第五章一元函数积分学

第五章一元函数积分学本章前半部分介绍不定积分的概念及其计算方法，然后简单介绍微分方程的基本概念以及利用不定积分方法求解两类简单微分方程；后半部分介绍定积分的概念、计算方法，以及定积分在几何和物理的应用。

本章内容占全出考试内容25%。

重点是不定积分和定积分计算，难点是换元法，分部积分。

5.1原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分定义5.1设f(x)是定义在区间I上的一个函数。

如果F(x)是区间I上的可导函数，并且对任意的均有或Df(x)=f(x)dx则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。

例如，因为对任意的均有，所以sinx是cosx在区间（-∞，+∞）内的一个原函数。

因为对任意的均有，所以arcsinx是在（-1，1）内的一个原函数。

显然，一个函数的原函数不是唯一的。

事实上，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，即，那么，对任意常数C，均有，从而F(x)+C也是f(x)在区间I上的原函数。

这说明，如果函数f(x)在区间I上有一个原函数，那么f(x)在I上有无穷多个原函数。

另一方面，如果函数F(x)和G(x)都是函数f(x)在区间I上的原函数，那么，从而G(x)-F(x)=C，即G(x)=F(x)+C，其中C为某个常数。

因此，如果函数f(x)在区间I上有一个原函数F(x)，那么f(x)在区间I上的全体原函数组成的集合为函数族。

定义5.2如果函数f(x)在区间I上有原函数，那么称f(x)在I上的全体原函数组成的函数族为函数f(x)在区间I上的不定积分，记为，其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。

由定义以及前面的说明知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么，其中C为任意常数，例如，，。

一个函数要具备什么条件，才能保证它的原函数一定存在呢？关于这个问题，我们有如下结论，（证明略去）定理5.1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即一定存在区间I上的可导函数F(x)，使得。

简单地说就是：连续函数必有原函数。

由于初等函数在其定义区间上连续，所以初等函数在其定义区间上一定有原函数。

怎样求一个连续函数的原函数或不定积分呢？后面几节讨论这个问题。

下面仅给出一些简单函数的不定积分的例子。

例1：求不定积分。

[答疑编号10050101：针对该题提问]解：因为，所以为函数x a的一个原函数。

故。

例2：求不定积分。

[答疑编号10050102：针对该题提问]解：当x>0时，；当x<0时，。

所以是函数在上的一个原函数，从而不定积分有下而两条性质∴性质一或性质二或例3：设曲线通过点（1，0），且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍。

试求此曲线的方程。

[答疑编号10050103：针对该题提问]解：（1）设曲线方程为y=f(x)，则由已知，曲线在点(x,f(x))处的斜率为∴曲线方程为y=x2+C（2）∵曲线过点（1，0）∴0=1+C，∴C=-1∴曲线方程为y=x2-1二、基本积分公式既然积分运算与微分运算互为逆运算，因此，正如例1、例2中所做的那样，可以很自然地从导数或微分的基本公式得到相应的基本积分公式。

下面将这些基本积分公式罗列如下：（1）；（2）（k为常数）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。

以上14个基本积分公式是求不定积分的基础，其他函数的不定积分往往经过运算变形后，最终都归结为这些不定积分，因此必须牢牢记住。

下面举例说明如何利用这些公式计算一些简单的不定积分。

例4：求不定积分。

[答疑编号10050104：针对该题提问]解：例5：求不定积分。

[答疑编号10050105：针对该题提问]解：例6：求不定积分。

[答疑编号10050106：针对该题提问]解：例7：求不定积分。

[答疑编号10050107：针对该题提问]解：由还原公式∴e2lnx=x2三、不定积分的基本性质仅仅有以上的基本积分公式是很不够的，即使像lnx，tanx，cotx，secx，cscx，arctanx，arccotx这样一些基本初等函数，也无法直接利用以上基本公式给出它们的不定积分。

