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北师大版九年级(初三)数学上册PPT课件：用因式分解法求解一元二次方程

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北师大版初中九年级上册数学课件 《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件

北师大版初中九年级上册数学课件 《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件

(2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(1)根据题意列方程。 (2)x可能小于0吗？说出理由. (3)x可能大于15吗？说出理由. (4)能否想一个办法求得长方形的长x?
x
15-x
x
1
2
3
4
5
6
7
x2 -15x+54
40
28
18
10
4
0
解：如果设花边的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：
(8-2x)
(5-2x)
(8-2x)(5 -2x) = 18.
整理, 得
8m
10m
解:设梯子底端滑动x米,则由题意可得方程：
问题2 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
当a=2，b≠0时是一元一次方程；
3、 关于x的方程ax2 -2bx＋a＝2x2 , 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
变式练习(1): (k+3)x|k|-1 -5x＋6＝0 是关于x的一元二次方程, 则k= .
变式练习(2):关于x的一元二次方程(m-1)x2 +5x＋m2-1＝0 的常数项是0, 则m= .
一元二次方程
没有未知数，不是方程
不是等式，不是方程
一元一次方程
二元一次方程
不是等式，不是方程
(1)2＋3＝5 (2)3x＋2 (3)5x＋3＝18 (4)x-2y＝5
一元一次方程、二元一次方程、分式方程
分式方程

北师大版九年级上册用因式分解法求解一元二次方程课件

北师大版九年级上册用因式分解法求解一元二次方程课件
5、5(x2 x) 3(x2 x);
6、(x 2)2 2x 32 ; 7、(x 2) x 3 12;
8、x2 5 2x 8 0.
解下列方程
参考答案：
1.x1 2.x1
2; x2
2 3
;
x2
1. 3 1.
3.x1 4.x1
3; 2
3; x2
x2 9.
1 2
.
5.x1 0; x2 4.
我们已经学习了几种求解一元二次方 程方法？
1、配方法
2、公式法
配方法的主要步骤：
1、化：把二次项的系数化为1； 2、移：先把常数项移到方程的右边 3、配：把方程的左边配成完全平方式（两边同时
加上 一次项系数一半的平方）； 4、开：方程左右两边开平方得到方程的解。
公式法
求根公式： x b b2 4ac 2a
;
2
x2
7. 5 1
3.x1
2;
x2
5. 3
4 .x1
1;
x2
1. 3
5.x1 3, x2 6.
6、(x 1)2 3 x 1 0;
6.x1 1; x2 2.
练一练
1、5x 2 3x2;
2、3x x 1 2 2x;
3、(2x 3)2 4(2x 3); 4、2(x 3)2 x2 9;
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x, 得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
如果a b 0,
那么a 0或b=0 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.

北师大版初中九年级上册数学课件 《用配方法求解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)

北师大版初中九年级上册数学课件 《用配方法求解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)

米．
5. 用配方法解下列方程： (1)12x2＋7x＋1＝0
解：移项，得 12x2＋7x＝－1， 二次项系数化为 1，得 x2＋172x＝－112， 配方得 x2＋172x＋2742＝－112＋2742， 即x＋2742＝5716，开方，得 x＋274＝±214， 解得 x1＝－14，x2＝－13.
巩固训练
1. 用配方法解方程13x2－x－4＝0，配方后得( C )
A. x－322＝349
B. x－322＝－349
C. x－322＝547
D. x－122＝12
2. 把一元二次方程 2x2－x－1＝0 用配方法配成 a(x－h)2
1
＋k＝0 的形式(a，h，k 均为常数)，则 h 和 k 的值分别为 4 , －－98 ．
4 两边都加上一次项系数一半的平方，得 x2＋23x＋19＝ 9 ，即
4 x＋312＝ 9 ，
开平方，得1x＋13＝ ±±23 ， 解得 x1＝ 3 ，x2＝ －－11 .
例题精讲
知识点 1 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次 方程
例1 (教材 P38 例 2)解方程：3x2＋8x－3＝0.
5. 用配方法解下列方程： (2)0.8x2＋x＝0.3
解：方程化为 x2＋54x＝38， 配方，得 x2＋54x＋582＝38＋582， 即x＋852＝4694，开方，得 x＋58＝±78， 解得 x1＝－23，x2＝41.
5. 用配方法解下列方程： (3)(x＋1)(x－3)＝2x＋5
解：方程化为 x2－4x＝8， 配方，得 x2－4x＋4＝8＋4，即(x－2)2＝12， 开方，得 x－2＝±2 3， 解得 x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3.
第二章 一元二次方程

