嘉兴)解方程：x x ＋1＋x ＋1x＝2.解设x x ＋1＝y ，则原方程化为y ＋1y ＝2.整理得，y 2－2y ＋1＝0，解之得，y ＝1.当y ＝1时，xx ＋1＝1，此方程无解．故原方程无解．14．(2010·义乌市)我市举办的“义博会”是国内第三大展会，从1995年以来已成功举办了15届．(1)1995年“义博会”成交金额为1.01亿元，1999年“义博会”成交金额为35.2亿元，求1999年的成交金额比1995年的增加了几倍？(结果精确到整数)(2)2000年“义博会”的成交金额与2009年的成交金额的总和是153.99亿元，且2009年的成交金额是2000年的3倍少0.25亿元，问2009年“义博会”的成交金额是否突破了百亿元大关？解(1)(35.2－1.01)÷1.01≈34.答：1999年的成交金额比1995年约增加了34倍；(2)设2000年成交金额为x 亿元，则2009年成交金额为(3x －0.25)亿元．由题意得x ＋3x －0.25＝153.99，解得x ＝38.56，∴3x －0.25＝115.43＞100，∴2009年“义博会”的成交金额突破了百亿元大关．。
初中数学方程式讲解及练习题方程式是数学中重要的概念，它可以帮助我们解决各种实际问题。
在初中数学研究中，理解和掌握方程式的方法和技巧是非常重要的。
本文将对初中数学方程式进行讲解，并提供一些练题来帮助大家巩固知识。
方程式的基本概念方程式是一种数学等式，其中包含一个或多个未知数。
解方程式就是要找出使得方程式成立的未知数的取值。
在解方程式时，我们可以通过运用一系列的变换和运算，使方程式简化为只有一个未知数的等式。
初中数学中常见的方程式类型有一元一次方程、一元二次方程和简单的分式方程等。
下面我们将逐一进行讲解。
一元一次方程一元一次方程是形如 $ax + b = 0$ 的方程，其中 $a$ 和 $b$ 是已知的常数，$x$ 是未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过变换将方程式变为 $x = \text{(某个数)}$ 的形式。
解一元一次方程的步骤如下：1. 将方程式移项，将未知数的系数移到等号右边。
2. 化简方程，消除未知数的系数。
3. 最终得到 $x = \text{(某个数)}$ 的形式。
一元二次方程一元二次方程是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是已知的常数，$x$ 是未知数。
解一元二次方程的基本思路是利用一元二次方程的求根公式。
解一元二次方程的步骤如下：1. 利用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，计算出方程的两个根。
2. 将计算得到的根代入方程中，验证是否成立。
分式方程分式方程是指方程中包含分式的方程。
解分式方程的基本思路是通过消去分母，将分式方程转化为整式方程，然后按照一元一次方程或一元二次方程的解法进行求解。
解分式方程的步骤如下：1. 将方程中的分式进行通分，消去分母。
2. 化简方程，将它变为一个整式方程。
3. 按照一元一次方程或一元二次方程的解法进行求解。
练题1. 解下列方程：$3x + 6 = 15$2. 解下列方程：$2x^2 + 5x + 2 = 0$3. 解下列方程：$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{8}$请将你的答案写在下面：1. $x = 3$2. $x_1 = -2, x_2 = -\frac{1}{2}$3. $x = \frac{1}{4}$通过理解和掌握方程式的讲解及练习题，希望能够帮助大家提高解方程式的能力，顺利应对初中数学考试。
可化为一元一次方程的分式方程知识讲解一元一次方程是指方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的方程。
分式方程是含有分式的方程。
将一个分式方程化为一元一次方程的过程叫做“分式方程的通分运算”。
先来看一个简单的分式方程：$$\frac{3}{x} - \frac{2}{x+1} = 5$$我们的目标是将这个方程化为一元一次方程。
首先，我们需要通分。
分母相同的两个分式，我们可以直接将分子相减。
对于这个例子，我们可以通分得到：$$\frac{3(x+1)}{x(x+1)} - \frac{2x}{x(x+1)} = 5$$下一步，我们将分数转换成整数，将分子乘以分母的倒数。
