2016高中数学人教B版必修四124《第1课时 诱导公式》精选习题

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3
3
A. 3 B．－ 3 C. D．－
3
3
解析：tan(－420°)＝tan(－360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.
答案：B
2．如果 α，β 满足 α＋β＝2π，则下列式子中正确的个数是( )
①sinα＝sinβ； ②sinα＝－sinβ；
25
5
3．已知 a＝tan － π ，b＝cos － π ，c＝sin π，则 a，b，c 的大小关系为( )
6
4
3
A．b＜a＜c B．c＜a＜b
C．a＜b＜c D．a＜c＜b
( ) ( ) ( ) π
π
3
25π
π
π2
解析：a＝tan － ＝－tan ＝－ ，b＝cos － ＝cos －6π－ ＝cos ＝ ，c＝sin
4
4
4
答案：B
cos－αtan6π＋α
4．化简：
＝________.
sin2π－α
cosαtanα cosα sinα
解析：原式＝
－sinα
＝－ · ＝－1. sinα cosα
答案：－1
tanα－1 1
5．已知
＝，
2tanα＋1 3
cosα－2πsin2π－α
求
的值．
sin－2π－αtan2π＋αcos－α＋4π
③cosα＝cosβ； ④tanα＝－tanβ.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：∵α＋β＝2π，∴α＝2π－β，∴sinα＝sin(2π－β)＝－sinβ，故①错，②正确；cosα＝
cos(2π－β)＝cosβ，故③正确；

A.C.解析：选 D sin 600 = sin(360 ° 240°= sin 240 =sin(180 °+ 60°)=- sin 60 =-今. 1sin( n a=— 2 贝V sin(4 n — a 的值是()A.~21. 课时跟踪检测（六）诱导公式（一、 层级一学业水平达标sin 600的值是（）二、三）解析: 由题知，sin a= 1，所以 sin(4 — a)=- sin a= 12.3.如图所示，角 的值为（ ） 0的终边与单位圆交于点 5 D.解析： 选 C ••• r = 1」cos 0= — -5,5C.5cos( — 0)=— cos 0=5A. B . 2 .3 32t 3 3C. D .2.5•设tan(5 + a)= m,则sin(a+3 n)+呷[a的值等于() sin — a —COS n+ am—1B. m+ 1D. 1解析：选 A ■/ tan(5 n+ a)= tan[4 n+ ( n+ a)]=tan( 灶a) = tan a,二tan a= m,寫，故选A.. 5 n、 5 n=cos 4 n+ — = cos —(2)tan( —855 ° = —tan 855 = —tan(2 x 360 + 135 °tan(180 °—45° = tan 45 = 1.1 2解析：sin( —a = sin a= log8 4=—3,所以cos a= 1 —sin2a= ~；r，tan(2 — a)= tan( — a)=—tan a=—sin a = ^5.3 cos a 5 答案：罕5128.已知cos(508 —a =石，则cos(212°+ a)=解析：由于cos(508°— a= cos(360°+ 148°— a = cos(148°— a= 12，13所以cos(212°+ a= cos(360°+ a—148°= cos(a—148°) = cos(148°— a= .答案: 1213原式sin(n+ a)—COS a •、式=—sin a+ cos a —sin a—cos a tan a+ 1 sin a-F cos a tan a—16.求值：(1)cos警6 ;(2)tan( —855° =解析：(1)cos29 n6=cos n—n =—cos n=—兮.6 2Oi=—tan 135答案：(1)—(2)17.已知sin( n0)= log8 4，且2，，0 ［则tan(2 —a的值为又a€n - n，09.求下列各三角函数值:4--sin(— 2 n — a)= sin(— a)=— sin a=— .5(1)sin8^^； (2)cos 2|n；(3)tan 3^.解: (1)sin4 n . 4 n T =sinnn3=sin计 3 一 sin 3一 亍23 n i ,z n'i f n\(2)cosy = cos4 n-6 = cos - & = n 3cos6 — 2.s 、 37n , I n,n 需⑶tan" =tann+ =tan10 .若cos a=2, a 是第四象限角，3'求sin a — 2 n+ sin — a — 3 n cos a — 3 n 的值 cos n — a ——cos ——n — a cos a — 4 n 解:2由已知cos a=-,3sin a=—故sin a — 2 n + sin — a — 3 n cos a — 3ncos n — a — cos — n — a poq a — 4 n) sin a — sin 况cos a_ —cos a+ cos2 a层级二应试能力达标1 .已知 cos( n a )=——，且5 a 是第一象限角，则 sin （— 2n — ”的值是（4 A. 53 D.33解析： 选 B ■/ cos( — a=— cos a, ••• cos a=；.5T a 是第一象限角，二sin a >0, • - sin a= \''1 — CoWa=1- 3 2=5.A. 3B. 42.已知函数f(x) = asin( n+ a) + bcos( n+ 3) + 4, x€ R，且f(2 017) = 3,贝U f(2 018)的值为()C . 5D . 6解析：选 C •/ f(2 017) = asin(2 017 ★ a+ bcos(2 017 廿®+ 4= 3, ••• asin(2 017 水 a) + bcos(2 017 廿 3)=— 1,f(2 018) = asin(2 017 ★ a+ n ) bcos(2 017 卄 B+ 冗沪 4=—asin(2 017 + a) — bcos(2 017 + 3 + 4= 1 + 4= 5.3•若a 3的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是 ( )解析：选A 法一：•/ a, 3的终边关于y 轴对称,• - a+ 3= n+ 2k n 或 a+ 3=— n+ 2k n, k € Z ,• - a= 2k Tt+ n — 3 或 a= 2k n — n — 3, k € Z ,• sin a= sin 3法二：设角a 终边上一点P(x , y),则点P 关于y 轴对称的点为P '(— x , y),且点P与点P '至U 原点的距离相等，设为 r ,则sin a= sin 3=；n其中n € Z ,则函数值与sin -的值相同的是()3 B .①③④ C .②③⑤D .①③⑤解析：选 C ①中 sin*n n+ 普=sin^M sin ^;②中，cos2n n —6 = cos6 = sin^; 原式=cos360 °+225°A . sin a= sin 3B . cos a= cos 3C . tan a= tan 3D . sin a=— sin 3 ④cos 2n + 1 ⑤sin n ；A .①② ③中,sin 2n n+ 扌=sin ；;④中, n nco盲⑤中,5.化简:cos — 585 ° sin495 + sin — 570解析:4.下列三角函数式：①③ sin 2n n+(2n — 1cos (2n + 1A. 3B. 4八sin(360 °+ 135 °—sin(210 °+ 360 °专十工。