新北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》优质课课件(共18张PPT)

新北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》优质课课件(共18张PPT)

解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成 x m2，根据题意
46 000－22 000 46 000－22 000
得：
x
－
1.5x
＝4，解得 x＝2 000，经
检验，x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完

成 2 000 平方米 (2)设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，(20
－3x)(8－2x)＝56，解得 x1＝2 或 x2＝236(不合题意，舍去)．答： 人行道的宽为 2 米
2.3 用公式法求解一元二次方程
1．对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac≥0 时， －b± b2－4ac
它的根 x＝
2a
，我们把这个式子称为一元二次方程的
求根公式，用求根公式解一元二次方程称为 公式法 ．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，
－1＋ 5
－1－ 5
则方程(x＋2)*5＝0 的解为x1＝ 2 ，x2＝ 2
．
15．用公式法解方程：
(1)7x2－6x＝5
3＋2 11
3－2 11
解：x1＝ 7 ，x2＝ 7
(2)x(2x－4)＝5－8x
－2＋ 14
－2－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
16．解方程 2x2＋4 3x＝2 2.有一位同学解答如下： 这里 a＝ 2，b＝4 3，c＝2 2，∴b2－4ac＝(4 3)2－4× 2
(2)x2－2 3x＋3＝0 解：∵Δ＝12－4×3＝0，∴x1＝x2＝ 3
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的 反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0

新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解》精品课件.ppt

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5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则 6m＋2n＝_－__2_． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为 0，则a＝_－__2_．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的 一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的 解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
x
3.23
3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
16．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，满足 a＋b＋c＝0，则方程必有一个实根为___x_＝．1
17．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一个根为0，则a＝__1__．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是
( C) A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m
＝__1__．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是 x2－1＝0(答案不唯一) ．
13．观察下表：
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5x2－24x＋28 28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1 5.25 12
从表中你能得出方程5x2－24x＋2方程根的取值范围．
解：一个解为x＝2，另一个解的取值范围为2.5<x<3
7…
x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …

北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质PPT

北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质PPT

因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
北师大版九年级上册第三节用因式分 解法求 解一元 二次方 程优质P PT
用因式分解法求解一元二次方程
课后作业：
新知探索
完成课本P47 习题2.7 第1题、第2题
北师大版九年级上册第三节用因式分 解法求 解一元 二次方 程优质P PT
想一想
1. 例2中主要用到了因式分解的什么方法？
公式法
2. 初中阶段主要用到的因式分解公式有哪些？ 完全平方公式： a22abb2(ab)2 平方差公式： a2b2(ab)(ab)
新知探索
北师大版九年级上册第三节用因式分 解法求 解一元 二次方 程优质P PT
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北师大版九年级上册第三节用因式分 解法求 解一元 二次方 程优质P PT
北师大版九年级上册第三节用因式分 解法求 解一元 二次方 程优质P PT
用因式分解法求解一元二次方程
当堂练习
① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ；
③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ；
⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；
用因式分解法求解一元二次方程
课堂练习
1. 完成P47随堂练习 第1题、第2题 2. 解下列方程：
(1)(3x2)2 4(3x2) (2)3(x2)2x24
(3)2x28x8x2 (4)(x2)(x3)12
新知探索
北师大版九年级上册第三节用因式分 解法求 解一元 二次方 程优质P PT

北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第1课时)

二次项系数为 5，一次项系数为 36，常数项为－32
课堂练习 6. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形?
解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得50x2-25x+3=0.
数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表 示为： x+1 , x+2, x+,3 x+.根4 据题意，可得方程：
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
去括号、移项、合并同类项
2x2-13x+11=0 x2 -8x-20=0 x2＋12x－15＝0
只含有1个 未知数
未知数的最 高次数是2
都是整式方 程
新知讲解
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加这次 聚会？
解：设有x人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x-1)=10， 整理，得x2-x-20=0.
课堂总结
一元二次方程
概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且 都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数, a≠0)的形式.