因此，有必要从一些求导法则去导出相应的求不定积分的方法，并逐步扩充不定积分公式。

这里首先从导数的加减运算得到不定积分的线性运算法则。

定理5.2两个函数的和（或差）的不定积分等于函数的不定积分的和（或差），即。

证明：设F(x)和G （x ）分别为函数f(x)和g(x)的原函数，则，其中C1，C 2为两个任意常数。

因此有其中C=C 1±C 2为任意常数。

另一方面，因为所以F(x)±G(x)为f(x)±g(x)的一个原函数，从而因此定理5.2可以推广到有限多个函数相加减的情形，即类似地我们可以证明下列性质。

定理5.3求不定积分时，被积函数中非零的常数因子可以提到积分号外面来，即（k≠0为常数）以上两个性质（定理5.2和定理5.3）称做不定积分的线性性质。

利用不定积分的线性性质可以求出一些简单函数的不定积分。

例8：求不定积分[答疑编号10050108：针对该题提问]解：=-2cosx+3arcsinx+C例9：求不定积分[答疑编号10050109：针对该题提问]解：例10：求不定积分[答疑编号10050110：针对该题提问]解：这里利用了三角恒等式：sec 2x=1+tan 2x 例11：求不定积分[答疑编号10050111：针对该题提问]解：这里利用了三角恒等式：sin2x+cos2x=1例12：求不定积分[答疑编号10050112：针对该题提问]解：例13：已知，求f(x)。

[答疑编号10050113：针对该题提问]解：因为，所以，故。

例14：求[答疑编号10050114：针对该题提问]解：例15：求[答疑编号10050115：针对该题提问]例16：求[答疑编号10050116：针对该题提问]解：例17：若F(x)是sinx2的原函数。

求[答疑编号10050117：针对该题提问]解：∵F(x)是sinx2的原函数例18：填空=______________[答疑编号10050118：针对该题提问]解：由性质§5.2不定积分的换元法§5.1介绍了原函数与不定积分的概念、基本积分公式以及不定积分的线性性质，并通过例子说明如何利用它们直接计算某些函数的不定积分。

但是仅仅利用不定积分的线性性质和基本积分公式所能计算的不定积分非常有限。

因此有必要进一步研究不定积分的求法。

本节介绍如何将复合函数的微分法反过来用于计算不定积分，利用中间变量的代换得到复合函数的不定积分，这就是通常说的不定积分的换元积分法，简称换元法。

换元积分法通常分成两类：第一换元法和第二换元法。

一、第一换元法（凑微分法）定理5.4 设f(u)具有原函数，可导，则证明：设F(u)为f(u)的一个原函数，即，故又因为可导，所以可导，并且因此为的一个原函数，从而公式（1）叫第一换元积分公式，在实际应用第一换元积分公式求不定积分时。

因为。

因此公式（1）也可写作，其中u=g(x)若不定积分容易计算。

则可得例1：求不定积分[答疑编号10050201：针对该题提问]解：被积函数sin3x是一个复合函数，它是由f(u)=sinu和复合而成。

因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x变形为故有例2：求不定积分[答疑编号10050202：针对该题提问]解：函数是一个复合函数，它是由和复合而成。

为了利用第一换元积分公式，将函数变形为故例3：求不定积分。

[答疑编号10050203：针对该题提问]解：函数是复合函数，它是由和复合而成，而，所以被积函数可以变形为由第一换元积分公式有由以上各例的解题过程可以看出，要用第一换元积分法求不定积分的主要步骤是：（1）变换积分形式（或凑微分），即；（2）作变量替换g(x)=u，有；（3）利用常用的积分公式求出不定积分：；（4）将u=g(x)代回得。

其中最关键的是第一步，即如何凑出合适的微分。

因此，第一换元积分法也称为凑微分法。

例4：设F(x)为函数f(x)的一个原函数，求。

[答疑编号10050204：针对该题提问]解：因为f(lnx)为函数f(u)和的复合，并且，所以。

故由第一换元积分公式有例5：设，求。

[答疑编号10050205：针对该题提问]解：函数f(e-x)是由f(u)和u=e-x复合而成，而，故由第一换元积分公式有当比较熟练以后，就没必要将中间变量明显地设出来。