得到：$$\frac{3x+3 - 2x}{x(x+1)} = 5$$再化简得到：$$\frac{x+3}{x(x+1)} = 5$$再进一步，可以将分式转化为乘法：$$(x+3)(5)=x(x+1)$$展开并合并同类项，得到一元一次方程：$$5x+15=x^2+x$$通过整理，可以将方程化为标准形式：$$x^2+x-5x-15=0$$得到一元一次方程：$$x^2-4x-15=0$$这就是最终化简得到的一元一次方程。
这个方程可以通过求解，得到未知数x的值。
总结分式方程化为一元一次方程的步骤如下：1.通分，使分母相同。
2.将分子相减或相加。
3.将分数转换为整数，将分子乘以分母的倒数。
4.化简，将分式转换为乘法。
5.展开并合并同类项，得到一元一次方程。
6.整理方程，将方程化为标准形式。
下面我们来看一个更复杂的例子：$$\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} - \frac{4}{x+2} = 2$$首先，我们通分得到：$$\frac{2(x-1)(x+2)}{x(x-1)(x+2)} + \frac{3x(x+2)}{x(x-1)(x+2)} - \frac{4x(x-1)}{x(x-1)(x+2)} = 2$$整理后可得：$$\frac{2(x-1)(x+2) + 3x(x+2) - 4x(x-1)}{x(x-1)(x+2)} = 2$$继续化简得到：$$\frac{2x^2 - 2 + 3x^2 + 6x - 4x^2 + 4x}{x(x-1)(x+2)} = 2$$合并同类项，得到一元一次方程：$$\frac{x^2 + 10x - 2}{x(x-1)(x+2)} = 2$$继续化简得到：$$(x^2+10x-2)(2)=x(x-1)(x+2)$$展开并合并同类项，得到一元一次方程：$$2x^2+20x-4=x^3+x^2+2x^2-2x$$整理得到标准形式：$$x^3-x^2-22x+4=0$$这就是将分式方程化为一元一次方程的过程。
中考数学复习课《分式方程》说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好!我今天说课的内容是《分式方程》，下面我将从说教材、说学情分析、说教学策略、说教学过程这四个方面对本节课的教学设计进行说明.一、说教材1.教材的地位和作用本节课复习的主要内容是分式方程的概念、解法及应用，是对分式方程单元学习的梳理、归纳、深化和巩固.解分式方程的基本思想是通过“转化”，将分式方程转化为整式方程. 通过复习强化数学与生活的密切关系，因此本节复习可起到巩固基础，提升认识的作用.2.教学目标（1）知识目标：①理解分式方程的概念、会解分式方程，能列分式方程解决实际问题.②掌握解分式方程的验根方法.（2）能力目标：会用去分母法解分式方程，体会化归思想.（3）情感目标：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成就感，树立学好数学的自信心.3.教学重点：分式方程的解法和列分式方程解决实际问题.4.教学难点：列分式方程解决实际问题以及解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根．二、学情分析学生是在前面复习分式的意义、分式的混合运算和熟练解一元一次方程的基础上复习本节内容的.但对于解分式方程过程中会出现增根，部分同学理解起来较为困难，因此在教学过程中应重点强调如何把分式方程转化为整式方程和解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.三、教学策略1、说教法教法：本节课采用启发式、引导式教学方法．特别注重“精讲多练”，真正体现以学生为主体．针对学生的回答所出现的一些问题给出及时的纠正，在上课做练习时，除了让尽可能多的学生板演以外，自己还在下面及时的发现学生所出现的问题，比较典型的则全班讲评，个别小问题，个别解决．教学手段：为了更有效地突出重点，突破难点，提高课堂效率，本节课采用多媒体辅助教学.2.说学法本节课里我主要指导学生采用了自主探索、合作交流、自我反思的学习方法，使学生积极主动地参与到教学过程，通过合作交流，激发学生的学习兴趣，体现探索的快乐，使学生的主体地位得到充分的发挥．四、说教学过程。