1.2.4诱导公式(一)明目标、知重点 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.1.设α为任意角，则2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的终边与α的终边之间的对称关系2.诱导公式一～三(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(3)公式三：sin＝－sin α，cos＝－cos α，tan＝tan α，其中k∈Z.在初中，我们已经会求锐角的三角函数值.对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解.本节课将解决这一问题.探究点一诱导公式一思考1诱导公式一是什么？答由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.思考2诱导公式一的作用是什么？答把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.例1求下列各式的值.(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.解 (1)原式＝cos ⎣⎡⎦⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°) ＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°＝－1＋1＋1－1＝0.探究点二 诱导公式二思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P 1(x ，y )，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P 2坐标如何？答 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称.角－α与单位圆的交点为P 2(x ，－y ).思考2 根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ； sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝x ＝cos α，tan(－α)＝－y x＝－tan α. 即诱导公式二sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α.思考3 诱导公式二有何作用？答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.探究点三 诱导公式三思考1 设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 如图，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与单位圆的交点P 2的坐标如何？答 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O 对称.P 2(－x ，－y ).思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k ＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－y －x ＝y x. 诱导公式三sin ＝－sin α，cos ＝－cos α，tan ＝tan α.思考3 公式三有何作用？答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.小结 公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π＋α(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！例2 利用公式求下列三角函数的值：(1)cos 225°；(2)sin 11π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3；(4)cos(－2 040°). 解 (1)cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22； (2)sin 11π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4π－π3＝－sin π3＝－32； (3)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝－sin 16π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫5π＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝32； (4)cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(6×360°－120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12. 反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再转化到⎣⎡⎦⎤0，π2范围内的角的三角函数值. 跟踪训练2 求下列三角函数值.(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°). 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos 296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32； (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.例3 化简：cos (180°＋α)·sin (α＋360°)sin (－α－180°)·cos (－180°－α).解 sin(－α－180°)＝sin＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，cos(－180°－α)＝cos＝cos(180°＋α)＝－cos α，所以，原式＝－cos α·sin αsin α·(－cos α)＝1. 反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.跟踪训练3 化简：tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ). 解 原式＝tan (－θ)·sin (－θ)·cos (－θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝(－tan θ)·(－sin θ)·cos θ(－cos θ)·(－sin θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 例4 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值. 解 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－1 ＝⎝⎛⎭⎫332－33－1＝－2＋33. 反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.跟踪训练4 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值. 