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于是当x < x0时，
f (x) f (x0 ) 0 x x0
因此，
f ( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f ( x0 ) x0
0
同理当 x >x0 时，
f ( x0 )
lim
x x0 0
f ( x) f ( x0 ) x x0
0
© 从而得到 f '(x0) = 0.
定理 3 (极值的单调性判别法)
,
©
例6. 求 函 数f ( x) x3e x的 极 值.
解: 1) 求导数 f ( x) (3x2 x3 )e x
2 1
的单调减区间为(1, 2).
o 12 x
©
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
x
y
y x3
o
x
©
例3 证明：当x >1时， 2 x 3 1 . x
证: 令 f ( x) 2 x (3 1 )
x
则
f ( x)
111 x x2 x2 (x
x 1)
在[1,+∞)上f (x)连续，在(1,+∞)内f '(x)>0 ，
因此在[1,+∞)上单调增加， 从而当x >1时， f (x) > f (1) ．
由于f (1) =0，故 f (x) > 0，
即当x >1时，有2 x 3 1 .
©
x
为极值点 , 且 是极小点 ; 是极大点 .
f (n) ( x0 ) 0 ,
2) 当 n为奇数时, 不是极值点 .
证: 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
当
f (x) f
充分接近
(
x0时) ,
o((x
故结论正确 .
上xf0)式(nx)0左)(端x 正x负0 ) 号由右f端(nn)第(!x0一) (项x 确x0定)n
(减少)
注: [a,b] 可改换成其它各种区间
证: 无妨设 由拉格朗日中值定理得
任取
0
故
©
即
在 I 内单调递增.
例１.讨论函数 y = e x −2x−2的单调性． 解:函数 y = e x −2x−2的定义域为(−∞+∞),
y e x 2 0 ,得驻点 x=ln2 ．
在(−∞,ln2)内 y' <0，所以函数在(−∞,ln2)上单调减少； 在(ln2 ,+∞)内y' >0，所以函数在(ln2 , +∞)上单调增加.
注：使得 f '( x) 0的点x 称为函数的驻点.
©
例2. 确定函数
的单调区间.
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
f (x)
0 0
f (x)
2
1
y
故
的单调增区间为 (, 1), (2, );
二、函数的极值及其求法
定义2: 若恒有 若恒有
对该邻域内的任何点x, 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
©
例如 (P93例2)
y
f (x) 2x3 9x2 12x 3
2
为极大点 , 为极小点 ,
是极大值 是极小值
f (x)在x=2连续，再由函数的单调性，可知 f (2)=1是函数f (x)的极．大值.
©
定理4 (二阶导数判别法)
二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim f ( x)
x x0
xx0 x x0
由 f ( x0 ) 0知, 0 , 0 x x0 时,
故当 x0 x x0 时，f ( x) 0;
当x0 x x0 时，f ( x) 0,
由第一判别法知 f ( x)在 x0 取极大值.
x0
x0 x0
(2)极小值类似可证 . ©
定理 (判别法的推广) 且
则: 1) 当 n为偶数时,
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域
内有导数, 当x由小到大通过x0 时,
(1) f (x) “左正右负” , 则 f ( x)在 x0 取极大值.
(2) f (x) “左负右正” , 则 f ( x) 在 x0 取极小值;
(3) 如果 f '(x) 在点 x0 两边同号,则 f (x) 在 x0 处无极值.
第四节
函数的单调性与极值
第三章
一、函数单调性的判定法 二、函数的极值及其求法
©
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数 y = f (x) 在[a,b] 上连续,在(a,b) 内可导,
若在(a,b) 内f ‘(x)> 0,则函数 y = f (x) 在 [a,b] 上单调增加
( f ( x) 0),
1 o 12 x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值点可能出现在导数为 0 的点
y
或导数不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b
©
x3 不是极值点 x x2为导数不存在的点
定理 2. (取得极值的必要条件) 设函数 f (x) 在点 x0 处可导，且在点 x0 处取得极值, 那么这函数在点 x0 处的导数为零，即 f '(x0) = 0 证:先设 f (x0) 是极大值．由极大值的定义, 在点 x0 的 某个去心邻域内, 对于任何点x , f (x) < f (x0) 均成立．
函数在x = -1处取得极大值，极大值为f (-1)=10 ；
函数在 x =3 处取得极小值，极小值为f (3)= -22 ．
©
例5
求函数
f
(
x
)
1
(x2)Fra bibliotek2 3
的极值．
解: 当 x2 时 f ( x) 2 33 x 2
(−∞, 2 )
2
( 2 ,+∞)
f '(x) + 不存在
－
f (x)
． f (2)=1
©
例4. 求函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值
解: f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)( x 3)
令 3( x 1)(x 3) 0 求得驻点x1 1, x2 3
由 f (x) 3(x 1)(x 3) 来确定 f '(x) 的符号,
(−∞,−1) −1 (−1 , 3) 3 (3,+∞) f ' (x) + 0 － 0 + f (x)