新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优课件(共19张PPT)

由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
1.用因式分解法解下列方程：
①(x－5)(x+2)=18
②(2a－3)2=(a－2)(3a－4)
③ 2 y2=3y
④x2+7x+12=0
⑤t(t+3)=28
⑥(4x－3)2=(x+3)2
(7)x2 ( 3 2)x 6 0
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= A解
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月18日星期五2022/2/182022/2/182022/2/18 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/182022/2/182022/2/182/18/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/182022/2/18February 18, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/182022/2/182022/2/182022/2/18
检 程，其关键是什么？
测 3、用因式分解法解一元二次方
题 程的理论依据是什么?
4、用因式分解法解一元二方程，
必须要先化成一般形式吗？
例1、解下列方程
1、x2－3x－10=0

北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件

第二章一元二次方程
用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先 考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系 数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系 数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，

北师大九年上学期数学课件：用因式分解法求解一元二次方程


例1 解方程： (2)(2x－5)2－(x－2)2＝0； 解：∵[(2x－5)＋(x－2)][(2x－5)－(x－2)]＝0， ∴(3x－7)(x－3)＝0， ∴3x－7＝0 或 x－3＝0， 解得 x1＝73，x2＝3.
例1 解方程： (3)x(x＋2)＝3x＋6. 解：移项，得 x(x＋2)－(3x＋6)＝0， 即 x(x＋2)－3(x＋2)＝0，(x＋2)(x－3)＝0, ∴x＋2＝0 或 x－3＝0，解得 x1＝－2，x2＝3.
有一个因式是 x－5，则 p 的值是( A )
A. 3
B. －3
C. －2
D. 2
2. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x2－
3x＝4(x－3)的两个实数根，则该直角三角形的斜边长是( C )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3. 已知代数式 x(x－5)＋1 与代数式 9x－6 的值互为相反 数，则 x＝ －－55或或11 ．
3，x2＝3－25
3 .
(直接开平方法)
5. 我们已经学习了一元二次方程的多种解法，例如因式 分解法、配方法和公式法等．请从以下一元二次方程中任选 一个进行求解，并说明你求解这个方程的方法以及思路．
(2)x2＋2x－35＝0；
解：移项，得 x2＋2x＝35，x2＋2x＋1＝36， (x＋1)2＝36，x＋1＝±6，x＝－1±6， ∴x1＝5，x2＝－7.(配方法)
【归纳总结】用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)把方程一边化为 0；(2)将不为 0 的一边分解因式；(3)根据 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0，将方程转化为两个一元一次方程； (4)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点 2 选择适当的方法解一元二次方程 例2 (教材 P48T2(3)) 解方程：(x－2)(x－3)＝12. 【思路点拨】先将方程化为一般形式，再根据方程的特 征，选择合适的方法求解．
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∴x1=0，x2=-16．
∴x1=x2=1．
想一想
先胜为快
• 已知一个数的平方等于这个数的3倍，求这个数.
解：设这个数是x，根据题意，得 x2=3x，即x2-3x=0，x（x-3）=0 解得x=0或x=3． 即这个数是0或3
独立
解下列方程
作业
（1）x2+x=0；
（2）（x-4）2=（5-2x）2．
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化 为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们 的根就是原方程的根.
学习是件很愉快的事
淘金者
• 你能用因式分解法解下列方程吗？
1.x2-4=0;
解：（x+2）(x-2)=0 x1=-2，x2=2
2.(x+1)2-25=0.
用因式分解法求解一元二次方程
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零;
2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例题欣赏 ☞
因式分解法
用因式分解法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
因式分解法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式;
2.（x+1+5）（x+1-5）=0 （x+6）（x-4）=0 x1=-6，x2=4
动脑筋
争先赛
• 1.解下列方程:
（1）x2+16x=0
（2）5x2-10x=-5；
解：（1）原方程可变形为： 解：（2）原方程可变形为
x（x+16）=0，
x2-2x+1=0，
x=0或x+16=0．
（x-1）2=0．
小颖是这样解的 :
解 : x2 3x 0.
x 3 9. 2
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
小明是这样解的 :
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小明做得对吗?
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
老师提示:
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
心动 不如行动 你能解决这个问题 吗？ 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相
等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
解：（1）x（x+1）=0， x=0或x+1=0，
∴x1=0，x2=-1； （2）（x-4+5-2x）（x-4-5+2x）=0，
（1-x）（3x-9）=0， 1-x=0或3x-9=0，
∴x1=1，x2=3
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样解的 : 解 :由方程x2 3x, 得
x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
我思 我进步
因ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分解的方法 求解.这种用因式分解解一元二次方程的方法称为因 式分解法.