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15.1.求下列三角函数的值.(1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π；(3)tan(－1 845°). 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.2.化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 3.证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边.当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2[－sin (π－α)](－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边.综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.一、基础过关1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.32答案 A2.若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( ) A.±tan α B.－tan α C.tan α D.12tan α 答案 C3.若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12 B.±32 C.32 D.－32答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角).4.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C.－1D.1 答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 5.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB.－1－k 2kC.k 1－k 2D.－k 1－k 2 答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ .答案 －33解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－(π6＋θ)＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33.7.化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z .解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos 43π＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z .原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3×cos π3＝32×12＝34.∴sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .二、能力提升8.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为()A.53 B.－53C.±53 D.以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 2 2－23＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α＝－ 1－49＝－53. 9.已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)的值为 . 答案 －m ＋22m ＋110.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数.若f (2 015)＝1，则f (2 016)＝ .答案 3解析 ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.11.若cos(α－π)＝－23，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值. 解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角. 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12.已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π<α<7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值.解 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根， 所以tan α·1tan α＝13×(3k 2－13)＝1， 可得k 2＝163. 因为3π<α<7π2，所以tan α>0，sin α<0，cos α<0， 又tan α＋1tan α＝－－3k 3＝k ， 所以k >0，故k ＝433， 所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433， 所以sin αcos α＝34， 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32. 因为cos α＋sin α<0，所以cos α＋sin α＝－3＋12. 所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋12.三、探究与拓展13.在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角.解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，∴cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去.∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，C ＝712π.。

1.2.4 诱导公式 第一课时 诱导公式(1)点、易错点)1．角α与α＋k ·2π(k ∈Z )的三角函数间的关系 cos(α＋k ·2π)＝cos_α， sin(α＋k ·2π)＝sin_α， tan(α＋k ·2π)＝tan_α.通常，称上述公式为诱导公式(一)．名师点拨我们可以根据终边相同的角的三角函数值相等来概括和理解诱导公式(一)． 【自主测试1－1】(2012·江苏盐城期末)sin 390°＝______.答案：12【自主测试1－2】tan 405°＝__________. 答案：12．角α与－α的三角函数间的关系 cos(－α)＝cos_α， sin(－α)＝－sin_α， tan(－α)＝－tan_α.通常，称上述公式为诱导公式(二)．名师点拨因为α与－α角的终边关于x 轴对称，故结合三角函数线可得到诱导公式(二)．【自主测试2】已知cos(12π－3)＝p ，用p 表示tan(－3)＝__________. 解析：∵cos(12π－3)＝cos(－3)＝cos 3＝p ，又∵π2＜3＜π，∴sin 3＝1－cos 23＝1－p 2.∴tan(－3)＝－tan 3＝－sin 3cos 3＝－1－p2p .