例6：求下列积分：（1）；[答疑编号10050206：针对该题提问]（2）；[答疑编号10050207：针对该题提问]（3）。

[答疑编号10050208：针对该题提问]解：（1）（2）（3）因为，故这样，我们得到三个积分公式：，，。

例7：计算下列不定积分：（1）；[答疑编号10050209：针对该题提问]（2）；[答疑编号10050210：针对该题提问]（3）；[答疑编号10050211：针对该题提问]（4）；[答疑编号10050212：针对该题提问]解：（1）（2）（3）（4）解法一：解法二：例6和例7中，没有具体引入中间变量进行换元，而是凑微分后直接利用积分公式，从而也就不再有还原的过程。

因此，利用凑微分法计算不定积分可以极大地简化求解书写的过程。

显然，熟记一些凑微分公式是十分必要的。

下面给出一些常见的凑微分形式：①；②；特别情形③，特别情形；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩。

例8：求不定积分（1），[答疑编号10050213：针对该题提问]（2），[答疑编号10050214：针对该题提问]（3），[答疑编号10050215：针对该题提问]（4），[答疑编号10050216：针对该题提问]（5），[答疑编号10050217：针对该题提问]（6），[答疑编号10050218：针对该题提问]（7），[答疑编号10050219：针对该题提问]解：（1）（令u=3x+1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）例9：求不定积分（1）；[答疑编号10050220：针对该题提问]解：（2）[答疑编号10050221：针对该题提问]解：例10：用公式（14）～（20）填空（1）[答疑编号10050222：针对该题提问]（2）[答疑编号10050223：针对该题提问]（3）[答疑编号10050224：针对该题提问]（4）[答疑编号10050225：针对该题提问]（5）[答疑编号10050226：针对该题提问]（6）[答疑编号10050227：针对该题提问]（7）[答疑编号10050228：针对该题提问]例11：求不定积分（1）[答疑编号10050229：针对该题提问]（2）或[答疑编号10050230：针对该题提问]（3）[答疑编号10050231：针对该题提问]（4）[答疑编号10050232：针对该题提问]（5）[答疑编号10050233：针对该题提问]（6）[答疑编号10050234：针对该题提问]（7）[答疑编号10050235：针对该题提问]（8）[答疑编号10050236：针对该题提问]（9）[答疑编号10050237：针对该题提问]（10）[答疑编号10050238：针对该题提问]例12：求不定积分（1）[答疑编号10050239：针对该题提问]（2）[答疑编号10050240：针对该题提问]（3）[答疑编号10050241：针对该题提问]（4）=lnx-arctan（lnx）+c [答疑编号10050242：针对该题提问]例13.求不定积分（1）[答疑编号10050301：针对该题提问]（2）[答疑编号10050302：针对该题提问]（3）[答疑编号10050303：针对该题提问]（4）[答疑编号10050304：针对该题提问]（5）[答疑编号10050305：针对该题提问]（6）[答疑编号10050306：针对该题提问]例14求不定积分（1）[答疑编号10050307：针对该题提问]（2）[答疑编号10050308：针对该题提问]（3）[答疑编号10050309：针对该题提问]（4）[答疑编号10050310：针对该题提问]（5）[答疑编号10050311：针对该题提问]（6）[答疑编号10050312：针对该题提问]（7）[答疑编号10050313：针对该题提问]（8）[答疑编号10050314：针对该题提问]（9）[答疑编号10050315：针对该题提问]（10）[答疑编号10050316：针对该题提问]（11）[答疑编号10050317：针对该题提问]（12）[答疑编号10050318：针对该题提问]例14中的（9）（10）（11）（12）也是重要积分结果，可以作为积分公式使用，下面我们总结的积分表请大家熟记应用。