答案：－1－p2p三角函数的诱导公式(一)与诱导公式(二)的作用 剖析：(1)诱导公式(一)的作用是将任意角的三角函数求值问题转化为0～2π之间角的三角函数求值问题．(2)诱导公式(二)的作用是将任意负角的三角函数求值问题转化为正角的三角函数求值问题．名师点拨在运用诱导公式时，要注意角的合理拆分．解答三角函数问题的时候，除了掌握特殊角的三角函数值外，还要能够把某些数值恰当地转化成某个特殊角的三角函数的形式，以达到简化问题的目的．如，求解sin(－300°)，可以用sin(－300°)＝－sin 300°＝－sin(360°－60°)＝－sin(－60°)＝sin 60°＝32；也可以用sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin 60°＝32.题型一 直接利用诱导公式化简、求值 【例题1】求下列各三角函数式的值：(1)m sin 7π2＋n tan(－4π)＋p cos 5π2；(2)a 2sin 810°＋b 2tan 765°＋(a 2－b 2)tan 1 125°－2ab cos 360°.分析：利用诱导公式(一)、(二)求值即可．解：(1)∵sin 7π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋2π＝sin 3π2＝－1，tan(－4π)＝tan 0＝0， cos 5π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2π＝cos π2＝0， ∴原式＝－m .(2)∵sin 810°＝sin(90°＋2×360°)＝sin 90°＝1， tan 765°＝tan(45°＋2×360°)＝tan 45°＝1， tan 1 125°＝tan(45°＋3×360°)＝tan 45°＝1， cos 360°＝cos 0°＝1，∴原式＝a 2＋b 2＋a 2－b 2－2ab ＝2a 2－2ab . 反思求三角函数式的值时，一般先用诱导公式(二)把负角的三角函数值转化为正角的三角函数值，再用诱导公式(一)将其转化为[0,2π)内的角的三角函数值．题型二 利用诱导公式证明三角恒等式【例题2】求证：tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)＝sin 2α.分析：解答本题可直接利用诱导公式把等式左边的式子进行化简，直到推出右边． 证明：原式左边＝tan(－α)·sin(－α)·cos(－α) ＝(－tan α)·(－sin α)·cos α＝sin 2α＝右边． 故原等式成立．反思利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用． 题型三 给值求值问题【例题3】已知tan(2 012π－α)＝13，求下列各式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)2sin 2α＋cos 2αsin 2α－cos 2α； (3)2sin 2α－32sin αcos α＋5cos 2α.解：由tan(2 012π－α)＝13，得tan α＝－13，且cos α≠0.(1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－25＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1034＝－56.(2)原式＝2tan 2α＋1tan 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1⎝⎛⎭⎪⎫－132－1＝－118. (3)原式＝2sin 2α－32sin αcos α＋5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－32tan α＋5tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝10320. 反思已知tan α，求关于sin α，cos α的一次、二次齐次分式时，通常采用将分式的分子、分母同除以cos α，cos 2α的方法化归为关于tan α的函数式，然后求解；求关于sin α，cos α的二次齐次整式时，常将整式通过除以“1”(用sin 2α＋cos 2α替代1)转化为二次齐次分式，然后求解．题型四 易错辨析【例题4】化简1＋2sin －θcos 2π－θsin －6π＋θ－cos －θ＋4π.错解：原式＝1－2sin θcos θsin θ－cos θ＝sin θ－cos θ2sin θ－cos θ＝sin θ－cos θsin θ－cos θ＝1. 错因分析：没有对sin θ－cos θ的正负进行分析，而认为sin θ－cos θ2＝sin θ－cos θ，其实sin θ－cos θ2＝|sin θ－cos θ|，如果继续化简，则需分类讨论．正解：原式＝1－2sin θcos θsin θ－cos θ＝sin θ－cos θ2sin θ－cos θ＝|sin θ－cos θ|sin θ－cos θ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，2k π＋π4<θ<2k π＋5π4，k ∈Z ，－1，2k π－3π4<θ<2k π＋π4，k ∈Z .1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( ) A ．α一定是锐角 B ．0≤α＜2π C ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角 答案：D2．cos 315°＋tan 420°＋sin(－60°)＋tan(－60°)的值是( )A ．2－32B ．2＋32C ．32－36D ．32＋36解析：原式＝cos(360°－45°)＋tan(360°＋60°)－sin 60°－tan 60°＝cos 45°＋tan 60°－sin 60°－tan 60°＝cos 45°－sin 60°＝22－32＝2－32.答案：A3．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 010)＝－1，则f (2 012)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 解析：由已知，f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－1，则f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－1. 答案：A4．已知sin(2π＋α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255 B ．255C ．±255D ．52解析：因为sin(2π＋α)＝log 814＝－23，所以sin α＝－23.而α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53， 所以tan α＝sin αcos α＝－255.所以tan(2π－α)＝－tan α＝255.答案：B5．cos(－1 380°)＝__________.解析：cos(－1 380°)＝cos(－4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.答案：126．已知1＋3cos －θcos 2π－θ＝29，则cos(2 012π－θ)＝__________.解析：∵1＋3cos －θcos 2π－θ＝1＋3cos θcos θ＝29，∴cos θ＝－925.∴cos(2 012π－θ)＝cos(－θ)＝cos θ＝－925.答案：－925。